大變形問(wèn)題的有限單元法講義

第五章大變形問(wèn)題的有限單元法1.彈性大變形問(wèn)題的有限元法2.彈性分支點(diǎn)穩(wěn)定問(wèn)題有限元分析3.物質(zhì)描述大變形增量問(wèn)題的T.L、U.L法2000.41哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作1.彈性大變形問(wèn)題的有限元法

彈性大變形問(wèn)題，需要考慮變形的非線性項(xiàng)和變形對(duì)平衡的影響。若以初始自然平衡狀態(tài)作初始位形，則物質(zhì)描述的格林應(yīng)變?yōu)槭街芯€性部分非線性部分2000.42哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作為便于計(jì)算機(jī)編程，將張量轉(zhuǎn)換為矩陣：格林應(yīng)變矩陣和張量的分量間有如下關(guān)系對(duì)應(yīng)的克希荷夫應(yīng)力矩陣和張量分量間關(guān)系為引入兩個(gè)算子矩陣2000.43哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作式中再引入位移梯度向量的記號(hào)3階單位矩陣2000.44哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作在上述符號(hào)基礎(chǔ)上，格林應(yīng)變由位移表為則單元格林應(yīng)變?yōu)槠渲芯€性應(yīng)變矩陣B和有限元(I)一樣設(shè)單元位移場(chǎng)和有限元(I)一樣為非線性部分“應(yīng)變矩陣”為2000.45哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作式中G為如下9×3m的矩陣2000.46哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作式中AL為如下6×9的矩陣2000.47哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作由(AL)可見(jiàn)，格林應(yīng)變-位移關(guān)系是非線性的。非線性部分因?yàn)樗詾橛锰撐灰圃斫卧匦苑匠蹋€得建立應(yīng)變?cè)隽亢臀灰圃隽块g的關(guān)系。對(duì)線性部分綜上所述，格林應(yīng)變?cè)隽繛轵?yàn)證如果記，則。2000.48哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作對(duì)彈性問(wèn)題，在物質(zhì)描述下本構(gòu)關(guān)系為在上述基礎(chǔ)上，由虛位移原理可得式中為單元結(jié)點(diǎn)力矩陣，為單元等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣由于應(yīng)變、應(yīng)力以矩陣表示，因此彈性矩陣應(yīng)按下式并考慮應(yīng)變矩陣定義來(lái)建立2000.49哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作Pd和PE分別為直接和等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣，R為綜合等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣。上式也可寫(xiě)為將克希荷夫應(yīng)力表達(dá)式代入，可得按集成規(guī)則集裝后可得2000.410哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作根據(jù)本本構(gòu)方方程，，則有有式中K(U)是非對(duì)對(duì)稱(chēng)的的，為為對(duì)非線性彈性問(wèn)題、和都是位移的函數(shù)。根據(jù)非非線性性方程程切線線剛度度矩陣陣的定定義，，可得得又因B、G為已知矩陣陣2000.411哈爾濱建筑筑大學(xué)王王煥定教教授制作式中所以又因,所以2000.412哈爾濱建筑筑大學(xué)王王煥定教教授制作由此可得式中基于上述說(shuō)說(shuō)明，可得得2000.413哈爾濱建筑筑大學(xué)王王煥定教教授制作如果引入如如下記號(hào)則單元切線線剛度矩陣陣為初應(yīng)力或幾幾何剛度矩矩陣線彈性剛度度矩陣大位移剛度度矩陣“結(jié)構(gòu)”切線剛度矩矩陣為建立了切線線剛度矩陣，，用牛頓法等等即可求解。。