2019屆二輪復(fù)習(xí) 拋物線 學(xué)案 (全國通用)

考點(diǎn)40拋物線考綱解讀1)了解拋物線的實(shí)際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2)掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì).知識(shí)整合丿知識(shí)整合丿一、拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1．拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.拋物線關(guān)于過焦點(diǎn)F與準(zhǔn)線垂直的直線對稱，這條直線叫拋物線的對稱軸，簡稱拋物線的軸．注意：直線l不經(jīng)過點(diǎn)F,若l經(jīng)過F點(diǎn)，則軌跡為過定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2二2px(p>0)；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-2px(p>0)；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2二2py(p>0)；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py(p>0).注意：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以p的值永遠(yuǎn)大于0,當(dāng)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值時(shí)，不要出現(xiàn)p<0的錯(cuò)誤.二、拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程y2二2px(p>0)y2二-2px(p>0)x2二2py(p>0)x2二-2py(p>0)ytzk圖形范圍x>0,yeRx<0,yeRy>0,xeRy<0,xeR對稱性關(guān)于x軸對稱關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱關(guān)于y軸對稱幾何焦占八\、八、、F與，0)F(-P,0)F(°,f)F(0,-p)性質(zhì)準(zhǔn)線方程x=-p2x=上2y=-p2y=彳頂點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)離心率e==12．拋物線的焦半徑拋物線上任意一點(diǎn)P(x0,y0)與拋物線焦點(diǎn)f的連線段，叫做拋物線的焦半徑.根據(jù)拋物線的定義可得焦半徑公式如下表：拋物線方程y2二2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦半徑公式1PF1=匕+x201PF1=匕-x20|PF|=彳+人IPFI=彳-y03．拋物線的焦點(diǎn)弦拋物線的焦點(diǎn)弦即過焦點(diǎn)F的直線與拋物線所成的相交弦.焦點(diǎn)弦公式既可以運(yùn)用兩次焦半徑公式得到，也可以由數(shù)形結(jié)合的方法求出直線與拋物線的兩交點(diǎn)坐標(biāo)再利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，A(叫，y1)，B(x2,y2)，則1122拋物線方程y2二2px(p>0)y2=—2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=—2py(p>0)焦點(diǎn)弦公式IABI=p+(x+x)12IABI=p—(x+x)12IABI=p+(y+y)12IABI=p—(y+y)12其中，通過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對稱軸而交拋物線于A,B兩點(diǎn)的線段AB,稱為拋物線的通徑.對于拋物線y2二2px（p>0），由A（-|,p）,BGp，—P），可得1AB|=2P，故拋物線的通徑長為2p.4.必記結(jié)論直線AB過拋物線y2二2px（p>0）的焦點(diǎn)，交拋物線于A%,y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，如圖:1）y』2=—p2,畢斗1）y』2=—p2,畢斗2）IABI=X]+x2+p,X]+x2^2\；X]X2=p,即當(dāng)工]=工2時(shí)，弦長最短為2p.3）4）112麗+麗為定值p.弦長AB=sin^（?為ab的傾斜角）.5）以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.（6）焦點(diǎn)F對A,B在準(zhǔn)線上射影的張角為90°.cj2D0?考向一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.拋物線定義的實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,—個(gè)定點(diǎn)F（拋物線的焦點(diǎn)），一條定直線1（拋物線的準(zhǔn)線），一個(gè)定值1（拋物線的離心率）.拋物線的離心率e=l,體現(xiàn)了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦的問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即PF=x+2或PF=|y|+2，使問題簡化.典例引領(lǐng)典例1平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（0,2）的距離和到直線l:y=-2的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為是.【答案】x2二8y【解析】由題意知,該點(diǎn)軌跡是以F（0,2）為焦點(diǎn)，卩=-2為準(zhǔn)線的拋物線，其中p=4，所以方程為x2=8y.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題.典例2拋物線y2二2px（p>0）上的動(dòng)點(diǎn)Q到其焦點(diǎn)的距離的最小值為1,則p二1TOC\o"1-5"\h\zA.B.12C.2D.4【答案】C【解析】拋物線F=耳心>0〕上的動(dòng)點(diǎn)0到其焦點(diǎn)的距離的最小值即到準(zhǔn)線的最小值，很明顯滿足最小值的點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，據(jù)此可知：|==2.