初中數(shù)學(xué)專題 《三角形》含答案解析

專題01三角形1．三角形的概念由不在同一條直線上的三條線段首尾依次相接所組成的圖形叫做三角形．2．三角形的分類（1）三角形按內(nèi)角的大小分為三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．（2）三角形按邊分為兩類：等腰三角形和不等邊三角形．3．三角形三邊的關(guān)系（重點(diǎn)）（1）三角形的任意兩邊之和大于第三邊．三角形的任意兩邊之差小于第三邊．（這兩個條件滿足其中一個即可）用數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)就是：記三角形三邊長分別是a，b，c，則a+b>c或c-b<a．（2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a-b|<c<a+b．4．判斷三條已知線段a、b、c能否組成三角形．當(dāng)a最長，且有b+c>a時，就可構(gòu)成三角形．5．三角形的主要線段從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線．三角形一個角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線．連接三角形一個頂點(diǎn)與它對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線．注意：（1）三角形的角平分線、中線和高都是線段，不是直線，也不是射線；（2）任意一個三角形都有三條角平分線，三條中線和三條高；（3）任意一個三角形的三條角平分線、三條中線都在三角形的內(nèi)部．但三角形的高卻有不同的位置：銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部；直角三角形有一條高在三角形的內(nèi)部，另兩條高恰好是它兩條直角邊；鈍角三角形一條高在三角形的內(nèi)部，另兩條高在三角形的外部．（4）一個三角形中，三條中線交于一點(diǎn)，三條角平分線交于一點(diǎn)，三條高所在的直線交于一點(diǎn)．（三角形的三條高（或三條高所在的直線）交于一點(diǎn)，銳角三角形高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，直角三角形高的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)，鈍角三角形高（所在的直線）的交點(diǎn)在三角形的外部．）（5）三角形的三條高的交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做“三角形的垂心”．三角形三條角平分線的交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做“三角形的內(nèi)心”．三角形三條中線的交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做“三角形的重心”．三角形的中線可以將三角形分為面積相等的兩個小三角形．6．三角形的穩(wěn)定性（1）三角形具有穩(wěn)定性（2）四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了．7．三角形的內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和為180°，與三角形的形狀無關(guān)．8．直角三角形兩個銳角的關(guān)系直角三角形的兩個銳角互余（相加為90°）．有兩個角互余的三角形是直角三角形．一個三角形中至多有一個直角或一個鈍角；一個三角形中至少有兩個內(nèi)角是銳角．9．三角形的外角（1）三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角；（2）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角．（3）三角形的外角和等于360°．10．多邊形（1）在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形，多邊形中相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角．多邊形的邊與它鄰邊的延長線組成的角叫做外角．連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線．（2）一個n邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)為（n-3）條，其所有的對角線條數(shù)為．（3）畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果多邊形的其他邊都在這條直線的同側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形．（4）各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形．（兩個條件缺一不可，除了三角形以外，因?yàn)槿羧切蔚娜齼?nèi)角相等，則必有三邊相等，反過來也成立）11．多邊形的內(nèi)角和（1）n邊形的內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角和為（n?2）·180°（2）n邊形的外角和定理多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān)．考點(diǎn)一、三角形三邊關(guān)系例1（2020徐州）若一個三角形的兩邊長分別為3cm、6cm則它的第三邊的長可能是（）A．2cmB．3cmC．6cm D．9cm【答案】C．【解析】設(shè)第三邊的長為xcm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：6-3<x<6+3，解得：3<x<9，故選：C.【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：用較短的兩邊長相交與第三邊作比較．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，結(jié)合三角形三邊關(guān)系，掌握第三邊的范圍即可得解．考點(diǎn)二、三角形的主要線段例2（2020武漢模擬）如圖，在△ABC中有四條線段DE，BE，EF，F(xiàn)G，其中有一條線段是△ABC的中線，則該線段是（）A．線段DE B．線段BE C．線段EF D．線段FG【答案】B【解析】根據(jù)三角形中線的定義知線段BE是△ABC的中線，故選：B．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的中線，解題的關(guān)鍵是掌握三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．考點(diǎn)三、三角形內(nèi)角和例3（2020錦州）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD平分∠ACB，則∠ADC的度數(shù)是（）A.80°B.90°C.100°D.110°【答案】C【解析】∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACB=180°-30°-50°=100°（三角形內(nèi)角和定義）∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACB=×100°=50°.∴∠ADC=∠BCD+∠B=50°+50°=100°.故選：C.【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)四、多邊形內(nèi)角和例4（2020北京）正五邊形的外角和為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】任意多邊形的外角和都是360°，故正五邊形的外角和為360°．

