淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法分析研究 教育教學(xué)專業(yè)

淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法摘要：反證法在數(shù)學(xué)中是一種非常重要的間接證明方法，它被稱為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，又稱為歸謬法、背理法。反證法亦稱“逆證”。其不僅是一種論證方法，對提升學(xué)生創(chuàng)新性思維能力與概念思維能力具有積極作用，從某種角度可以說，反證法還是一種思維方式，其還能拓展學(xué)生的解題思路，從而使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維。反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，如今學(xué)生在運用反證法解題中，基礎(chǔ)一般的學(xué)生會受到思維能力的限制，如果能恰當(dāng)?shù)氖褂梅醋C法，在一些有難度的題目上也許能夠得到解決。所以本文首先會敘述反證法的產(chǎn)生，具體闡述反證法的定義，即反證法的概念、分類、科學(xué)性，介紹逆證在中學(xué)數(shù)學(xué)中的實際運用并論述了逆證應(yīng)用的具體需要注意的一些問題。關(guān)鍵詞：反證法；中學(xué)數(shù)學(xué)；應(yīng)用；OntheProofbyContradictioninMiddleSchoolMathematicsAbstract：Proofbycontradictionisaveryimportantindirectproofmethodinmathematics,itiscalled"oneofthemostsophisticatedweaponsofmathematicians",alsoknownasreductiontoabsurdity,unreasonablemethod.Proofbycontradictionisnotonlyanargumentationmethod,butalsoawayofthinking.Itplaysanextremelyimportantroleincultivatingandimprovingstudents'logicalthinkingabilityandcreativethinkingability.Itcanalsoexpandstudents'thinkingofsolvingproblems,sothatstudentscanformgoodmathematicalthinking.Anyway,themethodhasbeenwidelyusedinmiddleschoolmathematics.Nowadays,whenstudentssolveproblemswiththemethodofproofbycontradiction,thestudentswithgeneralfoundationarelimitedbytheirthinkingability.Ifthemethodofproofbycontradictioncanbeusedproperly,theymaybeabletosolvesomedifficultproblems.Therefore,thispaperwillfirstdescribethesourceofproofbycontradiction,specificallyelaboratethedefinitionofproofbycontradiction,thatis,theconcept,classificationandlogicalbasisofproofbycontradiction,introducetheapplicationofproofbycontradictioninmiddleschoolmathematicsandexplaintheproblemstobenoticedintheapplicationofproofbycontradiction.Keywords：proofbycontradiction;Middleschoolmathematics;Application;

