自旋軌道耦合的推導(dǎo)

課程作業(yè)題目:題目:旋軌道耦合的推導(dǎo)姓名： 學(xué)號(hào)：班級(jí)： 2014年11月8號(hào)摘要：本文通過(guò)計(jì)算電子的進(jìn)動(dòng)動(dòng)能得出自旋軌道耦合公式，并對(duì)課本中△坊=1這個(gè)模糊的問(wèn)題提出看法。Ls2目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1引言 4\o"CurrentDocument"2關(guān)于課本推導(dǎo)的討論 4\o"CurrentDocument"3自旋同軌道相互作用推導(dǎo) 54參考文獻(xiàn) 71引言在量子力學(xué)里，一個(gè)粒子因?yàn)樽孕c軌道運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的作用，稱為自旋-軌道作用。最著名的例子是電子能級(jí)的位移。電子移動(dòng)經(jīng)過(guò)原子核的電場(chǎng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生電磁作用．電子的自旋與這電磁作用的耦合，形成了自旋-軌道作用。譜線分裂實(shí)驗(yàn)明顯地偵測(cè)到電子能級(jí)的位移，證實(shí)了自旋-軌道作用理論的正確性。另外一個(gè)類(lèi)似的例子是原子核殼層模型(shellmodel)能級(jí)的位移。本文根據(jù)環(huán)形電流公式計(jì)算有效磁場(chǎng)來(lái)推導(dǎo)相互作用的公式。2關(guān)于課本推導(dǎo)的討論在原子物理學(xué)課本中130-131面對(duì)相互作用公式進(jìn)行了推導(dǎo)。推導(dǎo)思路是這樣。電子的自旋軌道耦合能一般都根據(jù)電磁學(xué)理論得出。如圖1設(shè)原子磁矩十 f卩與磁場(chǎng)E之間的夾角是eo則原子受力矩M=^tXBT￡ —使”轉(zhuǎn)向B的方向，使e減小。若e增加de, 做功dA-一卜力矩作功dA等于勢(shì)能W的減小，‘叩-川：弘曲選取e—-,w=o則具有磁矩”的原子在磁場(chǎng)中具有能量2W——pBcosfl——/rB由此得出，自旋磁矩為”s的電子在磁場(chǎng)中所具有的能量△碌二但是電子磁矩是由于它具有軌道角動(dòng)量。電子磁矩在磁場(chǎng)中受力矩作用不是使磁矩轉(zhuǎn)向磁場(chǎng)方向,而是使電子的角動(dòng)量繞磁場(chǎng)方向作拉摩爾進(jìn)動(dòng),使電子的動(dòng)能發(fā)生變化。這和磁性物體在磁場(chǎng)中具有勢(shì)能的機(jī)制有根本區(qū)別。另外考慮到參照系問(wèn)題。一般選取實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系,在這里就是原子核或原子實(shí),嚴(yán)格來(lái)說(shuō)應(yīng)是質(zhì)心坐標(biāo)系。但從原子核坐標(biāo)系來(lái)看,電子處只有靜電場(chǎng)而無(wú)磁場(chǎng),所以無(wú)法用上式來(lái)計(jì)算。

