角動(dòng)量守恒-教學(xué)課件

角動(dòng)量守恒第三章1角動(dòng)量守恒第三章1物理學(xué)非常注意守恒量的研究。在天體運(yùn)動(dòng)中,常遇到行星繞某一恒星（固定點(diǎn)）轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),行星始終在同一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象。例如：太陽(yáng)系中的每個(gè)行星都有自己的轉(zhuǎn)動(dòng)平面例如：銀河系中的每個(gè)恒星都有自己的轉(zhuǎn)動(dòng)平面。銀河系在這些問題中，存在著質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒的規(guī)律?！?.1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量2物理學(xué)非常注意守恒量的研究。在天體運(yùn)動(dòng)中,常遇到行星繞某一恒角動(dòng)量是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中的一個(gè)重要的物理量，在物理學(xué)的許多領(lǐng)域都有著十分重要的應(yīng)用。

LmOpr·

質(zhì)點(diǎn)m對(duì)慣性系中的固定點(diǎn)O的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）定義為：?jiǎn)挝唬簁g

m2/s大?。悍较颍簺Q定的平面（右螺旋）3角動(dòng)量是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中的一個(gè)重要的物理量，在物理學(xué)的許多領(lǐng)域都有LRvm·O

質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)圓心的角動(dòng)量的大小為方向垂直圓面不變。L=mvR，同一質(zhì)點(diǎn)的同一運(yùn)動(dòng)，其角動(dòng)量卻可以隨固定點(diǎn)的不同而改變。例如：方向變化方向豎直向上不變OlO錐擺m質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量？？4LRvm·O質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)圓心的角動(dòng)量二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理由有：定義力對(duì)定點(diǎn)O的力矩(momentofforce)

為：FMr·Om稱力臂r05二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理由有：定義力對(duì)定點(diǎn)O的力矩(mom于是有—質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理或積分—質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理稱沖量矩——力矩對(duì)時(shí)間的積累作用（積分形式）（微分形式）即“質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)角動(dòng)量的增量等于該質(zhì)點(diǎn)所受的合力的沖量矩”。6于是有—質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理或積分—質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理稱沖量矩——力三、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律由質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理：知：則質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量：7三、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律由質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理：知：則質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量：—質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一，它不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，而且在高速低速范圍均適用。（如行星受的萬(wàn)有引力）或過(guò)固定點(diǎn)：有心力8—質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一，角動(dòng)量守恒定律可導(dǎo)出行星運(yùn)動(dòng)的開普勒第二定律：（書P79頁(yè)例3.1）【證明】因?yàn)槭怯行牧?chǎng)，所以力矩M=0,則角動(dòng)量守恒。由角動(dòng)量守恒定律：9角動(dòng)量守恒定律可導(dǎo)出行星運(yùn)動(dòng)的開普勒第二定律：（書P79頁(yè)例始終在同一平面內(nèi)。若經(jīng)時(shí)間

掠面速度：10始終在同一平面內(nèi)。若經(jīng)時(shí)間掠面速度：10所以地球人造衛(wèi)星在近地點(diǎn)速度大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)速度小。1970年，我國(guó)發(fā)射了第一顆地球人造衛(wèi)星。近地點(diǎn)高度為266km,速度為8.13km/s;遠(yuǎn)地點(diǎn)高度為1826km,速度為6.56km/s;計(jì)算出橢圓的面積,根據(jù)“掠面速度”,就可以得到繞行周期為106分鐘。11所以地球人造衛(wèi)星1970年，我國(guó)發(fā)射近地點(diǎn)高度為266一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)一固定點(diǎn)的角動(dòng)量

定義為其中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的角動(dòng)量的矢量和，即：0§3.2質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律12一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)一固定點(diǎn)的角動(dòng)量定義為其中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定0----各質(zhì)點(diǎn)所受外力矩的矢量和稱為質(zhì)點(diǎn)系所受合外力矩

----各質(zhì)點(diǎn)所受內(nèi)力矩的矢量和（證明如下：）130----各質(zhì)點(diǎn)所受外力矩的矢量和稱為質(zhì)點(diǎn)系所受合外力矩0與共線，所以這一對(duì)內(nèi)力矩之和為零。同理可得所有內(nèi)力矩之和為零?！耙粋€(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩等于該質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率”內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，所以內(nèi)力矩也是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)i,j兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，它們相互作用的內(nèi)力矩之和為:—質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理于是有：140與共線，所以這一對(duì)內(nèi)力矩之和為零。同理可得所