2000.414哈爾濱建筑筑大學(xué)王王煥定教教授制作本節(jié)的討論論沒(méi)涉及具具體單元，，因此具有有普遍性。。具體單元元分析時(shí)，，因形函數(shù)數(shù)一般是自自然坐標(biāo)的的函數(shù)，故故需作坐標(biāo)標(biāo)變換后代代入相關(guān)公公式，從而而建立具體體單元的切切線剛度矩矩陣。需要指出的的是建議自行對(duì)對(duì)各種單元元自行推導(dǎo)導(dǎo)切線矩陣陣。本節(jié)只討論論了全量形形式的彈性性大變形分分析，具體體求解步驟驟如講義所所示。為了了保證收斂斂，擬用增增量迭代法法。對(duì)第二二類(lèi)穩(wěn)定問(wèn)問(wèn)題（極值值點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)問(wèn)題）、彈彈塑性問(wèn)題題等，必須須用3.所介紹紹的增量形形式來(lái)解決決。To26在我們、王王勛成、謝謝貽權(quán)、徐徐次達(dá)等的有限限元教材中中，都有一一些具體單元的的切線剛度度矩陣，需需要時(shí)可供參考考。2000.415哈爾濱建筑筑大學(xué)王王煥定教教授制作2.彈彈性分支點(diǎn)點(diǎn)穩(wěn)定問(wèn)題題有限元分分析對(duì)分支點(diǎn)穩(wěn)穩(wěn)定問(wèn)題，，關(guān)鍵是建建立幾何剛剛度矩陣。。此時(shí)，以以失穩(wěn)前的的平衡位置置作初始位位形，以失失穩(wěn)形態(tài)作作現(xiàn)時(shí)位形形。和前述彈性性大變形不不同的是：：大位移矩陣陣可忽略。。應(yīng)變僅包含含失穩(wěn)位移移的非線性性項(xiàng)。分支點(diǎn)處相相應(yīng)失穩(wěn)位位移的綜合合荷載為零零。注意到上述述差異，即即可用上節(jié)節(jié)結(jié)果解決決分支點(diǎn)穩(wěn)穩(wěn)定的有限限元分析。。失穩(wěn)前變形形是微小的的。2000.416哈爾濱建筑筑大學(xué)王王煥定教教授制作設(shè)變形前單單元長(zhǎng)度為為l，截面積為A，彈性模量為為E。單元桿端位位移矩陣為為δe式中2.1桁桁架單元元。單元位移移為式中為失穩(wěn)位移?；诖?，單元格林應(yīng)變?yōu)?000.417哈爾濱建筑筑大學(xué)王王煥定教教授制作克希荷夫應(yīng)應(yīng)力為因分支點(diǎn)穩(wěn)穩(wěn)定關(guān)心的的臨界荷載載，臨界荷荷載時(shí)平衡衡有兩重性性，故臨界界狀態(tài)應(yīng)力力等于失穩(wěn)穩(wěn)前狀態(tài)的的應(yīng)力，也也即基于上述結(jié)結(jié)果，單元元幾何剛度度矩陣為，失穩(wěn)前應(yīng)應(yīng)力為2000.418哈爾濱建筑筑大學(xué)王王煥定教教授制作設(shè)變形前單單元長(zhǎng)度為為l，截面積和慣慣性矩為A、I，彈性模量為為E。單元桿端位位移矩陣為為δe單元位移為為式中2.2梁梁?jiǎn)卧?000.419哈爾濱建筑筑大學(xué)王王煥定教教授制作式中Ni和有限元(I)一樣。梁?jiǎn)螁卧獞?yīng)變?yōu)闉槠渲械谝豁?xiàng)項(xiàng)為有限元元(I)里的線性項(xiàng)項(xiàng)，非線性性的第二項(xiàng)項(xiàng)為基于上述結(jié)結(jié)果，單元元幾何剛度度矩陣為象桁架單元元說(shuō)明一樣樣，單元應(yīng)應(yīng)力為同結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)2000.420哈爾濱建筑筑大學(xué)王王煥定教教授制作有限元(I)里的二維問(wèn)問(wèn)題單元位位移為2.3二二維單元元(薄板穩(wěn)穩(wěn)定)但失穩(wěn)時(shí)的的位形，將將有出平面面的位移w，和桿單元一一樣，應(yīng)變變需考慮w及其非線性性項(xiàng)非線性項(xiàng)2000.421哈爾濱建筑筑大學(xué)王王煥定教教授制作設(shè)出平面位位移為面內(nèi)彈性應(yīng)應(yīng)力為對(duì)出平面位位移，其G矩陣為對(duì)應(yīng)的M矩陣為2000.422哈爾濱建筑筑大學(xué)王王煥定教教授制作對(duì)各種具體體單元，將將Nw的具體形函函數(shù)代入G矩陣的表達(dá)達(dá)式，即可可積分得到到具體單元元的幾何剛剛度矩陣。。