目錄目錄淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法 11引言 12反證法的產(chǎn)生 12.1古希臘的反證法 12.2中國古代數(shù)學(xué)中的反證法 23反證法的定義與步驟 23.1反證法的定義 214078_WPSOffice_Level23.2反證法的解題步驟 24反證法的分類與科學(xué)性 44.1反證法的分類 44.1.1歸謬法例題 44.1.2窮舉法例題 44.2反證法的科學(xué)性 54.2.1反證法的理論依據(jù) 54.2.2反證法的可信性 54.3為什么要使用反證法 65反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 65.1基本命題，即學(xué)科中的起始性命題 65.2命題采取否定形式 75.3有關(guān)個數(shù)的命題 95.4結(jié)論涉及無限集或數(shù)目不確定的命題 105.5不等式類型 115.6幾何類型題 126使用反證法解題過程中要注意的問題 136.1反設(shè)要正確 136.2要明確推理特點 136.3能靈活運用 136.4反證法與舉反例不等同 146.5熟悉矛盾的種類 147總結(jié) 14參考文獻(xiàn) 14致謝 15淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法1引言反證法是間接論證的方法之一，亦稱“逆證”、矛盾證法;。早在古希臘,一些數(shù)學(xué)家就用矛盾證法處理了大量的數(shù)學(xué)領(lǐng)域方面的問題。英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓（Newton）曾言：“逆證是從事數(shù)學(xué)研究工作的專家最精確恰當(dāng)?shù)囊粋€利器”，它在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著不可替代的重要作用，一般來說，當(dāng)學(xué)生遇到不容易或者不能從正面進(jìn)行證明的題目時，則可以嘗試運用反證法進(jìn)行證明。反證法彌補(bǔ)了直接證明的不足，完善了證明方法，運用反證法可以培養(yǎng)和提高學(xué)生的逆向思維能力和創(chuàng)造思維能力，把不可能轉(zhuǎn)化為可能。教師應(yīng)要結(jié)合熟悉的生活實例和典型的數(shù)學(xué)例題，幫助并引導(dǎo)學(xué)生了解反證法繼而使用反證法，然后運用反證法拓寬學(xué)生解決問題的思路。不僅在中學(xué)數(shù)學(xué)中能運用反證法，生活中也能運用反證法解決問題。如李某與朋友們外出游玩，看到路邊的樹上結(jié)滿了果子，朋友們都去摘取果子，唯獨李某站在原地一動不動，一朋友問他為什么不去摘取，李某說：“在路邊的樹上結(jié)滿果子必然是苦的”，朋友摘取果子嘗試，果然是苦的。為什么李某在還未嘗試果子前就知道是苦的？因為李某巧妙地使用了反證法，如果果子是甜的，路邊樹上的果子已被采摘。像這樣，為了說明某一個結(jié)論是正確的，但不從正面直接說明，而是說明它的反面是錯誤的，從而得出它本身是正確的。我們知道，推理與證明是數(shù)學(xué)問題解題的基本思維過程，從上面的故事中，我們生活中可以使用推理與證明的思維方式進(jìn)行思考問題。2反證法的產(chǎn)生 2.1古希臘的反證法在南意大利學(xué)派的影響下，其主張“一切事物都是整數(shù)”，數(shù)學(xué)知識是可靠和準(zhǔn)確的。