——質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒和動(dòng)量守恒是否相互獨(dú)立？思考即：“只要系統(tǒng)所受的總外力矩為零，其總的角動(dòng)量就保持不變?！?5——質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒和動(dòng)量守恒是否相互例.一長(zhǎng)為l的輕質(zhì)細(xì)桿兩端分別固接小球A和B,桿可繞其中點(diǎn)o處的細(xì)軸在光滑水平面上轉(zhuǎn)動(dòng)。初始時(shí)桿靜止,后有一小球C以速度v0垂直于桿碰A,碰后與A合二為一。設(shè)三個(gè)小球的質(zhì)量都是m,求:碰后桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度

?【解】選系統(tǒng):A+B+CABCv016例.一長(zhǎng)為l的輕質(zhì)細(xì)桿兩端分別固接小球A和B,答：軸處有水平外力，動(dòng)量不守恒?？傻门鲎策^(guò)程中，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒不守恒？

答：軸處有水平外力，但沒有外力矩，

角動(dòng)量守恒。碰撞過(guò)程中，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒不守恒？即設(shè)碰后B球的速度為v,17答：軸處有水平外力，動(dòng)量不守恒?？傻门鲎策^(guò)程中，系統(tǒng)的動(dòng)量守例:一長(zhǎng)為l的輕質(zhì)桿端部固結(jié)一小球m1

，另一小球m2以水平速度v0碰桿中部并與桿粘合。碰撞時(shí)重力和軸力都通過(guò)O，解：選m1（含桿）+m2為系統(tǒng)求：碰撞后桿的角速度ω對(duì)O

力矩為零，故角動(dòng)量守恒。lm1Ov0m2解得：思考（m1＋m2）的水平動(dòng)量是否守恒？有18例:一長(zhǎng)為l的輕質(zhì)桿端部固結(jié)一小球m1，另一小球m21.質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理也是適用于慣性系；2.外力矩和角動(dòng)量都是相對(duì)于慣性系中的同一固定點(diǎn)說(shuō)的。質(zhì)點(diǎn)系受的外力的矢量和為零，但總外力矩不一定為零（eg:力偶）角動(dòng)量不守恒；3.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系受的外力的矢量和不為零，但總外力矩可為零時(shí)（eg:有心力），質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量守恒；

4.內(nèi)力矩不影響質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量，但可影響質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)某些質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量。說(shuō)明191.質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理也是適用于慣性系；2.外力矩和小結(jié)：動(dòng)量與角動(dòng)量的比較角動(dòng)量矢量與固定點(diǎn)有關(guān)與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)守恒條件動(dòng)量矢量與內(nèi)力無(wú)關(guān)守恒條件與固定點(diǎn)無(wú)關(guān)20小結(jié)：動(dòng)量與角動(dòng)量的比較角動(dòng)量矢量與固定點(diǎn)有關(guān)與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)守

把剛體看作非常多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系，第i個(gè)質(zhì)元對(duì)原點(diǎn)o的角動(dòng)量：§3.3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量z

Ori定軸miΔ剛體對(duì)o點(diǎn)的總角動(dòng)量21把剛體看作非常多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系，第i個(gè)質(zhì)元對(duì)原點(diǎn)o剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的角動(dòng)量z

Ori定軸miΔ一般：L的方向不平行轉(zhuǎn)軸，但當(dāng)軸為剛體的對(duì)稱軸時(shí)：22剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的角動(dòng)量zOri定軸miΔ一般：L的方向于是：z

Ori定軸miΔ23于是：zOri定軸miΔ23其中：—轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（對(duì)z軸）（rotationalinertia）二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的意義：Iz

反映了轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由質(zhì)量對(duì)軸的分布決定，與下列因素有關(guān)：

（1）密度大小

（2）質(zhì)量分布

（3）轉(zhuǎn)軸位置24其中：—轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（對(duì)z軸）（rotationalinert定軸zdm當(dāng)剛體質(zhì)量連續(xù)分布時(shí)，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義知，求和改為積分：設(shè)剛體質(zhì)量分布為體分布且體密度為：25定軸zdm當(dāng)剛體質(zhì)量連續(xù)分布時(shí)，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義知，求和改為

對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：：質(zhì)量線密度

對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：：質(zhì)量面密度

對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：：質(zhì)量體密度

質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：質(zhì)量元線積分面積分體積分26對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：：質(zhì)量線密度對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：：質(zhì)