基于上述結(jié)結(jié)果，單元元幾何剛度度矩陣為對(duì)于分支點(diǎn)點(diǎn)穩(wěn)定問(wèn)題題，結(jié)構(gòu)力力學(xué)已經(jīng)指指出，在比比例加載下下，最終歸歸結(jié)為一個(gè)個(gè)特征值問(wèn)問(wèn)題解得特征值值后，即可可得到臨界界荷載，一一般只關(guān)心心最小臨界界荷載。2000.423哈爾濱建筑筑大學(xué)王王煥定教教授制作3.1物物質(zhì)描描述大變變形增量量問(wèn)題的的T.L法對(duì)彈塑性性、粘性性-蠕變變和施工工力學(xué)等等問(wèn)題，，介質(zhì)的的反應(yīng)和和變形的的歷史有有關(guān)。對(duì)對(duì)隨時(shí)間間變化的的荷載，，需要將將時(shí)間變變量離散散成序列列，以求求解各時(shí)時(shí)刻的響響應(yīng)。為為此，都都需要用用增量法法來(lái)解決決。從t到t+Δt的增量期期間進(jìn)行行物質(zhì)描描述求解解時(shí)，一一般可選選兩種參參考位形形：初始始和t時(shí)刻的位位形。前前者稱(chēng)為為全拉格格朗日(T.L)表述，后者稱(chēng)為為修正拉拉格朗日日(U.L)表述。設(shè)從0到到t時(shí)刻的全全部反應(yīng)應(yīng)、位形形均已求求得，現(xiàn)現(xiàn)在的問(wèn)問(wèn)題是，，如何求求t+Δt時(shí)刻的響響應(yīng)。2000.424哈爾濱建建筑大學(xué)學(xué)王王煥定教教授制作作未知設(shè)t0、t和t+Δt的物理量量分別用用如下符符號(hào)標(biāo)記記對(duì)T.L法，介質(zhì)質(zhì)位移是是初始位位形坐標(biāo)標(biāo)的函數(shù)數(shù)坐標(biāo)，密度面積和體積設(shè)有限元元分析時(shí)時(shí)單元形形狀描述述為又設(shè)有限限元分析析時(shí)單元元位移場(chǎng)場(chǎng)為2000.425哈爾濱建建筑大學(xué)學(xué)王王煥定教教授制作作式中雅可可比矩陣陣J為象有限元(I)等參元分析一樣，由于形函數(shù)一般是對(duì)自然坐標(biāo)定義的，因此有限元分析中的對(duì)坐標(biāo)求導(dǎo)等，應(yīng)象有限元(I)一樣進(jìn)行轉(zhuǎn)換。To15To362000.426哈爾濱建建筑大學(xué)學(xué)王王煥定教教授制作作在上述記記號(hào)下，，格林應(yīng)應(yīng)變?yōu)闀r(shí)刻t+Δt和t的應(yīng)變?cè)鲈隽繛槭街?000.427哈爾濱建建筑大學(xué)學(xué)王王煥定教教授制作作要強(qiáng)調(diào)指指出的是是，u在增量步步內(nèi)已知知，因此此同大變形形有限元元，將張張量轉(zhuǎn)換換為矩陣陣，則引入大變變形所用用算子記記號(hào)，則則有2000.428哈爾濱建建筑大學(xué)學(xué)王王煥定教教授制作作由于u在增量步步內(nèi)已知知，因此此B和BL都是已知知的。又又若記則有因?yàn)?，因此綜上可得得2000.429哈爾濱建建筑大學(xué)學(xué)王王煥定教教授制作作為進(jìn)行有有限元列列式，還還需討論論克希荷荷夫應(yīng)力力。設(shè)t和t+Δt時(shí)刻的應(yīng)應(yīng)力分量量分別為為基于上述述分析，，利用t+Δt時(shí)刻的虛虛位移原原理虛功功方程則象應(yīng)變分析一樣，可將分成。同樣換為矩陣表示，則有2000.430哈爾濱建建筑大學(xué)學(xué)王王煥定教教授制作作再次強(qiáng)調(diào)調(diào)，t時(shí)刻及其其前的量量都是已已知的，，因此變變分為零零?；谟诖藢⒋私Y(jié)果果代入虛虛功方程程，可得得單元?jiǎng)倓偠确匠坛淌街泻褪菍?duì)初始位形定義的，t+Δt時(shí)刻的體積力和表面力，它們是已知的。