桿系結(jié)構(gòu)的有限元分析原理T93

第4章桿系結(jié)構(gòu)的有限元分析原理

桿梁單元概述討論桿梁單元和由它們組成的平面和空間桿梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng).從構(gòu)造上來說其長度遠(yuǎn)大于其截面尺寸的一維構(gòu)件承受軸力或扭矩的桿件成為桿桿梁問題都有精確解承受橫向力和彎矩的桿件稱為梁平面桁架平面剛架連續(xù)梁空間剛架空間桁架等承受軸力或扭矩的桿件稱為桿將承受橫向力和彎矩的桿件稱為梁變截面桿和彎曲桿件本章主要內(nèi)容4.1有限元分析的完整過程4.2有限元分析的基本步驟及表達(dá)式4.3桿單元及其坐標(biāo)變換4.4梁單元及其坐標(biāo)變換4.1有限元分析的完整過程E1=E2=2E7PaA1=A2=2cm2l1=l2=10cmP3為10N作用下二桿結(jié)構(gòu)的變形。問題的解題思路：1）用標(biāo)準(zhǔn)化的分段小單元來逼近原結(jié)構(gòu)2）尋找能夠滿足位移邊界條件的許可位移場3）基于位移場的最小勢能原理來求解基本變量為：節(jié)點(diǎn)位移內(nèi)部各點(diǎn)位移應(yīng)變應(yīng)力(1)(3)(2)完整的求解過程1）離散化該構(gòu)件由兩根桿件做成，因此可以自然離散成2個(gè)桿單元。假定以這類單元位移的特征為兩個(gè)端點(diǎn)位移，就這兩個(gè)離散單元給出節(jié)點(diǎn)編號和單元編號。單元1：i=1，j=2單元2：i=2，j=32）單元分析單元位移模式：u(x)=a0+a1x單元節(jié)點(diǎn)條件：u(0)=u1，u(l)=u2

從而得回代得寫成矩陣形式為其中Ni，Nj是形函數(shù)。形函數(shù)矩陣根據(jù)幾何方程可得應(yīng)變的表達(dá)寫成矩陣形式為簡記為幾何函數(shù)矩陣或者是應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣根據(jù)物理方程可得應(yīng)力的表達(dá)寫成矩陣形式為簡記為應(yīng)力矩陣或者是應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣節(jié)點(diǎn)位移列陣勢能的表達(dá)達(dá)寫成矩陣形形式為剛度矩陣節(jié)點(diǎn)力列陣陣3）離散單元元的裝配在得到各個(gè)個(gè)單元的勢勢能表達(dá)式式后，需要要進(jìn)行離散散單元的裝裝配，以求求出整個(gè)系系統(tǒng)的總勢勢能，對于于該系統(tǒng)，，總勢能包包括兩個(gè)單單元部分4）邊界條件件的處理處理邊界條條件是獲取取可能位移移場，將左左端的約束束條件，即即u1=0代入上式可以以得到簡簡化的勢勢能表達(dá)達(dá)式5）建立剛剛度方程程由于上式式是基于于許可位位移場的的表達(dá)的的系統(tǒng)勢勢能，這這是由全全部節(jié)點(diǎn)點(diǎn)位移分段所所插值出出的位移移場為全全場許位位移場，，且基本本未知量量為節(jié)點(diǎn)點(diǎn)位移，根據(jù)據(jù)最小勢勢能原理理（即針針對未知知位移求求一階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)）有有6）求解節(jié)節(jié)點(diǎn)位移移將結(jié)構(gòu)參參數(shù)和外外載荷代代入上式式有求解得（（單位m）7）計(jì)算單元應(yīng)應(yīng)變8）計(jì)算單元應(yīng)應(yīng)力9）計(jì)算支反力力對于單元?jiǎng)菽苣艿谋磉_(dá)，對對其取極值有有具體地對于單單元1，有其中R1是節(jié)點(diǎn)1的支反力，P2是單元1的節(jié)點(diǎn)2所受的力，即即單元2對該節(jié)點(diǎn)的作用力，，將前面求得得的節(jié)點(diǎn)位移移代入上式可可得支反力大大小。以上是一個(gè)簡簡單結(jié)構(gòu)有限限元方法求解解得完整過程程，對于復(fù)雜雜結(jié)構(gòu)，其求解過程完全全相同，由于于每一個(gè)步驟驟都具備標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化和規(guī)范性性的特征，所以可以在計(jì)計(jì)算機(jī)上編程程而自動(dòng)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)。