計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I的三條有用的定理：

（1）疊加定理:對(duì)同一轉(zhuǎn)軸I有可疊加性

（2）平行軸定理:所以Ic總是最小的I轉(zhuǎn)軸平行mdIIc27計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I的三條有用的定理：（1）疊加定理:對(duì)同剛體為一薄片即：Z=0（3）垂直軸定理:（對(duì)薄平板剛體）28剛體為一薄片即：Z=0（3）垂直軸定理:（對(duì)薄平板剛體）回轉(zhuǎn)半徑----定義如下：例：求對(duì)薄圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量rG叫剛體對(duì)該定軸的回轉(zhuǎn)半徑剛體對(duì)該定軸來(lái)說(shuō)其質(zhì)量好比集中在離軸距離為rG的圓環(huán)上。eg:圓環(huán)I=mr229回轉(zhuǎn)半徑----定義如下：例：求對(duì)薄圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量常見的形狀簡(jiǎn)單對(duì)稱、質(zhì)量均勻的剛體的I

很易計(jì)算得到。應(yīng)記住的幾個(gè)常用結(jié)果:（1）細(xì)圓環(huán)

（3）均勻圓盤、圓柱（2）均勻細(xì)棒RmORmcAc詳細(xì)見P88表3.1P87例3.630常見的形狀簡(jiǎn)單對(duì)稱、質(zhì)量均勻的剛體的I很易計(jì)算得到。應(yīng)記RMOOmL利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的可疊加性和平行軸定理：圓盤細(xì)桿例:寫出下面剛體對(duì)O軸（垂直屏幕）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量31RMOOmL利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的可疊加性和平行軸定理：圓盤細(xì)§3.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律討論力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)。質(zhì)點(diǎn)系：對(duì)點(diǎn)對(duì)軸剛體：——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理：32§3.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律討論力矩對(duì)時(shí)間的積累效稱為沖量矩，它表示力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律：剛體系：

M外z=0時(shí)，33稱為沖量矩，它表示力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)此時(shí)角動(dòng)量可在系統(tǒng)內(nèi)部各剛體間傳遞，而卻保持剛體系對(duì)轉(zhuǎn)軸的總角動(dòng)量不變。茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅轉(zhuǎn)臺(tái)車輪（書圖3.16)角動(dòng)量守恒的應(yīng)用：例如.花樣滑冰。注：對(duì)非剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，若M外z=0,也有I1ω1=I2ω2直升飛機(jī)機(jī)身反轉(zhuǎn)滑冰運(yùn)動(dòng)員的旋轉(zhuǎn)34此時(shí)角動(dòng)量可在系統(tǒng)內(nèi)部各剛體間傳遞，而卻保持剛體系對(duì)轉(zhuǎn)軸的總克服直升飛機(jī)機(jī)身反轉(zhuǎn)的措施：裝置尾漿推動(dòng)大氣產(chǎn)生克服機(jī)身反轉(zhuǎn)的力矩裝置反向轉(zhuǎn)動(dòng)的雙旋翼產(chǎn)生反向角動(dòng)量而相互抵消35克服直升飛機(jī)機(jī)身反轉(zhuǎn)的措施：裝置尾漿推動(dòng)大氣產(chǎn)生克服機(jī)身反轉(zhuǎn)三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律z

Ori定軸miΔ則：—轉(zhuǎn)動(dòng)定律矢量式36三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律zOri定軸miΔ則：—轉(zhuǎn)動(dòng)—轉(zhuǎn)動(dòng)定律與牛頓第二定律相比，有：I

相應(yīng)m

，相應(yīng)

，相應(yīng)

。剛體繞某一固定軸的合外力矩,等于剛體對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的角加速度的乘積。

----剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律37—轉(zhuǎn)動(dòng)定律與牛頓第二定律相比，有：四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用求:物體的加速度及繩中張力？解題思路：（1）選物體（2）看運(yùn)動(dòng)（3）查受力（注意:畫隔離體受力圖）（4）列方程（注意:架坐標(biāo)）例1.m1m2mR已知：兩物體m1、m2（m2m1

)，滑輪質(zhì)量為m、半徑為R,

可看成質(zhì)量均勻的圓盤，軸上的摩擦力矩為Mf（設(shè)繩輕，且不伸長(zhǎng),與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)）。38四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用求:物體的加速度及繩中張力？解題思因繩不伸長(zhǎng),有

a1=a2=a因繩輕,有對(duì)m1有對(duì)m2有以加速度方向?yàn)檎?，可列出兩式設(shè)出各量如圖所示?！窘狻糠謩e對(duì)m1,m2,m