但隨著第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生，自根號二的發(fā)現(xiàn)，使希臘人重新審視了他們自己的數(shù)學(xué)，從此他們對以數(shù)作為基礎(chǔ)的幾何做了舍棄的選擇。首次的數(shù)學(xué)發(fā)展遇到的暫時困難，使其沒有辦法只信靠直觀與圖形，所以，西方為代表的數(shù)學(xué)須以證明為主來證明數(shù)學(xué)。而他們要的是準(zhǔn)確性的數(shù)學(xué)。它以演繹、邏輯為表現(xiàn)的形式。可以推斷其意指算的數(shù)學(xué)與證明的數(shù)學(xué)恰恰不同。希臘人認(rèn)為數(shù)值計算是幾何證明之后的一個應(yīng)用，他們更注重演繹與證明，指出“不要近似”，也就是要達(dá)到“明確的形式證明和公理的使用”［1］。最開始運用到反證法的是古希臘最盛名的數(shù)學(xué)家歐幾里德，在他的《原本》著作里就發(fā)現(xiàn)有反證法的應(yīng)用了，比如，質(zhì)數(shù)有無數(shù)多個的論斷的證明，假設(shè)命題不真，則素數(shù)只有有限多個。數(shù)學(xué)應(yīng)始于絕對假設(shè)，古希臘哲學(xué)家、教育家Platon所主張的，其利用大量的邏輯推理方法得出所需論斷。古希臘哲學(xué)家、偉大的思想家亞里士多德（Aristoteles）致力于應(yīng)用普通邏輯至數(shù)學(xué)里，亞里士多德開始對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行探索，亞里士多德對南意大利學(xué)派的“一切事物都是整數(shù)”的主張表示不贊同，但是對公設(shè)表示認(rèn)同，古希臘哲學(xué)家、偉大的思想家亞里士多德（Aristoteles）主張把原來的道理描述出來即數(shù)學(xué)證明，這樣問題就可以得到解決。2.2中國古代數(shù)學(xué)中的反證法 對推理演繹的證明，在我國的古代數(shù)學(xué)領(lǐng)域缺少重視，盡管人們發(fā)現(xiàn)一些邏輯規(guī)律，例如在魏晉時期的雄辯之風(fēng)，大多數(shù)的反駁用到了歸謬法，這里的歸謬法就是舉反例，劉徽受當(dāng)時的影響，在他的《九章算術(shù)注》中，歸謬論證法被多次使用，劉徽在證明某些公式是錯誤的時候，用的方法都是反駁，并且是成功的，符合邏輯規(guī)律的。墨家學(xué)派創(chuàng)始人也曾利用反證法，比如違反矛盾律的謬誤：“學(xué)之益也，說在誹者?！?。利用“學(xué)習(xí)無益”不是真的證明,得出“學(xué)習(xí)有益”是真命題。歸謬法也是反證法中的一種方法，但因為中國邏輯學(xué)的不完善，在指出明確運用反證法的用法上是少之又少，與西方差別甚大。3反證法的定義與步驟3.1反證法的定義反證法是科學(xué)證明方法之一，為間接證明方法的一種，簡單點說即由逆著方向證明的論證法。起初，譽為全才數(shù)學(xué)家的哈達(dá)瑪這樣概述反證法，如果對定理的假設(shè)進(jìn)行肯定，而對其結(jié)論作出否定的做法，則會形成矛盾。”上面的語句可如此認(rèn)為：先擺出同結(jié)論不同的假設(shè)，之后得出與已知的證明的公理、題設(shè)、定理互相矛盾的結(jié)論，如此，則證明出同結(jié)論不同的假設(shè)，不可以成立，那么認(rèn)同了原先的判斷必然正確，這樣的間接證明方法，我們認(rèn)為即反證法［2］。3.2反證法的解題步驟通過逆證法證明一個命題的3個步驟:（1）反設(shè)——反設(shè)是用反證法解題的基礎(chǔ)，反設(shè)是否準(zhǔn)確對解題過程與結(jié)果起著決定性的影響。第一步要找到題目中的已知條件和結(jié)論，接著是細(xì)心并準(zhǔn)確找出與結(jié)論相反的假設(shè)，最后是對結(jié)論進(jìn)行肯定或否定。（2）歸謬——歸謬是重點，亦是難點。利用題設(shè)和反設(shè)出發(fā),經(jīng)過嚴(yán)格地邏輯推理和論證,最終導(dǎo)出矛盾。