高數(shù)第十章-104函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)提示由定義在區(qū)間上列unx所構(gòu)成表達(dá)式

函數(shù)項(xiàng)

一、函數(shù)項(xiàng)數(shù){

}其中收斂點(diǎn)與發(fā)散

）在集合D提示,fn(x0.收斂點(diǎn)的全體稱為收斂域提示,fn(x0.于每一個(gè)確定的值x0D函數(shù)項(xiàng)數(shù)列成為常數(shù)項(xiàng)數(shù)f1(x0),f2(x0這個(gè)常數(shù)項(xiàng)數(shù)列或者收斂或者發(fā)散函數(shù)項(xiàng)數(shù)列的極限函

fn(x)

f(x)

x則fx)即為該序列的極限函函數(shù)列極限的

N定義:對每一

xD,給正

總存在正數(shù)N(注意一般說來N值與x的值都有關(guān),所以有時(shí)也用 ,x)表示三者之的依賴關(guān)系),使當(dāng)n

N時(shí),總|fn(x)f(x)|例1

fn(x)

xn,

為定義在(-

上函數(shù)列,證明它的收斂域是(1,1],且有極限函f(x)

x|

x證

0(

當(dāng)0

x|1時(shí)|fn(x)

f(x)

xn

N(

x)

lnn

N(

xln|x|fn(x)

f(x)

x|n

x|Nx0

1時(shí)則對任何正整

n|fn(0)|fn(1)

f(0)f(1)

00這就證明了

fn

在(-1,1]上收斂,且極限就函數(shù)

(x.又當(dāng)

x|1時(shí)

x|n

x1時(shí).對應(yīng)的數(shù)列為1,1, 顯然是發(fā)散的.所.函數(shù)列xn在區(qū)間(11]外都是發(fā)散的.故所討論的函數(shù)列的收斂域是(11]例 定義

上的函數(shù)

fn(x)

sinnxn..由于對任何實(shí)

x,n1nn故對任給的

0,n

1n0n所以函數(shù)sinnxn的收斂域?yàn)闊o限區(qū)

極限函

f(

定義

設(shè)函數(shù)列

fn

f定義在同一若對任給的正數(shù)總存在某一正整

N,使n

對一

xD|fn(x)f(x)|則稱函數(shù)列

fn

D上一致收斂

ffn(x)

f(

)

x注意 一致收斂就是只

充分大在數(shù)任何一點(diǎn)的函數(shù)值之差可以任意小,也就是函數(shù)在數(shù)集D上趨于極限函數(shù)的速度有“一致性”.即果函數(shù)列

fn}

D上一致收斂那么對于所給的不管D上哪一點(diǎn)x,總存在公

N((即N的選僅與有關(guān)與x的取值無關(guān)nN都|fn(x)f(x)|因此函數(shù)列

fn}在D上一致收斂,必在D上每一都收斂.反之,在D上每一點(diǎn)都收斂的函數(shù)列在D上不一定一致收斂

fn},例fn(x)

,n

在 對任給的ε>0 取N=1/ε 當(dāng)n>N時(shí)x∈|sinn

0|n

N

{sinn

在0例證明函數(shù)列xn在0,1)0 取012

Nn>Nn取n

n(n1)n

(01 n|(x0n

0

n

12xn在(0,10一致收斂

f的幾何意義:對任何正數(shù)存在正整數(shù)N,對一切 號(hào)大于Ny都落在以

ffn(x)

f(x)f(yfx為邊(即曲線yf(x)為“中心線 寬度為 )的帶狀區(qū)域內(nèi)y1x2Ox31x函數(shù)列xn}在區(qū)間(0,1)內(nèi)不一致收斂,從幾何意義上y1x2Ox31x的(<1無論N多么大,yxn(nN不能全部落在以

y

為邊的帶狀區(qū)域內(nèi),如圖若函數(shù) {xn只限于在區(qū)間

b)(b

1)內(nèi)討論,容易看到,只nlnln

(其中0

y

就全部落

為上下邊的帶狀區(qū)域內(nèi)，所以{xn在(0,b)內(nèi)是一致收斂的命題1：一致收斂性充分條件設(shè)函數(shù)序列{Snx)}在區(qū)間X上收斂到極限函數(shù)Sx).若存在數(shù)列{an使得|Sn(x)

S(x)

an

xX,nNn且limnn

0,則{Snx)}在X上一致收斂于Sx)命題2：不一致收斂性充分條設(shè)函數(shù)序列{Snx)}在區(qū)間X上收斂到極限函數(shù)Sx).常數(shù)

0和點(diǎn)列xn

X

|Sn(xn)

