2020高中數(shù)學(xué) 第1講 不等式和絕對值不等式 2 絕對值不等式 1.絕對值三角不等式學(xué)案 4-5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精二絕對值不等式1．絕對值三角不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解絕對值的幾何意義，能利用絕對值的幾何意義證明絕對值不等式的性質(zhì)定理．（重點)2。會用絕對值不等式的性質(zhì)定理證明簡單的含絕對值的不等式，會求簡單絕對值不等式的最值．(難點、易錯易混點)教材整理1絕對值的幾何意義閱讀教材P11～P11“思考”以上部分，完成下列問題．1．實數(shù)a的絕對值｜a|表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點A到原點的距離．2．對于任意兩個實數(shù)a，b,設(shè)它們在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為A，B，那么｜a－b｜的幾何意義是數(shù)軸上A，B兩點之間的距離,即線段AB的長度．教材整理2絕對值三角不等式閱讀教材P11～P14“定理2”以上部分，完成下列問題．1．定理1如果a，b是實數(shù)，則｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時，等號成立．2．在定理1中,實數(shù)a，b替換為向量a，b，當(dāng)向量a，b不共線時，有向量形式的不等式|a＋b|〈｜a｜＋｜b｜，它的幾何意義是三角形的兩邊之和大于第三邊．對于｜a|－|b｜≤｜a＋b｜≤|a|＋|b｜，下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)a,b異號時，左邊等號成立B．當(dāng)a，b同號時，右邊等號成立C．當(dāng)a＋b＝0時，兩邊等號均成立D．當(dāng)a＋b＞0時，右邊等號成立；當(dāng)a＋b＜0時，左邊等號成立B［當(dāng)a,b異號且｜a|＞｜b|時左邊等號才成立，A不正確；顯然B正確；當(dāng)a＋b＝0時，右邊等號不成立，C不正確；D顯然不正確．]教材整理3三個實數(shù)的絕對值不等式閱讀教材P14～P15“2.絕對值不等式的解法”以上部分，完成下列問題．定理2如果a，b，c是實數(shù),那么|a－c|≤｜a－b|＋|b－c｜，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b）（b－c）≥0時,等號成立．設(shè)｜a|＜1,|b｜＜1，則|a＋b｜＋|a－b｜與2的大小關(guān)系是(）A．｜a＋b|＋|a－b|＞2B．|a＋b｜＋|a－b|＜2C．｜a＋b｜＋｜a－b|＝2D．不可能比較大小B[當(dāng)（a＋b)（a－b)≥0時,｜a＋b|＋｜a－b|＝|（a＋b)＋（a－b)｜＝2｜a｜＜2;當(dāng)（a＋b)（a－b）＜0時，｜a＋b｜＋|a－b|＝｜（a＋b)－(a－b）｜＝2|b|＜2.］運用絕對值不等式求最值與范圍【例1】對任意x∈R，求使不等式｜x＋1｜＋｜x＋2|≥m恒成立的m的取值范圍．［精彩點撥］令t＝｜x＋1｜＋|x＋2｜，只需m≤tmin.［自主解答］法一對x∈R，|x＋1｜＋|x＋2|≥|(x＋1)－（x＋2）｜＝1,當(dāng)且僅當(dāng)（x＋1)(x＋2)≤0時，即－2≤x≤－1時取等號．∴t＝｜x＋1｜＋|x＋2|的最小值為1,故m≤1.∴實數(shù)m的取值范圍是（－∞，1]．法二t＝｜x＋1|＋｜x＋2｜＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－2x＋3，x<－2,,1，－2≤x≤－1,，2x＋3,x>－1。））∴t≥1,則t＝｜x＋1|＋｜x＋2|的最小值為1，故m≤1。因此實數(shù)m的取值范圍是（－∞,1］．1．本題也可利用絕對值的幾何意義求解．2．對于含有兩個絕對值及以上的代數(shù)式，通常利用分段討論的方法轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，進而利用分段函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)最值．1．已知函數(shù)f（x)＝|2x－a|＋a。(1）當(dāng)a＝2時，求不等式f(x)≤6的解集;（2）設(shè)函數(shù)g(x)＝｜2x－1｜。當(dāng)x∈R時，f（x）＋g（x)≥3,求a的取值范圍．［解］(1)當(dāng)a＝2時,f（x）＝|2x－2|＋2。解不等式|2x－2|＋2≤6,得－1≤x≤3。所以f(x)≤6的解集為{x|－1≤x≤3}．（2)當(dāng)x∈R時，f(x）＋g（x)＝|2x－a｜＋a＋｜1－2x｜≥|2x－a＋1－2x｜＋a＝｜1－a｜＋a，當(dāng)x＝eq\f(1，2）時等號成立，所以當(dāng)x∈R時，f（x)＋g（x）≥3等價于｜1－a|＋a≥3.①當(dāng)a≤1時，①等價于1－a＋a≥3,無解．當(dāng)a＞1時，①等價于a－1＋a≥3，解得a≥2。所以a的取值范圍是［2，＋∞)．含絕對值不等式的證明【例2】設(shè)m等于|a|，｜b｜和1中最大的一個，當(dāng)|x|>m時,求證：eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（\f（a,x)＋\f(b，x2）)）〈2。