但許多學(xué)生不知道怎樣去尋找矛盾.所以,教師在教學(xué)時,要讓學(xué)生清楚:反設(shè)后條件都有什么;邏輯推理的方向;矛盾將如何產(chǎn)生.（3）結(jié)論——即根據(jù)反設(shè)以及歸謬所得到的最終結(jié)果。歸謬是根據(jù)反設(shè)得到一個與命題原結(jié)論矛盾的理論，從而肯定命題的原結(jié)論。完成這三步，用反證法解題就已經(jīng)完成［3］。例如：已知:如下圖，設(shè)點A、B、C在同一直線上，求證：過A、B、C三點不能作圓.【反設(shè)】假設(shè)過A、B、C三點能作圓，這個假設(shè)作為下一步“歸謬”的一個已知條件。【歸謬】由上述假設(shè)過A、B、C三點能作圓出發(fā)，設(shè)此圓圓心為O，則A、B、C三點中連任意兩點的線段是圓O的弦，由垂徑定理：O既在AB的中垂線OM上，又在BC的中垂線ON上，從而過點O有兩條直線OM與ON均與AC垂直，這個結(jié)論就與“同一平面內(nèi)過一點有且僅僅有1條直線同已知直線垂直”的垂直定理相互違背。推理無誤，因此假設(shè)不正確?！窘Y(jié)論】故過同一直線上三點A、B、C不能作圓。4反證法的分類與科學(xué)性4.1反證法的分類反證法包含窮舉法與歸謬法(reductioadabsurdum)又稱歸于不可能(reductioadimpos-sibile)。采取歸于不可能方法證題的時候，若把要證明的命題的方面情形僅僅有1種，則僅僅需要將此種情形論證不成立，就能夠達(dá)到反證的目的。若要證明的方面，有數(shù)種情形，則須把每種情況全部反駁倒，之后進(jìn)行逐個處理、解析，方可以論證原來的結(jié)論正確，這就是窮舉法。4.1.1歸謬法例題著名的俄國文學(xué)家亞歷山大·伊凡諾維奇·赫爾岑，曾經(jīng)參加一個了聚會，他非常不喜歡派對上播放的音樂，促使他用手把聽覺器官——耳朵捂了起來。接待賓客的人向亞歷山大·伊凡諾維奇·赫爾岑說明：“演奏的音樂是流行的?！薄傲餍械囊魳肪褪歉呱械膯幔俊?，亞歷山大·伊凡諾維奇·赫爾岑逆向問接待賓客的人?！安桓呱械臇|西，怎能流行呢？”，聽后，接待賓客的人很驚異地回話。“流行感冒也是高尚的了？”，亞歷山大·伊凡諾維奇·赫爾岑笑著講。命題的意思：“不高尚的東西怎能流行呢？”此言等同“所有流行的東西，皆為高尚的”。假設(shè)定其為真，亞歷山大·伊凡諾維奇·赫爾岑卻這樣做，從而導(dǎo)出“流行感冒也是高尚的了”這個荒謬的結(jié)果?；闹嚨慕Y(jié)果可以把主人話中不明顯的荒謬揭露出來。這就是運用歸謬法從假定被反駁的判斷是真的，推出荒謬的結(jié)論。以至于結(jié)論不需要直言出，就能夠使相對的一方認(rèn)為自己命題的荒唐不合情理。揭示之巧妙，顯得很幽默，有趣得使人發(fā)笑。4.1.2窮舉法例題若,則有,證明:若不然,則有,,與題設(shè)矛盾,,與題設(shè)矛盾,因此,.4.2反證法的科學(xué)性4.2.1反證法的理論依據(jù)反證法所依據(jù)的是亞里士多德的形式邏輯中的排中律、矛盾律2個規(guī)律，2個規(guī)律有著不一樣的概念內(nèi)涵，矛盾律是講：在同一個論證環(huán)節(jié)里，2個相互矛盾的判斷，也就是相互反對的判斷或相互矛盾，其中必然有一個是假的，不可能同時為真。如對這個數(shù),“是有理數(shù)”和“是無理數(shù)”的兩個判斷中必然有一個是假的，不可能同時為真。而所謂的排中律是：在同一個思維過程中，兩個矛盾的思想，即兩個互相矛盾的判斷，其中必然有一個是真的，不可能同時為假。如要證明“是無理數(shù)”,只需要證明“是有理數(shù)”是假的，因為“是有理數(shù)”和“不是有理數(shù)”,是兩個相矛盾的判斷,則根據(jù)排中律,其中必然有一個是真的。排中律常用公式表示為“A或者非A”，即“A∨A”。矛盾律與排中律的相同點和區(qū)別。其相同點是：兩個規(guī)律都不能存在邏輯矛盾，若與排中律相違背，則毫無疑問也與矛盾律相違背。不同點：第一，適用范圍不同。