習(xí)題3：圓錐曲線與方程全章綜合測試題

圓錐曲線與方程(時間：100分鐘滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．拋物線y＝4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()．A．(0，1)B．(1，0)C．(0，eq\f(1,16))D．(eq\f(1,16)，0)解析將拋物線方程變?yōu)閤2＝2×eq\f(1,8)y，知p＝eq\f(1,8)，又焦點(diǎn)在y軸上，且開口向上，所以它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，eq\f(1,16))．答案C2．已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一點(diǎn)P到橢圓一個焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到另一焦點(diǎn)的距離為()．A．2B．3C．5D．7解析點(diǎn)P到橢圓的兩個焦點(diǎn)的距離之和為2a＝10，10－3＝7.選D.答案D3．以拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為圓心，且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為()．A．x2＋y2＋2x＝0B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0D．x2＋y2－2x＝0解析因?yàn)橐阎獟佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，所以所求圓的圓心為(1，0)，又圓過原點(diǎn)，所以圓的半徑r＝1，故所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，故選D.答案D4．以橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為2的雙曲線方程是()．\f(x2,16)－eq\f(y2,48)＝1\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1\f(x2,16)－eq\f(y2,48)＝1或eq\f(y2,9)－eq\f(x2,27)＝1D．以上都不對解析當(dāng)頂點(diǎn)為(±4，0)時，a＝4，c＝8，b＝4eq\r(3)，eq\f(x2,16)－eq\f(y2,48)＝1；當(dāng)頂點(diǎn)為(0，±3)時，a＝3，c＝6，b＝3eq\r(3)，eq\f(y2,9)－eq\f(x2,27)＝1.答案C5．已知橢圓與雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1有共同的焦點(diǎn)，且離心率為eq\f(1,\r(5))，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()．\f(x2,20)＋eq\f(y2,25)\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1\f(x2,25)＋eq\f(y2,5)＝1\f(x2,5)＋eq\f(y2,25)＝1解析雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1中a12＝3，b12＝2，則c1＝eq\r(a12＋b12)＝eq\r(5)，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\r(5)，0)，(eq\r(5)，0)，故所求橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的c＝eq\r(5)，又橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(5))，則a＝5，a2＝25，b2＝a2－c2＝20，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1.答案B6．已知橢圓eq\f(x2,41)＋eq\f(y2,25)＝1的兩個焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，弦AB過點(diǎn)F1，則△ABF2的周長為()．A．10B．20C．2eq\r(41)D．4eq\r(41)解析|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4eq\r(41).答案D7．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是()．A．2\r(3)\r(2)\f(3,2)解析雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的兩條漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，依題意eq\f(b,a)·(－eq\f(b,a))＝－1，故eq\f(b2,a2)＝1，所以eq\f(c2－a2,a2)＝1即e2＝2，所以雙曲線的離心率e＝eq\r(2).故選C.答案C8．已知橢圓x2sinα－y2cosα＝1(0≤α<2π)的焦點(diǎn)在y軸上，則α的取值范圍是()．A．(eq\f(3,4)π，π)B．(eq\f(π,4)，eq\f(3,4)π)C．(eq\f(π,2)，π)D．(eq\f(π,2)，eq\f(3,4)π)解析橢圓方程化為eq\f(x2,\f(1,sinα))＋eq\f(y2,－\f(1,cosα))＝1.∵橢圓焦點(diǎn)在y軸上，∴－eq\f(1,cosα)>eq\f(1,sinα)>0.又∵0≤α<2π，∴eq\f(π,2)<α<eq\f(3π,4).答案D9．拋物線y＝2x2上兩點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)關(guān)于直線y＝x＋m對稱，且x1·x2＝－eq\f(1,2)，則m等于()．\f(3,2)B．2\f(5,2)D．3解析依題意kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝－1，而y2－y1＝2(x22－x12)，得x2＋x1＝－eq\f(1,2)，且(eq\f(x2＋x1,2)，eq\f(y2＋y1,2))在直線y＝x＋m上，即eq\f(y2＋y1,2)＝eq\f(x2＋x1,2)＋m，y2＋y1＝x2＋x1＋2m，∴2(x22＋x12)＝x2＋x1＋2m，2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m，2m＝3，m＝eq\f(3,2).答案A10．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為()．\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1解析圓心的坐標(biāo)是(3，0)，圓的半徑是2，雙曲線的漸近線方程是bx±ay＝0，c＝3，根據(jù)已知得eq\f(3b,\r(a2＋b2))＝2，即eq\f(3b,3)＝2，解得b＝2，得a2＝c2－b2＝5，故所求的雙曲線方程是eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1.答案A二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上．)11．