S(xn)|l,

nN則{Snx)}在X命題3：不一致收斂的極限形設(shè)函數(shù)序列{Snx)}在區(qū)間X上收斂到極限函數(shù)Sx).點(diǎn)列xn

X

lim[S(x) n

S(xn)]

則{Snx)}在X證明：由已知條件可limn

Sn(xn)

S(xn)||k|N,當(dāng)n

N時(shí)|S(

)S(

)

|k {Sn(x)}在X上不一致收斂例

fn(x)

1n

(0

x

的一致 f(x)

n

fn(

令

(x)

f(

1

e1n

n fnx)在（0，）上不一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概un(x)u1(x)u2(x)u3(x)un(x)n收斂點(diǎn)與發(fā)散使函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的點(diǎn)x0稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)x0提示收斂點(diǎn)的全體稱為收斂域發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域提示提示提示對于每一個(gè)確定的值x0I函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)成為常數(shù)項(xiàng)級(jí)u1(x0)u2(x0)u3(x0)un(x0)這個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或者收斂或者發(fā)散函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函在收斂域上函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的和是x的函數(shù)s(x)它稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的和函數(shù)并寫成s(x)∑un(x)和函數(shù)的定義域就是級(jí)數(shù)的收斂域函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x)sn(x)u1(x)u2(x)u3(x)在收斂域上有注注∑un(x)是un(x)的簡便記法以下不再重述n函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函在收斂域上函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的和是x的函數(shù)s(x)它稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的和函數(shù)并寫成s(x)∑un(x)和函數(shù)的定義域就是級(jí)數(shù)的收斂域函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x)sn(x)u1(x)u2(x)u3(x)在收斂域上有函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的余項(xiàng)記為rn(x)它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差rn(x)s(x)sn(x)在收斂域上有例定義在(,)上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù)xn,1xxn,1xnSnx)

1

當(dāng)

x|1S(x)

limnn

(x)

1所以幾何級(jí)數(shù)在(1,1)上收斂于S(x)

1當(dāng)|

|1時(shí),幾何級(jí)數(shù)是發(fā)散的11例 x

x

收斂域解

(x)

x

xn

(n

的定義域

x 因Sn(x)

nk xn

x

1)

x

xn

sn(x)

x

xn

x故級(jí)數(shù)的收斂域{x

x1,2,,

x問題:有限限個(gè)函數(shù)的和的導(dǎo)數(shù)及積分也分別等于他們的導(dǎo)數(shù)及積分的和．對于無限個(gè)函數(shù)的和是否具有這些性質(zhì)呢？ 函數(shù)項(xiàng)級(jí)x(x2

x)

(x3

x2)

(xn

xn1)和函數(shù)的連續(xù)性 因?yàn)樵摷?jí)數(shù)每一項(xiàng)都在[0,1]是連續(xù)的snx)

xn

得和函數(shù)s(x)

sn(x)

x和函

處間

結(jié)論[ab上連續(xù)，并且級(jí)數(shù)在[ab]上收斂，其和函數(shù)不一定在[ab收斂．同樣函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)及積分所成的級(jí)數(shù)的和也不一定等于他們和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及問題對什么級(jí)數(shù)，能從每一項(xiàng)的連續(xù)性得出和函數(shù)的連續(xù)性，從每一項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)及積分所成的級(jí)定義

設(shè){Snx是函數(shù)項(xiàng)級(jí)

unx的部分函數(shù)列

若{Snx)}在數(shù)集D上一致收斂于Sx),則函數(shù)項(xiàng)級(jí)

unx)

D上一致收斂于函

S(x),unx

D上一致收斂n充分大(n

N),在區(qū)間I上所有曲ysnx)將位于曲ysx與y

s(x)

之間 y

s(x)

ys(x)ysn(x)ys(x) 例1x的一致收斂性

x2

x3

xn

x解snx

11

,s(x)

lims(x)nn

11

1x|x|sn(x)

s(x)| 1x

1n

(n

lim|s(

)s(

)

1

原級(jí)數(shù)收斂但不一致收斂 研究級(jí)

x x x1 x xn1 在區(qū)間

0,)上的一致收斂性

(x)

xs(x)

sn(x)

x

(0

x)余項(xiàng)的絕對

s(x)

sn(x)

x

(0

x)

0，取自然數(shù)

1則當(dāng)nN時(shí)，對于區(qū)間上0x有rnx)所給級(jí)數(shù)在區(qū)間0

上一致收斂于sx) 研究級(jí)x(x2

x)

(x3

x2

(xn

xn1)在區(qū)間01]內(nèi)的一致收斂性解該級(jí)數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)處處收斂于和sx)0，1n2對于任意一個(gè)自然數(shù)n,取xn ，于n2sn(xn)