矛盾律包含了互相反對的判斷，而排中律只包含了互相矛盾的判斷，說明矛盾律是包含排中律的。在此，解釋一下互相矛盾與互相反對?；ハ嗝苁侵高@兩個命題不能同真，也不能同假。而互相反對是指這兩個命題不能同真，但是可以同假。第二，邏輯要求不同。矛盾律要求互相矛盾和互相反對的命題，不能加以肯定，必須否定其中一個。而排中律要求互相矛盾的命題，不能加以否定，必須肯定其中一個。排中律還要求需具有明確性和清晰性的思維。4.2.2反證法的可信性反證法在其證明過程中，對“原結(jié)論”和“否定的原結(jié)論”，必然形成2個判斷，這2個判斷是矛盾的，按照“不矛盾律”，這2個矛盾的推斷不可以同時都是真，肯定有一個非真的，而已經(jīng)被證明是正確的命題、已知的法則、定理、公理、已知的條件皆為真，因此必然否定的原結(jié)論是非真。再按照“不容間位律”，“否定的原結(jié)論”與“原結(jié)論”這一對立的相互矛盾的論斷，不可以都是假，必然有一非假，而“否定的原結(jié)論”為假，由此，能夠得出：為真的必定是原結(jié)論。綜合上面所言，反證法（亦稱逆證）是以邏輯思維的理論與基本規(guī)律為根據(jù)的，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评恚瑥亩贸隽钊诵欧恼_結(jié)論，所以反證法是可信的。4.3為什么要使用反證法直接證法與反證法最終目的都是為了證明結(jié)論。這兩種證法就像是兩條道路，前者是直線，后者是曲線。如果路好走，我們肯定選擇直路，但是如果直線路崎嶇難行，難關(guān)重重，那我們寧愿選擇那條比較好走的路雖然它曲折。若直路是一條絕路，那是非走曲折路不可了。這與我們選擇使用何種證明方法類似，有些題目雖然可以用直接證法，但用反證法會簡便很多，所以我們寧愿選擇用反證法。而有些題目則只能用反證法來證明。雖然反證法有時可以用直接證法來代替，但是不能否定反證法的存在。反證法與直接證法都是必要的，同等重要。5反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用在中學(xué)數(shù)學(xué)中，常用反證法證明的命題有以下幾種類型：5.1基本命題，即學(xué)科中的起始性命題這類命題用直接證明是有一定難度的或者說結(jié)論的反面比結(jié)論本身更容易證明，因為已知條件以及由已知條件推出的結(jié)論比較少，在這種題目中能夠運用的定理、定義、公理也比較少，此時我們會選擇用反證法來進(jìn)行證明［4］。5.1.1兩條直線同時平行于第三條直線,則原兩條直線互相平行.ACEBACEBDF圖1求證:證明：假設(shè)與不平行,則AB與CD相交于點P，即、即,過點有2條不一樣的直線同平行,然而此矛盾于幾何學(xué)的重要公理之一——平行公理,所以，假定與不平行不成立.故.【分析】讓學(xué)生知道這種類型題是不能直接證明的，這要從問題的反面出發(fā)，否定命題結(jié)論，即AB與CD不平行，那么它們肯定相交，交點為P，因為過點P就有兩條直線AB、CD都平行于EF，這顯然與平行公理矛盾，產(chǎn)生矛盾的原因是假設(shè)錯誤。所以AB與CD不相交，則只能平行，問題得證［5］。例5.1.2平面與直線的交點為，在平面內(nèi)，過點畫出直線、、，，那么是否正確，若正確，請求證。證明：假若PO與平面不垂直。畫且與平面有個交點H，這時O、H不重合，聯(lián)結(jié)OH。過P點畫，垂足為E，垂足為F，依據(jù)，立體幾何之三垂線定理得出，，。由于，公共邊PO，因此，所以又所以所以因此，OH是的平分線。同樣的方法，可以證明，的平分線是OH。然而，OC與OB是2條不重合的直線，同時OH是和的平分線是不可能的，產(chǎn)生矛盾。【分析】本道題若從正面進(jìn)行證明，根據(jù)題目所給條件所能借助的公理定理有限，則只能嘗試從反面去思考，這道題由于不能直接證明，不妨先假設(shè)PO不垂直平面，以此為條件再結(jié)合相關(guān)定理得到與客觀事實不符合的結(jié)論，這說明假設(shè)“PO不垂直平面”錯誤，那么假設(shè)的反面就是正確的，即，故原命題結(jié)論成立。