習(xí)題2：空間幾何體全章綜合測試

章末綜合題(時間：100分鐘；滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．如圖是物體的實物圖，四個選項對應(yīng)的圖形是它的一個俯視圖的是()解析：選C.觀察實物圖，它的俯視圖應(yīng)為C.2．如圖所示的直觀圖是將正方體模型放置在你的水平視線的左上角而繪制的，其中正確的是()解析：選A.根據(jù)把模型放在水平視線的左上角繪制的特點，并且由幾何體的直觀圖畫法及主體圖形中虛線的使用，知A正確．3．下列說法中正確的是()A．棱柱的面中，至少有兩個面互相平行B．棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一條側(cè)棱就是棱柱的高D．棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形解析：選A.結(jié)合棱柱的概念及幾何特征知選A.4．已知圓錐的全面積是底面積的3倍，那么該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為()A．120° B．150°C．180° D．240°解析：選C.設(shè)圓錐底面半徑為r，母線為l，則πrl＋πr2＝3πr2，得l＝2r，∴展開圖扇形半徑為2r，弧長為2πr，∴展開圖是半圓，∴扇形的圓心角為180°，故選C.5．如圖所示的直觀圖的平面圖形ABCD是()A．任意梯形 B．直角梯形C．任意四邊形 D．平行四邊形解析：選∥y，AD∥x，故AB⊥AD.又BC∥AD且BC≠AD，所以為直角梯形．6．某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為()A．72π B．48πC．30π D．24π解析：選C.由三視圖知，該幾何體是由圓錐和半球組合而成的，直觀圖如圖所示，圓錐的底面半徑為3，高為4，半球的半徑為＝V半球＋V圓錐＝eq\f(1,2)·eq\f(4,3)π·33＋eq\f(1,3)·π·32·4＝30π.故選C.已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且側(cè)棱垂直于底面)高為4，體積為16，則這個球的表面積是()A．16π B．20πC．24π D．32π解析：選C.正四棱柱的底面積為4，正四棱柱的底面的邊長為2，正四棱柱的底面的對角線為2eq\r(2)，正四棱柱的對角線為2eq\r(6).而球的直徑等于正四棱柱的對角線，即2R＝2eq\r(6)，R＝eq\r(6)，S球＝4πR2＝24π.8．已知正方體外接球的體積是eq\f(32,3)π，那么正方體的棱長等于()A．2eq\r(2) \f(2\r(2),3)\f(4\r(2),3) \f(4\r(3),3)解析：選D.由V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，∴R＝2.設(shè)正方體的棱長為a，則3a2＝(2R)2＝16.∴a2＝eq\f(16,3)，∴a＝eq\f(4\r(3),3).9．已知圓臺上、下底面面積分別是π、4π，側(cè)面積是6π，則這個圓臺的體積是()\f(2\r(3)π,3) B．2eq\r(3)π\(zhòng)f(7\r(3)π,6) \f(7\r(3)π,3)解析：選D.上底半徑r＝1，下底半徑R＝2.因為S側(cè)＝6π，設(shè)母線長為l，則π(1＋2)·l＝6π.所以l＝2.所以高h(yuǎn)＝eq\r(l2－R－r2)＝eq\r(3).所以V＝eq\f(1,3)π·eq\r(3)(1×1＋1×2＋2×2)＝eq\f(7\r(3),3)π.10．正三棱柱有一個半徑為eq\r(3)cm的內(nèi)切球，則此棱柱的體積是()A．9eq\r(3)cm3 B．54cm3C．27cm3 D．18eq\r(3)cm3解析：選B.由題意知棱柱的高為2eq\r(3)cm，底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為eq\r(3)cm，底面正三角形的邊長為6cm，∴正三棱柱的底面面積為9eq\r(3)cm2，故此三棱柱的體積V＝9eq\r(3)×2eq\r(3)＝54(cm3)．二、填空題(本大題共5小題，請把正確的答案填在題中的橫線上)11．底面直徑和高都是4cm的圓柱的側(cè)面面積為______cm2.解析：圓柱的底面半徑為r＝eq\f(1,2)×4＝2，故S側(cè)＝2π×2×4＝16π.答案：16π12．如圖是一個空間幾何體的三視圖，根據(jù)圖中尺寸(單位：cm)，幾何體的表面積是________cm2.解析：這是一個放倒的正三棱柱，其底面邊長和高分別為2cm和3cm，所以其表面積為eq\f(1,2)×2×2×sin60°×2＋2×3×3＝(18＋2eq\r(3))cm2.答案：18＋2eq\r(3)13．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于________．解析：根據(jù)該幾何體的三視圖可得其直觀圖，如圖所示，是底面為直角梯形的直四棱柱，且側(cè)棱AA1＝4，底面直角梯形的兩底邊AB＝2，CD＝5，梯形的高AD＝4，故該幾何體的體積V＝4×(eq\f(2＋5,2)×4)＝56.答案：56三棱柱ABC－A′B′C′的底面是邊長為1cm的正三角形，側(cè)面是長方形，側(cè)棱長為4cm，一個小蟲從A點出發(fā)沿表面一圈到達(dá)A′點，則小蟲所行的最短路程為________cm.