[精彩點撥]不管|a|，|b|，1的大小，總有m≥|a|，m≥｜b|，m≥1,然后利用絕對值不等式的性質(zhì)證明．[自主解答]依題意m≥|a｜，m≥|b｜，m≥1.又|x｜>m,∴|x|〉|a｜，|x｜>｜b｜,｜x｜〉1，從而|x|2>｜b|。因此eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（\f(a,x）＋\f（b，x2)））≤eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\f（a，x)））＋eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（\f（b，x2)）)＝eq\f（｜a｜,|x|)＋eq\f（|b|，|x2|)<eq\f（|x｜,｜x|)＋eq\f（｜x|2,|x2|)＝2，即eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f(a，x)＋\f(b，x2）））〈2。1．將文字語言“m等于｜a|，|b|，1中最大的一個”轉(zhuǎn)化為符號語言“m≥|a｜，m≥｜b|,m≥1”是證明本題的關(guān)鍵．2．運用絕對值不等式的性質(zhì)證明不等式時,要注意放縮的方向和“尺度”，切忌放縮過度．2．若f(x）＝x2－x＋c（c為常數(shù)），且｜x－a|〈1,求證：｜f（x）－f(a）｜〈2（|a|＋1)．[證明]|f（x）－f(a)｜＝|（x2－x＋c)－（a2－a＋c）｜＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)（x＋a－1)|＝|x－a|·｜x＋a－1｜<|x＋a－1|＝|（x－a)＋(2a－1）｜≤|x－a|＋｜2又｜x－a|<1，∴｜f(x)－f（a）|<｜x－a｜＋｜2a≤|x－a|＋|2a｜＋1〈1＋2｜a＝2（｜a|＋1)．絕對值不等式的理解與應(yīng)用［探究問題]1．不等式｜a｜－|b|≤|a±b|≤｜a｜＋|b|中“＝”成立的條件是怎樣的?［提示］不等式|a|－｜b｜≤｜a＋b|≤｜a|＋｜b|右側(cè)“＝”成立的條件是ab≥0，左側(cè)“＝"成立的條件是ab≤0且｜a|≥|b｜；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤｜a|＋|b|右側(cè)“＝”成立的條件是ab≤0，左側(cè)“＝"成立的條件是ab≥0且|a|≥｜b｜.2．你能給出定理2的幾何解釋嗎？[提示]在數(shù)軸上,a，b,c的對應(yīng)的點分別為A，B，C。當(dāng)點B在點A，C之間時,｜a－c|＝|a－b｜＋|b－c|；當(dāng)點B不在點A，C之間時,|a－c|<｜a－b|＋|b－c｜。【例3】已知a，b∈R，則有(1)eq\f(|a｜－｜b｜，|a－b｜)≤1成立的充要條件是________；(2)eq\f(|a｜＋｜b｜,｜a＋b|)≥1成立的充要條件是________．[精彩點撥]利用絕對值三角不等式定理分別求解．［自主解答］(1)因為|a|－|b｜≤｜a－b|恒成立，所以有｜a－b｜＞0?a≠b?eq\f（|｜a|－|b||，|a－b｜）≤1,因此eq\f（｜a|－｜b|,｜a－b｜）≤1成立的充要條件是a≠b。（2）因為｜a｜＋|b|≥｜a＋b|恒成立,所以有|a＋b｜＞0?a≠－b?eq\f(｜a｜＋｜b｜，|a＋b|）≥1.因此eq\f(|a｜＋｜b|,|a＋b|)≥1成立的充要條件是a≠－b。[答案]（1)a≠b（2）a≠－b1．本題求解的關(guān)鍵在于｜a｜－｜b｜≤｜a－b|與｜a|＋｜b｜≥｜a＋b｜的理解和應(yīng)用．2．解決此類問題應(yīng)從兩個方向推出關(guān)系來進行求解．3．條件不變，試求:（1）eq\f(｜｜a|－|b｜｜,|a－b|)＜1成立的充要條件；(2）eq\f(｜a|＋｜b|，|a＋b|）＞1成立的充要條件．[解］(1）因為ab＜0?|｜a|－|b||＜|a－b|?eq\f（｜a|－｜b｜,|a－b|）＜1，所以eq\f(｜|a|－|b｜｜，｜a－b｜）＜1成立的充要條件是ab＜0。（2)因為eq\f(|a|＋｜b|,｜a＋b｜)＞1?｜a｜＋|b|＞|a＋b｜且a＋b≠0?ab＜0且a≠－b，所以eq\f（｜a|＋｜b|，|a＋b｜)＞1成立的充要條件是ab＜0且a≠－b.1．已知實數(shù)a，b滿足ab＜0，則下列不等式成立的是（)A．|a＋b|＞|a－b｜ B．|a＋b｜＜|a－b｜C．｜a－b｜＜｜｜a|－|b｜| D．|a－b|＜|a|＋|b|B[∵ab＜0,∴|a－b｜＝|a|＋｜b|＞｜a＋b|＝｜|a｜－｜b｜｜，故應(yīng)選B.]2．若a,b∈R，則使|a|＋|b｜>1成立的充分不必要條件可以是(）A．|a｜≥eq\f（1，2）且｜b|≥eq\f（1，2) B．|a＋b｜≥1C．｜a|≥1 D．b<－1D[當(dāng)b〈－1時，｜b|>1，∴|a|＋｜b|>1,但｜a｜＋|b|>1D?/b〈－1（如a＝2，b＝0），∴“b〈－1”是“｜a｜＋｜b|〉1”的充分不必要條件．］3．已知四個命題：①a>b?|a｜>b；②a>b?a2〉b2；③｜a|〉b?a>b；④a>｜b｜?a>b.其中正確的命題是________．[解析]當(dāng)a>b時,｜a｜≥a>b，①正確．顯然②③不正確．又當(dāng)a>|b|時，有a>｜b｜≥b,④正確．［答案］①④4．｜x＋1|＋|2－x｜的最小值是________．[解析］∵|x＋1｜＋｜2－x|≥｜（x＋1)＋(2－x)|＝3，當(dāng)且僅當(dāng)(x＋1）(2－x)≥0，即－1