5.2命題采取否定形式結(jié)論里有“不是”、“沒有”、“不存在”、“不可能”等這樣否定形式的字眼的命題出現(xiàn)；例5.2.1證明不是有理數(shù)，即是無理數(shù)。證明：假設(shè)是有理數(shù)，那我們能找到自然數(shù)a和b，使得=這里的a和b是互質(zhì)的，對上式兩邊進(jìn)行平方，得到因此，為偶數(shù)，所以，a也一定是偶數(shù)。于是，存在一個自然數(shù)c,使得，則，則從而是偶數(shù)，因此也是偶數(shù)。由上得出均為偶數(shù)與互質(zhì)矛盾，所以我們一開始的假設(shè)是錯誤的，故是無理數(shù)。［4］【分析】對于中學(xué)生來說，是無理數(shù)是很平常的結(jié)論，它為什么是無理數(shù)，大多數(shù)學(xué)生都會說因為它是無限不循環(huán)小數(shù)，但是沒有人能對其作出嚴(yán)格的證明。希巴斯利用畢達(dá)哥拉斯的勾股定理，發(fā)現(xiàn)邊長為1的正方形對角線的長度不是有理數(shù)，繼而發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的存在，但希巴斯卻因為這個真理死亡。確實，我們在證明是無理數(shù)的時候，直接證明是無理數(shù)會讓人手足無措，于是，我們可以從是有理數(shù)出發(fā)進(jìn)行證明，結(jié)果肯定與原結(jié)論是矛盾的。例5.2.2不可能在同一個三角形里有2個角都為鈍角。已知：三角形ABC的三個內(nèi)角分別是∠A、∠B、∠C。求證：∠A、∠B、∠C里有2個鈍角是不可能的。證明：如果∠C、∠B、∠A中有2個鈍角，設(shè)∠B＞900，且∠A＞900，則∠C+∠B+∠A比1800大。此矛盾于“三角形內(nèi)角和為1800”定理。所以∠B、∠A都比900大是不正確的。因此，一個三角形有有2個鈍角是不可能的。【分析】由上題可知，對于這種“不可能事件”，我們很難從正面解題，如果我們從正面進(jìn)行證明，那它的情況就會很多，我們幾乎無從下手?！安豢赡苁录钡姆疵媸恰翱隙ㄊ录?，如若從它的反面出發(fā)，就只有這一種情況，所以我們假設(shè)∠A＞900,且∠B＞900。當(dāng)題目含有“不可能”、“不存在”、“沒有”、“不是”等這樣形式的字眼，運用逆向思維把“不可能事件”變成“肯定事件”，相當(dāng)于給題目增加了一個條件，這樣就達(dá)到了運用反證法解題的目的。5.3有關(guān)個數(shù)的命題即結(jié)論里包含詞語“最多”、“不少于”、“至少”、“至多”、“唯一”等這樣的命題；例5.3.1已知,求證關(guān)于的方程有且只有一個根.證明:假設(shè)方程（）至少存在兩個根,不妨設(shè)其中的兩根分別為,且,則,,,,,與已知矛盾,故假設(shè)不成立,結(jié)論成立.【分析】對于這種唯一性的問題，本道題一樣是直接使用反證法證明，在本題中，我們知道“有且只有一個”的反面是“至少存在兩個”，因此，可以直接寫出它的否命題。根據(jù)邏輯推理能推出我們假設(shè)的是錯誤的，繼而得出原結(jié)論是正確的。例5.3.2已知,,都是正實數(shù)，求證：下列三個式子中至少有一個不小于2：證明：不妨設(shè)三個式子全部都小于2，即，，由于是任意的正實數(shù)，可以令5,則我們有：顯然矛盾。所以，假設(shè)不成立，故原命題成立，即中至少有一個不小于2.【分析】“三個式子中至少有一個不小于2”共有七種情況，雖然結(jié)論很顯然，但是證明起來困難又繁雜，而它的反面是“全都小于2”只有一種情況，那我們肯定選擇從反面進(jìn)行證明，利用反證法，我們假設(shè)三個式子全都小于2，再來證明假設(shè)是錯誤的，原結(jié)論才得以成立。由上述例題可以知道當(dāng)遇到結(jié)論里包含“最多”、“不少于”、“至少”、“至多”、“唯一”等這樣的詞語命題時，我們可以從反面進(jìn)行思考并分析問題，看看能不能使用反證法證題，這樣會簡便很多。