式中2000.431哈爾濱建建筑大學(xué)學(xué)王王煥定教教授制作作t時(shí)刻應(yīng)力引起的等效結(jié)點(diǎn)力矩陣t+Δt時(shí)刻荷載引起的等效結(jié)點(diǎn)力矩陣或?qū)⑵浒醇梢?guī)則則集裝后后可得再引入如如下記號(hào)號(hào)將和的表達(dá)式代入，可得2000.432哈爾濱建建筑大學(xué)學(xué)王王煥定教教授制作作幾何或非線性應(yīng)變?cè)隽縿偠染仃嚮蚶眠@些些關(guān)系，，非線性性平衡方方程可寫(xiě)寫(xiě)為為求解上上述方程程，尚需需解決如如下兩方方面問(wèn)題題2000.433哈爾濱建建筑大學(xué)學(xué)王王煥定教教授制作作首先假設(shè)設(shè)然后將ΔS和ΔE的關(guān)系線線性化。。根據(jù)本本構(gòu)關(guān)系系則有為使其線性化，設(shè)(t時(shí)刻的材料性質(zhì)矩陣)2000.434哈爾濱建建筑大學(xué)學(xué)王王煥定教教授制作作在做了上上述兩方方面處理理后，可可得由此出發(fā)發(fā)，用非非線性方方程的相相關(guān)解法法，即可可解決大大變形非非線性（（材料非非線性））問(wèn)題。。將其代回回非線性性平衡方方程，可可得講義上給給出了T.L法的求解解步驟，，可供大大家編程程序參考考。2000.435哈爾濱建筑大大學(xué)王煥煥定教授制作作3.2物質(zhì)質(zhì)描述大變形形增量問(wèn)題的的U.L法因t+Δt的位移是用t時(shí)刻位形為基基準(zhǔn)度量的，，因此在[t,t+Δt]間隔內(nèi)，以t時(shí)刻位形為參參考位形，其其增量位移為為象T.L法一樣，設(shè)單單元和位移的的描述為但需指出的是，式中形函數(shù)N是t時(shí)刻單元自然坐標(biāo)的函數(shù)。在計(jì)算

等導(dǎo)數(shù)時(shí)，要先作坐標(biāo)變換(Xi應(yīng)換為xi)。To262000.436哈爾濱建筑大大學(xué)王煥煥定教授制作作類(lèi)似地，用矩矩陣來(lái)表示則則有在時(shí)刻t和t+Δt的格林應(yīng)變是是以t時(shí)刻位形定義義的，因而它它們分別為式中算子矩陣陣象T.L法一樣，但應(yīng)應(yīng)將Xi換為xi。2000.437哈爾濱建筑大大學(xué)王煥煥定教授制作作再次強(qiáng)調(diào)，式式中算子符號(hào)號(hào)象T.L法一樣，但應(yīng)應(yīng)將Xi換為xi?；谏鲜稣f(shuō)明明，象T.L法一樣可導(dǎo)得得關(guān)于應(yīng)力的處處理也和T.L法一樣，對(duì)t時(shí)位形定義的的t和t+Δt時(shí)刻的克希荷荷夫應(yīng)力分別別為2000.438哈爾濱建筑大大學(xué)王煥煥定教授制作作象T.L法一樣由虛位位移原理虛功功方程可導(dǎo)得得象T.L法一樣推導(dǎo)，，引入如下符符號(hào)定義式中其中分別為t時(shí)刻位形定義的單元體積、應(yīng)力表面、體力和表面力。幾何或非線性應(yīng)變?cè)隽縿偠染仃嚭奢d引起的等效結(jié)點(diǎn)力矩陣2000.439哈爾濱建筑大大學(xué)王煥煥定教授制作作則可得t時(shí)刻應(yīng)力引起的等效結(jié)點(diǎn)力矩陣t+Δt時(shí)刻的非線性平衡方程象T.L法一樣，為求求解上述方程程也需解決線線性化問(wèn)題。。首先討論ΔS的計(jì)算。因?yàn)闉?000.440哈爾濱建筑大大學(xué)王煥煥定教授制作作因此可改寫(xiě)為由第四章已知知Chap464式中Chap444Chap4262000.441哈爾濱建筑大大學(xué)王煥煥定教授制作作可得由如下兩式消去并利用,且注意到Vij對(duì)稱(chēng)、Ωij反對(duì)稱(chēng)GoTo49又由于、和，因此GoTo502000.442哈爾濱建筑大大學(xué)王煥煥定教授制作作上式最后一項(xiàng)項(xiàng)將使本構(gòu)張張量不對(duì)稱(chēng)，，對(duì)金屬類(lèi)不不可壓縮介質(zhì)質(zhì)，這一項(xiàng)可可略去，也即即在有限的克希希荷夫應(yīng)力和和格林應(yīng)變?cè)鲈隽恐g仍認(rèn)認(rèn)為這就是