2022年人教版《利用方位角、坡度解直角三角形》公開課教案

28.2.2應(yīng)用舉例第3課時(shí)利用方位角、坡度解直角三角形1．知道測(cè)量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度與坡角的關(guān)系；(重點(diǎn))2．能夠應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)解決與方位角、坡度有關(guān)的問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入在修路、挖河、開渠和筑壩時(shí)，設(shè)計(jì)圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度．如圖，坡面的鉛垂高度(h)和水平長(zhǎng)度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i，即i＝eq\f(h,l).坡度通常寫成1∶m的形式，如i＝1∶，記作α，有i＝eq\f(h,l)＝tanα.顯然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我們這節(jié)課就解決這方面的問題．二、合作探究探究點(diǎn)一：利用方位角解直角三角形【類型一】利用方位角求垂直距離如以下圖，A、B兩城市相距200km.現(xiàn)方案在這兩座城市間修筑一條高速公路(即線段AB)，經(jīng)測(cè)量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上．森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請(qǐng)問：方案修筑的這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732，eq\r(2)≈)．解析：過點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足．AC與BC都可以根據(jù)三角函數(shù)用PC表示出來．根據(jù)AB的長(zhǎng)得到一個(gè)關(guān)于PC的方程，求出PC的長(zhǎng)．從而可判斷出這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．解：過點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足．那么∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即eq\f(\r(3),3)PC＋PC＝200，解得PC≈＞100km.答：方案修筑的這條高速公路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．方法總結(jié)：解一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．變式訓(xùn)練：見《》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練〞第1題【類型二】利用方位角求水平距離“村村通〞公路工程拉近了城鄉(xiāng)距離，加速了我區(qū)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)建設(shè)步伐．如以下圖，C村村民欲修建一條水泥公路，將C村與區(qū)級(jí)公路相連．在公路A處測(cè)得C村在北偏東60°方向，沿區(qū)級(jí)公路前進(jìn)500m，在B處測(cè)得C村在北偏東30°方向．為節(jié)約資源，要求所修公路長(zhǎng)度最短．畫出符合條件的公路示意圖，并求出公路長(zhǎng)度．(結(jié)果保存整數(shù))解析：作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，據(jù)題意有∠CAD＝30°，求得AD.在Rt△CBD中，據(jù)題意有∠CBD＝60°，求得BD.又由AD－BD＝500，從而解得CD.解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足落在AB的延長(zhǎng)線上，CD即為所修公路，CD的長(zhǎng)度即為公路長(zhǎng)度．在Rt△ACD中，據(jù)題意有∠CAD＝30°，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，∴AD＝eq\f(CD,tan30°)＝eq\r(3)CD.在Rt△CBD中，據(jù)題意有∠CBD＝60°，∵tan∠CBD＝eq\f(CD,BD)，∴BD＝eq\f(CD,tan60°)＝eq\f(\r(3),3)CD.又∵AD－BD＝500，∴eq\r(3)CD－eq\f(\r(3),3)CD＝500，解得CD≈433(m)．答：所修公路長(zhǎng)度約為433m.方法總結(jié)：在解決有關(guān)方位角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角．變式訓(xùn)練：見《》本課時(shí)練習(xí)“課后穩(wěn)固提升〞第4題探究點(diǎn)二：利用坡角、坡度解直角三角形【類型一】利用坡角、坡度解決梯形問題如圖，某水庫(kù)大壩的橫截面為梯形ABCD，壩頂寬BC＝3米，壩高為2米，背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC為30°.求壩底AD的長(zhǎng)度．解析：首先過B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四邊形BEFC是矩形，又由背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC為30°，根據(jù)坡度的定義，即可求解．解：分別過B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足為E、F，可得BE∥CF，又∵BC∥AD，∴BC＝EF，BE＝CF.由題意，得EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡AB的坡度i＝1∶1，∴∠BAE＝45°，∴AE＝eq\f(BE,tan45°)＝2，DF＝eq\f(CF,tan30°)＝2eq\r(3)，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋2eq\r(3)＝5＋2eq\r(3)(m)．答：壩底AD的長(zhǎng)度為(5＋2eq\r(3))m.方法總結(jié)：解決此類問題一般要構(gòu)造直角三角形，并借助于解直角三角形的知識(shí)求解．變式訓(xùn)練：見《》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練〞第6題【類型二】利用坡角、坡度解決三角形問題如圖，某地下車庫(kù)的入口處有斜坡AB，它的坡度為i＝1∶2，斜坡AB的長(zhǎng)為6eq\r(5)m，斜坡的高度為AH(AH⊥BC)，為了讓行車更平安，現(xiàn)將斜坡的坡角改造為14°(圖中的∠ACB＝14°)．