看運(yùn)動(dòng)、分析力，

T1-m1g=m1a----（1）

m2g-T2=m2a----（2）39因繩不伸長(zhǎng),有a1=a2=a因繩輕,有對(duì)m1有對(duì)m2對(duì)滑輪m由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：-----（3）三個(gè)方程,四個(gè)未知數(shù).再?gòu)倪\(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系上有：----（4）聯(lián)立四式解得：(以“方向”為正)40對(duì)滑輪m由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：-----（3）三個(gè)方程,四個(gè)未知數(shù)4141

當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量和摩擦力矩時(shí):（與中學(xué)作過(guò)的一致?。﹎=0,Mf=0，有討論42當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量和摩擦力矩時(shí):（與中學(xué)作過(guò)的一致?。├?.已知：如圖，R=0.2m，m=1kg，vo=o，h=1.5m，勻加速下落時(shí)間t=3s,繩、輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，軸光滑。求：輪對(duì)o軸I=？

定軸0Rthmv0=0繩分析受力如圖所示。解題分析：分別對(duì)物體m和輪看運(yùn)動(dòng)、分析力，α·Rma43例2.已知：如圖，R=0.2m，m=1kg，vo=【解】：由動(dòng)力學(xué)關(guān)系：四個(gè)未知量由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：·RmP92例3.744【解】：由動(dòng)力學(xué)關(guān)系：四個(gè)未知量由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：·RmP92例質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的比較作用規(guī)律質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)牛頓第二律轉(zhuǎn)動(dòng)定律對(duì)時(shí)間的累積效應(yīng)對(duì)空間的累積效應(yīng)（第四章學(xué)）動(dòng)量定理動(dòng)能定理動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理45質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的比較作用規(guī)律質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)牛頓第二律轉(zhuǎn)復(fù)習(xí)題1.有兩個(gè)力作用在一個(gè)有固定軸的剛體上，（1）兩個(gè)力都垂直于軸時(shí)，合力矩可能為零。對(duì)。（兩個(gè)力的力矩相反時(shí)合力矩可為零）（2）兩個(gè)力的合力為零時(shí)，合力矩也一定為零。錯(cuò)。（力等值反向，力矩仍可不等值反向）（3）兩個(gè)力的合力矩為零時(shí)，合力也一定為零。錯(cuò)。（合力矩為零，兩力仍可不等值反向）【答】【答】【答】46復(fù)習(xí)題1.有兩個(gè)力作用在一個(gè)有固定軸的剛體上，（1）兩個(gè)力都復(fù)習(xí)題2.球與勻質(zhì)桿的碰撞過(guò)程正好使軸承處無(wú)水平力（動(dòng)量也能守恒）？是否動(dòng)量一定不守恒？有沒有特例？動(dòng)量一般不守恒。分析：打擊點(diǎn)非?？拷?點(diǎn)時(shí)，軸受力向右；打擊點(diǎn)非?？拷露藭r(shí)，由于桿會(huì)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)，軸受力向左?！窘狻磕芊裾业?7復(fù)習(xí)題2.球與勻質(zhì)桿的碰撞過(guò)程正好使軸承處無(wú)水平力（動(dòng)量也方法一：對(duì)象：桿聯(lián)立三式，也可解得：---（1）剛體為特殊的質(zhì)系，運(yùn)用質(zhì)心加速度：---（2）由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：在力f的作用下，棒對(duì)o的角加速度為：---（3）假設(shè)水平軸力，及球的力f48方法一：對(duì)象：桿聯(lián)立三式，也可解得：---（1）剛體為特殊的聯(lián)立三式，也可解得方法二：對(duì)象：球＋桿用動(dòng)量守恒＋角動(dòng)量守恒假設(shè)無(wú)水平軸力，只有球的力f由角動(dòng)量守恒：由動(dòng)量守恒（水平）o---（1）---（2）---（2）又---（3）這個(gè)打擊位置稱為撞擊中心49聯(lián)立三式，也可解得方法二：對(duì)象：球＋桿用動(dòng)量守恒＋角動(dòng)量復(fù)習(xí)題3.質(zhì)量為m，半徑為R的圓盤在水平面上繞中心豎直軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤與水平面間的摩擦系數(shù)為，已知開始時(shí)薄圓盤的角速度為，試問圓盤轉(zhuǎn)幾圈后停止？【解】剛體轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)+動(dòng)力學(xué)綜合問題（1）求摩擦力矩設(shè)圓盤的面密度在距r處取寬dr的圓環(huán)，該環(huán)受的摩擦力矩為：50復(fù)習(xí)題3.質(zhì)量為m，半徑為R的圓盤在水平面上繞中心豎直軸O轉(zhuǎn)整個(gè)圓盤受的摩擦力矩為：（2）由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：（3）求圓盤轉(zhuǎn)過(guò)的角度，圓盤作勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)：51整個(gè)圓盤受的摩擦力矩為：（2）由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：（3）求圓盤轉(zhuǎn)過(guò)的復(fù)習(xí)題4.已知：如圖，半徑R，盤質(zhì)量為M，繩子兩端與m和彈簧相連，物靜止開始下落,繩、輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，軸光滑。求：下降距離h時(shí)的速度？

