2022年人教版《菱形的判定》公開課教案

第2課時(shí)菱形的判定1．掌握菱形的判定方法；(重點(diǎn))2．探究菱形的判定條件并合理利用它進(jìn)行論證和計(jì)算．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入我們已經(jīng)知道，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．這是菱形的定義，我們可以根據(jù)定義來判定一個四邊形是菱形．除此之外，還能找到其他的判定方法嗎？菱形是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形，具有如下的性質(zhì)：1．兩條對角線互相垂直平分；2．四條邊都相等；3．每條對角線平分一組對角．這些性質(zhì)，對我們尋找判定菱形的方法有什么啟示呢？二、合作探究探究點(diǎn)一：菱形的判定【類型一】利用“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形〞判定四邊形是菱形如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE＝2DE，延長DE到點(diǎn)F，使得EF＝BE，連接CF.求證：四邊形BCFE是菱形．解析：由題意易得，EF與BC平行且相等，∴四邊形BCFE是平行四邊形．又∵EF＝BE，∴四邊形BCFE是菱形．證明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴BC＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形．又∵EF＝BE，∴四邊形BCFE是菱形．方法總結(jié)：菱形必須滿足兩個條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等．【類型二】利用“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形〞判定四邊形是菱形如圖，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于點(diǎn)C，BD平分∠ABC，且交AE于點(diǎn)D，連接CD.求證：(1)AC⊥BD；(2)四邊形ABCD是菱形．解析：(1)證得△BAC是等腰三角形后利用“三線合一〞的性質(zhì)得到AC⊥BD即可；(2)首先證得四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據(jù)“對角線互相垂直〞得到平行四邊形是菱形．證明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵AE∥BF，∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA＝CB.∵BC∥DA，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．方法總結(jié)：用判定方法“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形〞證明四邊形是菱形的前提條件是該四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形．【類型三】利用“四條邊相等的四邊形是菱形〞判定四邊形是菱形如圖，△ABC，按如下步驟作圖：①分別以A，C為圓心，大于eq\f(1,2)AC的長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點(diǎn)；②作直線PQ，分別交AB，AC于點(diǎn)E，D，連接CE；③過C作CF∥AB交PQ于點(diǎn)F，連接AF.(1)求證：△AED≌△CFD；(2)求證：四邊形AECF是菱形．解析：(1)由作圖知PQ為線段AC的垂直平分線，從而得到AE＝CE，AD＝CD.然后根據(jù)CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用“AAS〞證得兩三角形全等即可；(2)根據(jù)(1)中全等得到AE＝CF.然后根據(jù)EF為線段AC的垂直平分線，得到EC＝EA，F(xiàn)C＝FA.從而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用“四邊相等的四邊形是菱形〞判定四邊形AECF為菱形．證明：(1)由作圖知PQ為線段AC的垂直平分線，∴AE＝CE，AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED.在△AED與△CFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAC＝∠FCA，,∠AED＝∠CFD，,AD＝CD，))∴△AED≌△CFD(AAS)；(2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF.∵EF為線段AC的垂直平分線，∴EC＝EA，F(xiàn)C＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四邊形AECF為菱形．方法總結(jié)：判定一個四邊形是菱形把握以下兩起點(diǎn)：(1)以四邊形為起點(diǎn)進(jìn)行判定；(2)以平行四邊形為起點(diǎn)進(jìn)行判定．探究點(diǎn)二：菱形的判定的應(yīng)用【類型一】菱形判定中的開放性問題如圖，平行四邊形ABCD中，AF、CE分別是∠BAD和∠BCD的平分線，根據(jù)現(xiàn)有的圖形，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形AECF為菱形，那么添加的一個條件可以是__________(只需寫出一個即可，圖中不能再添加別的“點(diǎn)〞和“線〞)．解析：∵AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB.∵AF是∠BAD的平分線，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF.同理ED＝CD.∵AD＝BC，AB＝CD，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，那么添加的一個條件可以是AC⊥EF.方法總結(jié)：菱形的判定方法常用的是三種：(1)定義；(2)四邊相等的四邊形是菱形；(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．【類型二】菱形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一點(diǎn)，BE交AC于F，連接DF.(1)求證：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)假設(shè)AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形；(3)在(2)的條件下，試確定E點(diǎn)的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并說明理由．解析：(1)首先利用“SSS〞證明△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC.再證明△ABF≌△ADF，可得∠AFD＝∠AFB，進(jìn)而得到∠AFD＝∠CFE；(2)首先證明∠CAD＝∠ACD，再根據(jù)“等角對等邊〞，可得AD＝CD.