本題選擇C選項(xiàng).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.由題意結(jié)合拋物線的定義確定點(diǎn)的位置，然后求解p的值即可.變式拓展1.已知F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，M,N是該拋物線上兩點(diǎn)，|MF|+|NF|=6，則MN的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3A.B.22C.3D.4C.333考向二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程1．求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)的位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2．用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：定位置設(shè)方程尋關(guān)系根據(jù)條件列出關(guān)于衛(wèi)的方程解方程,將P代入所設(shè)方程為麻得方程定位置設(shè)方程尋關(guān)系根據(jù)條件列出關(guān)于衛(wèi)的方程解方程,將P代入所設(shè)方程為麻得方程根據(jù)條件確定拋物線的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上及開口方向若無法確定拋物線的位置，則需分類討論.特別地，已知拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，一般有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程.典例引領(lǐng)典例3若點(diǎn)A,B在拋物線y2=2px(p>0)上,0是坐標(biāo)原點(diǎn)，若正三角形OAB的面積為4少,則該拋物線的方程是C．y2=2D．C．y2=2D．B．y2=【答案】A【解析腫艮據(jù)對稱性，可知的丄a■軸■由于正三角形0AB的面積是4千故迺衛(wèi)乎=4丟故貝於吐正三角形0AB的高為打③故可設(shè)點(diǎn)衛(wèi)的坐標(biāo)加護(hù);代入拋物線方程得解得尸￡■故所求拋物線的方程為“居典例4求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程．(1)過點(diǎn)(一3,2)；(2)焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上.【解析】(1)設(shè)所求拋物線的方程為r=—莎或疋=如3>0).=g???過點(diǎn)?…+-如日或―曲「叱或g故所求拋物線的方程為v2=—扌工或/對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x=j,y=~⑵令x=0得1-=-2令匸=0得工=4…■?拋物線的焦點(diǎn)為〔4,0〕或(0,-2).當(dāng)焦點(diǎn)為〔40)時(shí)，^=4,:.p=S?此時(shí)拋物線的方程為十=1&口當(dāng)焦點(diǎn)為①-2)時(shí)，2=1,：■?八,此時(shí)拋物線的方程為-v:=-8y.故所求拋物線的方程為r=16.v或A-=-Si-,對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是工=7,1=2變式拓展2?頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)(-4,4)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是B.x2二4yB.x2二4yC.C.y2=—4x或x2二4yD.y2二4x或x2=—4y考向三拋物線的簡單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用確定及應(yīng)用拋物線性質(zhì)的關(guān)鍵與技巧：關(guān)鍵：利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等性質(zhì)時(shí),關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程技巧：要結(jié)合圖形分析,靈活運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)以圖助解.典例引領(lǐng)典例5已知等腰三角形OPM中，OP丄MP,O為拋物線y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線的對稱軸上,點(diǎn)P在拋物線上，則點(diǎn)P與拋物線的焦點(diǎn)F之間的距離是A.2J2pB.=p2C.2pD.邁p

【答案】B【解析】由題意得yp=Xp二Xp2=2PXp二Xp=2P，因此點(diǎn)P與拋物線的焦點(diǎn)F之間的距離為x+彳=5p，選B.p22【名師點(diǎn)睛】（1）凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．（2）解答本題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用拋物線的簡單幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解即可．變式拓展3-已知拋物線C:X2二2Py（P>°）的焦點(diǎn)為F，拋物線C的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M（1,人）在拋物線C上,|MF|=5y°C上,|MF|=5y°則tanZFAM=A．C．2545B．D．5254考向四焦點(diǎn)弦問題與拋物線的焦點(diǎn)弦長有關(guān)的問題，可直接應(yīng)用公式求解.解題時(shí)，需依據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定弦長公式是由交點(diǎn)橫坐標(biāo)定還是由交點(diǎn)縱坐標(biāo)定，是p與交點(diǎn)橫（縱）坐標(biāo)的和還是與交點(diǎn)橫（縱）坐標(biāo)的差，這是正確解題的關(guān)鍵.