02函數(shù)的極限王振堂高等數(shù)學教學課件

§2.2函數(shù)的極限一、當x時函數(shù)的極限二、當xx0時函數(shù)的極限三、左極限與右極限四、關(guān)于函數(shù)極限的定理§2.2函數(shù)的極限一、當x時函數(shù)的極限二、當xx0一、當x時函數(shù)f(x)的極限

引例

和數(shù)列極限一樣“當|x|無限增大時

y無限地接近于1”

是指“當|x|無限增大時

|y1|可以任意小”

即對于任意給定的

0

要使限

一、當x時函數(shù)f(x)的極限引例和定義23(函數(shù)的極限)

如果對于任意給定的正數(shù)總存在一個正數(shù)M

使得當一切|x|M時

|f(x)A|

恒成立則稱當x趨于無窮大時函數(shù)f(x)以常數(shù)A為極限記作說明

定義中刻劃f(x)與A的接近程度

M刻劃|x|充分大的程度

是任意給定的正數(shù)

M是隨而確定的

如果x從某一時刻起往后總是取正值(負值)而且|x|無限增大則稱x趨于正(負)無窮大記作x(x)

此時定義中|x|M可改寫為xM(xM)定義23(函數(shù)的極限)如果對于任意給定的

證

證對于任意給定的

0

要使

證

因此對于任意給定的

0取Mlog2

則當xM時注意:p.56圖2-5對于任意給定的0要使證對于任意給定的

0

要使

證

因此對于任意給定的

0取Mlog2

則當x<－M時注意:例2(續(xù))用定義證明p.56圖2-5對于任意給定的0要使證例4解例3解xy例4解例3解xy極限f(x)A(x)的幾何意義

對任意給定的小正數(shù)

總可以找到M0

當x進入?yún)^(qū)間(

M)(M

)時f(x)全部落入?yún)^(qū)間(A

A)內(nèi)極限f(x)A(x)的幾何意義對任引例.

測量正方形面積.面積為A)邊長為(真值:邊長面積直接觀測值間接觀測值任給精度

,要求確定直接觀測值精度

:二、當xx0時函數(shù)f(x)的極限目的:研究當自變量x→x0時,函數(shù)y=f(x)的變化性態(tài).引例.測量正方形面積.面積為A)邊長為(真值:邊長面積定義24(函數(shù)的極限)

如果對于任意給定的正數(shù)總存在一個正數(shù)使當0|xx0|

時

|f(x)A|恒成立則稱當x趨于x0時函數(shù)f(x)以常數(shù)A為極限記作說明

(1)定義中的刻劃f(x)與常數(shù)A的接近程度

刻劃x與x0的接近程度

是隨而確定的

(2)定義中的|xx0|

表示x與x0的距離小于而0|xx0|表示xx0

因此0|xx0|表示x(x0

x0)(x0

x0)

定義24(函數(shù)的極限)如果對于任意給定的

分析

設(shè)f(x)3x2對于任意給定的

0

要使|f(x)4||(3x2)4||3x6|3|x2|

證明:|f(x)4||(3x2)4||3x6|3|x2|

5分析設(shè)f(x)3x2對于任意給定的|f(x)x0||xx0|只要取就可以了

設(shè)f(x)x

證

|f(x)x0|

取當0|xx0|時

因此對于任意給定的

0對于任意給定的

0

要使6|f(x)x0||xx0|設(shè)f(x)x例5證函數(shù)在點x=1處沒有定義.7例5證函數(shù)在點x=1處沒有定義.7極限f(x)A(xx0)的幾何意義

f(x)全部落入?yún)^(qū)間(A

A)內(nèi)

當x進入(x0

x0)(x0

x0)時

總可以找到

0

對任意給定的正數(shù)

極限f(x)A(xx0)的幾何意義三、左極限與右極限

觀察當x從0的左側(cè)趨于0時和當x從0的右側(cè)趨于0時

f(x)的變化趨勢

容易看出當x從0的左側(cè)趨于0時

f(x)趨于1

而當x從0的右側(cè)趨于0時

f(x)趨于0

我們分別稱它們是函數(shù)f(x)當x趨于0時的左極限與右極限

三、左極限與右極限觀察當x從0的左側(cè)趨于0時三、左極限與右極限定義25(左極限右極限)

