導(dǎo)學(xué)案：指數(shù)概念的推廣

指數(shù)概念的推廣學(xué)習(xí)目標重點難點1．能說出根式的概念，知道什么是根指數(shù)，什么是被開方數(shù)；2．能解決根式的化簡問題；3．能解決分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化及運算問題.重點：根式的概念以及對根式的化簡；難點：分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化以及運算問題.1．整數(shù)指數(shù)冪(1)整數(shù)指數(shù)冪的概念①an＝(n∈N＋)；②a0＝1(a≠0)；③a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n∈N＋)．(2)整數(shù)指數(shù)冪的運算法則a＞0，b＞0，m，n∈N＋，①aman＝am＋n；②eq\f(am,an)＝am－n(m＞n，a≠0)；③(am)n＝amn；④(ab)m＝ambm；⑤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))m＝eq\f(am,bm)(b≠0)．2．根式(1)若一個(實)數(shù)x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，就說x是a的n次方根．(2)當(dāng)n是奇數(shù)時，數(shù)a的n次方根記作eq\r(n,a).(3)當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的n次方根叫作算術(shù)根，記作eq\r(n,a).(4)式子eq\r(n,a)叫作根式(n∈N，n≥2)，其中n叫作根指數(shù)，a叫作被開方數(shù)．預(yù)習(xí)交流1(eq\r(n,a))n與eq\r(n,an)的含義相同嗎？它們有何異同？提示：①對(eq\r(n,a))n的理解：當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時，(eq\r(n,a))n對任意a∈R都有意義，且(eq\r(n,a))n＝a.當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時，只有當(dāng)a≥0時(eq\r(n,a))n才有意義，且(eq\r(n,a))n＝a(a≥0)．②對eq\r(n,an)的理解：eq\r(n,an)對任意a∈R都有意義，當(dāng)n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝a；當(dāng)n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))如eq\r(3,(－3)3)＝－3，eq\r((－3)2)＝|－3|＝3.3．正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪(1)分數(shù)指數(shù)冪的意義①＝(a＞0)；②＝(a＞0，n，m∈N＋，且eq\f(m,n)為既約分數(shù))；③＝(a＞0，n，m∈N＋且eq\f(m,n)為既約分數(shù))．(2)分數(shù)指數(shù)冪的運算法則a＞0，b＞0，α，β∈Q，①aαaβ＝aα＋β；②(aα)β＝aαβ；③(ab)α＝aαbα.預(yù)習(xí)交流2將分數(shù)指數(shù)冪化為根式時，對冪指數(shù)eq\f(m,n)有何要求？提示：在將分數(shù)指數(shù)冪化為根式時，應(yīng)首先將eq\f(m,n)化為一個最簡分數(shù)，再按照分數(shù)指數(shù)冪的意義化為根式．例如：＝eq\r(3,3)，＝＝eq\r(3,42).預(yù)習(xí)交流3以下運算是否正確？.提示：不正確．在進行指數(shù)冪的運算時，若要用到指數(shù)冪的運算法則，必須注意冪的底數(shù)是正數(shù)的規(guī)定．當(dāng)a＜0，b＜0時，運算法則(3)：(ab)α＝aαbα不再成立．4．正數(shù)的無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是無理數(shù))是一個確定的實數(shù)，有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．一、根式的求值與化簡求值或化簡下列各式：(1)eq\r(3,(－3)3)；(2)eq\r(4,(－3)2)；(3)eq\r(6,(3－π)6)；(4)eq\r(3,－x6y9z12)(其中x＜0，y＜0，z＜0)．思路分析：根式的求值與化簡問題，關(guān)鍵是去根號，去掉根號時一定要注意對根指數(shù)n分奇數(shù)和偶數(shù)進行討論．解：(1)eq\r(3,(－3)3)＝－3；(2)eq\r(4,(－3)2)＝eq\r(4,32)＝＝eq\r(3)；(3)eq\r(6,(3－π)6)＝|3－π|＝π－3；(4)eq\r(3,－x6y9z12)＝－eq\r(3,x6y9z12)＝－eq\r(3,(x2)3(y3)3(z4)3)＝－x2y3z4.對下列各式求值或化簡：(1)eq\r(4,1)；(2)(eq\r(5,－3))5；(3)eq\r(4x2－4x＋1)；(4)eq\r(4,(3a－3)4).解：(1)eq\r(4,1)＝eq\r(4,4)＝；(2)(eq\r(5,－3))5＝－3；(3)eq\r(4x2－4x＋1)＝eq\r((2x－1)2)＝|2x－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≥\f(1,2)，,1－2x，x<\f(1,2)；))(4)eq\r(4,(3a－3)4)＝|3a－3|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－3，a≥1，,3－3a，a<1.))1．解決根式的求值與化簡問題，要充分運用eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n這兩個根式的運算結(jié)果，將原根式進行必要的變形，使之符合上述兩種形式之一，然后再進行求值與化簡．2．當(dāng)n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|，因此一定要分清n的奇偶性．