熱力學與統(tǒng)計物理相關(guān)知識

熱力學與統(tǒng)計物理相關(guān)知識(統(tǒng)計物理部分）主要參考書：熱力學與統(tǒng)計物理，汪志誠編，高等教育出版社第1頁，共36頁。主要講述內(nèi)容:粒子運動狀態(tài)

粒子系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)

系統(tǒng)中粒子的統(tǒng)計分布規(guī)律經(jīng)典量子經(jīng)典量子經(jīng)典量子玻耳茲曼分布

玻色分布

費米分布

玻色系統(tǒng)

費米系統(tǒng)

玻耳茲曼系統(tǒng)

第2頁，共36頁。粒子運動狀態(tài)的描述粒子:廣義的指組成宏觀物質(zhì)系統(tǒng)的基本單位

例如，氣體的分子、金屬的離子或自由電子、輻射場的光子、晶體中的聲子等。運動狀態(tài)指力學運動狀態(tài)

原則上說微觀粒子是遵從量子力學運動規(guī)律的。但在一定的極限條件下，量子力學可以過渡到經(jīng)典力學。

第3頁，共36頁。一、粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述

廣義坐標與廣義動量

一質(zhì)點在空間的位置在直角坐標系中用坐標（x,y,z）表示，或用球坐標、柱坐標表示。

自由質(zhì)點的自由度為3，三個坐標是彼此獨立的

廣義坐標是指能夠確定質(zhì)點位置的任意一組量。若質(zhì)點的自由度為r，采用r個量q1、q2、…qr（廣義坐標）就能確定質(zhì)點的位置。廣義速度：廣義動量：

第4頁，共36頁。設(shè)粒子的自由度為r，粒子在任一時刻的力學運動狀態(tài)由r個廣義坐標q1、q2、…qr和相應的r個廣義動量p1、p2、…pr確定

哈密頓函數(shù)：以廣義坐標和廣義動量為自變量的能量函數(shù)

ε=H（

qi、pi

）

（i=1、2、…r）

運動方程為：當初始時刻t0給定了qi、pi的初值qi0、pi0之后，由運動方程可確定在任何相繼時刻t，qi、pi的數(shù)值粒子的微觀運動狀態(tài)

-------軌道運動第5頁，共36頁。粒子運動狀態(tài)的幾何表示法相空間（即μ空間）：用q1、q2、…qr，p1、p2、…pr

為直角坐標構(gòu)成的一個2r維空間

代表點：相空間任何一點，代表粒子的一個運動狀態(tài)

相跡：當粒子運動狀態(tài)隨時間改變時，代表點相應地在μ空間中移動，畫出一條軌跡。第6頁，共36頁。[例]

線性諧振子的自由度為1，位置由它的位移x確定，與之共軛的動量為線性諧振子的能量以x和p為直角坐標，可構(gòu)成二維的μ空間，

如果給定振子的能量ε，代表點的軌跡由如下方程確定

第7頁，共36頁。二、

粒子運動狀態(tài)的量子描述

什么情況下使用經(jīng)典描述，或使用量子描述？

德布羅意假說：一切微觀粒子都具有波粒二象性

ε=?ω

?=h/2π

普朗克常數(shù)

h=6.626×10-34J·S它的量綱是[時間]·[能量]=[長度]·[動量]=[角動量]

h被稱為基本的作用量子，是判別采用經(jīng)典描述或量子描述的判據(jù)當一個物質(zhì)系統(tǒng)的任何具有作用量綱的物理量具有與h相比擬的數(shù)值時，是量子系統(tǒng)；如果物質(zhì)系統(tǒng)的每一個具有作用量綱的物理量用普朗克常數(shù)來量度都非常大時，是經(jīng)典系統(tǒng)。（作用量綱）第8頁，共36頁。量子系統(tǒng)中微觀粒子的運動不是軌道運動

測不準關(guān)系：ΔqΔp≈h

微觀粒子不可能同時具有確定的動量和坐標

微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)或量子數(shù)來描述（量子態(tài)）

量子態(tài)由一組量子數(shù)來表征,其數(shù)目等于粒子的自由度數(shù)。

第9頁，共36頁。粒子的運動薛定諤方程：

[例]空間中一個自由運動的粒子，限制在一個邊長為L的方盒子中，求其量子態(tài)?？勺?yōu)椋航鉃椋簱?jù)周期性邊界條件，在點（l/2，y，z）和（-l/2，y，z）ψ（r）的值應相同

第10頁，共36頁。則：同理：均為整數(shù)，動量只能取分立的值能量能量：-------分立的

為量子數(shù)，量子態(tài)由這些量子數(shù)來描述。對一確定的能量ε，量子數(shù)可能取不同的值，有許多量子態(tài)