mMR52復(fù)習(xí)題4.已知：如圖，半徑R，盤質(zhì)量為M，繩子兩端與m和彈【解】53【解】535454mAB2mm,rm,rT=?復(fù)習(xí)題5.已知：如圖，半徑r，兩盤質(zhì)量都為m，繩子兩端與m和2m相連，物靜止開始下落,繩、輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，軸光滑。求：繩子中的張力？

解：（1）研究對(duì)象：A、B和兩圓柱體；（2）受力分析如圖：55mAB2mm,rm,rT=?復(fù)習(xí)題5.已知：如圖，半徑r，TAABmg2mgTATBTTBA向上運(yùn)動(dòng)，有加速度aA;B向下運(yùn)動(dòng)，加速度aB,圓柱體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。（3）可有下列方程：（5）解方程組可得56TAABmg2mgTATBTTBA向上運(yùn)動(dòng)，有加速度aA;復(fù)習(xí)題6：如圖：長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量為m的勻質(zhì)棒，可繞其通過(guò)端點(diǎn)的光滑軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。求棒從水平位置轉(zhuǎn)到圖中位置的角加速度和角速度（）。解：（1）研究對(duì)象：棒；受重力作用，可證明重力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為：由轉(zhuǎn)動(dòng)定理，可得：mgCXOxc57復(fù)習(xí)題6：如圖：長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量為m的勻質(zhì)棒，可繞其通過(guò)端點(diǎn)的光滑（2）第三章結(jié)束58（2）第三章結(jié)束58第三章結(jié)束兩邊積分:59第三章結(jié)束兩邊積分:59角動(dòng)量守恒第三章60角動(dòng)量守恒第三章1物理學(xué)非常注意守恒量的研究。在天體運(yùn)動(dòng)中,常遇到行星繞某一恒星（固定點(diǎn)）轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),行星始終在同一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象。例如：太陽(yáng)系中的每個(gè)行星都有自己的轉(zhuǎn)動(dòng)平面例如：銀河系中的每個(gè)恒星都有自己的轉(zhuǎn)動(dòng)平面。銀河系在這些問題中，存在著質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒的規(guī)律?！?.1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量61物理學(xué)非常注意守恒量的研究。在天體運(yùn)動(dòng)中,常遇到行星繞某一恒角動(dòng)量是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中的一個(gè)重要的物理量，在物理學(xué)的許多領(lǐng)域都有著十分重要的應(yīng)用。

LmOpr·

質(zhì)點(diǎn)m對(duì)慣性系中的固定點(diǎn)O的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）定義為：?jiǎn)挝唬簁g

m2/s大小：方向：決定的平面（右螺旋）62角動(dòng)量是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中的一個(gè)重要的物理量，在物理學(xué)的許多領(lǐng)域都有LRvm·O

質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)圓心的角動(dòng)量的大小為方向垂直圓面不變。L=mvR，同一質(zhì)點(diǎn)的同一運(yùn)動(dòng)，其角動(dòng)量卻可以隨固定點(diǎn)的不同而改變。例如：方向變化方向豎直向上不變OlO錐擺m質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量？？63LRvm·O質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)圓心的角動(dòng)量二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理由有：定義力對(duì)定點(diǎn)O的力矩(momentofforce)