二、根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化(1)將下列分數(shù)指數(shù)冪化為根式：，，；(2)將下列各式用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示：eq\r(3,x5)，eq\r(4,m2)，eq\f(1,\r(3,a)).思路分析：可按照分數(shù)指數(shù)冪的定義進行互化．解：(1)＝eq\r(7,a)；＝eq\r(a5)；＝＝eq\f(1,\r(4,a3)).(2)eq\r(3,x5)＝；；.練習(xí)：1．下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，正確的是()．A．－eq\r(x)＝B．＝－eq\r(3,x)C．＝eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))3)(x，y≠0)D．eq\r(6,x2)＝(x＜0)答案：C解析：，故A錯；＝eq\f(1,\r(3,x))，故B錯；＝＝eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))3)，故C正確；，故D錯．2．將下式化為分數(shù)指數(shù)冪的形式：eq\r(3,ab2＋a2b).解：eq\r(3,ab2＋a2b)＝.結(jié)論：對任意的正有理數(shù)r和正數(shù)a，若a>1則ar>1，若a<1則ar<1.根據(jù)負指數(shù)的意義和倒數(shù)的性質(zhì)可得：對任意負有理數(shù)r和正數(shù)a，若a>1則ar<1，若a<1則ar>1.三、分數(shù)指數(shù)冪與根式的化簡與運算(1)化簡下列各式：①；②.(2)求下列各式的值：①；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))＋－2＋－3π0＋eq\f(37,48).思路分析：先將根式化為分數(shù)指數(shù)冪，利用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則進行冪的乘方、乘除運算，最后再做加、減運算．解：(1)①原式＝＝＝a－1＝eq\f(1,a)；②原式＝＝＝a0＝1.(2)①原式＝eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(2))－eq\f(1,\r(2)－1)－eq\r(1)·＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2)＋1,(\r(2)－1)(\r(2)＋1))－22＝eq\r(2)－eq\r(2)－1－4＝－5；②原式＝＋102＋－3＋eq\f(37,48)＝eq\f(5,3)＋100＋eq\f(9,16)－3＋eq\f(37,48)＝100.練習(xí)：1．化簡：(1)________(m＞0，n＞0)；(2)eq\r(6\f(1,4))－eq\r(3,3\f(3,8))＋eq\r(3,＝________；(3)eq\f(a2,\r(a)·\r(3,a2))(a＞0)＝__________.答案：(1)(2)eq\f(3,2)(3)解析：(1)；(2)原式＝eq\f(5,2)－eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)；(3)原式＝.2．化簡或計算下列各式：(1)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))0))－1×；(2)(x＞0，y＞0)；(3)．解：(1)原式＝－(3×1)－1×＝eq\f(10,3)－eq\f(1,3)×1－3＝0.(2)原式＝.(3)原式＝.1．若式子中既含有分數(shù)指數(shù)冪，又含有根式，一般把根式統(tǒng)一化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，再利用有理指數(shù)冪的運算法則化簡．2．在進行指數(shù)冪的運算時，通常要把負指數(shù)化為正指數(shù)，把小數(shù)化成分數(shù)，把大數(shù)化成小數(shù)再進行運算．3．在解決求值問題時，要注意掌握一些常用的平方數(shù)、立方數(shù)等．四、正數(shù)的無理數(shù)指數(shù)冪對于a>0，當(dāng)x時任意有理數(shù)時，ax都有了意義.對任意的正實數(shù)x和正數(shù)a，若a>1則ax>1，若a<1則ax<1.對任意的負實數(shù)x和正數(shù)a，若a>1則ax<1，若a<1則ax>1.五、條件求值問題已知4x＋4－x＝m(m為常數(shù))，求下列各式的值：(1)16x＋16－x；(2)2x＋2－x；(3)8x＋8－x.思路分析：尋求已知條件式4x＋4－x與欲求值的各式之間的聯(lián)系，代入求值．解：(1)16x＋16－x＝(4x)2＋(4－x)2＝(4x＋4－x)2－2·4x·4－x＝(4x＋4－x)2－2＝m2－2.(2)由于4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝(2x＋2－x)2－2，即m＝(2x＋2－x)2－2，∴2x＋2－x＝eq\r(m＋2).(3)8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)(4x－2x·2－x＋4－x)＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)＝eq\r(m＋2)(m－1)．已知，求eq\f(x＋x－1－3,x2＋x－2－2).解：∵，∴＝x＋2＋x－1＝9.∴x＋x－1＝7.∴(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝49.∴x2＋x－2＝47.∴eq\f(x＋x－1－3,x2＋x－2－2)＝eq\f(7－3,47－2)＝eq\f(4,45).1．條件求值是代數(shù)式求值中的常見題型，一般要結(jié)合已知條件先化簡再求值，另外要特別注意條件的應(yīng)用，如條件中的隱含條件，整體代入等，可以簡化解題過程．2．注意下列乘法公式的靈活應(yīng)用：，，.練習(xí)：1．eq\r(4,(－2)4)的值是()．A．2B．－2C．±2D．16答案：A解析：eq\r(4,(－2)4)＝eq\r(4,24)＝2.2．eq\r(5,a－2)可化為()．A．B．C．D．答案：A解析：，故選A．3．(－a)2·a－3等于()．A．－a－1B．－a－6C．a(chǎn)－1D．a(chǎn)－6答案：C解析：(－a)2·a－3＝a