方向?qū)?shù)與梯度重要例題

設(shè)求f沿e=(cosθ

,sinθ)在點(diǎn)(0,0)的方向?qū)?shù).當(dāng)cosθ≠0時(shí),

當(dāng)cosθ=0時(shí),因?yàn)?/p>

f(

cosθ,

sinθ)=0用定義計(jì)算方向?qū)?shù)解例1方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!用定理計(jì)算方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!解方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!例3.

設(shè)z=3x4+xy+y3,求z在M(1,2)點(diǎn)處沿方向角為=135°的方向的方向?qū)?shù)。解方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!由點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離定義的函數(shù)在坐標(biāo)原點(diǎn)處向?qū)?shù)值都等于1:的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在,但它在該點(diǎn)沿任何方向的方向?qū)?shù)均存在,且方此例說(shuō)明:1.方向?qū)?shù)存在時(shí),偏導(dǎo)數(shù)不一定存在.2.可微是方向?qū)?shù)存在的充分條件,而不是必要條件P80-2,7.例方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!解由梯度計(jì)算公式得故方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!指向B(3,－2,2)方向的方向?qū)?shù)是

.在點(diǎn)A(1,0,1)處沿點(diǎn)A2.函數(shù)提示:則方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!故方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!例5.

設(shè)u=xy+ez,M0(1,-1,0),P(3,-3,1),求(1)在M0沿M0P的方向?qū)?shù);(2)在M0沿曲線x=t,y=t2-2,z=t–t3的切線方向的方向?qū)?shù)(本節(jié)不講);(3)在M0的最大方向?qū)?shù)與梯度。解：(1)方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!(3)在M0的最大方向?qū)?shù)與梯度:方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!例4.求函數(shù)

在點(diǎn)

P(1,1,1)沿向量3)的方向?qū)?shù).解:

向量

l

的方向余弦為方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!∵∴從而解方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!備用題

1.函數(shù)在點(diǎn)處的梯度解:則注意x,y,z

具有輪換對(duì)稱性方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)!例解方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!例3.設(shè)是曲面在點(diǎn)P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點(diǎn)P處沿求函數(shù)方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!方向?qū)?shù)與梯度重要例題共17頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)!設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn),在點(diǎn)處的電位為其中,為介電系數(shù),求電位v的梯度.其中,負(fù)號(hào)說(shuō)明離點(diǎn)電荷越遠(yuǎn),