為：FMr·Om稱力臂r064二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理由有：定義力對(duì)定點(diǎn)O的力矩(mom于是有—質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理或積分—質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理稱沖量矩——力矩對(duì)時(shí)間的積累作用（積分形式）（微分形式）即“質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)角動(dòng)量的增量等于該質(zhì)點(diǎn)所受的合力的沖量矩”。65于是有—質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理或積分—質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理稱沖量矩——力三、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律由質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理：知：則質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量：66三、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律由質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理：知：則質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量：—質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一，它不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，而且在高速低速范圍均適用。（如行星受的萬(wàn)有引力）或過(guò)固定點(diǎn)：有心力67—質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一，角動(dòng)量守恒定律可導(dǎo)出行星運(yùn)動(dòng)的開普勒第二定律：（書P79頁(yè)例3.1）【證明】因?yàn)槭怯行牧?chǎng)，所以力矩M=0,則角動(dòng)量守恒。由角動(dòng)量守恒定律：68角動(dòng)量守恒定律可導(dǎo)出行星運(yùn)動(dòng)的開普勒第二定律：（書P79頁(yè)例始終在同一平面內(nèi)。若經(jīng)時(shí)間

掠面速度：69始終在同一平面內(nèi)。若經(jīng)時(shí)間掠面速度：10所以地球人造衛(wèi)星在近地點(diǎn)速度大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)速度小。1970年，我國(guó)發(fā)射了第一顆地球人造衛(wèi)星。近地點(diǎn)高度為266km,速度為8.13km/s;遠(yuǎn)地點(diǎn)高度為1826km,速度為6.56km/s;計(jì)算出橢圓的面積,根據(jù)“掠面速度”,就可以得到繞行周期為106分鐘。70所以地球人造衛(wèi)星1970年，我國(guó)發(fā)射近地點(diǎn)高度為266一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)一固定點(diǎn)的角動(dòng)量

定義為其中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的角動(dòng)量的矢量和，即：0§3.2質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律71一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)一固定點(diǎn)的角動(dòng)量定義為其中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定0----各質(zhì)點(diǎn)所受外力矩的矢量和稱為質(zhì)點(diǎn)系所受合外力矩

----各質(zhì)點(diǎn)所受內(nèi)力矩的矢量和（證明如下：）720----各質(zhì)點(diǎn)所受外力矩的矢量和稱為質(zhì)點(diǎn)系所受合外力矩0與共線，所以這一對(duì)內(nèi)力矩之和為零。同理可得所有內(nèi)力矩之和為零。“一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩等于該質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率”內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，所以內(nèi)力矩也是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)i,j兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，它們相互作用的內(nèi)力矩之和為:—質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理于是有：730與共線，所以這一對(duì)內(nèi)力矩之和為零。同理可得所

——質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒和動(dòng)量守恒是否相互獨(dú)立？思考即：“只要系統(tǒng)所受的總外力矩為零，其總的角動(dòng)量就保持不變?！?4——質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒和動(dòng)量守恒是否相互例.一長(zhǎng)為l的輕質(zhì)細(xì)桿兩端分別固接小球A和B,桿可繞其中點(diǎn)o處的細(xì)軸在光滑水平面上轉(zhuǎn)動(dòng)。初始時(shí)桿靜止,后有一小球C以速度v0垂直于桿碰A,碰后與A合二為一。設(shè)三個(gè)小球的質(zhì)量都是m,求:碰后桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度

?【解】選系統(tǒng):A+B+CABCv075例.一長(zhǎng)為l的輕質(zhì)細(xì)桿兩端分別固接小球A和B,答：軸處有水平外力，動(dòng)量不守恒?？傻门鲎策^(guò)程中，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒不守恒？

答：軸處有水平外力，但沒有外力矩，

角動(dòng)量守恒。碰撞過(guò)程中，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒不守恒？即設(shè)碰后B球的速度為v,76答：軸處有水平外力，動(dòng)量不守恒?？傻门鲎策^(guò)程中，系統(tǒng)的動(dòng)量守例:一長(zhǎng)為l的輕質(zhì)桿端部固結(jié)一小球m1

，另一小球m2以水平速度v0碰桿中部并與桿粘合。碰撞時(shí)重力和軸力都通過(guò)O，解：選m1（含桿）+m2為系統(tǒng)求：碰撞后桿的角速度ω對(duì)O

力矩為零，故角動(dòng)量守恒。lm1Ov0m2解得：思考（m1＋m2）的水平動(dòng)量是否守恒？有77例:一長(zhǎng)為l的輕質(zhì)桿端部固結(jié)一小球m1，另一小球m21.質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理也是適用于慣性系；2.外力矩和角動(dòng)量都是相對(duì)于慣性系中的同一固定點(diǎn)說(shuō)的。質(zhì)點(diǎn)系受的外力的矢量和為零，但總外力矩不一定為零（eg:力偶）角動(dòng)量不守恒；3.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系受的外力的矢量和不為零，但總外力矩可為零時(shí)（eg:有心力），質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量守恒；