故答案為：360°．考點(diǎn)五、三角形的外角例5（2020湘潭）如圖，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=110°，∠B=50°，則∠A=（）A．40° B．50° C．55° D．60°【答案】D【解析】∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠B+∠A，∴∠A=ACD-∠B，∵∠ACD=110°，∠B=50°，∴∠A=60°，故選：D．【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，熟記三角形外角性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)六、三角形的穩(wěn)定性例6（2020黃岡一模）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】三角形具有穩(wěn)定性．故選A．【名師點(diǎn)睛】此題考查了三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性，正確掌握三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)七、多邊形的邊角關(guān)系例7（2020揚(yáng)州）如圖，小明從A出發(fā)沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)B，向左轉(zhuǎn)45°后又沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)C，再向左轉(zhuǎn)45°后沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)D…照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時所走的路程為（）A．100米 B．80米 C．60米 D．40米【答案】A【解析】∵小明每次都是沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)45度，∴他走過的圖形是正多邊形，∴邊數(shù)n=360°÷45°=8，∴他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時，一共走了8×10=80（m）.故選：B.【名師點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的邊數(shù)的求法，多邊形的外角和為360°；根據(jù)題意判斷出小明走過的圖形是正多邊形是解題的關(guān)鍵.一、選擇題1.（2020紹興）長度分別為2，3，3，4的四根細(xì)木棒首尾相連，圍城一個三角形（木棒允許連接，但不許折斷），得到的三角形的最長邊長為（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】①長度分別為2，3，3，4，能構(gòu)成三角形，且最長邊為5；②長度分別為2，6，4，不能構(gòu)成三角形；③長度分別為2，7，3，不能構(gòu)成三角形；④長度分別為6，3，3，不能構(gòu)成三角形；綜上所述，得到三角形的最長邊長為5.故選：B.2.（2020大連）如圖，△AC中，∠A=60°，∠B=40°，DE∥BC，則∠AED的度數(shù)是（）A.50°B.60°C.70°D.80°【答案】D【解析】∵∠C=180°-∠A-∠B，∠A=60°，∠B=40°，∴∠C80°，∵DE∥BC，∴∠AED=∠C=80°.故選：D.3．在下列條件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3；③∠A=90°-∠B；④∠A=∠B=∠C，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】根據(jù)直角三角形的定義，只要有一個角為90°的三角形為直角三角形，以及三角形的內(nèi)角和為180°，①②③④都有一個角為90°，故選D．4．（2020上海模擬）聯(lián)歡會上，A、B、C三名選手站在一個三角形三個頂點(diǎn)上玩搶凳子游戲，在他們中間放個木凳，誰先搶到凳子就獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最適當(dāng)位置是△ABC的（）A．三邊中線的交點(diǎn) B．三邊中垂線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊上高的交點(diǎn)【答案】C【解析】為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點(diǎn)上．∵三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)到中間的凳子的距離相等，∴凳子應(yīng)放在△ABC的三條垂直平分線的交點(diǎn)最適當(dāng)．故選C．5．（2020吉林）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠a的大小為（）A.85°B.75°C.65°D.60°【答案】B【解析】如圖所示，∵∠BCD=65°，∠BCA=45°，∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=60°-45°=15°∠a=180°-∠D-∠ACD=180°-90°-15°=75°.故選：B.6．（2020無錫）正十邊形的每一個外角的度數(shù)為（）A．36° B．30° C．144° D．150°【答案】A【解析】正十邊形的每一個外角都相等，因此每一個外角：360°÷10=36°，故選：A．7.（2020赤壁一模）如圖，點(diǎn)D在BC的延長線上，DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若∠A＝35°，∠D＝15°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．65° B．70° C．75° D．85°【答案】B【解析】∵DE⊥AB，∠A＝35°∴∠AFE＝∠CFD＝55°，∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝15°+55°＝70°．故選：B．8．如圖，在中BC邊上的高是（）A．CE B．CF C．AD D．AC【答案】C【解析】∵AD⊥BC，∴在△ABC中，BC邊上的高為線段AD．故選C．9.（2020黃岡）已知一個正多邊形的一個外角為36°，則這個正多邊形的邊數(shù)是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】360°÷36°=10，所以這個正多邊形的邊數(shù)是正十邊形，故選：D．10．如圖，在△ABC中，D，E分別為BC上兩點(diǎn)，且BD=DE=EC，則圖中面積相等的三角形有（）A．4對 B．5對 C．6對 D．7對【答案】A【解析】由于三角形的面積S=底×高，當(dāng)高相等時只要底相等，面積就相等，因?yàn)锽D=DE=EC，所以BE=CD，所以S△ABD=S△ADE，S△ABD=S△AEC，S△ADE=S△AEC，S△ABE=S△ADC，共4對，故選A．