討論1：對于一個(gè)單單元的勢能取取極值，所得得到的方程為為節(jié)點(diǎn)的位移移和節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)關(guān)系，也稱為為單元的平衡衡關(guān)系，由此此可以求出每每一個(gè)單元所受的節(jié)點(diǎn)力力。討論2：由前面的步步驟，我們也也可以直接將將各個(gè)單元的的剛度矩陣按按照節(jié)點(diǎn)編號的對應(yīng)應(yīng)位置來進(jìn)行行裝配，即在在未處理邊界界條件之前，，先形成整體剛度矩陣。。其物理意義是是，表示在未未處理邊界條條件前的基于于節(jié)點(diǎn)描述的的總體平衡關(guān)系。在對該該方程進(jìn)行位位移邊界條件件的處理后就就可以求解，，這樣與先處理邊界條件件再求系統(tǒng)勢勢能的最小值值所獲得的方方程完全相同同。4.2有限元分析的的基本步驟及及表達(dá)式1、物體幾何區(qū)區(qū)域的離散化化2、單元的研究究（所有力學(xué)學(xué)信息都用節(jié)節(jié)點(diǎn)位移）來來表達(dá)3、裝配集成4、邊界條件的的處理并求解解節(jié)點(diǎn)位移5、支反力的求求取以及其它它力學(xué)量（應(yīng)應(yīng)力、應(yīng)變及及位移三大物物理量）的計(jì)計(jì)算4.2有限元分析的的基本步驟及及表達(dá)式4.3桿單元及其坐坐標(biāo)變換4.3.1局部坐標(biāo)系中中的單元描述述5.25m3.75m24mF6m3mF24mE=3E7paρ=0.2836kg/m3F=100N變截面桿單元元的推導(dǎo)單元的位移模模式形狀函數(shù)矩陣陣單元的幾何矩矩陣變截面桿單元元的推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃囮嚍?.3桿單元及其坐坐標(biāo)變換4.3.1局部坐標(biāo)系中中的單元描述述E=2E10paF=60kNA=250mm2150mm150mmF1.2mm4.3桿單元及其坐坐標(biāo)變換-局部坐標(biāo)由于桿單元只只有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)位移，故可可以設(shè)桿單元元的位移模式式為之包含兩兩個(gè)待定常數(shù)數(shù)的形式u(x)=a1+a2x根據(jù)有限元法法的基本思路路，將彈性體體離散成有限限個(gè)單元體的的組合，以結(jié)結(jié)點(diǎn)的位移作作為未知量。。彈性體內(nèi)實(shí)實(shí)際的位移分分布可以用單單元內(nèi)的位移移分布函數(shù)來來分塊近似地地表示。在單單元內(nèi)的位移移變化可以假假定一個(gè)函數(shù)數(shù)來表示，這這個(gè)函數(shù)稱為為單元位移函數(shù)數(shù)、或單元位移模式式?；卮脤憣懗删仃囮囆问綖槠渲蠳i，Nj是形函數(shù)。根據(jù)位移條件件有u(0)=u0，u(l)=ul，從而得根據(jù)幾何方程程得根據(jù)物理方程程得從而，根據(jù)單單元分析結(jié)果果，進(jìn)行整體體分析，求解解整體方程組組，進(jìn)行結(jié)果果分析4.3.2桿單元的坐標(biāo)標(biāo)變換規(guī)定：桿端位移和桿桿端力取在截截面形心上，，符號以與單單元系坐標(biāo)正正向相同為正正，相反為負(fù)負(fù)。下面討論論整體坐標(biāo)系系下與局部坐坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換關(guān)系式。。整體坐標(biāo)系系單元桿端位位移和桿端力力仍定義在截截面形心上，，符號以與坐坐標(biāo)正向同向向?yàn)檎粗疄闉樨?fù)。局部坐標(biāo)系整整體坐標(biāo)系系4.3.2桿單元的坐標(biāo)標(biāo)變換-平面問題其中是一個(gè)單單位正交矩陣陣，單位正交交矩陣的逆即即等于其轉(zhuǎn)置置。從上圖可以得得出，整體坐坐標(biāo)系逆針旋旋轉(zhuǎn)α角后與單元系系相重合。