（簡并）第11頁，共36頁。粒子狀態(tài)與空間體積元的對應關(guān)系

但在統(tǒng)計物理學討論的某些問題中，若普朗克常數(shù)與有關(guān)的物理量相比是一個較小的量，則可利用半經(jīng)典近似：認為粒子是沿著確定的軌道運動，但并不是為經(jīng)典力學允許的一切軌道，而是滿足量子化條件的那些軌道。這些量子化軌道與量子描述中的量子狀態(tài)相對應。原則上說，微觀粒子遵從量子力學的運動規(guī)律。第12頁，共36頁。由測不準關(guān)系，坐標和動量不能同時取確定的值，量子態(tài)不能用空間的一點來描述，應用一個體積元描述，稱為相格。

自由度為1的粒子，相格的大小為h

自由度為r的粒子，相格大小為：

測不準關(guān)系ΔqΔp≈h如果將空間劃分為若干個體積元Δωl（l=1，2…），則在體積元Δωl中粒子可能的狀態(tài)數(shù)為Δωl/hr第13頁，共36頁。[例]三維自由粒子在體積為V的容器中。粒子的一個狀態(tài)對應于空間中體積為h3的一個體積元。在體積V內(nèi)，、、的動量范圍內(nèi)，

粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：

第14頁，共36頁。在體積V內(nèi)，的動量范圍內(nèi)，粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：

在體積V內(nèi)，ε到ε+dε的能量范圍內(nèi)，粒子可能的狀態(tài)數(shù)：據(jù)ε=p2/2m，可得：D（ε）表示單位能量間隔內(nèi)的可能狀態(tài)數(shù)，稱為態(tài)密度

以上的計算未考慮粒子的自旋

-------第15頁，共36頁。三、系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的一般描述

全同近獨立的粒子系統(tǒng)

全同粒子：

具有完全相同屬性（相同的質(zhì)量、自旋、電荷等）的同類粒子

近獨立粒子：粒子之間的相互作用很弱，可以忽略粒子之間的相互作用。整個系統(tǒng)的能量可近似表達為單個粒子的能量之和：第16頁，共36頁。系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述一個粒子的運動狀態(tài)由r個廣義坐標和r個廣義動量，2r個變量描述

N個粒子組成的系統(tǒng)的運動狀態(tài)由qi1、qi2、…qir；及pi1、pi2、…pir

，共2rN個變量描述。

經(jīng)典描述中，全同粒子可以分辨（經(jīng)典粒子是軌道運動）。將兩個粒子的運動狀態(tài)加以交換，交換前后，系統(tǒng)的運動狀態(tài)不同。

一個粒子在某時刻的運動狀態(tài)可在μ空間中用一個代表點表示，N個全同粒子組成的系統(tǒng)在μ空間中用N個代表點表示。若交換兩個代表點在μ空間的位置，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是不同的。

第17頁，共36頁。系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述

微觀粒子的全同性原理：全同粒子是不可分辨的，在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，將任何兩個全同粒子加以對換，不改變整個系統(tǒng)的微觀狀態(tài)。

確定由近獨立粒子組成的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)的方法：

確定占據(jù)每一個個體量子態(tài)的粒子數(shù)

微觀粒子分為兩類：

玻色子

自旋量子數(shù)是整數(shù)。例：光子（1）、聲子（0）費米子

自旋量子數(shù)為半整數(shù)。例電子、質(zhì)子、中子（1/2）第18頁，共36頁。關(guān)于玻色子與費米子的結(jié)論：

由玻色子構(gòu)成的復合粒子是玻色子；由偶數(shù)個費米子構(gòu)成的復合粒子是玻色子；由奇數(shù)個費米子構(gòu)成的復合粒子是費米子。費米子遵從泡利不相容原理；（在含有多個全同近獨立費米子的系統(tǒng)中，占據(jù)一個

個體量子態(tài)的費米子不可能超過一個）玻色子不受泡利不相容原理的約束。

費米子和玻色子遵從不同的統(tǒng)計規(guī)律。

第19頁，共36頁。微觀粒子系統(tǒng)按是否受到空間限制可分為：定域的和非定域的

定域系統(tǒng)：

可用粒子的位置來分辨粒子；確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定每一個粒子的個體量子態(tài)；每個個體量子態(tài)能容納的粒子數(shù)不受限制（----玻爾茲曼系統(tǒng)）

玻色系統(tǒng)

費米系統(tǒng)

非定域系統(tǒng)必須考慮微觀粒子的全同性原理----

第20頁，共36頁。[例]

設(shè)系統(tǒng)由兩個粒子組成，粒子的個體量子態(tài)有3個，如果這兩個粒子分別是定域子、玻色子、費米子時，討論系統(tǒng)各有哪些可能的微觀狀態(tài)？定域系統(tǒng)，粒子可以分辨，每個個體量子態(tài)能容納的粒子數(shù)不受限制，以A、B表示可以分辨的兩個粒子，它們占據(jù)3個個體量子態(tài)可以有以下的方式：