典例引領(lǐng)典例6過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)A（x1,y1）,B（x2,y2）,若IABI=7，求AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離.【解析】拋物線的焦點(diǎn)為鳳隹線方程為仁-1-由拋物線的定義知嗣1=1^1+1盯=*十心-|=.7-藝即心+%+2=匚得況+孔=5,于是弦曲的中點(diǎn)蟲的橫坐標(biāo)為F因此點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距勖|+1=--典例7已知過拋物線y2=2px（p>°）的焦點(diǎn)，斜率為2於的直線交拋物線于A（x1，y1）,B（x2，y2）（x1<x2）兩點(diǎn)，且|AB|=9.（1）求該拋物線的方程;（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn),c為拋物線上一點(diǎn)，若必=（帀，求久的值.【解析】⑴直線AB的方程是尸乙尹牛與少=羽聯(lián)立’從而有4護(hù)-羽l護(hù)=0,所以工1+范=子.由拋物線的定義，得\AB\=xi-xi-p=9:所以.去=屯從而拋物線的方程是K=8-V.（2）因?yàn)槭退阅粒?知:-護(hù)=山可簡化為x2-5.y-4=0:從而工]=1衛(wèi)=4加二2說腫=4￥'2從而點(diǎn)1顯芒）夙斗舟②一設(shè)Qjq腫乂則示妙=〔1,J芒）-A（4:4v2>（4z-lr4v'2；.-2v2）.又疋=沁所以.[2芒辺.-l）F=g（就+1）即（及-1卩=4戈-1=解得2=0或z=2.變式拓展4.過拋物線y2二2px（p>0）的焦點(diǎn)的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓的方程為（x-3）2+（y-2）2=16，則p二A.1B.2C.3D.4考向五拋物線中的最值問題拋物線中經(jīng)常根據(jù)定義把點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化，從而求解.有關(guān)拋物線上一點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)F和到已知點(diǎn)E（E在拋物線內(nèi)）的距離之和的最小值問題，可依據(jù)拋物線的圖形，過點(diǎn)E作準(zhǔn)線l的垂線，其與拋物線的交點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F和到已知點(diǎn)E的距離之和是最小值.學(xué)！典例引領(lǐng)

典例8如圖,已知點(diǎn)Q(2Q，o)及拋物線y—上的動(dòng)點(diǎn)Pgy),則y+IPQI的最小值是A．2B．3C.4D.2溟【答案】A【解析】如團(tuán)，作丄戈軸于貝點(diǎn)，并與準(zhǔn)線相交于月點(diǎn)一拋物線廠二盯的焦點(diǎn)為珥準(zhǔn)線為$=由拋物線的幾何意義可得IP引=IPD，所以.y^\PQ\=\PA\^\PQ\=\PB\^\PQ\-i=\PF—^|-1=vT+8-1=2.故選扎典例9已知拋物線的方程為x2=8y,F是焦點(diǎn)，點(diǎn)A(-2,4),在此拋物線上求一點(diǎn)P,使IPFI+IPAI的值最小.【解析】???(-2)2v8x4,???點(diǎn)A(-2,4)在拋物線x2=8y的內(nèi)部.如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為1,過點(diǎn)P作PQ丄l于點(diǎn)Q,過點(diǎn)A作AB丄l于點(diǎn)B,連接AQ.由拋物線的定義可知屮刃十丹|=尸切-別車Q斗閔當(dāng)且僅當(dāng)P.QA三點(diǎn)共線時(shí)」叩+腳取得最小值卸嗣?■?越24),二不妨設(shè)FF+|P同的值最小時(shí):點(diǎn)耳的坐標(biāo)為(-2.ro)：代入拋物線方程工紅即得yo=|..?.使尸列+血的值最小的拋物線上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2r|)-變式拓展5.已知拋物線y2二4x,過焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于點(diǎn)A,B，設(shè)|AF|=m,IBF|=n，則m+n的最小值為A.2B.3C.'3D.4譽(yù)點(diǎn)沖關(guān)■丸i?拋物線y=1x2的準(zhǔn)線方程是4a.y=-1b.y=1C.x=-1D.x=1已知m,nwR，貝fmn<0”是“拋物線mx2+ny二0的焦點(diǎn)在y軸正半軸上”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件以x軸為對稱軸,通徑長為8,頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線方程是A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y已知拋物線y2=4x上一點(diǎn)M與該拋物線的焦點(diǎn)F的距離IMFI=4,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=A.0B.3C.2D.4已知點(diǎn)M(-3,2)是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn)，若拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)Q是該拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，則IMQI-IQFI的最小值是7A.B.325C.D.226?設(shè)F為拋物線C:y2二4x的焦點(diǎn)，M為拋物線C上的一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若^OFM為等腰三角形，則^OFM的周長為A.4B.2.5+1C.f5+2或4D.^5+1或47.F是拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，以F為端點(diǎn)的射線與拋物線相交于點(diǎn)A，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)B,若FB=4FA，則FA?FB=3TOC\o"1-5"\h\zA?1B?M29C?2D.