二、填空題11.（2020濟(jì)寧）已知三角形的兩邊長分別為3和6，則這個三角形的第三邊長可以是．（寫出一個即可）【答案】4【解析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得第三邊應(yīng)大于6-3=3，而小于6+3=9，故第三邊的長度3<x<9，這個三角形的第三邊長可以是4．故答案為：4．12．(2020陜西模擬）正n邊形的每個內(nèi)角為120°，這個正n邊形的對角線條數(shù)為條．【答案】【解析】因?yàn)檎齨邊形的每個內(nèi)角為，所以正n邊形的每個外角為，所以正n邊形的邊數(shù)n所以正n邊形的對角線的條數(shù)為條．故答案為：9．13.（2020湘西州）若一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的兩倍，則該多邊形的邊數(shù)是．【答案】6.【解析】設(shè)該多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得，（n-2）180°=720°，解得：n=6，故多邊形的邊數(shù)為6．故答案為：6．14.如圖，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分線，DE平分∠ADC交AC于E，則∠BDE=__________°．【答案】48【解析】∵在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=（180°-66°-54°）=30°，∴在△ADC中，∠ADC=180°-∠CAD-∠C=180°-30°-54°=96°．又DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠ADC=48°．故答案為：48°．15．如圖，△ABC的周長為32，且BD=DC，AD⊥BC于D，△ACD的周長為24，那么AD的長為______．【答案】8【解析】由于△ABC中BD=DC，AD⊥BC，所以△ABC為等腰三角形，△ACD的周長=△ABD的周長，所以2AD=24+24-32=16，所以AD=8．故答案為：8．16.（2020哈爾濱一模）在△ABC中,∠A=50°,∠B=30°,點(diǎn)D在AB邊上,連接CD,若△ACD為直角三角形,則∠BCD的度數(shù)為______度【答案】60或10【解析】當(dāng)△ACD為直角三角形時，存在兩種情況：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論．【解答】分兩種情況：①如圖1，當(dāng)∠ADC＝90°時，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；②如圖2，當(dāng)∠ACD＝90°時，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，綜上，則∠BCD的度數(shù)為60°或10°；故答案為：60°或10；三、解答題17.（2020廣西模擬）如圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數(shù)．FFEDCBA【答案】詳解見解析．【解析】如圖，連接BE．FFEDCBA1∵∠1=∠C＋∠D，∠1=∠CBE＋∠DEB，∴∠C＋∠D=∠CBE＋∠DEB，∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F=∠A＋∠ABC＋∠CBE＋∠DEB＋∠DEF＋∠F=∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F．又∵∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F=360°，∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F=360°．18.（2020黃石模擬）如圖，在中，DB和DC分別平分內(nèi)角和，和CG分別平分外角和，，求和的度數(shù)．【答案】詳解見解析．【解析】、是內(nèi)角平分線，∵，∴，∴，∴，又∵，∵、是、的外角平分線，∴，∴．19．（2020十堰模擬）如圖，△ABC中，CD平分∠ACB，∠A=68°，∠BCD=31°．求∠B，∠ADC的度數(shù)．【答案】詳解見解析．【解析】∵△ABC中，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=31°．又∵在△ACD中，∠A=68°，∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-68°-31°=81°，∵∠ADC是△BCD中∠BDC的外角，∴∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠B=∠ADC-∠BCD=81°-31°=50°．20．已知：如圖，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分別是邊AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度數(shù)．【答案】詳解見解析．【解析】∵∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，∴設(shè)∠A=3x，則∠ABC=4x，∠ACB=5x，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴∠ABC=60°，∠ACB=75°．∵BD為AC邊上的高，∴∠BDC=90°，∴在Rt△BDC中，∠DBC=90°-∠ACB=90°-75°=15°．同理∠ECB=90°-∠ABC=30°，∴在△BHC中，∠BHC=180°-15°-30°=135°．21．（2020荊門模擬）如圖，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠ABO=20°，∠ACO=30°．求∠BOC的度數(shù)．【答案】詳解見解析．【解析】連接AO并延長交BC于點(diǎn)D．在△ABO中∠BOD=∠ABO+∠BAO，在△ACO中∠COD=∠ACO+∠CAO．因?yàn)椤螦=∠BAO+∠CAO，∠BOC=∠BOD+∠COD，所以∠BOC=∠BOD+∠COD=∠ABO+∠BAO+∠ACO+∠CAO=∠ABO+∠ACO+∠A=20°+30°+50°=100°．22．已知：如圖，在△ABC中，AB>AC，AM是BC邊的中線．求證：AM>（AB-AC）．【答案】詳解見解析．【解析】延長AM到D，使MD=AM，連接BD．在△CMA和△BMD中，AM=DM，∠AMC=∠DMB，CM=BM，∴△CMA≌△BMD，∴BD=AC．在△ABD中，AB-BD<AD，而AD=2AM，∴AB-AC<2AM，∴AM>（AB-AC）．23.（2020宜昌一模）如圖，某校有一塊三角形空地，要在上面栽種四種不同的花草，需將該空地分成面積相等的四塊.請你設(shè)計幾種不同的劃分方案.【答案】詳解見解析．【解析】利用三角形的中線分三角形為面積相等的兩部分，作出△ABC的中線后，再作新三角形的中線，可得到多種設(shè)計方案.如圖所示：24.（1）如圖（1），在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD與∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并說明理由．

（2）如圖（2），AE平分∠BAC，F(xiàn)為AE上一