2021-2022學(xué)年江蘇省田家炳中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué) 解析版

2021/2022學(xué)年度第一學(xué)期期中高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合顏目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1.若直線l經(jīng)過兩點(diǎn)，則直線l的斜率為（）A. B. C. D.D【分析】根據(jù)斜率公式求得的斜率.【詳解】由于直線經(jīng)過兩點(diǎn)，所以直線的斜率為.故選：D本小題主要考查斜率公式，屬于基礎(chǔ)題.2.已知是公差為d的等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和．若，則（）A. B. C.1 D.2C【分析】根據(jù)是公差為d的等差數(shù)列，且，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】因?yàn)槭枪顬閐的等差數(shù)列，且，所以，解得，故選：C3.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.， B.，C.， D.，A【分析】由題方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出c，則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可求．【詳解】由題得方程可化為，所以所以焦點(diǎn)故選：A.4.已知直線，.當(dāng)時(shí)，的值為（）A.1 B. C.或1 D.B【分析】利用兩直線平行的充要條件即得.【詳解】由直線，，∴，得.故選：B.5.直線分別交軸和于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為（）A. B. C. D.C分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)求出直線交軸和于兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到直線方程【詳解】直線分別交軸和于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得解得，所以點(diǎn)、，則直線的方程為，化簡得故選這是一道考查直線性質(zhì)的題目，解題的關(guān)鍵是求出直線的截距，然后求出直線方程．6.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長為的等邊三角形（為原點(diǎn)），則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.D【分析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，可求得，以及，求出、的值，由此可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由題意可知，由于是等邊三角形，則，所以，，由題意可得，解得，因此，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.7.若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.D【分析】由題可知，曲線表示一個(gè)半圓，結(jié)合半圓的圖像和一次函數(shù)圖像即可求出的取值范圍.【詳解】畫家曲線得，畫出圖像如圖：當(dāng)直線與半圓O相切時(shí)，直線與半圓O有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，，所以，由圖可知，此時(shí)，所以.當(dāng)直線如圖過點(diǎn)A、B時(shí)，直線與半圓O剛好有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí).由圖可知，當(dāng)直線介于與之間時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以.故選：D.8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓，點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.A【分析】根據(jù)，求出點(diǎn)的軌跡方程，令的軌跡圓與圓有公共點(diǎn)，列出不等式，即可求解.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)椋傻?，整理得，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，又因?yàn)樵趫A上，所以圓與圓有公共點(diǎn)，則滿足，即，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A.二?多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，不選或有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線在軸和軸上的截距相等，則的值可能是（）A.1 B. C.2 D.AC【分析】討論直線過原點(diǎn)和直線不過原點(diǎn)兩種情況可求.【詳解】若直線過原點(diǎn)，則，解得；若直線不過原點(diǎn)，則在軸上的截距為，在軸上的截距為，則，可得，綜上，的值可能是1或2.故選：AC.10.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)P，過C上一點(diǎn)M作l的垂線，垂足為Q，若四邊形MQPF為矩形，則（）A.準(zhǔn)線l的方程為 B.矩形MQPF為正方形C.點(diǎn)M的坐標(biāo)為 D.點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為ABD【分析】各選項(xiàng)根據(jù)拋物線的定義和性質(zhì)可以得出結(jié)論.【詳解】由拋物線C：，得其準(zhǔn)線l的方程為，A正確；由拋物線的定義可知，又因?yàn)樗倪呅蜯QPF為矩形，所以四邊形MQPF為正方形，B正確；所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以，C錯(cuò)誤，D正確．故選：ABD．11.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，，是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.離心率C.面積最大值為D.以線段為直徑的圓與直線相切AD【分析】根據(jù)橢圓方程求得，根據(jù)橢圓的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，可得，所以焦點(diǎn)為,根據(jù)橢圓的定義，所以A正確；橢圓的離心率為，所以B錯(cuò)誤；其中面積的最大值為，所以C錯(cuò)誤；由原點(diǎn)到直線的距離，所以以線段為直徑的圓與直線相切，所以D正確.故選：AD12.下列結(jié)論正確的是（）A.過點(diǎn)(－2，－3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為x＋y＝－5;B.已知直線kx-y-k-1＝0和以M（-3，1），N（3，2）為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為;C.已知ab≠0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(a，b)是圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)，直線m的方程是ax＋by＝r2，則m與圓相交;D.若圓上恰有兩點(diǎn)到點(diǎn)N（1，0）的距離為1，則r的取值范圍是(4，6).CD【分析】A選項(xiàng)分情況討論，直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況；B選項(xiàng)中直線kx-y-k-1＝0恒過點(diǎn)，計(jì)算即可求解；C選項(xiàng)中利用圓心到直線距離及點(diǎn)P在圓外即可判斷；D選項(xiàng)根據(jù)以N為圓心，1為半徑的圓與已知圓相交，利用圓心距與兩圓的圓的半徑間關(guān)系即可求解.【詳解】A中直線過原點(diǎn)時(shí)，由兩點(diǎn)式易得，直線方程為，故錯(cuò)誤；B中直線kx-y-k-1＝0可化為，所以直線恒過定點(diǎn)，，直線與線段相交，所以或，故錯(cuò)誤；C中圓心到直線的距離，而點(diǎn)P(a，b)是圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)，所以，所以，所以直線與圓相交，故正確.D中與點(diǎn)N（1，0）的距離為1的點(diǎn)在圓上，由題意知圓與圓相交，所以圓心距滿足，解得，故D正確.故選：CD本題考查直線和圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，斜率公式，直線過定點(diǎn)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13.