《平面向量基本定理》公開課課件

平面向量基本定理平面向量基本定理110十二月2022一、課前準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)1:向量的合成（思考：為什么限定？）10十二月2022一、課前準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)1:向量的合成（思考210十二月2022想一想？?

探究：與的關(guān)系是這一平面內(nèi)的任一向量．已知是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，如：10十二月2022想一想？?探究：與的關(guān)系是這一平面內(nèi)310十二月2022學(xué)生活動：OMNC即向量的分解AB10十二月2022學(xué)生活動：OMNC即向量的分解AB410十二月2022知識點(diǎn)一平面向量基本定理存在性唯一性1.如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面的任意向量使一對實(shí)數(shù)有且只有把不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底10十二月2022知識點(diǎn)一平面向量基本定理存在510十二月2022（有無數(shù)組）BAOMOMAB10十二月2022（有無數(shù)組）BAOMOMAB6abABDCFEabABDCFE7知識點(diǎn)二、向量的夾角與垂直:OAB兩個(gè)非零向量

和,作，

,則叫做向量

和

的夾角．夾角的范圍：

與

反向OAB記作與

垂直，OAB注意:兩向量必須是同起點(diǎn)的

與

同向OAB特別的：知識點(diǎn)二、向量的夾角與垂直:OAB兩個(gè)非零向量和8例2.在等邊三角形中，求

(1)AB與AC的夾角；

(2)AB與BC的夾角。ABC例2.在等邊三角形中，求ABC9平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示10G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解類似地，由平面向量的基本定理，對平面上的任意向量a，均可以分解為不共線的兩個(gè)向量λ1a1和λ2

a2,使a=λ1a1+λ2

a2G與F1,F2有什么關(guān)系?G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解類似地11把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解若兩個(gè)不共線向量互相垂直時(shí)aλ1a1λ2

a2F1F2G正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解若兩個(gè)12思考：

我們知道，在平面直角坐標(biāo)系，每一個(gè)點(diǎn)都可用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示，對直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個(gè)向量，如何表示？在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時(shí)，會為我們研究問題帶來方便。思考：我們知道，在平面直角坐標(biāo)系，每一個(gè)點(diǎn)都13ayOxxiyjji分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.任作一個(gè)向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一對實(shí)數(shù)x、y,使得a=x

i+y

j把(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y)其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)表示ayOxxiyjji分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量14向量的坐標(biāo)表示i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)向量的坐標(biāo)表示i=(1,0)ayOxxiyjjia=15yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐標(biāo)相同向量a、b有什么關(guān)系?a＝b能說出向量b的坐標(biāo)嗎?b=(x,y)yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐標(biāo)相同向量a、b有16yxAa如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作OA=a，則點(diǎn)A的位置由a唯一確定。yxOji設(shè)OA=xi+yj，則向量OA的坐標(biāo)（x,y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；a(x,y)因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一對實(shí)數(shù)唯一表示。反過來，點(diǎn)A的坐標(biāo)（x,y)也就是向量OA的坐標(biāo)。yxAa如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原yxOji設(shè)OA=xi+17向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系向量P（x

，y）一一對應(yīng)向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系向量P（x，18練習(xí):在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出下列向量.解：練習(xí):在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出下列向量.解：19例1.用基底i,j分別表示向量a,b,c,d,并求出它們的坐標(biāo).-4-3-2-11234AB12-2-1xy453例1.用基底i,j分別表示向量a,b,c,d,并求出20平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：21（二）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：結(jié)論1：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.結(jié)論2：實(shí)數(shù)與向量數(shù)量積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).（二）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：結(jié)論1：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等22已知，求的坐標(biāo).OxyB(x2,y2)A(x1,y1)結(jié)論3:一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。已知，求的坐標(biāo).23《平面向量基本定理》公開課課件24OyxABCD例3：已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).OyxABCD例3：已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分25變式：已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)。OyxABC解：當(dāng)平行四邊形為ADCB時(shí)，由得D1=(2,2)當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí)，得D2=(4,6)D1D2當(dāng)平行四邊形為DACB時(shí)，得D3=(6,0)D3變式：已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1),B26《平面向量基本定理》公開課課件27隨堂練習(xí)坐標(biāo)是A、(3,2)B、(2,3)C、(-3,-2)D、(-2,-3)BA、x=1,y=3B、x=3,y=1C、x=1,y=-3D、x=5,y=-1B標(biāo)坐標(biāo)為A、(x-2,y+1)B、(x+2,y-1)C、(-2-x,1-y)D、(x+2,y+1)C隨堂練習(xí)坐標(biāo)是A、(3,2)B、(2,3)C、(-328BB標(biāo)的坐標(biāo)為(i,j),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為A、(m-i,n-j)B、(i-m,j-n)C、(m+i,n+j)D、(m+n,i+j)ABB標(biāo)的坐標(biāo)為(i,j),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為A、(m-i,n-j29小結(jié)平面向量基本定理

