2021年中南大學(xué)研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析試題

中南大學(xué)-研究生考試數(shù)學(xué)分析試題一、求下列極限limxnxn,(x0)；nxn

xnlim

x1

)x；x x1lim1Asinxdx。AA 0（168分）設(shè)函數(shù)f(x)sinx

，x(0,1)f(x持續(xù)；f(x與否一致持續(xù)？（請(qǐng)闡明理由（168分）設(shè)ueaxby，求n階全微分dnu；xeucosyeusin，變換如下方程2zx2

2zy2

0。（2010分）求積分10

1dx；1xx2y2求曲面azx2y2 (a0)x2y2

所圍成體積。（126分）設(shè)In1

npcos 2 ，(q0)1nqI條件收斂域；I絕對(duì)收斂域。六、證明：積分F(a)

e(xa)2dx0是參數(shù)a持續(xù)函數(shù)。（8分）設(shè)定義于(f(xf(3)(x，且f(1)0，f(1)1，f(1)(0)0證明：sup f(3)(x)3。x(1,1)（279分）求下列極限lim(n

n)；n nx2x(cost)2dt]n nxx0 0（3）f(x在[0,1]上可積，且

f(x)dx1

1

2k1f( 。0 nn 2nk1（2412分）f(x在[a上持續(xù)，limf(xf(x在[a上一致持續(xù)；x上述逆命題與否成立？（請(qǐng)給出證明或舉出反例。 1x2y2(x2x2y2（279分）f(x,y)0,

x2y20,x2y20.f'f'；x yf'f'在原點(diǎn)(0,0)持續(xù)性；x yf(xy在原點(diǎn)(0,0)（3015分）f(x)ln(2x2x0處冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式及其收斂半徑；計(jì)算三重積分I(x2y2dxdydzVx2y2z與平面Vz4所圍區(qū)域。（12分）計(jì)算下列曲面積分Ix3dydzy3dzdxz3dxdy，SSx2y2z2a2，積分是沿曲面S外側(cè)。（155分）設(shè)Isinxqdx (q0)0 xpIp收斂性；I與否一致收斂？I條件收斂性和絕對(duì)收斂性。（84分）設(shè)an

0，ann1

發(fā)散，記sn

a1

a，n1）

a 發(fā)散； （2） a 收斂。nnn1nn

s s2n n1 n（8分設(shè)定義于(f(xx0xy，都滿(mǎn)足

f(xy)f(x)f(y)證明：f(x)ax （a為常數(shù)）{xn證明下列結(jié)論：

}收斂，則它有且只有一種極限。 （20分）2323

1

1 2 n12； （10分）nxn

1

1 121213n

收斂。 （20分）f(x在[ab上持續(xù)，且bf(x)]2dx0[abf(x)0。a

(,)

[

,10]上，分別討論級(jí)數(shù) x2

（20分）一致收斂1 2

n1

(1x2)n1性。 （20分）考察函數(shù)x2yx2y2f(x,y)

, x2y2

0,0, x2y20.在原點(diǎn)(0,0)處可微性。 （20分）設(shè)f(x)是閉區(qū)間[a,b]上持續(xù)函數(shù)，且f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)，則f(x)是[a,b]嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。 （20分）g(xg(x滿(mǎn)足1 2xg(t)dtx

(t)dt,axba 1 a 2及bgt)dtb

(t)dta 1 a 2又設(shè)f(x)可微，非增，則bgt)f(x)dtb

f(x)dt （20分）a 1 a 2（3010分）x2求極限limn1xn( )n,(x0);x2n 3n(n(xa) (xa)1 nx

x];設(shè)lim

alim

b;其中，n n n nCnxCnx

Cnx n!y 0 0 1 1n

n n,Cnk k!(nk

k0,1, ,n（2010分）f(x)x2續(xù)：（1）(ll，這里l為隨便多大正數(shù)；（2）在區(qū)間(,)上。（20分）證明下列拉格朗日定理并論述其幾何意義：“若函數(shù)f(x)在[a,b]上持續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x，0f(b)f(a)使f'(x

ba（20分）R（3612分）求積分1xbxadxba0)；0 lnxx2y2求第一類(lèi)曲面積分(x2y2)dS,其中S為體積 zx2y2S分別研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)n1

sinnx在下列區(qū)間上一致收斂性：n（a）在x2上，其中0（b）在0x2上。（12分）設(shè)

(x)}是[0,1]Klim1(xdx存在。n n 0 n若(0,1]lim1(xdx0；證明對(duì)任何一種[0,1]f(x)均有nnlim1(x)f(x)dxKf(0)。n 0 n（12分）f(x)g(x)lim[f(xg(x0xf(x)g(x)。（525分）若級(jí)數(shù)ann1