1x xsxn

(xn)

s(xn)

sn(xn

12

1，不論n多么大，在(0,1)2點(diǎn)xn

(xn

因此級(jí)數(shù)在01內(nèi)不一致

雖然函數(shù)

sn(x)

xn在01)內(nèi)處收斂

sx)0

snx)在01)內(nèi)各點(diǎn)處斂于零的“快慢”程度是不一致的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別定理2(一致收斂 準(zhǔn)則)函數(shù)項(xiàng)級(jí)un(x)

在數(shù)D上一致收斂的充要條件為:對給的正

存在正整數(shù)N，使當(dāng)n

N時(shí)

對一xD

一切正整

p|Snp(x)或

Sn(x)||un1(x)

un2(x)

unp(x)|定理中p=1時(shí)得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的一一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)在收斂域上一致趨于一致收斂性簡便的判別法定理3（強(qiáng)級(jí)數(shù)判別法(Weierstrass)判別法如果函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

unx在區(qū)間I上滿足條件:un(x)an

(n

正項(xiàng)級(jí)數(shù)

收斂,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

unx)在區(qū)間I上一證由條件(2)，對任意給定的0審斂原理存在自然數(shù)N，使得當(dāng)于任意的自然數(shù)p都有

an

2

un1(x)

un2(x)

unp(x)un1(x)un2(x)

unp(x)an1an2

an

2則由上式得lim

(x)S(x)p

n 因此函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)unx)在區(qū)間I上一致收斂 證明級(jí)sin

sin2222

sinn2n2在(,)上一致收斂證 在(,)sinsinn2x級(jí)數(shù)

1 n21收斂n2

所給級(jí)數(shù)在(,)例設(shè)u1(t在[a,b上可積x,un1(x)aun(t,

n1,證明函數(shù)項(xiàng)

un1(x)在[a,b]上一致收斂

u1(t在[a,b]上可積所以存在M

0,|u1x

M,于是x|u2(x)|

|u1(t)|dt

M(

(

a)2|u3(x)|

|u2(t)|dt

M

a)dtM 2!由數(shù)學(xué)歸納法容易得| (x)

|u(t)|dt

(t

xa) dtxxx

(n1)!M(xa) (bnM

a)n.n! n! (ba)n因?yàn)閿?shù)項(xiàng)

n!n!

收斂,所以根據(jù)強(qiáng)級(jí)判別法知原級(jí)數(shù)在[a,b]上一致收斂定義設(shè)函數(shù)列

fn}在集合X上有定義若存在常數(shù)M,使對一切

及所有x

X,|fn(x)|則稱函數(shù)列

fn

X上一致有注意：一致有界跟有界不同，一致有界要求M與x無定理4 雷判別法 n∑un(x)的部分和函數(shù)nSn(x)I上一致有界

uk(k

n1,每一個(gè)x∈I，vn(x是單調(diào)的⑶vn(xI上一致收斂0，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)vn(x)在數(shù)集I上一致收斂．定理5 判別法）∑un(x在區(qū)間I上一致收斂每一個(gè)x∈I，vn(x是單調(diào)的⑶vn(xI上一致有界，即存在M使得對任何x∈I|vn(x)|≤M,n=1,2,..函數(shù)項(xiàng)

(1)n(

在[0,1]上一致收斂

x

(x)

,vn

(

1n

,于是

在[0 上一致收斂vnx在[0,1]上單調(diào)增且一致有界,由例若數(shù)

{an

單調(diào)且收斂于零,則級(jí)ancos

](0

上一致收斂sin(n1)x－sinsin(n1)x－sin2sin222n|coskxk

1x22 x2

12sin2

12所以級(jí)

cosnx的部分和數(shù)列在[,

致有界,于是

cos

vn(

an 雷判別法可得級(jí)數(shù)在

對于例中的級(jí)數(shù),只{an}單調(diào)且收斂于零

(k

0,

)的任一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性定理6（連續(xù)性 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)[ab[ab

x

un(x)

x

un(x)推 設(shè)X是一區(qū)間（開，閉，或半開半閉若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)在X 函數(shù)項(xiàng)級(jí)x(x2

x)

(x3

x2)

(xn

xn1)在[0,1]上的一致收斂

(x)

xn

和函數(shù)s(x)

sn(x)

0

x和函數(shù)sx)

x1處間斷

x級(jí)數(shù)在上不一致收定理 (逐項(xiàng)求積

若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)在[a,b]上一致收斂，且

un(x)都連續(xù)bbaun(x)dxaun(x)dx,bb定理 (逐項(xiàng)求導(dǎo)若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)在[a,b]上每一項(xiàng)都連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，x0[a,b]為un(x的收斂且(x)在[a,b]上一致收斂