寫成矩陣形式式為由于單元的勢勢能是一個(gè)標(biāo)標(biāo)量(能量)，不會(huì)因坐標(biāo)標(biāo)系的不同而而改變，因此此，可將節(jié)點(diǎn)點(diǎn)位移的坐標(biāo)標(biāo)變換關(guān)系代代入原來基于于局部坐標(biāo)系系的勢能表達(dá)達(dá)式中，整體坐標(biāo)系下下的剛度方程程根據(jù)得其中單剛的性質(zhì)：是對稱矩陣。。是奇異矩陣。。坐標(biāo)變換并不不改變矩陣的的奇異性質(zhì)。。1結(jié)構(gòu)的離散化化與編號2各個(gè)單元的矩矩陣描述結(jié)構(gòu)包括有斜斜桿，所以必必須在總體坐坐標(biāo)下對節(jié)點(diǎn)點(diǎn)位移進(jìn)行表表達(dá)，所推導(dǎo)導(dǎo)的單元?jiǎng)偠榷染仃囈惨M(jìn)進(jìn)行變換3建立立整整體體剛剛度度方方程程1.將所所得得到到的的各各個(gè)個(gè)單單元元?jiǎng)倓偠榷染鼐仃囮嚢窗垂?jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)編編號號進(jìn)進(jìn)行行組組裝裝，，可可以以形形成成整整體體剛剛度度矩矩陣陣;2.同時(shí)時(shí)將將所所有有節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)載載荷荷也也進(jìn)進(jìn)行行組組裝裝。。4邊界界條條件件的的處處理理及及剛剛度度方方程程求求解解5各單單元元應(yīng)應(yīng)力力的的計(jì)計(jì)算算6支反反力力的的計(jì)計(jì)算算將節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)位位移移的的結(jié)結(jié)果果代代入入整整體體剛剛度度方方程程中中基于于MATLAB平臺(tái)臺(tái)求求解解該該（1）結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)的的離離散散化化與與編編號號（2）計(jì)計(jì)算算各各單單元元的的剛剛度度矩矩陣陣1.建立立一一個(gè)個(gè)工工作作目目錄錄，，將將所所編編制制的的用用于于平平面面桁桁架架單單元元分分析析的的四四個(gè)個(gè)MATLAB函數(shù)數(shù)（1.單元元?jiǎng)倓偠榷?；?.總剛剛矩矩陣陣的的組組裝裝；；3.單元元應(yīng)應(yīng)力力的的求求解解；；4.支反反力力的的求求解解））2.在MATLAB環(huán)境境中中，，輸輸入入彈彈性性模模量量E、橫橫截截面面積積A，各各點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)、、角角度度3.調(diào)用用四四次次單單元元?jiǎng)倓偠榷染鼐仃囮囉?jì)計(jì)算算函函數(shù)數(shù)，，得得到到各各個(gè)個(gè)單單元元的的剛剛度度矩矩陣陣單元元的的剛剛度度矩矩陣陣的的計(jì)計(jì)算算functionk=Bar2D2Node_Stiffness(E,A,x1,y1,x2,y2,alpha)%該函函數(shù)數(shù)計(jì)計(jì)算算單單元元的的剛剛度度矩矩陣陣%輸入入彈彈性性模模量量E，橫橫截截面面積積A%輸入入第第一一個(gè)個(gè)節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)（（x1,y1），，第第二二個(gè)個(gè)節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)（（x2,y2），，角角度度alpha（單單位位是是度度））%輸出出單單元元?jiǎng)倓偠榷染鼐仃囮噆(4X4)。