導(dǎo)學(xué)案：向量與實(shí)數(shù)相乘

向量與實(shí)數(shù)相乘目標(biāo)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1．能記住向量與實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律，能根據(jù)運(yùn)算律進(jìn)行向量的線(xiàn)性運(yùn)算；2．能夠利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算解決一些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題；3．知道什么是單位向量；4．記住兩向量共線(xiàn)的條件，能解決向量共線(xiàn)、點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題.重點(diǎn)：向量的線(xiàn)性運(yùn)算及其應(yīng)用，向量共線(xiàn)的條件及應(yīng)用；難點(diǎn)：向量線(xiàn)性運(yùn)算的應(yīng)用以及三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題；疑點(diǎn)：向量共線(xiàn)的條件.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1．向量數(shù)乘的運(yùn)算律(1)設(shè)a是任意向量，x，y是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，則(x＋y)a＝xa＋ya，x(ya)＝(xy)a.(2)設(shè)a，b是任意兩個(gè)向量，λ是任意實(shí)數(shù)，則λ(a＋b)＝λa＋λb.預(yù)習(xí)交流1下列兩式：①(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；②λ(a－b)＝λa－λb成立嗎？提示：成立，可由向量數(shù)乘的運(yùn)算律推得．2．向量共線(xiàn)的條件預(yù)習(xí)交流2若向量a是一個(gè)非零向量，那么向量b與a共線(xiàn)的條件是什么？提示：當(dāng)b＝λa時(shí)，由數(shù)乘向量的幾何意義知b與a共線(xiàn)，b與a共線(xiàn)，必存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.3．單位向量長(zhǎng)度為1的向量稱(chēng)為單位向量．我們知道，向量有兩個(gè)要素：大小和方向．向量a的大小由|a|表示，而它的方向就由該方向上的單位向量eq\f(1,|a|)a代表．自我感悟在預(yù)習(xí)中，還有哪些問(wèn)題需要你在聽(tīng)課時(shí)加以關(guān)注？請(qǐng)?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€(gè)備忘吧！我的學(xué)困點(diǎn)我的學(xué)疑點(diǎn)問(wèn)題導(dǎo)學(xué)一、向量的數(shù)乘運(yùn)算活動(dòng)與探究1計(jì)算下列各式：(1)4(a＋b)－3(a－b)；(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；(3)eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)．思路分析：利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算律計(jì)算．解：(1)4(a＋b)－3(a－b)＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b.(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c＝a－7b＋6c.(3)eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)＝eq\f(2,5)a－eq\f(2,5)b－eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)b＋eq\f(4,15)a＋eq\f(26,15)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(2,3)＋\f(4,15)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)－\f(4,3)＋\f(26,15)))b＝0·a＋0·b＝0＋0＝0.遷移與應(yīng)用計(jì)算：(1)3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((3a＋2b)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.解：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.名師問(wèn)津向量的數(shù)乘運(yùn)算類(lèi)似于實(shí)數(shù)運(yùn)算，先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，將相同的向量看作同類(lèi)項(xiàng)進(jìn)行合并．二、向量共線(xiàn)條件的應(yīng)用活動(dòng)與探究2已知向量e1和e2不共線(xiàn)．(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)．(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線(xiàn)，試確定實(shí)數(shù)k的值．思路分析：(1)要證A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，可證，共線(xiàn)(或與共線(xiàn)等)；(2)當(dāng)ke1＋e2與e1＋ke2共線(xiàn)時(shí)，由向量共線(xiàn)的條件知必有ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，從而求得k的值．(1)證明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，∴∥.又∵AB∩BD＝B，∴A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)．