如果當x從x0的左側(cè)(xx0)趨于x0時

f(x)以A為極限即對于任意給定的

0

總存在一個正數(shù)使0x0x時

|f(x)A|恒成立則稱A為xx0時f(x)的左極限記作

如果當x從x0的右側(cè)(xx0)趨于x0時

f(x)以A為極限即對于任意給定的

0

總存在一個正數(shù)使0xx0時

|f(x)A|恒成立則稱A為xx0時f(x)的右極限記作三、左極限與右極限定義25(左極限右極限)四、關(guān)于函數(shù)極限的定理定理21(雙側(cè)極限與單側(cè)極限的關(guān)系)

解當x0時

而當x0時

8四、關(guān)于函數(shù)極限的定理定理21(雙側(cè)極限與單側(cè)極限的關(guān)系)左右極限存在但不相等,例9證四、關(guān)于函數(shù)極限的定理左右極限存在但不相等,例9證四、關(guān)于函數(shù)極限的定理四、關(guān)于函數(shù)極限的定理定理21(雙側(cè)極限與單側(cè)極限的關(guān)系)

例10.研究當x0時

f(x)|x|的極限

解四、關(guān)于函數(shù)極限的定理定理21(雙側(cè)極限與單側(cè)極限的關(guān)系)定理22(局部保號定理)

如果f(x)A(x0x0)

而且A0(或A0)

則總存在一個正數(shù)使當0|xx0|時

f(x)0(或f(x)0)

四、關(guān)于函數(shù)極限的定理

設(shè)A0

取A/2

則按極限定義可知總存在一正數(shù)

使當0|xx0|時不等式|f(x)A|A/2恒成立于是可得

AA/2f(x)<A+A/2

因此

f(x)>A/2>0

類似地可證A0的情形

證定理22(局部保號定理)四、關(guān)于函數(shù)極限的定理定理22(局部保號定理)

如果f(x)A(x0x0)

而且A0(或A0)

則總存在一個正數(shù)使當0|xx0|時

f(x)0(或f(x)0)

四、關(guān)于函數(shù)極限的定理定理23

如果f(x)A(xx0)

且f(x)0(或f(x)0)

則A0(或A0)

如果f(x)0

假設(shè)定理不成立即A0

那么由定理22可知存在一個正數(shù)使當0|xx0|時有f(x)0

這與f(x)0的假設(shè)矛盾所以A0

同理可證f(x)0的情形

證作業(yè):p904(1)(3);5;6.定理22(局部保號定理)四、關(guān)于函數(shù)極限的定理定理23§2.2函數(shù)的極限一、當x時函數(shù)的極限二、當xx0時函數(shù)的極限三、左極限與右極限四、關(guān)于函數(shù)極限的定理§2.2函數(shù)的極限一、當x時函數(shù)的極限二、當xx0一、當x時函數(shù)f(x)的極限

引例

和數(shù)列極限一樣“當|x|無限增大時

y無限地接近于1”

是指“當|x|無限增大時

|y1|可以任意小”

即對于任意給定的

0

要使限

一、當x時函數(shù)f(x)的極限引例和定義23(函數(shù)的極限)

如果對于任意給定的正數(shù)總存在一個正數(shù)M

使得當一切|x|M時

|f(x)A|

恒成立則稱當x趨于無窮大時函數(shù)f(x)以常數(shù)A為極限記作說明

定義中刻劃f(x)與A的接近程度

M刻劃|x|充分大的程度

是任意給定的正數(shù)

M是隨而確定的

如果x從某一時刻起往后總是取正值(負值)而且|x|無限增大則稱x趨于正(負)無窮大記作x(x)

此時定義中|x|M可改寫為xM(xM)定義23(函數(shù)的極限)如果對于任意給定的

證

證對于任意給定的

0

要使

證

因此對于任意給定的

0取Mlog2

則當xM時注意:p.56圖2-5對于任意給定的0要使證對于任意給定的

0

要使

證

因此對于任意給定的

0取Mlog2

則當x<－M時注意:例2(續(xù))用定義證明p.56圖2-5對于任意給定的0要使證例4解例3解xy例4解例3解xy極限f(x)A(x)的幾何意義

對任意給定的小正數(shù)

總可以找到M0

當x進入?yún)^(qū)間(

M)(M

)時f(x)全部落入?yún)^(qū)間(A

A)內(nèi)極限f(x)A(x)的幾何意義對任引例.