解析：三棱柱ABC－A′B′C′側(cè)面展開是長為4cm，寬為3cm的矩形，所以小蟲從A點出發(fā)沿表面一圈到達(dá)A′點，小蟲所行的最短路程為矩形的對角線長，應(yīng)為5cm.答案：5一個底面直徑是32cm的圓柱形水桶裝入一些水，將一個球放入桶內(nèi)完全淹沒，水面上升了9cm，則這個球的表面積是________cm2.解析：球的體積等于底面半徑為16cm，高為9cm的圓柱的體積，設(shè)球的體積為Rcm，所以eq\f(4,3)πR3＝π×162×9，解得R＝12，所以S球＝4πR2＝576π(cm2)．答案：576三、解答題(本大題共5小題，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16．把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比是1∶4，母線長為10cm，求圓錐的母線長．解：如圖，設(shè)圓錐的母線長為l，圓臺上、下底面的半徑分別為r、R.∵eq\f(l－10,l)＝eq\f(r,R)，∴eq\f(l－10,l)＝eq\f(1,4)，∴l(xiāng)＝eq\f(40,3)cm.即圓錐的母線長為eq\f(40,3)cm.17．把球的表面積擴大為原來的2倍，那么體積擴大為原來的多少倍？解：設(shè)未擴大前半徑為r1，擴大后半徑為r2，則S1＝4πreq\o\al(2,1)，S2＝4πreq\o\al(2,2)＝2S1，∴req\o\al(2,2)＝2req\o\al(2,1)，∴r2＝eq\r(2)r1，又∵V1＝eq\f(4,3)πreq\o\al(3,1)，V2＝eq\f(4,3)πreq\o\al(3,2)＝eq\f(4,3)π·(eq\r(2)r1)3＝2eq\r(2)V1，∴體積擴大為原來的2eq\r(2)倍．18．據(jù)說偉大的阿基米德死后，敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他立了一塊墓碑．在墓碑上刻了一個如圖所示的圖案，圖案中球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點在圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．試計算出圖案中圓錐、球、圓柱的體積比．解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則V圓柱＝πr2h，圓錐的底面半徑為r，高為h，所以V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h，球的半徑為r，所以V球＝eq\f(4,3)πr3.又h＝2r，所以V圓錐∶V球∶V圓柱＝eq\f(1,3)πr2h∶eq\f(4,3)πr3∶πr2h＝eq\f(2,3)πr3∶eq\f(4,3)πr3∶2πr3＝1∶2∶3.19．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個底邊長為8，高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6，高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.解：由題設(shè)可知，幾何體是一個高為4的四棱錐，其底面是長、寬分別為8和6的矩形，正側(cè)面及其相對側(cè)面均為底邊長為8、高為h1的等腰三角形，左、右側(cè)面均為底邊長為6、高為h2的等腰三角形，如圖．(1)幾何體的體積V＝eq\f(1,3)·S矩形·h＝eq\f(1,3)×6×8×4＝64.(2)正側(cè)面及相對側(cè)面底邊上的高h(yuǎn)1＝eq\r(42＋32)＝5.左、右側(cè)面的底邊上的高h(yuǎn)2＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).故幾何體的側(cè)面積S＝2·(eq\f(1,2)×8×5＋eq\f(1,2)×6×4eq\r(2))＝40＋24eq\r(2).養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用)，已建的倉庫的底面直徑為12m，高4m．養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽．現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m(高不變)；二是高度增加4m(底面直徑不變)．(1)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；(2)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；(3)哪個方案更經(jīng)濟些？解：(1)如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16m，則倉庫的體積V1＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×82×4＝eq\f(256,3)π(m3)；如果按方案二，倉庫的高變成8m，則倉庫的體積V2＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×62×8＝eq\f(288,3)π(m3)．