5.4結(jié)論涉及無限集或數(shù)目不確定的命題待證命題的結(jié)論是無限的，結(jié)論涉及的對象無法全部列出，這些命題結(jié)論的反面是有限的、肯定的，這時宜用反證法。例5.4.1證明質(zhì)數(shù)有無限多個證：假設(shè)質(zhì)數(shù)個數(shù)為有限個，假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限n個設(shè)全體質(zhì)數(shù)為，令，很容易發(fā)現(xiàn)除以余1，除以余1，除以余1，所以不含因數(shù)，故要么是質(zhì)數(shù)，要么含有除了外的質(zhì)因數(shù)，這說明除了質(zhì)數(shù)外，還有其他質(zhì)數(shù)，因此，假設(shè)不成立。所以，質(zhì)數(shù)有無限多個?！痉治觥渴紫阮}目原結(jié)論說質(zhì)數(shù)有無限多個，很顯然，它的反面就是質(zhì)數(shù)個數(shù)為有限個，并假設(shè)它有n個，設(shè)全體質(zhì)數(shù)為，令p是一個比大1的數(shù)。由邏輯推理可得都不是p的因數(shù)，所以，p是一個與都不同的質(zhì)數(shù)。故對于這種涉及無限的結(jié)論也可用反證法而證之。5.5不等式類型對于一些較復(fù)雜的不等式，有時候很難從正面直接入手去證明，這時可以考慮嘗試反證法。例5.5.1已知,.求證：全是正數(shù)證明：假設(shè)又由，則，，與原結(jié)論矛盾.若,則與矛盾，所以，一定是正數(shù).同理可證：也是正數(shù)［6］?！痉治觥繉τ诓坏仁筋愋偷拿}，首先弄清楚題目所含有的條件和結(jié)論，條件即，最后結(jié)論是。其次是作出與所要證明的不等式相反的假設(shè)，即c<0。接著是根據(jù)題目所給條件和假設(shè)出發(fā)，進(jìn)行正確的邏輯推理，導(dǎo)出矛盾。最后肯定因為假設(shè)錯誤而導(dǎo)致矛盾，故原不等式成立。不等式類型的題目會因為使用反證法間接地達(dá)到目的例5.5.2在△中，,求證：.證明：假設(shè),由已知條件得即因為,故，又，所以。則，所以。這與矛盾，故假設(shè)不成立，所以?！痉治觥勘绢}同上一道例題一樣，首先弄清楚題目所含有的條件和結(jié)論，條件是在△中有，結(jié)論是，其次，作出與原結(jié)論相反的假設(shè)，即。接著根據(jù)所給條件和假設(shè)出發(fā)，進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剡壿嬐评?，這里要注意掌握三角函數(shù)公式的運用，必須要熟悉三角函數(shù)的公式才能完成此道題，才能推出假設(shè)錯誤，從而肯定原結(jié)論是正確的。5.6幾何類型題如要證明某個圖形不可能有某種性質(zhì)，并且要求證的結(jié)論是否定形式的，若用反證法證明會有一定的困難，所以這類題一般會使用反證法進(jìn)行證明。例5.6.2已知如下圖所示，圓О兩弦AB，CD相交于點E，且AB，CD均不過O點.求證：弦AB，CD不能互相平分.證明：假設(shè)AB與CD互相平分，平分點是E由垂徑定理得OEAB，同時OECD，AB//CD,顯然，這與已知條件AB與CD相交矛盾.所以，弦AB，CD不能互相平分［7］。【分析】對于幾何題使用反證法，一般是題目中所給條件是無法使用上的并且要求證的結(jié)論是否定形式的。那首先我們假設(shè)求證的問題是成立的，即假設(shè)AB與CD互相平分，然后再根據(jù)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦且平分這條弦所對的兩條弧，然后得出與原結(jié)論不符合的結(jié)論，故而推出原證題是成立的。6使用反證法解題過程中要注意的問題6.1反設(shè)要正確必須正確地否定原結(jié)論，這是使用反證法的必要前提，如本文例題中的原結(jié)論是：弦AB，CD不能互相平分，則它的否定命題即是AB與CD互相平分。