丁48?曲線y=2x2上兩點(diǎn)A（x「人）、Bg,y2）關(guān)于直線y=x+m對稱，且片?x?=—1，則m的值為3A.B.22C.D.329?已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B始終滿足ZAFB=60°,過弦AB的中點(diǎn)H作拋HN物線的準(zhǔn)線的垂線HN,垂足為N,則的取值范圍為A.(0叵3c.[DD.（0,1]c.[D10?若拋物線y2=2px（卩>0）的焦點(diǎn)與雙曲線才-y2=1的右頂點(diǎn)重合，則p=II.已知點(diǎn)A（1,yi）,B（9,y2）是拋物線y2=2px（p>0）上的兩點(diǎn)，y2〉人〉0，點(diǎn)F是它的焦點(diǎn)，若BF=5AF，則y2+y的值為1212.已知等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)都在拋物線y2=2px（p〉0）上，且AB^CD,AB=2,CD=4,ZADC=60°，則點(diǎn)A到拋物線的焦點(diǎn)的距離是已知拋物線C:y2=ax(a>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(O,1),射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M,與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,若IFMI:IMNI=1:3,則實(shí)數(shù)a的值為已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線方程是用=-1.求此拋物線的方程;設(shè)點(diǎn)M在此拋物線上，且|MF|=3,若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OFM的面積.15.已知M,N是焦點(diǎn)為F的拋物線y2=2Px(P>0)上兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4-彳.求IMFI+INF的值；若p=2,直線MN與x軸交于點(diǎn)B,求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍.16.設(shè)A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且滿足OA丄OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).求證:(1)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積都為定值；(2)直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).CC．12D．10AA.16B.1417.已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且拋物線上有一點(diǎn)P（m，5）到焦點(diǎn)的距離為6.（1）求該拋物線C的方程；（2）已知拋物線上一點(diǎn)M（4,t），過點(diǎn)M作拋物線的兩條弦MD和ME，且MD丄ME，判斷直線DE是否過定點(diǎn)，并說明理由.1（2018新課標(biāo)I理）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)（-，0）且斜率為2的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則FM?FN=TOC\o"1-5"\h\zA.5B.6C.7D.82.（2016新課標(biāo)全國I理）以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).已知|ABI=4\/2，IDEI=2J5，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為A.2B.4C.6D.8（2017新課標(biāo)全國I理）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線11，12,直線11與C交于A、B兩點(diǎn)，直線12與C交于D、E兩點(diǎn)，則IABI+IDEI的最小值為TOC\o"1-5"\h\z（2016浙江理）若拋物線y^=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是.（2017新課標(biāo)全國II理）已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN=.（2018新課標(biāo)III理）已知點(diǎn)M（-匕1）和拋物線C：y2=4x,過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若ZAMB=90°，則k=.113913（2017浙江）如圖，已知拋物線x2二y，點(diǎn)A（--,才），B（^，才），拋物線上的點(diǎn)P（x,y）（—-<x<二）.過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.1）求直線AP斜率的取值范圍（2）求IPAI-1PQI的最大值.8.（2016新課標(biāo)全國III理）已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，12分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn).（1）若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn)，證明ARFQ；（2）若厶PQF的面積是AABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.9.（2018新課標(biāo)II理）沒拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k（k〉0）的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，IABI=8.（1）求/的方程；（2）求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.10.（2018北京理）已知拋物線C：y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）.