再由條件AB＝AD，CB＝CD，可得AB＝CB＝CD＝AD，可得四邊形ABCD是菱形；(3)首先證明△BCF≌△DCF，可得∠CBF＝∠CDF，再根據(jù)BE⊥CD可得∠BEC＝∠DEF＝90°，進(jìn)而得到∠EFD＝∠BCD.(1)證明：在△ABC和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,BC＝DC，,AC＝AC，))∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC.在△ABF和△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAF＝∠DAF，,AF＝AF，))∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFD＝∠AFB.∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE；(2)證明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四邊形ABCD是菱形；(3)解：當(dāng)EB⊥CD于E時(shí)，∠EFD＝∠BCD.理由如下：∵四邊形ABCD為菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.在△BCF和△DCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝CD，,∠BCF＝∠DCF，,CF＝CF，))∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，那么∠BCD＋∠CBF＝∠EFD＋∠CDF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD.方法總結(jié)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．三、板書設(shè)計(jì)1．菱形的判定有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；四條邊相等的四邊形是菱形．2．菱形的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用在運(yùn)用判定時(shí)，要遵循先易后難的原那么，讓學(xué)生先會運(yùn)用判定解決簡單的證明題，再由淺入深，學(xué)會靈活運(yùn)用．通過做不同形式的練習(xí)題，讓學(xué)生能準(zhǔn)確掌握菱形的判定并會靈活運(yùn)用．第1課時(shí)比賽積分和行程問題【知識與技能】1.了解列二元一次方程組與列一元一次方程組的異同.2.經(jīng)歷和體驗(yàn)方程組解決實(shí)際問題的過程，了解應(yīng)用二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟.【過程與方法】經(jīng)歷二元一次方程組解決實(shí)際問題的過程，體會列二元一次方程組與列一元一次方程組的異同，知道列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟.【情感態(tài)度】針對問題的探究，鼓勵學(xué)生大膽嘗試，通過交流、合作、討論，享受學(xué)習(xí)的樂趣和成功感，培養(yǎng)學(xué)生大膽發(fā)言的習(xí)慣，敢于面對挑戰(zhàn).【教學(xué)重點(diǎn)】重點(diǎn)是會用列方程組解決比賽積分和行程問題.【教學(xué)難點(diǎn)】難點(diǎn)是在實(shí)際問題中找等量關(guān)系、列方程組.一、情境導(dǎo)入,初步認(rèn)識【情境】實(shí)物投影，并呈現(xiàn)問題：甲、乙兩人在一條長400米的環(huán)形跑道上跑步，假設(shè)同向跑，那么每隔分鐘相遇一次；假設(shè)反向跑，那么每隔40秒相遇一次.又知甲比乙跑得快，求甲、乙兩人的速度.你能找出問題中所含的等量關(guān)系嗎？你能列方程組解決問題嗎？總結(jié)列方程組解應(yīng)用題的一般步驟.【教學(xué)說明】情境中同向跑是追及問題，追及時(shí)甲比乙多跑一周；反向跑是相遇問題，相遇時(shí)兩人所跑路程之和是環(huán)形跑道的長.解：設(shè)甲的速度為x米/秒，乙的速度為y米/秒.依題意，得.解得甲的速度6米/秒，乙的速度4米/秒.【教學(xué)說明】通過現(xiàn)實(shí)情景再現(xiàn)，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識與實(shí)際生活的聯(lián)系.學(xué)生通過前面的情景引入，在老師的引導(dǎo)下，通過自己的觀察，歸納出結(jié)論，進(jìn)而體驗(yàn)到成功的喜悅，同時(shí)，也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.二、思考探究，獲取新知列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟問題列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟是什么？【教學(xué)說明】學(xué)生通過類比一元一次方程應(yīng)用的步驟，在經(jīng)過觀察、分析、類比后能得出結(jié)論.【歸納結(jié)論】列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：①設(shè)出題中的兩個未知數(shù)；②找出題中的兩個等量關(guān)系；③根據(jù)等量關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出兩個方程，并組成方程組；④解這個方程組，求出未知數(shù)的值；⑤檢驗(yàn)所得結(jié)果的正確性及合理性并寫出答案.三、運(yùn)用新知，深化理解1.小明去郊游,早上9時(shí)下車,先走平路,然后登山,到山頂后又沿原路返回到下車處,正好是下午2時(shí),假設(shè)他走平路每小時(shí)走4km,爬山時(shí)每小時(shí)走3km,下山時(shí)每小時(shí)走6km,那么小明從上午到下午一共走的路程是〔〕2.某校學(xué)生進(jìn)行軍訓(xùn)，以每小時(shí)5km的速度去執(zhí)行任務(wù)，出發(fā)4小時(shí)12分鐘后，學(xué)校軍訓(xùn)指揮部派通訊員騎摩托車追趕學(xué)生隊(duì)伍傳達(dá)新任務(wù)，用了36分鐘趕上了隊(duì)伍，求摩托車的速度.【教學(xué)說明】通過新課的講解以及學(xué)生的練習(xí)，充分做到講練結(jié)合，讓學(xué)生更好地穩(wěn)固新知識.通過本環(huán)節(jié)的講解與訓(xùn)練，讓學(xué)生對列二元一次方程組解應(yīng)用題有了更加明確的認(rèn)識，同時(shí)也盡量讓學(xué)生明白知識點(diǎn)不是孤立的，需要前后聯(lián)系，才能更好地處理問題.x千米.根據(jù)題意，列方程得x=5×(4+)解這個方程得x＝40答：摩托車的速度為每小時(shí)40千米.四、師生互動，課堂小結(jié)1.列方程組解比賽積分和行程問題需要注意哪些問題？2.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí),你還有哪些疑惑，大家交流.【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生自己小結(jié)本節(jié)課的知識要點(diǎn)及數(shù)學(xué)方法，從而將本節(jié)知識點(diǎn)進(jìn)行很好的回憶以加深學(xué)生的印象，同時(shí)使知識系