又如的方程有且只有一個根的否定命題是方程（）至少存在兩個根。在這個過程中必須全面思考到位，如果與原結(jié)論的反面有多種情況，就要一一進(jìn)行否定，不能遺漏一點，否則，原命題的證明不準(zhǔn)確。6.2要明確推理特點在推理過程中一定要使用題目所給的已知條件，也不要忘記新增加的反設(shè)條件，一切推理都是從反設(shè)出發(fā)，要按照推理原則，一步一步進(jìn)行推理就行，如果不這樣，要么不可以斷定所得到的結(jié)論是不正確的，要么得不到同原來的結(jié)論相互矛盾的結(jié)果。［］。6.3能靈活運用反證法的應(yīng)用很廣泛，尤其是數(shù)學(xué)證明題，一般都可采用反證法,但并代表,數(shù)學(xué)中的所有證明題都可以使用反證法來證明,就多數(shù)題目來說,用直接證法就可以證出,不能一味想著使用反證法,有些學(xué)生已經(jīng)掌握了反證法的方法，但是對于一些學(xué)生，他們覺得用反證法更麻煩，繞來繞去把自己給繞糊涂了，對于這些問題，就需要學(xué)生加強(qiáng)這類題型的訓(xùn)練。對待用反證法證題的策略思想是:首先試用直接證法,若一時不能成功,即可嘗試使用反證法。6.4反證法與舉反例不等同舉反例和反證法都是判斷命題的真假，但其本質(zhì)不同，舉反例方法即求證一個命題是非真命題時方法之一，比如，證明“大于的角是鈍角是假命題”，僅僅需要舉出一個等于或大于л的角，比如角，按照鈍角的概念，其大于，然而屬于非鈍角，就能夠得出是假命題。反證法（逆證）即是用直接的方法證明較難時而使用的一種間接證法，對于真命題，顯然是不能用舉反例的方法證明的，很顯然，真命題是舉不出反例的，則必須通過反證法的邏輯論證進(jìn)行證明，其證明的步驟分成反設(shè)歸謬肯定原來的結(jié)論3步，與舉反例相比，在格式上反證法（逆證）更規(guī)范、嚴(yán)格，要求比較高。6.5熟悉矛盾的種類反證法在推理過程中會遇到的矛盾是多種多樣的，是不能預(yù)測的［8］。導(dǎo)出的結(jié)果可能是與題設(shè)或者部分題設(shè)相矛盾，也可能是與真命題相矛盾，真命題包括定理、定義、公理或者是性質(zhì)等。還可能是與臨時的假設(shè)相矛盾［9］。導(dǎo)出矛盾，是整道題的關(guān)鍵，只有找到矛盾，才能順利進(jìn)行證明。 7總結(jié)數(shù)學(xué)是一門非常能考驗人的思維邏輯的學(xué)科，我們認(rèn)為反證法是一種數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)證明里，反證法（逆證）是一種重要的解題方法。學(xué)會運用反證法，能鍛煉我們各方面的能力如觀察力、逆向思維能力、辨別能力、創(chuàng)造能力等，從而養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，這對我們學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識有很大的幫助。使用反證法首先要了解反證法，掌握它的定義與步驟，知道如何反設(shè)，能夠找出矛盾，并結(jié)合題目所給條件或者新增的條件或公理定理得出與原結(jié)論矛盾的結(jié)論，清楚運用反證法過程中要注意的問題，當(dāng)你真正掌握反證法時，才能熟練運用反證法去思考問題解決問題。不僅僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域會用到反證法這種數(shù)學(xué)方法，生活上一樣可以利用反證法，當(dāng)你無法從正面解決問題的時候，就想想能否從反面進(jìn)行。本文就是我對中學(xué)數(shù)學(xué)中反證法的認(rèn)識。參考文獻(xiàn)[1]例談反證法在中小學(xué)數(shù)學(xué)中的精彩演繹[J].王淼生,陳莉紅.

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