過點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.（1）求直線l的斜率的取值范圍；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，QM二九QO，QN二卩QO，求證：|+丄為定值.九p變式拓展1.【答案】C【解析】由題意，F(xiàn)是拋物線y:=丄￥的焦點(diǎn),所以.FiLOb準(zhǔn)線方程為.V=-1,設(shè)M|耳J】):_V|.v;:y;),所以阿+W\+l+.v;+l=6,解得耳+芒=4,所以線段止TV的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,所以線段的中點(diǎn)到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為2+1=3.故選C.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，其中熟記拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，再利用拋物線的定義，列出方程求出M,N的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再求出線段MN的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離.2．【答案】C【解析】???拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)(-4,4)???設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2二2py(p>0)或y2=-2px(p>0)，將點(diǎn)(+)的坐標(biāo)代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程V-=切(P>0)得：16=也■W???此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為宀」廠將點(diǎn)1-441的坐標(biāo)代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程V-二-莎(.p>0),同理可得衛(wèi)=2,???此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為r=-4.v.綜上可知，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)I-4,4I的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是j-=-4.v或<=4匸?故選C.【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型是關(guān)鍵，考查待定系數(shù)法，屬于中檔題.依題意，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2二2py(p>0)或y2二—px(p>0)，將點(diǎn)(-4,4)的坐標(biāo)代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得p即可.注意，本題也可用排除法，因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)(-4,4),且該點(diǎn)在第三象限，所以拋物線的開口朝上或朝左，觀察各選項(xiàng)知選項(xiàng)C符合題意.3.【答案】Cp5【解析】由拋物線的定義知|mf|=y0+1=y0,解得y0=2p,又點(diǎn)M(1,y)在拋物線C上，代入X2二2py解得y=1,p=1.TOC\o"1-5"\h\zoo2AE14過點(diǎn)M作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為E,則tanZFAM=tanZAME=——=—=-\o"CurrentDocument"ME—54故選C.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.先利用拋物線的定義和已知條件求出y=1,p=1，再過點(diǎn)M作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為E,最后解直角三角形AME得tanZFAM的o2值.【答案】B【解析】設(shè)過拋物線y2二2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線l與拋物線交于A(X,y),B(x,y)兩點(diǎn)，則1122AB=x+x+p，乂因?yàn)橐訟B為直徑的圓的方程為(x一3)2+(y-2)2=16，所以12AB=x+x+P=6+P=8，解得p=2.故選B.12【名師點(diǎn)睛】涉及過拋物線的焦點(diǎn)的弦的長度問題，往往要借助拋物線的定義轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，比聯(lián)立方程利用弦長公式進(jìn)行求解減少了計(jì)算量.學(xué).【答案】D【解析】由題意知，拋物線F■的焦點(diǎn)坐標(biāo)為1101,準(zhǔn)線方程為.v=-l,當(dāng)斜率上存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為》—I,聯(lián)立拋物線方程，可得M+4山+P=0,設(shè)心亦+”+存山T依據(jù)拋物線定義得出珂=耳+1衛(wèi)=x-：-!=>???-?■■=.V--.v:-2>4當(dāng)斜率上不存在時(shí)，易得w+^=4.則w+?^的最小值是4,故選D_【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義以及直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)的問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類問題一定要注意點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化：(1)將拋線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離；(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，使問題得到解決.