測量正方形面積.面積為A)邊長為(真值:邊長面積直接觀測值間接觀測值任給精度

,要求確定直接觀測值精度

:二、當xx0時函數(shù)f(x)的極限目的:研究當自變量x→x0時,函數(shù)y=f(x)的變化性態(tài).引例.測量正方形面積.面積為A)邊長為(真值:邊長面積定義24(函數(shù)的極限)

如果對于任意給定的正數(shù)總存在一個正數(shù)使當0|xx0|

時

|f(x)A|恒成立則稱當x趨于x0時函數(shù)f(x)以常數(shù)A為極限記作說明

(1)定義中的刻劃f(x)與常數(shù)A的接近程度

刻劃x與x0的接近程度

是隨而確定的

(2)定義中的|xx0|

表示x與x0的距離小于而0|xx0|表示xx0

因此0|xx0|表示x(x0

x0)(x0

x0)

定義24(函數(shù)的極限)如果對于任意給定的

分析

設(shè)f(x)3x2對于任意給定的

0

要使|f(x)4||(3x2)4||3x6|3|x2|

證明:|f(x)4||(3x2)4||3x6|3|x2|

5分析設(shè)f(x)3x2對于任意給定的|f(x)x0||xx0|只要取就可以了

設(shè)f(x)x

證

|f(x)x0|

取當0|xx0|時

因此對于任意給定的

0對于任意給定的

0

要使6|f(x)x0||xx0|設(shè)f(x)x例5證函數(shù)在點x=1處沒有定義.7例5證函數(shù)在點x=1處沒有定義.7極限f(x)A(xx0)的幾何意義

f(x)全部落入?yún)^(qū)間(A

A)內(nèi)

當x進入(x0

x0)(x0

x0)時

總可以找到

0

對任意給定的正數(shù)

極限f(x)A(xx0)的幾何意義三、左極限與右極限

觀察當x從0的左側(cè)趨于0時和當x從0的右側(cè)趨于0時

f(x)的變化趨勢

容易看出當x從0的左側(cè)趨于0時

f(x)趨于1

而當x從0的右側(cè)趨于0時

f(x)趨于0

我們分別稱它們是函數(shù)f(x)當x趨于0時的左極限與右極限

三、左極限與右極限觀察當x從0的左側(cè)趨于0時三、左極限與右極限定義25(左極限右極限)

如果當x從x0的左側(cè)(xx0)趨于x0時

f(x)以A為極限即對于任意給定的

0

總存在一個正數(shù)使0x0x時

|f(x)A|恒成立則稱A為xx0時f(x)的左極限記作

如果當x從x0的右側(cè)(xx0)趨于x0時

f(x)以A為極限即對于任意給定的

0

總存在一個正數(shù)使0xx0時

|f(x)A|恒成立則稱A為xx0時f(x)的右極限記作三、左極限與右極限定義25(左極限右極限)四、關(guān)于函數(shù)極限的定理定理21(雙側(cè)極限與單側(cè)極限的關(guān)系)

解當x0時

而當x0時

8四、關(guān)于函數(shù)極限的定理定理21(雙側(cè)極限與單側(cè)極限的關(guān)系)左右極限存在但不相等,例9證四、關(guān)于函數(shù)極限的定理左右極限存在但不相等,例9證四、關(guān)于函數(shù)極限的定理四、關(guān)于函數(shù)極限的定理定理21(雙側(cè)極限與單側(cè)極限的關(guān)系)

例10.研究當x0時

f(x)|x|的極限

解四、關(guān)于函數(shù)極限的定理定理21(雙側(cè)極限與單側(cè)極限的關(guān)系)定理22(局部保號定理)

如果f(x)A(x0x0)

而且A0(或A0)

則總存在一個正數(shù)使當0