%-------------------------------------------------L=sqrt((x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1));x=alpha*pi/180;C=cos(x);S=sin(x);k=E*A/L*[C*CC*S-C*C-C*S;C*SS*S-C*S-S*S;-C*C-C*SC*CC*S;-C*S-S*SC*SS*S];總剛剛矩矩陣陣的的組組裝裝functionz=Bar2D2Node_Assembly(KK,k,i,j)%該函函數(shù)數(shù)進(jìn)進(jìn)行行單單元元?jiǎng)倓偠榷染鼐仃囮嚨牡慕M組裝裝%輸入入單單元元?jiǎng)倓偠榷染鼐仃囮噆，單單元元的的節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)編編號號i、j%輸出出整整體體剛剛度度矩矩陣陣KK%--------------------------------------------------------DOF(1)=2*i-1;DOF(2)=2*i;DOF(3)=2*j-1;DOF(4)=2*j;forn1=1:4forn2=1:4KK(DOF(n1),DOF(n2))=KK(DOF(n1),DOF(n2))+k(n1,n2);endendz=KK;（3）建建立立整整體體剛剛度度方方程程（4）邊邊界界條條件件的的處處理理及及剛剛度度方方程程求求解解（（高高斯斯消消去去法法））（5）支支反反力力的的計(jì)計(jì)算算（6）各各單單元元的的應(yīng)應(yīng)力力計(jì)計(jì)算算基于于MATLAB平臺(tái)臺(tái)求求解解該該基于于ANSYS求解解該該1.前處處理理2.求解解器器的的設(shè)設(shè)定定3.后處處理理對于于單單元元2：取取i=1，j=2，則則，故故對于于單單元元1：取取i=3，j=1，則則c=1，s=0，故故對于于單單元元3：取取i=2，j=3，則則c=0，s=1，故故整體體編編號號，，對對號號入入座座得得總總剛剛桿單單元元的的坐坐標(biāo)標(biāo)變變換換-空間間整體體和和局局部部的的坐坐標(biāo)標(biāo)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換換關(guān)關(guān)系系與與平平面面問問題題一一致致。。4.4梁單單元元及及其其坐坐標(biāo)標(biāo)變變換換由于于單單元元有有四四個(gè)個(gè)位位移移分分量量，，可可設(shè)設(shè)梁梁單單元元的的位位移移模模式式v(x)為包包含含4個(gè)待待定定常常數(shù)數(shù)的的三三次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式：：根據(jù)據(jù)邊邊界界條條件件可可以以確確定定待待定定系系數(shù)數(shù)，，將將其其進(jìn)進(jìn)一一步步回回代代，，可可以以得得到到用用節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)位位移移表表示示的的梁梁單單元元位位移移。。式中中根據(jù)據(jù)梁梁的的平平面面假假定定可可知知梁梁單單元元的的軸軸向向應(yīng)應(yīng)變變?yōu)闉椋海哼@里里利利用用平平面面假假設(shè)設(shè)（（變形形后后橫橫截截面面仍仍保保持持平平面面，，與與縱縱線線正正交交）如圖圖：：從而而可可以以由由單單向向虎虎克克定定律律得得出出單單元元的的軸軸向向應(yīng)應(yīng)力力：：由虛虛功功原原理理可可以以推推得得組裝裝總總剛剛?cè)匀杂糜煤蠛筇幪幚砝矸ǚ?，，““對對號號入入座座，，子子塊塊搬搬家家””的的方方法法。。如如：：對于于單單元元1，我我們們?nèi)∪=1，j=2。故故對于于單單元元2，取取i=2，j=3。故故由于于I1=2I2=2I，按按照照““整整體體編編號號，，對號號入入座座””的的原原則則，，得得總總剛剛為為對于于此此，，列列出出總總剛剛度度方方程程為為考慮慮到到邊邊界界條條件件，，修修正正后后的的剛剛度度方方程程為為解之之得得4.5平面面剛剛架架的的有有限限元元法法小變變形形情情況況下下，，可可以以把把平平面面剛剛架架單單元元看看成成是是發(fā)發(fā)生生軸軸向向位位移的的桿桿單單元元和和發(fā)發(fā)生生撓撓度度和和轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角的的梁梁單單元元的的組組合合。。4.5平面面剛剛架架的的有有限限元元法法單元元位位移移模模式式（1）平平面面桁桁架架的的單單元元位位移移模模式式（2）平平面面梁梁的的單單元元位位移移模模式式其中中：：綜合合平平面面桁桁架架和和平