考點(diǎn)沖關(guān)1.【答案】A【解析】…拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y，焦點(diǎn)在y軸上，???2P=4，即p=2,???|=1，則準(zhǔn)線方程為y=_1.故選A.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的基本性質(zhì)，先將其轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求出準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題.2．【答案】Cnn【解析】若'mn<0”，則x2=-y中的->0，所以“拋物線mx2+ny二0的焦點(diǎn)在y軸正半軸上”TOC\o"1-5"\h\zmmnn成立，是充分條件；反之，若“拋物線mx2+ny=0的焦點(diǎn)在y軸正半軸上”，則x2=-y中的->0mm即mn<0，則“mn<0”成立，故是充分必要條件.故答案為C.【名師點(diǎn)睛】(1)本題主要考查充要條件的判斷和拋物線的幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)判斷充要條件，首先必須分清誰是條件，誰是結(jié)論，然后利用定義法、轉(zhuǎn)換法和集合法來判斷.3．【答案】C【解析】依題意設(shè)拋物線方程為y2=±2px(p>0),則2p=8,所以拋物線方程為y2=8x或y2=-8x.故選C.4．【答案】B【解析】?拋物線y2=4x,?P=2，由拋物線定義可知，拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離是相等的，?|MF|二4，即有x+彳=4,?x=3.M2M故選B.【名師點(diǎn)睛】活用拋物線的定義是解決拋物線問題最基本的方法，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，叫焦半徑.到焦點(diǎn)的距離常轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離求解.5．【答案】C

1【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2，當(dāng)MQ〃x軸時(shí)，IMQI-IQFI取得最小值，此時(shí)5IMQI-IQFI=I2+3I-I2+-I=-?6．【答案】D【解析】①若MO=MF,即點(diǎn)姙在直線21上，解得玩,±忑)，所以的周長為2x|+l=4j②若。M=OF,設(shè)彳手也L所以需+討=1,解得+2775-2),所以\MF\=^-1,所V.AOFM的周長為75-1+1+1=75+1-故選D_【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì).由題意可知，滿足要求的點(diǎn)有兩個(gè)，所以進(jìn)行分類討論.本題的關(guān)鍵就是求出M的坐標(biāo)，求出周長，所以只需設(shè)出M的坐標(biāo)，結(jié)合各自的等量關(guān)系，求坐標(biāo)，得到周長.7．7．答案】D11士=11士=3,則m=二FA”Fb|cosO=4.故本題選D.【解析】由題意得F(2,0)，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，則由拋物線的定義，可得13所以FA=4,FB=3，所以FA?FB=8.【答案】A【解析】設(shè)直線曲的方程為尸-科&代入y=2x2得X+m,.■■工網(wǎng)一斗，xixa=一￡=-斗■即的的方程為尸-艾+1.設(shè)的的中點(diǎn)為Mg加，則工尸西［比—代入it=-.vc-l,得"I滬］.又旗(一扌，［［在尸=工+朋上，■■■［1扌一用?二用二三■故答案為A【名師點(diǎn)睛】這是屬于圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題，可以聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系得到中點(diǎn)坐標(biāo)，代入已知直線.還有解決中點(diǎn)弦問題和對稱問題，可以利用點(diǎn)差法，由兩式作差直接得中點(diǎn)坐標(biāo)和直線斜率的關(guān)系.學(xué)！9.【答案】D

TOC\o"1-5"\h\z【解析】過A,B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線AQ,BP，垂足分別為Q,P，設(shè)IAFI=a,IBFI=b，貝V由拋物線的定義,a+bA得IAQI=a,IBPI=b，所以\HN\=.在AABF中，由余弦定理得IAB|2=a2+b2-2abcos60°=a2+b2-ab，所以a+b\o"CurrentDocument"HN~2~a+ba+b1AB^a2+b2-ab2Ja2+b2—ab2『（a+b1一3ab2~3ab~，因?yàn)閍+b>^^,所以\o"CurrentDocument"72『-（^HN，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，故匸亍的取值范圍為（0,1].故選D.10．【答案】4【解析】由雙曲線｝-y2=1可得a=2,則雙曲線的右頂點(diǎn)為（2,0）,則與=2,所以p=4.11．【答案】10【解析】由拋物線的定義可得|AF|=1+2,|BF\=9+2，依據(jù)題設(shè)可得9+1=5+￥=P=2,12．則y.=4x112．則y.=4x1=4,y2=4x9=36ay2=6（舍去負(fù)值），故y2+兒=10,12應(yīng)填10.【答案】噲【解析】由題意可設(shè)A（m,1）,D（m+朽,2）4=2p（m+1=2pm-P=拿m=￥，因此點(diǎn)A3到拋物線的焦點(diǎn)的距離是m+匕二—+—=2341213．13．【答案】溟a【解析】依題意得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，0），設(shè)M在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為K,連接MK,由拋物線的定義知k=0-1=-4疝IMFI=IMKI，因?yàn)镮FMI：IMNI=1:3,所以\KN\：\KM\=2型:1，又，kFN=S=-^，所以a=2渥解得14.【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為兀=-1,