(1)求車庫(kù)的高度AH；(2)求點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離(結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈)．解析：(1)利用坡度為i＝1∶2，得出AH∶BH＝1∶2，進(jìn)而利用勾股定理求出AH的長(zhǎng)；(2)利用tan14°＝eq\f(6,BC＋12)，求出BC的長(zhǎng)即可．解：(1)由題意可得AH∶BH＝1∶2，設(shè)AH＝x，那么BH＝2x，故x2＋(2x)2＝(6eq\r(5))2，解得x＝6，故車庫(kù)的高度AH為6m；(2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝eq\f(AH,CH)，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝eq\f(6,BC＋12)，即0.25＝eq\f(6,BC＋12)，解得BC＝12m.答：點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離是12m.方法總結(jié)：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用中坡度、坡角問題，明確坡度等于坡角的正切值是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練：見《》本課時(shí)練習(xí)“課后穩(wěn)固提升〞第6題三、板書設(shè)計(jì)1．方位角的意義；2．坡度、坡比的意義；3．應(yīng)用方位角、坡度、坡比解決實(shí)際問題．將解直角三角形應(yīng)用到實(shí)際生活中，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，即要求學(xué)生通過對(duì)實(shí)物的觀察或根據(jù)文字語言中的某些條件，畫出適合他們的圖形．這一方面在教學(xué)過程應(yīng)由學(xué)生展開，并留給學(xué)生思考的時(shí)間，給學(xué)生充分的自主思考空間和時(shí)間，讓學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí).第2課時(shí)比例線段1．知道線段的比的概念，會(huì)計(jì)算兩條線段的比；(重點(diǎn))2．理解成比例線段的概念；(重點(diǎn))3．掌握成比例線段的判定方法．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入請(qǐng)觀察以下幾幅圖片，你能發(fā)現(xiàn)些什么？你能對(duì)觀察到的圖片特點(diǎn)進(jìn)行歸納嗎？這些例子都是形狀相同、大小不同的圖形．它們之所以大小不同，是因?yàn)樗鼈儓D上對(duì)應(yīng)的線段的長(zhǎng)度不同．二、合作探究探究點(diǎn)一：線段的比【類型一】根據(jù)線段的比求長(zhǎng)度如下列圖，M為線段AB上一點(diǎn)，AM∶MB＝3∶5，且AB＝16cm，求線段AM、BM的長(zhǎng)度．解：線段AM與MB的比反映了這兩條線段在全線段AB中所占的份數(shù)，由AM∶MB＝3∶5可知AM＝eq\f(3,8)AB，MB＝eq\f(5,8)AB.∵AB＝16cm，∴AM＝eq\f(3,8)×16＝6(cm)，MB＝eq\f(5,8)×16＝10(cm)．方法總結(jié)：此題也可設(shè)AM＝3k，MB＝5k，利用3k＋5k＝16求解更簡(jiǎn)便，這也是解這類題常用的方法．【類型二】比例尺在比例尺為1∶50000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是3cm，那么甲、乙兩地的實(shí)際距離是________m.解析：根據(jù)“比例尺＝eq\f(圖上距離,實(shí)際距離)〞可求解．設(shè)甲、乙兩地的實(shí)際距離為xcm，那么有1∶50000＝3∶x，解得x＝150000cm＝1500m.方法總結(jié)：理解比例尺的意義，注意實(shí)際尺寸的單位要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化．探究點(diǎn)二：成比例線段【類型一】判斷線段成比例以下四組線段中，是成比例線段的是()A．3cm，4cm，5cm，6cmB．4cm，8cm，3cm，5cmC．5cm，15cm，2cm，6cmD．8cm，4cm，1cm，3cm解析：將每組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，前兩條線段的比和后兩條線段的比相等的四條線段成比例．四個(gè)選項(xiàng)中，只有C項(xiàng)排列后有eq\f(2,5)＝eq\f(6,15).應(yīng)選C.方法總結(jié)：判斷四條線段是否成比例的方法：(1)把四條線段按從小到大順序排好，計(jì)算前兩條線段的比和后兩條線段的比，看是否相等作出判斷；(2)把四條線段按從小到大順序排好，計(jì)算前后兩個(gè)數(shù)的積與中間兩個(gè)數(shù)的積，看是否相等作出判斷．【類型二】由線段成比例求線段的長(zhǎng)三條線段的長(zhǎng)分別為1cm，eq\r(2)cm，2cm，請(qǐng)你再給出一條線段，使得它的長(zhǎng)與前面三條線段的長(zhǎng)能夠組成一個(gè)比例式．解：因?yàn)榇祟}中沒有明確告知是求1，eq\r(2)，2的第四比例項(xiàng)，因此所添加的線段長(zhǎng)可能是前三個(gè)數(shù)的第四比例項(xiàng)，也可能不是前三個(gè)數(shù)的第四比例項(xiàng)，因此應(yīng)進(jìn)行分類討論．設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，假設(shè)x∶1＝eq\r(2)∶2，那么x＝eq\f(\r(2),2)；假設(shè)1∶x＝eq\r(2)∶2，那么x＝eq\r(2)；假設(shè)1∶eq\r(2)＝x∶2，那么x＝eq\r(2)；假設(shè)1∶eq\r(2)＝2∶x，那么x＝2eq\r(2).所以所添加的數(shù)有三種可能，可以是eq\f(\r(2),2)，eq\r(2)，或2eq\r(2).方法總結(jié)：假設(shè)使四個(gè)數(shù)成比例，那么應(yīng)滿足其中兩個(gè)數(shù)的比等于另外兩個(gè)數(shù)的比，也可轉(zhuǎn)化為其中兩個(gè)數(shù)的乘積恰好等于另外兩個(gè)數(shù)的乘積．三、板書設(shè)計(jì)eq\a\vs4\al(比,例,線,段)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(線段的比：如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段,AB，CD的長(zhǎng)度分別是m，n，那么這兩,