已知點(diǎn)(－2，3)與拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的距離是5，則p＝________.解析∵拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(eq\f(p,2)，0)，由兩點(diǎn)間距離公式，得eq\r(（\f(p,2)＋2）2＋（－3）2)＝5.解得p＝4.答案412．若橢圓x2＋my2＝1的離心率為eq\f(\r(3),2)，則它的長半軸長為________．解析當(dāng)0<m<1時，eq\f(y2,\f(1,m))＋eq\f(x2,1)＝1，e2＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－m＝eq\f(3,4)，m＝eq\f(1,4)，a2＝eq\f(1,m)＝4，a＝2；當(dāng)m>1時，eq\f(x2,1)＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，a＝1.應(yīng)填1或2.答案1或213．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)和橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為________．解析由題意知，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±eq\r(7)，0)，離心率是eq\f(\r(7),4).故在雙曲線中c＝eq\r(7)，e＝eq\f(2\r(7),4)＝eq\f(c,a)，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，因此所求雙曲線的方程是eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1.答案eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝114．設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作橢圓長軸的垂線與橢圓相交，其中的一個交點(diǎn)為P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是________．解析由題意知PF2⊥F1F2，且△F1PF2為等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝eq\r(2)·2c，從而2a＝|PF1|＋|PF2|＝2c(eq\r(2)＋1)，所以e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.答案eq\r(2)－1三、解答題(本大題共5小題，共54分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)15．(10分)雙曲線C與橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦點(diǎn)，直線y＝eq\r(3)x為C的一條漸近線．求雙曲線C的方程．解設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，求得兩焦點(diǎn)為(－2，0)，(2，0)，∴對于雙曲線C：c＝2.又y＝eq\r(3)x為雙曲線C的一條漸近線，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，解得a2＝1，b2＝3，∴雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.16．(10分)雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)F1(0，－5)、F2(0，5)，點(diǎn)P(3，4)是雙曲線的漸近線與橢圓的一個交點(diǎn)，求雙曲線與橢圓的方程．解由共同的焦點(diǎn)F1(0，－5)、F2(0，5)，可設(shè)橢圓方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,a2－25)＝1；雙曲線方程為eq\f(y2,b2)－eq\f(x2,25－b2)＝1，點(diǎn)P(3，4)在橢圓上，eq\f(16,a2)＋eq\f(9,a2－25)＝1，a2＝40，雙曲線的過點(diǎn)P(3，4)的漸近線為y＝eq\f(b,\r(25－b2))x，即4＝eq\f(b,\r(25－b2))×3，b2＝16.所以橢圓方程為eq\f(y2,40)＋eq\f(x2,15)＝1；雙曲線方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.17．(10分)已知拋物線y2＝2x，直線l過點(diǎn)(0，2)與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，以線段MN的長為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求直線l的方程．解由題意知直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y＝kx＋2(k≠0)，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝2x，))消去x得ky2－2y＋4＝0，Δ＝4－16k>0?k<eq\f(1,4)(k≠0)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＋y2＝eq\f(2,k)，y1·y2＝eq\f(4,k)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(1,2)y12,x2＝\f(1,2)y22))?x1·x2＝eq\f(1,4)(y1·y2)2＝eq\f(4,k2)OM⊥ON?kOM·kON＝－1，∴x1·x2＋y1·y2＝0，∴eq\f(4,k2)＋eq\f(4,k)＝0，解得k＝－1.所以所求直線方程為y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.18．(12分)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個頂點(diǎn)為A(0，1)，離心率為eq\f(\r(2),2)，過點(diǎn)B(0，－2)及左焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)設(shè)為F2.(1)求橢圓的方程；(2)求△CDF2的面積．解(1)易得橢圓方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)∵F1(－1，0)，∴直線BF1的方程為y＝－2x－2，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x－2,\f(x2,2)＋y2＝1))得9x2＋16x＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，所以直線與橢圓有兩個公共點(diǎn)，設(shè)為C(x1，y1)，D(x2，y2)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(16,9)，,x1·x2＝\f(2,3)，))∴|CD|＝eq\r(1＋（－2）2)|x1－x2|＝eq\r(5)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(5)·eq\r(（－\f(16,9)）2