2022-2023學(xué)年北師大版必修第一冊 1.4.1　一元二次函數(shù) 課件（37張）

4.1一元二次函數(shù)第一章課標(biāo)要求1.熟練掌握一元二次函數(shù)一般形式和頂點形式.2.能利用配方法化一元二次函數(shù)一般式為頂點式.3.掌握一元二次函數(shù)y=ax2到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象變換方法,并由一元二次函數(shù)圖象得到其相關(guān)性質(zhì).內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測全達標(biāo)基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)知識點1

一元二次函數(shù)的圖象及其變換1.通常把一元二次函數(shù)的圖象叫作拋物線.2.一元二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象可以由y=ax2的圖象經(jīng)過向左(或向右)平移|h|個單位長度,再向上(或向下)平移|k|個單位長度而得到.“左加右減”“上加下減”名師點睛一元二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0),a決定了一元二次函數(shù)圖象的開口大小及方向;h決定了一元二次函數(shù)圖象的左右平移;k決定了一元二次函數(shù)圖象的上下平移.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)函數(shù)y=-(x-1)2+3的圖象可由函數(shù)y=-x2的圖象向右平移1個單位長度,再向上平移3個單位長度而得到.(

)(2)一元二次函數(shù)的圖象是拋物線,開口可以向左或向右.(

)√×2.將一元二次函數(shù)y=-2x2的頂點移到(-3,2),開口大小與方向不變,得到的新函數(shù)的解析式為

.

答案

y=-2(x+3)2+2

解析

可設(shè)新函數(shù)的解析式為y=a(x-h)2+k,由平移規(guī)律知h=-3,k=2,因為開口大小與方向不變,故a=-2.所以新函數(shù)的解析式為y=-2(x+3)2+2.知識點2

一元二次函數(shù)的性質(zhì)一元二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0)的性質(zhì)如下:類別a>0a<0圖象開口方向向上向下頂點坐標(biāo)(h,k)(h,k)對稱軸x=hx=h類別a>0a<0函數(shù)值的變化趨勢在區(qū)間(-∞,h]上,函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小;在區(qū)間[h,+∞)上,函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大在區(qū)間(-∞,h]上,函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大;在區(qū)間[h,+∞)上,函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小最值函數(shù)在x=h處有最小值,記作ymin=k函數(shù)在x=h處有最大值,記作ymax=k名師點睛二次函數(shù)的一般式與頂點式的互化依據(jù):過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的交點就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.(

)(2)一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在區(qū)間

上,函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小.(

)××2.函數(shù)y=-2(x+1)2+8的最值情況是(

)A.最小值是8,無最大值B.最大值是-2,無最小值C.最大值是8,無最小值D.最小值是-2,無最大值答案C

解析

y=-2(x+1)2+8的圖象開口向下,所以當(dāng)x=-1時取最大值8,無最小值.重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一一元二次函數(shù)圖象的平移變換【例1】

拋物線y=2(x-1)2+3可以看作是由拋物線y=2x2經(jīng)過以下哪種變換得到的(

)A.向左平移1個單位長度,再向上平移3個單位長度B.向右平移1個單位長度,再向上平移3個單位長度C.向左平移1個單位長度,再向下平移3個單位長度D.向右平移1個單位長度,再向下平移3個單位長度答案

B

解析

∵拋物線y=2(x-1)2+3頂點坐標(biāo)為(1,3),拋物線y=2x2頂點坐標(biāo)為(0,0),∴拋物線y=2(x-1)2+3可以看作由拋物線y=2x2向右平移1個單位長度,再向上平移3個單位長度得到的.規(guī)律方法

一元二次函數(shù)圖象平移問題的解題策略

變式訓(xùn)練1答案

B

探究點二待定系數(shù)法求一元二次函數(shù)解析式【例2】

用待定系數(shù)法求下列一元二次函數(shù)的解析式:(1)已知一元二次函數(shù)的圖象過點(-2,20),(1,2),(3,0);(2)已知一元二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為(-1,-2),且圖象過點(2,25).解(1)設(shè)所求一元二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0).將(-2,20),(1,2),(3,0)分別代入解析式,∴所求一元二次函數(shù)的解析式為y=x2-5x+6.(2)∵一元二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為(-1,-2),∴設(shè)一元二次函數(shù)的解析式為y=a(x+1)2-2(a≠0).∵圖象過點(2,25),∴a(2+1)2-2=25,解得a=3,∴所求一元二次函數(shù)的解析式為y=3(x+1)2-2,即y=3x2+6x+1.規(guī)律方法