所以得p=所以拋物線的方程為廠=4a-_（2）設(shè)則（坯』“因?yàn)辄c(diǎn)網(wǎng)（坯』0〕在拋物線上「且2嚇=3:由拋物線定義知悶刁=S，得坯=2-由菇（2去）在拋物線上，滿足拋物線的方程嚴(yán)二4工詼口坯=±2血所以.A0FS1的面積為|pF||r:|=ixlx272=VI.15．【解析】⑴設(shè)M（X],yi）,Ng,y2）,則￡+x?二8-p,15．???|MF|???|MF|+|NF二X1+x2+P=8.=x+PNF12而|mf=x+匕22⑵當(dāng)p=2時(shí),拋物線方程為y2=4x.①若直線MN的斜率不存在，則B（3,0）.②若直線MN的斜率存在，設(shè)A（3,t）（洋0）,則由⑴知F1力1,整理得y’2-y22=4（X-x2）Iy2=4x121222三5『2）=4,即kMN=f12.??直線MN:y-t=|（x-3），y一t=—（x一3）由/t消去X得y2-2ty+2t2-12二0,y2=4x由A>0得0vt2<12,???3-—e（-3,3）.2

綜上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍為（-3,3】.名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)問題，意在考查學(xué)生理解能力、分析判斷能力以及綜合利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力和較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力，其常規(guī)思路是先把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡單.在得到三角形的面積的表達(dá)式后，能否利用換元的方法，觀察出其中的函數(shù)背景成了完全解決問題的關(guān)鍵.16．【解析】⑴設(shè)A16．【解析】⑴設(shè)A（x1，y1）,B（x2，y2）,^卩i=2pX],則直線ab的方程為y―y廣?（x―x]）,丿1丿22p2p處2p兒乃???y=^K芒1+乃環(huán)+兒=兒+乃.x+班+乃又y1y2=-4p2,2p4p2p4p22p?y=RIx_^^一k\x-2p).???直線AB過定點(diǎn)（2p,0）.p17.【解析】（1）由題意設(shè)拋物線方程為x2=2py（p>0），其準(zhǔn)線方程為y=-專

???點(diǎn)鬥理5.1到焦點(diǎn)的距離等于尸到其準(zhǔn)線的距高,5+呂=6=衛(wèi)=2_所以拋物線方程^.v:=4y.設(shè)直線"D的方程為:y=^i.v-4i-4,v=7l(\—4)+4_聯(lián)立“、，得.V-4tc-16^-16=0；f=4i'16^-16,設(shè)D(.v1：”):E[X.:y；j,則.v._f-.v-=16^-16,同理，車=—’一41-=41-1'，k八?、上-丫「(x—僦+4]4(^-ir-4；-+1「(x—僦+4]所以直線DE的方程為y-4(7:-if=-—:44Z：-4+-+4kG-4k+4)彳k-1-2)G-4k+4)‘(1)4(1)41)x+4k一一二k-—-21k丿kk丿化簡得y二(x+4)+8.???直線DE過定點(diǎn)（—4,8）.【名師點(diǎn)睛】（1）本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，考查了直線和拋物線的位置關(guān)系和直線的定點(diǎn)問題.（2）定點(diǎn)問題：對滿足一定條件曲線上兩點(diǎn)連接所得直線過定點(diǎn)或滿足一定條件的曲線過定點(diǎn)問題，證明直線過定點(diǎn)，一般有兩種方法：①特殊探求，一般證明：即可以先考慮動(dòng)直線或曲線的特殊情況，找出定點(diǎn)的位置，然后證明該定點(diǎn)在該直線或該曲線上（定點(diǎn)的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立）.②分離參數(shù)法：一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)九wR,結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)得到等式f(x,y以2+f(x,y)九+f(x,y)=0，(一般地，f(x,y)(i二1,2,3)為關(guān)于x，y的二元一123ifi(x,y)=0次關(guān)系式)由上述原理可得方程組｛打(x,y)=0，從而求得該定點(diǎn).、f3(x,y)=0直通高考【答案】D【解析】根據(jù)題意，過點(diǎn)(-2,0)且粥率為;的直線方程y=^i.v+2h與拋物線方程聯(lián)立得"「亍曲+'\消元整理得:r-6y+S=0,解得舊(1丄)=￥(4沖)，又叭1?,=4.v所以厲7=iq乩丙=厲幾從而可以求得Ml-?T=0x3+2x4=8,故選D.【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與拋物線相交求交點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的條件的問題，在求解的過程中，首先需要根據(jù)題意確定直線的方程，之后需要聯(lián)立方程，消元化簡求解，從而確定出M(1,2),N(4,4)，之后借助于拋物線的方程求得F(1，°)，最后一步應(yīng)用向量坐標(biāo)公式求得向量的坐標(biāo)，之后應(yīng)用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果，也可以不求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)果.【答案】B【解析】如圖，設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)，圓的半徑為r,AB,DE分別交x軸于C,F點(diǎn)，貝yTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"44IACI二2巨，即A點(diǎn)縱坐標(biāo)為2血，則A點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即1OC|=，由勾股定理知\o"CurrentDocument"PPIDFI2+1OFI2=|DOI2=r2，IACI2+1OCI2=|AOI2=r2，即g5)2+(￡)2二(2.2)2+(-)2，解得\o"CurrentDocument"2PP=4，即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,故選B.