橢圓的離心率是_________．【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，然后求解c，即可求解離心率．【詳解】橢圓的長半軸為a＝3，短半軸為b＝2，則半焦距為c．所以橢圓的離心率為：e．故答案為．本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．14.已知在數(shù)列中，，，，則________．##0.5【分析】由遞推關(guān)系依次求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，歸納出周期后可得結(jié)論．【詳解】由題意，，，，所以數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3，所以．故．15.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______；經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則______．①.；②.9.【分析】由拋物線的解析式可知，即可得出焦點(diǎn)坐標(biāo)為；過、、作準(zhǔn)線的垂線且分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)、、，根據(jù)拋物線的定義可知，由梯形的中位線的性質(zhì)得出，進(jìn)而可求出的結(jié)果.【詳解】解：由拋物線，可知，則，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，由拋物線的定義可得，再根據(jù)為線段的中點(diǎn)，而四邊形為梯形，由梯形的中位線可知，則，所以.故；9.16.已知焦點(diǎn)為，的雙曲線的離心率為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且滿足，若的面積為，則雙曲線的實(shí)軸長為________【分析】由和雙曲線定義可得，再結(jié)合余弦定理和可得，利用面積公式可解得，即得解.【詳解】由題意，由雙曲線定義可知，又又又故雙曲線的實(shí)軸長為故答案為.四、解答題：本小題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（17題10分，18～22均為12分）17.已知{}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）求Sn．（1）an＝8﹣2n；（2）.【分析】（1）應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求基本量，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式；（2）由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求Sn.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1＝6，a3+a5＝0，則6+2d+6+4d＝0，解得d＝﹣2，因此an＝a1+（n﹣1）d＝8﹣2n，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝8﹣2n．小問2詳解】由題意知：，18.（1）已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為20，半焦距長為6，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）已知圓的圓心在直線上，且圓與軸的交點(diǎn)分別為，，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，由長軸長和半焦距長，可得的值，可得答案；（2）根據(jù)圓上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，作其弦的中垂線，由題意，聯(lián)立直線，求圓心，再求半徑，可得答案.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的長半軸為，半焦距長為，所以短半軸，所以橢圓方程為.（2）由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為，再由圓與軸的交點(diǎn)分別為，，可得，則圓心坐標(biāo)為，半徑．該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.19.在中，，邊上的高所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為.（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線的方程.（1）；（2）【分析】（1）由直線的斜率可得直線的斜率，進(jìn)而可得直線的方程，聯(lián)立直線和直線的方程即可得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)可得，根據(jù)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，聯(lián)立方程組可得和的值，即得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)即可得直線的方程.【詳解】（1）由邊上的高所在的直線方程為可得，所以，因?yàn)?，所的方程為：，即，由可得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）設(shè)，則的中點(diǎn)，所以，解得：，所以，所以，所以直線的方程為：，即.20.已知圓.（1）若直線過點(diǎn)且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）若直線過點(diǎn)與圓相交于，兩點(diǎn)，求的面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.（1）或；（2）最大值2，直線的方程為或.【分析】（1）圓的半徑、圓心到弦的距離、弦長一半構(gòu)成直角三角形，用點(diǎn)到直線的距離求得圓心到弦的距離得到答案，注意斜率分情況；（2）圓心到直線的距離為，然后利用的面積求得最值得到及k，求得答案.【詳解】（1）圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，直線被圓截得的弦長為，由勾股定理得到圓心到直線的距離①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，顯然滿足；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，即，由圓心到直線的距離得：，解得，故；綜上所述，直線的方程為或（2）直線與圓相交，的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線方程：，即，則圓心到直線的距離為，又的面積當(dāng)時(shí)，取最大值2，由，得或，直線方程為或.本題考查直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積的最值及直線的方程.21.已知拋物線過點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）求過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩個(gè)不同的點(diǎn)(均與點(diǎn)不重合)．設(shè)直線、的斜率分別為、，求證：為定值．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）本題可將代入拋物線方程中求出的值，即可得出結(jié)果；（2）本題首先可設(shè)、以及直線的方程，然后通過聯(lián)立直線的方程與拋物線方程即可得出、，最后通過并化簡即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，，拋物線方程為.（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立，整理得，，，，則，故為定值.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線方程的求法以及拋物線與直線相交的相關(guān)問題的求解，通過聯(lián)立直線的方程與拋物線方程以及韋達(dá)定理得出、的值是解決本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.22.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為（1）求橢圓的方程（2）如圖，過作斜率為的兩條直線，分別交橢圓于，且證明：直線過定點(diǎn)并求定點(diǎn)坐標(biāo)（1）；（2）證明見解析，恒過定點(diǎn)．【分析】（1）利用橢圓過點(diǎn)，以及離心率為．求出，，即可得到橢圓方程．（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則，，然后求解．當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立：，得，設(shè)，，，，利用韋達(dá)定理以及，得