一元二次函數(shù)常見解析式的形式有三種:一般式、頂點式、兩根式.解題時合理地選擇解析式能起到事半功倍的效果.一般地,若已知函數(shù)圖象經(jīng)過三點,常設(shè)一般式;若題目中給出頂點坐標(biāo)、最值、對稱軸等信息,?？紤]頂點式;若題目中給出函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo),可設(shè)兩根式.變式訓(xùn)練2已知一元二次函數(shù)的圖象過點(1,4),且與x軸的交點為(-1,0)和(3,0),求一元二次函數(shù)的解析式.解(方法一)設(shè)一元二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0).將(1,4),(-1,0),(3,0)分別代入上式,得∴y=-x2+2x+3.(方法二)設(shè)一元二次函數(shù)的解析式為y=a(x+1)(x-3)(a≠0).將(1,4)代入上式,得a=-1,∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.探究點三一元二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【例3】

(1)求函數(shù)y=x2-3x-7(x∈N)的最小值.(2)在區(qū)間[2,3]上,求函數(shù)y=x2-3x-7的最大值與最小值.系數(shù)為1>0,所以在[2,3]上該函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大,所以當(dāng)x=2時,函數(shù)值最小,最小值為-9,當(dāng)x=3時函數(shù)值最大,最大值為-7.規(guī)律方法

求一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法一看開口方向;二看對稱軸和區(qū)間的相對位置,簡稱“兩看法”.只需作出一元二次函數(shù)相關(guān)部分的簡圖,利用數(shù)形結(jié)合法就可以得到問題的解.變式探究在區(qū)間[-1,3]上,求函數(shù)y=x2-3x-7的最大值與最小值.探究點四一元二次方程根的分布【例4】

已知一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的兩個不相等的實數(shù)根都小于3,求實數(shù)m的取值范圍.解(方法一)設(shè)方程的兩個根分別為x1,x2,則x1+x2=-(m+2),x1x2=3+m,要使方程的兩個根都小于3,則需(方法二)設(shè)一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0所對應(yīng)的一元二次函數(shù)為y=x2+(m+2)x+3+m,二次項系數(shù)為1,函數(shù)圖象開口向上.要使得方程x2+(m+2)x+3+m=0的2個根都小于3,也就是一元二次函數(shù)y=x2+(m+2)x+3+m與x軸的兩個交點都在3的左側(cè),則需規(guī)律方法

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)兩根x1,x2(x1≠x2)的分布和二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的關(guān)系如下:變式訓(xùn)練3若一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0有兩個根,且一根比3小,另一根比4大,求參數(shù)m的取值范圍.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)一元二次函數(shù)解析式的三種形式;(2)一元二次函數(shù)的圖象及變換;(3)一元二次函數(shù)的性質(zhì).2.方法歸納:配方法、數(shù)形結(jié)合、圖象變換.3.常見誤區(qū):易忽視一元二次函數(shù)的開口方向.學(xué)以致用?隨堂檢測全達標(biāo)1.已知一元二次函數(shù)y=x2+2x+5,它的圖象可以由函數(shù)y=x2的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到(

)A.向左平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度B.向右平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度C.向左平移2個單位長度,再向上平移3個單位長度D.向右平移2個單位長度,再向上平移3個單位長度答案C

解析

y=x2+2x+5=(x+2)2+3,顯然C正確.2.一元二次函數(shù)y=-x2+2x-5有(

)A.最大值-5 B.最小值-5C.最大值-4 D.最小值-4答案C

解析

配方,得y=-(x-1)2-4,所以當(dāng)x=1時,ymax=-4.3.函數(shù)y=3+2x-x2(0≤x≤3)的最小值為(

)A.-1 B.0 C.3 D.4答案B

解析

∵y=3+2x-x2=-(x-1)2+4,∴函數(shù)在[0,1]上y隨著x的增大而增大,在[1,3]上y隨著x的增大而減小,∴當(dāng)x=3時,y=3+2x-x2(0≤x≤3)取得最小值為3+2×3-32=0.4.已知某一元二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A(2,0),B(4,0),且過點(1,3).(1)求此一元二次函數(shù)的解析式;(2)求當(dāng)1≤x≤b(b>1)時該一元二次函數(shù)的最大值和最小值.解

(1)設(shè)該一元二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=a(x-2)(x-4),將點(1,3)代入得3=(1-2)×(1-4)a,解得a=1,∴y=(x-2)(x-4)=x2-6x+8.(2)∵y=(x-3)2-1的對稱軸為直線x=3,與點(1,3)關(guān)于對稱軸對稱的點為(5,3),若1<b≤3時,y隨著x的增大而減小,則當(dāng)x=1時,y取得最大值,為y=1-6+8=3,當(dāng)x=b時,y取得最小值,為y=b2-6b+8;若3<b≤5時,當(dāng)x=1時,y取得最大值,為y=1-6+8