名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的性質(zhì)及運(yùn)算,注意解析幾何問題中最容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤,所以解題時(shí)一定要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性與技巧性,基礎(chǔ)題失分過多是相當(dāng)一部分學(xué)生數(shù)學(xué)考不好的主要原因.3.【答案】A【解析】設(shè)用乞壬（冬3〕疋〔心兀），名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的性質(zhì)及運(yùn)算,注意解析幾何問題中最容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤,所以解題時(shí)一定要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性與技巧性,基礎(chǔ)題失分過多是相當(dāng)一部分學(xué)生數(shù)學(xué)考不好的主要原因.3.【答案】A【解析】設(shè)用乞壬（冬3〕疋〔心兀），直線A的方程為F=gT）,聯(lián)立方程'-i■*=4y_■:+4“-；2得疋丘-2心-抵=?—手同理直線b與拋物y=7q(.v-l)<&線的交點(diǎn)滿足衛(wèi)+-%=~p~,由拋物線定義可知|.述|+1DE|=兀+孔+衛(wèi)+x斗+2戸=電二++S>2j^+S=16,當(dāng)且僅當(dāng)俎=-池=1（或-1）時(shí)，取等號(hào).故選乩名師點(diǎn)睛】對于拋物線弦長問題，要重點(diǎn)抓住拋物線定義，將到定點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線上；另外，直線與拋物線聯(lián)立，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系是通法，需要重點(diǎn)掌握.考查最值問題時(shí)要能想到用函數(shù)方法和基本不等式進(jìn)行解決.此題還可以利用弦長的傾斜角表示，設(shè)直線的傾斜角為口，則2p2pIAB1=丄，貝JDEl=+n=CO$a，所以IABI+1DE1=旦一+~^=4(—1—+sin2asin2(a+—)cos2asm2acos2a11)=4(sin2a+丄)32a+sin2a)=4(2+叱+注)>4x(2+2)=16cos2asin2acos2asin2a4.【答案】解析】x+1=10亠x=9MM思路點(diǎn)睛】當(dāng)題目中出現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，一般都會(huì)想到轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.解答本題時(shí)轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而可得點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離.5.【答案】6【解析】如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)F'，作MB丄l于點(diǎn)BNA丄l于點(diǎn)a，由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為x=-2，則1AN1=2,1FF1=4在直角梯形ANFF'中，中位線I在直角梯形ANFF'中，中位線IBM1=IANI+1FF'I2由拋物線的定義有：1MF|=|MB|=3，結(jié)合題意，有IMNI=IMF1=3，故FN=FM+NM=3+3=6.【名師點(diǎn)睛】拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離（拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化.如果問題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題.因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡單化.6.【答案】2【解析】設(shè)AI耳0壬1,則住「丄.所以.尸-4.v-g,所以.上=旦二總=y：-=4.v:耳一芒””取AB中點(diǎn),y：I芳別過點(diǎn)A3作拋物線準(zhǔn)線V二-1的垂線,垂足分別為雖階設(shè)尸為f的焦點(diǎn)因?yàn)?90：所以.卩門『|=|\AB\=Z||JF|-|^F||=占|丄』［-1胭.因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以平行于工軸一因?yàn)樗浴?1,則＞i+＞：=-,即上=2.故答案為2.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了拋物線的性質(zhì)，設(shè)AQ,yi）,B（x2,y丿1122y-y4利用點(diǎn)差法得到k=T2=，取AB中點(diǎn)M'（x0，y丿,分別過點(diǎn)A,B作拋物線準(zhǔn)線x=-1的垂x—xy十y001212線，垂足分別為A'，B，由拋物線的性質(zhì)得到|MM‘|=2qAA'|+|BB'|）,進(jìn)而得到斜率.

7.【解析】(1)設(shè)直線貝卩的斜率為島血=—=-<-^TOC\o"1-5"\h\z.v+--\o"CurrentDocument"13因-v<-,所以■直線，尸斜率的取值范圍是(-1=1)■\o"Cur