4.內(nèi)力矩不影響質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量，但可影響質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)某些質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量。說(shuō)明781.質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理也是適用于慣性系；2.外力矩和小結(jié)：動(dòng)量與角動(dòng)量的比較角動(dòng)量矢量與固定點(diǎn)有關(guān)與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)守恒條件動(dòng)量矢量與內(nèi)力無(wú)關(guān)守恒條件與固定點(diǎn)無(wú)關(guān)79小結(jié)：動(dòng)量與角動(dòng)量的比較角動(dòng)量矢量與固定點(diǎn)有關(guān)與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)守

把剛體看作非常多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系，第i個(gè)質(zhì)元對(duì)原點(diǎn)o的角動(dòng)量：§3.3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量z

Ori定軸miΔ剛體對(duì)o點(diǎn)的總角動(dòng)量80把剛體看作非常多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系，第i個(gè)質(zhì)元對(duì)原點(diǎn)o剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的角動(dòng)量z

Ori定軸miΔ一般：L的方向不平行轉(zhuǎn)軸，但當(dāng)軸為剛體的對(duì)稱軸時(shí)：81剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的角動(dòng)量zOri定軸miΔ一般：L的方向于是：z

Ori定軸miΔ82于是：zOri定軸miΔ23其中：—轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（對(duì)z軸）（rotationalinertia）二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的意義：Iz

反映了轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的大小

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由質(zhì)量對(duì)軸的分布決定，與下列因素有關(guān)：

（1）密度大小

（2）質(zhì)量分布

（3）轉(zhuǎn)軸位置83其中：—轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（對(duì)z軸）（rotationalinert定軸zdm當(dāng)剛體質(zhì)量連續(xù)分布時(shí)，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義知，求和改為積分：設(shè)剛體質(zhì)量分布為體分布且體密度為：84定軸zdm當(dāng)剛體質(zhì)量連續(xù)分布時(shí)，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義知，求和改為

對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：：質(zhì)量線密度

對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：：質(zhì)量面密度

對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：：質(zhì)量體密度

質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：質(zhì)量元線積分面積分體積分85對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：：質(zhì)量線密度對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：：質(zhì)

計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I的三條有用的定理：

（1）疊加定理:對(duì)同一轉(zhuǎn)軸I有可疊加性

（2）平行軸定理:所以Ic總是最小的I轉(zhuǎn)軸平行mdIIc86計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I的三條有用的定理：（1）疊加定理:對(duì)同剛體為一薄片即：Z=0（3）垂直軸定理:（對(duì)薄平板剛體）87剛體為一薄片即：Z=0（3）垂直軸定理:（對(duì)薄平板剛體）回轉(zhuǎn)半徑----定義如下：例：求對(duì)薄圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量rG叫剛體對(duì)該定軸的回轉(zhuǎn)半徑剛體對(duì)該定軸來(lái)說(shuō)其質(zhì)量好比集中在離軸距離為rG的圓環(huán)上。eg:圓環(huán)I=mr288回轉(zhuǎn)半徑----定義如下：例：求對(duì)薄圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量常見的形狀簡(jiǎn)單對(duì)稱、質(zhì)量均勻的剛體的I

很易計(jì)算得到。應(yīng)記住的幾個(gè)常用結(jié)果:（1）細(xì)圓環(huán)

（3）均勻圓盤、圓柱（2）均勻細(xì)棒RmORmcAc詳細(xì)見P88表3.1P87例3.689常見的形狀簡(jiǎn)單對(duì)稱、質(zhì)量均勻的剛體的I很易計(jì)算得到。應(yīng)記RMOOmL利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的可疊加性和平行軸定理：圓盤細(xì)桿例:寫出下面剛體對(duì)O軸（垂直屏幕）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量90RMOOmL利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的可疊加性和平行軸定理：圓盤細(xì)§3.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律討論力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)。質(zhì)點(diǎn)系：對(duì)點(diǎn)對(duì)軸剛體：——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理：91§3.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律討論力矩對(duì)時(shí)間的積累效稱為沖量矩，它表示力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律：剛體系：