收斂，則nan

0(n). （；收斂數(shù)列一定有界. （；開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)一定在閉區(qū)間[a,b]上持續(xù). （；f(xxxf(x0f(x0，0 0 0則f(x)在xx處達(dá)到極小值. （；0f(x在[a上有定義且是持續(xù)，并且極限limf(x存在且有限，x則f(x)在此區(qū)間上一致持續(xù). 二、求下面數(shù)列極限值（每小題10分，共30分）x1

a

,x axn

,其中a0為常數(shù)；x0

,x 2x ；n n1x xx0

1,x1

1

0 1x0

,xn1

1

n .1xn（1020分）（1）yxln(1x)；x（2）yx

lnx.四、（20分）設(shè){nan

}

n(an

an1

)收斂，試證明級(jí)數(shù)

a 收斂.nn1 n0五、（15分f(x在(f(x)x0六、（20分）設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上持續(xù)，證明

f(t)dt.則f(x)0.limni1

f(i

)g() xi

a

f(x)g(x)dx其中x0

ax1

x xn1

b,x i1

x,ix x,

xx

,i

,n;max{x,1in}.i1

i i

i1 i（20分）f(x（1）在區(qū)間[abf(x，（2）f(a)f(b0.則在區(qū)間(ab內(nèi)至少存在一點(diǎn)c使得4baf"(c) f(b)f(a4ba（525分）任何定義在上函數(shù)都可以表達(dá)到一種偶函數(shù)和一種奇函數(shù)之和。（）f(x) f'(x)設(shè)f(x)、g(x)持續(xù)且g(x)g'(x)0則lim limxg(x) xg'

x. （）若序列{xn

y收斂，則{xn

}和{yn

}必有一序列收斂。 （）若對(duì)任意0f(x在[abf(x在(ab內(nèi)持續(xù)。（）若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)持續(xù)且有極大值點(diǎn)，則f')0。 二、求下列極限值（每小題10分，共20分）n21n22（1）n21n22n

1 )；n2n1 a（2）x 0,

(x ),n0,1, 其中a0.0 n1

2 n xn1三、（20分）求曲線(xiàn)y4x21在點(diǎn)( ,0)處切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程。2四、（15分）x0時(shí)sinxx五、（20分）試求C2lnsin0

x3.6六、（25分）f(x為[0,1][0,1]f(0)0,f(1)1,ff(x))證明f(x)x.七、（25分）f(x在[abf(af(b0，試證明，在[ab中至少存在一點(diǎn)，使得f'()

4 (ba)2 a

f(x)dx.一、判斷題（5分，共25分）f(x在閉區(qū)間bf(x在開(kāi)區(qū)間b內(nèi)可導(dǎo)f(x)在閉區(qū)間bbf(a)f(b，則至少存在一點(diǎn)cabf(xxc0若序列n

y和序列n

y都收斂，則序列n

和序列yn

必收斂f(x是在區(qū)間bf(x)在bf(x)0xn

收斂，則它一定有界一、計(jì)算題（10分，共20分）求級(jí)數(shù)k2k!k1求積分ex2dx0（20分）yx

pxq與OX軸相切？并求出其切點(diǎn)（15分）f(x在區(qū)間bf(xf(x在b內(nèi)一致持續(xù)（20分）f(x)在區(qū)間(x0

,)limf(x)0limx x

f(x)0x25分）設(shè)f(x)（）在閉區(qū)間a,b（i）在區(qū)間a,b內(nèi)有三階ii）且下面等式成立：f(a)f(a)0及fb)fb)0證明在a,b內(nèi)存在一點(diǎn)c使得f(c)0（25分）設(shè)ak

＞0(k0)且akk0

1，定義函數(shù)f(x)k0

axkxk證明f(x是內(nèi)下凸函數(shù)f(x)0在f＞0一、計(jì)算題（10分，共60分）1 (n1L

(sin sin sin )nn n n n2、已知y1，求1

xyexdx

xft)ft)dt3、已知

f(x)dx條件收斂，計(jì)算極限lim a a xa

f(t)f(t)dt4x2y2z2

6,zx2y2P處法平面方程0x2x2y2

z被柱面x2y2

2x所截下那一某些面積6、計(jì)算I

(xz)dydzyx)dzdxzy)dxdyz5x2y2上z1某些，并取外側(cè)（20分）證明sinx在0,上一致持續(xù)，但sinx2不一致持續(xù)（15分）f(x,yP(x

)處獲得極小值。假設(shè)f在鄰域U(P)內(nèi)有持續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，證明fxx

(P)0

0 0 0 020分）求冪級(jí)數(shù)n2

x)nn(n1)

收斂域；如果其和函數(shù)是S(x)x(0,1)：時(shí)恒有S(x)xlnxS(1x)(1x)ln(1x)1（25分）f(xx(0,內(nèi)是可微函數(shù)，令F(t)0f(x)

F(t)t(xt)f(x)dx0f(x)1x)xn，證明函數(shù)列f(x)在上一致收斂n n1060n212n2n212n222計(jì)算極限n

..... 1 ).n2n2f(x)x=0f(x)0，且fx

f(x)limx0 x

f''04

lim1 x1求 x0 x 1xy22

2z2

2x2y4z10求曲面 上平行于平面 切平面方程并求切點(diǎn)處法線(xiàn)方程.設(shè) y xfx,yx2arctanxy 2

,xy0,y0, xy0,當(dāng) xy

時(shí)，求

f ''xy

x,y.(x2

y2

z2)dS

2 3 4s

，其中S為球面x2y2z2

a2.

Iy(xz)dydzx2dzdx(y2xz)dxdy

其中是邊長(zhǎng)為a正立方體表面，并取外側(cè).二.設(shè)f(x

a,a,

minfx1,b 證明nlimn

1bafxndxD

x2y2

x,y

x2y2ax (a 0)在D上最小值和最大值(20fxf''x0，試證對(duì)任意給定三個(gè)正數(shù)x

x, 有x x xx x x 1f 1 2 3 f(x)f(x)f(x)

1 2 3 3