①②③④⑤⑥⑦⑧⑨量子態(tài)1AB

ABAB

量子態(tài)2

AB

BA

AB量子態(tài)3

AB

BABA共有9種不同的微觀狀態(tài)。第21頁，共36頁。玻色系統(tǒng)：粒子不可分辨，每一個個體量子態(tài)所能容納的粒子數(shù)不受限制，由于不可分辨，令A=B，兩個粒子占據(jù)3個個體量子態(tài)有以下的方式：

①②③④⑤⑥量子態(tài)1AA

AA

量子態(tài)2

AA

A

A量子態(tài)3

AA

AA共有6種不同的微觀狀態(tài)。

第22頁，共36頁。費米系統(tǒng)：粒子不可分辨，每個個體量子態(tài)最多能容納一個粒子，兩個粒子占據(jù)3個個體量子態(tài)有以下的方式：

①②③量子態(tài)1AA

量子態(tài)2A

A量子態(tài)3

AA費米系統(tǒng)可以有3個不同的微觀狀態(tài)。

第23頁，共36頁。四、等幾率原理

等幾率原理：對于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。

說

明：既然這些微觀狀態(tài)都同樣滿足具有確定N、E、V的宏觀條件，沒有理由認為哪一個狀態(tài)出現(xiàn)的概率更大一些。這些微觀狀態(tài)應當是平權(quán)的。（孤立系統(tǒng)：具有確定的粒子數(shù)N、總能量E和體積V）第24頁，共36頁。五、分布和微觀狀態(tài)

設(shè)一個系統(tǒng)由大量全同的近獨立的粒子組成，具有確定的粒子數(shù)N、總能量E和體積V（孤立系統(tǒng)）

。N個粒子的在各能級的分布{al}可以描述如下：能

級

ε1，

ε2，

…εl，…簡

并

度

ω1，

ω2，…ωl，…

粒

子

數(shù)

a1，

a2，…al，…

分布必須滿足：

第25頁，共36頁。說明：分布表示每一個能級上有幾個粒子，如a1=1，

a2=4，…a3=6

對某一系統(tǒng)的一個確定的分布，與它相應的微觀狀態(tài)數(shù)是確定的。不同的分布，有不同的微觀狀態(tài)數(shù)。

對不同類的系統(tǒng)（玻爾茲曼、玻色、費米），相同的分布，對應的微觀狀態(tài)數(shù)也是不同的。N個粒子的在各能級的分布{al}可以描述如下：能

級

ε1，

ε2，

…εl，…簡

并

度

ω1，

ω2，…ωl，…

粒

子

數(shù)

a1，

a2，…al，…

第26頁，共36頁。玻耳茲曼系統(tǒng)(定域系統(tǒng))

粒子可以分辨，若對粒子加以編號，則al個粒子占據(jù)能級εl上的ωl個量子態(tài)時，是互不關(guān)聯(lián)的。分布{al}相應的微觀狀態(tài)數(shù)：

N個粒子在各能級的分布{al}：能

級

ε1，

ε2，

…εl，…簡

并

度

ω1，

ω2，…ωl，…

粒

子

數(shù)

a1，

a2，…al，…

第27頁，共36頁。費米系統(tǒng)

粒子不可分辨，每一個個體量子態(tài)最多只能容納一個粒子。

分布{al}相應的微觀狀態(tài)數(shù)：

第28頁，共36頁。玻色系統(tǒng)

粒子不可分辨，每個個體量子態(tài)能容納的粒子個數(shù)不受限制。

分布{al}相應的微觀狀態(tài)數(shù)：

第29頁，共36頁。經(jīng)典極限條件（非簡并性條件）若在玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)中，任一能級εl上的粒子數(shù)均遠遠小于該能級的量子態(tài)數(shù)，即

則第30頁，共36頁。對某一系統(tǒng)的一個確定的分布，可求得相應的微觀狀態(tài)數(shù)。對不同的分布，系統(tǒng)有不同的微觀狀態(tài)數(shù)。

下面兩節(jié)分別求出玻爾茲曼、玻色、費米系統(tǒng)的最可幾分布可能存在這樣一個分布，它使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)最多等幾率原理：對于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。

微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的幾率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）

概述第31頁，共36頁。六、玻耳茲曼分布

解得：---麥克斯韋—玻耳茲曼分布

由約束條件：

；

確定

使為極大的分布{al}必使

(玻耳茲曼系統(tǒng)中粒子的最概然分布)第32頁，共36頁。七、玻色分布和費米分布

費米分布

(費米系統(tǒng)中粒子的最概然分布)解得：---費米—狄拉克分布

由約束條件：

；

確定

----化學勢第33頁，共36頁。玻色分布

(玻色系統(tǒng)中粒子的最概然分布)由約束條件：

；

確定

解得：---玻色—愛因斯坦分布

----化學勢第3