導(dǎo)學(xué)案：點(diǎn)的坐標(biāo)

點(diǎn)的坐標(biāo)導(dǎo)學(xué)案基礎(chǔ)自主預(yù)習(xí)1．點(diǎn)的位置表示：(1)先取一個(gè)點(diǎn)O作為基準(zhǔn)點(diǎn)，稱為原點(diǎn)．取定這個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)之后，任何一個(gè)點(diǎn)P的位置就由O到P的向量唯一表示.稱為點(diǎn)P的位置向量，它表示的是點(diǎn)P相對(duì)于點(diǎn)O的位置．(2)在平面上取定兩個(gè)相互垂直的單位向量e1，e2作為基，則可唯一地分解為＝xe1＋ye2的形式，其中x，y是一對(duì)實(shí)數(shù)．(x，y)就是向量的坐標(biāo)，坐標(biāo)唯一地表示了向量，從而也唯一地表示了點(diǎn)P.2．向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)等于它的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)．3．基本公式：(1)前提條件：A(x1，y1)，B(x2，y2)為平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，M(x，y)為線段AB的中點(diǎn)．(2)公式：①兩點(diǎn)之間的距離公式|AB|＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2).②中點(diǎn)坐標(biāo)公式，.4．定比分點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)A，B是兩個(gè)不同的點(diǎn)，如果點(diǎn)P在直線AB上且＝λ，則稱λ為點(diǎn)P分有向線段所成的比．注意：當(dāng)P在線段AB之間時(shí)，，方向相同，比值λ＞0.我們也允許點(diǎn)P在線段AB之外，此時(shí)，方向相反，比值λ＜0且λ≠－1.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)λ＝0.而點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)不可能寫成＝0的實(shí)數(shù)倍．定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，點(diǎn)P(x，y)分所成的比為λ.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋λx2,1＋λ)，,y＝\f(y1＋λy2,1＋λ).))重心的坐標(biāo)：三角形重心的坐標(biāo)等于三個(gè)頂點(diǎn)相應(yīng)坐標(biāo)的算術(shù)平均值，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).課堂互動(dòng)探究一、中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用【例1】已知ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4，2)，B(5，7)，對(duì)角線的交點(diǎn)為E(－3，4)，求另外兩個(gè)頂點(diǎn)C，D的坐標(biāo)．思路分析平行四邊形的對(duì)角線互相平分，交點(diǎn)為兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)公式求．解：設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)．∵E為AC的中點(diǎn)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＝\f(x1＋4,2)，,4＝\f(y1＋2,2).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－10，,y1＝6.))又∵E為BD的中點(diǎn)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＝\f(5＋x2,2)，,4＝\f(7＋y2,2).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－11，,y2＝1.))∴C的坐標(biāo)為(－10，6)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(－11，1)．規(guī)律總結(jié)若M(x，y)是A(a，b)與B(c，d)的中點(diǎn)，則x＝eq\f(a＋c,2)，y＝eq\f(b＋d,2).也可理解為A關(guān)于M的對(duì)稱點(diǎn)為B，若求B，則可用變形公式c＝2x－a，d＝2y－b.1－1已知矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(－1，3)，B(－2，4)，若它的對(duì)角線交點(diǎn)M在x軸上，求另外兩個(gè)頂點(diǎn)C，D的坐標(biāo)．解：如圖，設(shè)點(diǎn)M，C，D的坐標(biāo)分別為(x0，0)，(x1，y1)，(x2，y2)，依題意得0＝eq\f(y1＋3,2)y1＝－3；0＝eq\f(y2＋4,2)y2＝－4；x0＝eq\f(x1－1,2)x1＝2x0＋1；x0＝eq\f(x2－2,2)x2＝2x0＋2.又∵|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，∴(－1＋2)2＋(3－4)2＋(－2－2x0－1)2＋(4＋3)2＝(－1－2x0－1)2＋(3＋3)2.整理得x0＝－5，∴x1＝－9，x2＝－8.∴點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(－9，－3)，(－8，－4)．