(2)解：∵ke1＋e2與e1＋ke2共線(xiàn)，∴存在λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，則(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于e1與e2不共線(xiàn)，只能有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))則k＝±1.遷移與應(yīng)用已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共線(xiàn)，向量c＝2e1－9e2，問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，使d＝λa＋μb與c共線(xiàn)？解：∵d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d與c共線(xiàn)，則應(yīng)存在實(shí)數(shù)k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))∴λ＝－2μ.故存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c共線(xiàn)．名師點(diǎn)津1．若b＝λa(λ∈R)，則b與a共線(xiàn)．由此可以判斷向量共線(xiàn)問(wèn)題．若b與a(a≠0)共線(xiàn)，則必存在唯一實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.據(jù)此可以求兩個(gè)共線(xiàn)向量中的系數(shù)問(wèn)題．2．用向量證明三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，關(guān)鍵是能否找到一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb(a，b為這三點(diǎn)構(gòu)成的其中任意兩個(gè)向量)．證明步驟是先證明兩個(gè)向量共線(xiàn)，然后再由兩個(gè)向量有公共點(diǎn)，證得三點(diǎn)共線(xiàn)．三、向量線(xiàn)性運(yùn)算的應(yīng)用活動(dòng)與探究3如圖所示，OADB是以向量=a，=b為邊的平行四邊形．又BM=BC，CN=CD，試用a，b表示，，.思路分析：利用向量加法的平行四邊形法則、三角形法則以及減法的三角形法則對(duì)向量進(jìn)行分解，同時(shí)結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算將未知向量用a，b表示．解：===(－)=(a－b)，∴=+=b+a－b=a+b，==.∴=+=+==(+)=(a+b)=a+b.=－=(a+b)－a－b=a－b.遷移與應(yīng)用1.已知在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，用向量，表示向量為_(kāi)_______．答案：eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)解析：∵＝，∴－＝－，2＝＋.∴＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2).2.如圖所示，點(diǎn)E在△ABC的邊BC上，且CE＝3EB，設(shè)＝a，＝b，用a，b表示.解：∵CE＝3EB，∴＝eq\f(1,4).又∵＝－，∴＝＋＝＋eq\f(1,4)＝a＋eq\f(1,4)(b－a)＝eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b.名師點(diǎn)津在平面幾何圖形中進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，一般要把所求向量放在三角形或平行四邊形中，利用向量加減的三角形法則或平行四邊形法則把所求向量表示出來(lái)，同時(shí)，注意平面幾何中一些定理的應(yīng)用．當(dāng)堂檢測(cè)1．下列計(jì)算正確的數(shù)目是()①(－3)·2a＝－6a②2(a＋b)－(2b－a)＝3a③(a＋2b)－(2b＋a)＝0A．0B．1C．2D．3答案：C解析：①②正確，③錯(cuò)誤，應(yīng)有(a＋2b)－(2b＋a)＝0.2．化簡(jiǎn)eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((a＋2b)＋3a－\f(1,3)(6a－12b)))為()A．eq\f(1,2)a＋bB．a(chǎn)＋eq\f(3,2)bC．eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)bD．a(chǎn)＋b答案：C解析：原式＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,4)a－eq\f(1,2)a＋b＝eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b.3．下面向量a，b共線(xiàn)的有()①a＝2e1，b＝－2e2；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.(e1，e2不共線(xiàn))A．②③B．②③④C．①③④D．①②③④答案：A解析：①中a與e1共線(xiàn)，b與e2共線(xiàn)，而e1，e2不共線(xiàn)，所以a與b不共線(xiàn)；②中b＝－2a，故a與b共線(xiàn)；③中b＝eq\f(1,4)a，故a與b共線(xiàn)；④中a與b不共線(xiàn)，因?yàn)槿鬭與b共線(xiàn)，則必存在實(shí)數(shù)λ，使e1＋e2＝λ(2e1－2e2)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＝1，,－2λ＝1，))λ無(wú)解．故a與b不可能共線(xiàn)．4．已知平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，其對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為O，則等于()A．eq\f(1,2)a＋bB．a(chǎn)＋eq\f(1,2)bC．eq\f(1,2)(a＋b)D．a(chǎn)＋b答案：C解析：＋＝＋＝＝2，所以＝eq\f(1,2)(a＋b)，故選C．5．已知向量a與b不共線(xiàn)，m＝a－eq\f(1,2)b，n＝xa＋3b，若m與n共線(xiàn)，則x的值等于__________．答案：