為了解決存在問(wèn)題，一般認(rèn)為上式中的R是在電子坐標(biāo)系中所觀察到的磁場(chǎng)，也就是電子感受到由于其軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)，即原子核繞電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的磁場(chǎng)。然后考慮到電子繞原子核旋轉(zhuǎn)，有一個(gè)加速度，因此電子坐標(biāo)系相對(duì)于原子核坐標(biāo)系有一個(gè)托馬斯進(jìn)動(dòng)。由此可推得，原子核坐標(biāo)系中觀察到的電子處的磁場(chǎng)（等效磁場(chǎng)）應(yīng)為E應(yīng)為二H。但這仍和原子核坐標(biāo)系中在電子處只觀察到靜電場(chǎng)的事實(shí)相矛盾。有的認(rèn)為，由于“原子核和電子坐標(biāo)系之間有個(gè)相對(duì)論時(shí)間差，并依此修正?；蚧\統(tǒng)指出，按相對(duì)論處理，的值是上式的2這就造成的理解的困難。另外根據(jù)參考文獻(xiàn)四課本中的推導(dǎo)仍然有不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤?。所以下邊用的是另外一種推導(dǎo)方法。3 自旋同軌道相互作用推導(dǎo)計(jì)算電子作拉摩爾進(jìn)動(dòng)所引起的動(dòng)能變化，再由原子核坐標(biāo)系中所觀察到的電子的進(jìn)動(dòng)角速度，最后給出自旋一軌道耦合能的計(jì)算式。TOC\o"1-5"\h\z-h 十如圖所示，電子繞原子核運(yùn)動(dòng)，軌道角動(dòng)量為I，磁矩為卩。電子繞核運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為Ek=tn（rir穴、在磁場(chǎng)中受力矩 I\、屮f \I作用，使叫繞H作拉摩爾進(jìn)動(dòng)，進(jìn)動(dòng)角速度e29=廠13方向與H—致。設(shè)":與I；間的夾角為a,把":分成兩個(gè)分量：匕，方向的分量?八一二,"X5，它和電子的軌道角速度0同向或反向。使電子沿軌道方向的角速度增加（或減?。﹚cosa。垂直于X;的分量f"- :"-ri''J-o設(shè)電子至OA的距離為d,該分量使電子獲得垂直于軌道平面的線速度亠―小對(duì)⑴。在這種情況下電子具有的動(dòng)能為

=〔匸十r2(甲*4CT3S<t)'*cL2a?HiTi2?]由于進(jìn)動(dòng)，電子的動(dòng)能增量△Ek三Ek-孔陽(yáng)=m(2T2(ptoccsa+r^oo^a+cl2co；5i[i2a)由于在一般磁場(chǎng)中，進(jìn)動(dòng)角速度比軌道運(yùn)動(dòng)角速度小得多，所以等式右邊的第二、第三項(xiàng)和第一項(xiàng)相比可以略去。有△Ek二mFcpeucosa=卩尹c(diǎn)osct=P^*tn為電子的軌道角動(dòng)量，^=m"0。推廣用于自旋角動(dòng)量，可得電子自旋角動(dòng)量作拉摩爾進(jìn)動(dòng)的動(dòng)能，即自旋—軌道耦合能為△E“=Pg亠沖譙$T 4 —*Pi=nir>V為電子的軌道角動(dòng)量。47TE(47TE(}m2c：r3^m由于電子繞原子實(shí)運(yùn)動(dòng)，有一個(gè)加速度耳在原子實(shí)坐標(biāo)系中將觀察到電子坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸會(huì)發(fā)生進(jìn)動(dòng)托馬斯進(jìn)動(dòng)，由有關(guān)文獻(xiàn)可知，其角速度為⑺丁=lavcosp⑺丁=lavcospT 2C2；二F二 ZWr3m 47TEOmr3T二—丄一Z：己S_衍2 ? 247TEoin2c3把上式代入得1Z*e2o/+這樣，在原子實(shí)坐標(biāo)系中觀察到電子的進(jìn)動(dòng)角速度為1把上式代入得1Z*e2o/+這樣，在原子實(shí)坐標(biāo)系中觀察到電子的進(jìn)動(dòng)角速度為1Ztte211坐標(biāo)系的進(jìn)動(dòng)，使電子的進(jìn)動(dòng)角速度減少到原來(lái)的2，而不是磁場(chǎng)變?yōu)?(磁場(chǎng)始終為零)。根據(jù)量子力學(xué)知識(shí)最后得到電子的自旋一軌道耦合能的計(jì)算為咅屯=用_尋_図=寺[j(j+1)-/(l+l)-s(s+l)J最后得到電子的自旋一軌道耦合能的計(jì)算為口_e2_ r二2/mJ其中4vihc為精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)， 為里德伯常數(shù)。5參考文獻(xiàn)段炎平.自旋一軌道禍合表達(dá)式的推導(dǎo)[J]