二、距離公式的運(yùn)用【例2】已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4，1)，B(－3，2)，C(0，5)，則△ABC的周長(zhǎng)為()．A．4eq\r(2)B．8eq\r(2)C．12eq\r(2)D．16eq\r(2)思路分析利用兩點(diǎn)間的距離公式直接求解，然后求和．解析：∵A(4，1)，B(－3，2)，C(0，5)，∴|AB|＝eq\r((－3－4)2＋(2－1)2)＝eq\r(50)＝5eq\r(2)，|BC|＝eq\r([0－(－3)]2＋(5－2)2)＝eq\r(18)＝3eq\r(2)，|AC|＝eq\r((0－4)2＋(5－1)2)＝eq\r(32)＝4eq\r(2).∴△ABC的周長(zhǎng)為|AB|＋|BC|＋|AC|＝5eq\r(2)＋3eq\r(2)＋4eq\r(2)＝12eq\r(2).答案：C方法總結(jié)(1)熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式，并能靈活運(yùn)用．(2)注意公式的結(jié)構(gòu)特征．若y2＝y(tǒng)1，|AB|＝eq\r((x2－x1)2)＝|x2－x1|就是數(shù)軸上的兩點(diǎn)間距離公式．已知點(diǎn)A(－4，2)，B(3，－2)，則|AB|等于()．A．eq\r(65)B．eq\r(63)C．eq\r(61)D．eq\r(60)解析：∵A(－4，2)，B(3，－2)，∴|AB|＝eq\r((－4－3)2＋(2＋2)2)＝eq\r(72＋42)＝eq\r(65).答案：A以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)為頂點(diǎn)的三角形是()．A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形解析：∵|AB|＝eq\r((5－1)2＋(5－4)2)＝eq\r(17)；|AC|＝eq\r((5－4)2＋(5－1)2)＝eq\r(17)；|BC|＝eq\r((1－4)2＋(4－1)2)＝eq\r(18)，∴|AB|＝|AC|，但|AB|2＋|AC|2≠|(zhì)BC|2.∴△ABC是等腰三角形．答案：B三、定比分點(diǎn)問題【例3】已知a，b不共線，＝a＋b，＝2a－b，將符合下列條件的向量寫成ma＋nb的形式．(1)點(diǎn)C分所成的比λ＝2，求；(2)點(diǎn)C分所成的比λ＝－3，求.解：(1)∵＝λ，∴－＝λ(－)．∴＝eq\f(1,1＋λ)＋eq\f(λ,1＋λ).∴＝eq\f(1,1＋2)＋eq\f(2,1＋2)＝eq\f(1,3)(a＋b)＋eq\f(2,3)(2a－b)＝eq\f(5,3)a－eq\f(1,3)b.(2)＝eq\f(1,1＋λ)＋eq\f(λ,1＋λ)＝－eq\f(1,2)(2a－b)＋eq\f(3,2)(a＋b)＝eq\f(1,2)a＋2b.規(guī)律總結(jié)從定比分點(diǎn)的定義出發(fā)，通過把定義中的向量轉(zhuǎn)化為所求向量找到解題途徑．3－1已知O(0，0)和A(6，3)兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線OA上，且＝eq\f(1,2)，又P是線段OB的中點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是__________．解析：當(dāng)P為分點(diǎn)，O，A為端點(diǎn)時(shí)，由eq\f(|OP|,|PA|)＝eq\f(1,2)，即λ＝eq\f(1,2).由定比分點(diǎn)的公式，得xP＝eq\f(0＋\f(1,2)×6,1＋\f(1,2))＝2，yP＝eq\f(0＋\f(1,2)×3,1＋\f(1,2))＝1.當(dāng)P為分點(diǎn)，O，B為端點(diǎn)時(shí)，由P是OB的中點(diǎn)，得2＝eq\f(0＋xB,2)，1＝eq\f(0＋yB,2)，即得xB＝4，yB＝2，即B點(diǎn)的坐標(biāo)是(4，2)．答案：(4，2)3－2已知P1(－3，－6)和P2(3，0)兩點(diǎn)，延長(zhǎng)P2P1到P，使|P1P|＝eq\f(2,3)|P1P2|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)P(x，y)，.∴由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝－7，y＝－10.故P(－7，－10)．答案：(－7，－10)四、重心坐標(biāo)公式及運(yùn)用【例4】在△ABC中，已知A(2，3)，B(8，－4)，G(2，－1)是中線AD上一點(diǎn)，且||＝2||，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()．A．(－4，2)B．(－4，－2)C．(4，－2)D．(4，2)解析：設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由于G是△ABC的重心，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝\f(2＋8＋x,3)，,－1＝\f(3－4＋y,3).))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2.))答案：B4－1已知平面上有三點(diǎn)A(0，0)，B(1，1)，C(0，2)，則此三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的重心坐標(biāo)是()．A．(1，1)B．(0，2)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))解析：由重心坐標(biāo)公式得重心的坐標(biāo)是：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(0＋1＋0,3)＝\f(1,3)，,y＝\f(0＋1＋2,3)＝1，))即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co