M外z=0時(shí)，92稱為沖量矩，它表示力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)此時(shí)角動(dòng)量可在系統(tǒng)內(nèi)部各剛體間傳遞，而卻保持剛體系對(duì)轉(zhuǎn)軸的總角動(dòng)量不變。茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅轉(zhuǎn)臺(tái)車輪（書圖3.16)角動(dòng)量守恒的應(yīng)用：例如.花樣滑冰。注：對(duì)非剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，若M外z=0,也有I1ω1=I2ω2直升飛機(jī)機(jī)身反轉(zhuǎn)滑冰運(yùn)動(dòng)員的旋轉(zhuǎn)93此時(shí)角動(dòng)量可在系統(tǒng)內(nèi)部各剛體間傳遞，而卻保持剛體系對(duì)轉(zhuǎn)軸的總克服直升飛機(jī)機(jī)身反轉(zhuǎn)的措施：裝置尾漿推動(dòng)大氣產(chǎn)生克服機(jī)身反轉(zhuǎn)的力矩裝置反向轉(zhuǎn)動(dòng)的雙旋翼產(chǎn)生反向角動(dòng)量而相互抵消94克服直升飛機(jī)機(jī)身反轉(zhuǎn)的措施：裝置尾漿推動(dòng)大氣產(chǎn)生克服機(jī)身反轉(zhuǎn)三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律z

Ori定軸miΔ則：—轉(zhuǎn)動(dòng)定律矢量式95三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律zOri定軸miΔ則：—轉(zhuǎn)動(dòng)—轉(zhuǎn)動(dòng)定律與牛頓第二定律相比，有：I

相應(yīng)m

，相應(yīng)

，相應(yīng)

。剛體繞某一固定軸的合外力矩,等于剛體對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的角加速度的乘積。

----剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律96—轉(zhuǎn)動(dòng)定律與牛頓第二定律相比，有：四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用求:物體的加速度及繩中張力？解題思路：（1）選物體（2）看運(yùn)動(dòng)（3）查受力（注意:畫隔離體受力圖）（4）列方程（注意:架坐標(biāo)）例1.m1m2mR已知：兩物體m1、m2（m2m1

)，滑輪質(zhì)量為m、半徑為R,

可看成質(zhì)量均勻的圓盤，軸上的摩擦力矩為Mf（設(shè)繩輕，且不伸長(zhǎng),與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)）。97四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用求:物體的加速度及繩中張力？解題思因繩不伸長(zhǎng),有

a1=a2=a因繩輕,有對(duì)m1有對(duì)m2有以加速度方向?yàn)檎?，可列出兩式設(shè)出各量如圖所示?！窘狻糠謩e對(duì)m1,m2,m

看運(yùn)動(dòng)、分析力，

T1-m1g=m1a----（1）

m2g-T2=m2a----（2）98因繩不伸長(zhǎng),有a1=a2=a因繩輕,有對(duì)m1有對(duì)m2對(duì)滑輪m由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：-----（3）三個(gè)方程,四個(gè)未知數(shù).再?gòu)倪\(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系上有：----（4）聯(lián)立四式解得：(以“方向”為正)99對(duì)滑輪m由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：-----（3）三個(gè)方程,四個(gè)未知數(shù)10041

當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量和摩擦力矩時(shí):（與中學(xué)作過(guò)的一致?。﹎=0,Mf=0，有討論101當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量和摩擦力矩時(shí):（與中學(xué)作過(guò)的一致?。├?.已知：如圖，R=0.2m，m=1kg，vo=o，h=1.5m，勻加速下落時(shí)間t=3s,繩、輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，軸光滑。求：輪對(duì)o軸I=？

定軸0Rthmv0=0繩分析受力如圖所示。解題分析：分別對(duì)物體m和輪看運(yùn)動(dòng)、分析力，α·Rma102例2.已知：如圖，R=0.2m，m=1kg，vo=【解】：由動(dòng)力學(xué)關(guān)系：四個(gè)未知量由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：·RmP92例3.7103【解】：由動(dòng)力學(xué)關(guān)系：四個(gè)未知量由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：·RmP92例質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的比較作用規(guī)律質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)牛頓第二律轉(zhuǎn)動(dòng)定律對(duì)時(shí)間的累積效應(yīng)對(duì)空間的累積效應(yīng)（第四章學(xué)）動(dòng)量定理動(dòng)能定理動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理104質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的比較作用規(guī)律質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)牛頓第二律轉(zhuǎn)復(fù)習(xí)題1.有兩個(gè)力作用在一個(gè)有固定軸的剛體上，（1）兩個(gè)力都垂直于軸時(shí)，合力矩可能為零。對(duì)。（兩個(gè)力的力矩相反時(shí)合力矩可為零）（2）兩個(gè)力的合力為零時(shí)，合力矩也一定為零。錯(cuò)。（力等值反向，力矩仍可不等值反向）（3）兩個(gè)力的合力矩為零時(shí)