如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2

使a=λ1e1+λ2e2小結(jié)平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面30(1)我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量a在給出基底e1、e2的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時(shí)，分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1、e2唯一確定的數(shù)量。a=λ1e1+λ2e2小結(jié)(1)我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的31課堂總結(jié):1.向量的坐標(biāo)的概念:2.對向量坐標(biāo)表示的理解:3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算:(1)任一平面向量都有唯一的坐標(biāo);(2)向量的坐標(biāo)與其起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系；(3)相等的向量有相等的坐標(biāo).4.能初步運(yùn)用向量解決平面幾何問題:“向量”的思想課堂總結(jié):1.向量的坐標(biāo)的概念:2.對向量坐標(biāo)表示的理解:332平面向量基本定理平面向量基本定理3310十二月2022一、課前準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)1:向量的合成（思考：為什么限定？）10十二月2022一、課前準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)1:向量的合成（思考3410十二月2022想一想？?

探究：與的關(guān)系是這一平面內(nèi)的任一向量．已知是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，如：10十二月2022想一想？?探究：與的關(guān)系是這一平面內(nèi)3510十二月2022學(xué)生活動：OMNC即向量的分解AB10十二月2022學(xué)生活動：OMNC即向量的分解AB3610十二月2022知識點(diǎn)一平面向量基本定理存在性唯一性1.如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面的任意向量使一對實(shí)數(shù)有且只有把不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底10十二月2022知識點(diǎn)一平面向量基本定理存在3710十二月2022（有無數(shù)組）BAOMOMAB10十二月2022（有無數(shù)組）BAOMOMAB38abABDCFEabABDCFE39知識點(diǎn)二、向量的夾角與垂直:OAB兩個(gè)非零向量

和,作，

,則叫做向量

和

的夾角．夾角的范圍：

與

反向OAB記作與

垂直，OAB注意:兩向量必須是同起點(diǎn)的

與

同向OAB特別的：知識點(diǎn)二、向量的夾角與垂直:OAB兩個(gè)非零向量和40例2.在等邊三角形中，求

(1)AB與AC的夾角；

(2)AB與BC的夾角。ABC例2.在等邊三角形中，求ABC41平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示42G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解類似地，由平面向量的基本定理，對平面上的任意向量a，均可以分解為不共線的兩個(gè)向量λ1a1和λ2

a2,使a=λ1a1+λ2

a2G與F1,F2有什么關(guān)系?G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解類似地43把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解若兩個(gè)不共線向量互相垂直時(shí)aλ1a1λ2

a2F1F2G正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解若兩個(gè)44思考：

我們知道，在平面直角坐標(biāo)系，每一個(gè)點(diǎn)都可用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示，對直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個(gè)向量，如何表示？在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時(shí)，會為我們研究問題帶來方便。思考：我們知道，在平面直角坐標(biāo)系，每一個(gè)點(diǎn)都45ayOxxiyjji分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.任作一個(gè)向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一對實(shí)數(shù)x、y,使得a=x

i+y

j把(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y)其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)表示ayOxxiyjji分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量46向量的坐標(biāo)表示i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)向量的坐標(biāo)表示i=(1,0)ayOxxiyjjia=47yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐標(biāo)相同向量a、b有什么關(guān)系?a＝b能說出向量b的坐標(biāo)嗎?b=(x,y)yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐標(biāo)相同向量a、b有48yxAa如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作OA=a，則點(diǎn)A的位置由a唯一確定。yxOji設(shè)OA=xi+yj，則向量OA的坐標(biāo)（x,y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；a(x,y)因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一對實(shí)數(shù)唯一表示。反過來，點(diǎn)A的坐標(biāo)（x,y)也就是向量OA的坐標(biāo)。yxAa如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原yxOji設(shè)OA=xi+49向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系向量P（x

，y）一一對應(yīng)向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系向量P（x，50練習(xí):在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出下列向量.解：練習(xí):在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出下列向量.解：51例1.用基底i,j分別表示向量a,b,c,d,并求出它們的坐標(biāo).-4-3-2-11234AB12-2-1xy453例1.用基底i,j分別表示向量a,b,c,d,并求出52平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：53（二）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：結(jié)論1：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.結(jié)論2：實(shí)數(shù)與向量數(shù)量積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).（二）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：結(jié)論1：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等54已知，求的坐標(biāo).OxyB(x2,y2)A(x1,y1)結(jié)論3:一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。已知，求的坐標(biāo).55《平面向量基本定理》公開課課件56OyxABCD例3：已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).OyxABCD例3：已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分57變式：已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)。OyxABC解：當(dāng)平行四邊形為ADCB時(shí)，由得D1=(2,2)當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí)，得D2=(4,6)D1D2當(dāng)平行四邊形為DACB時(shí)，得D3=(6,0)D3變式：已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1),B58《平面向量基本定理》公開課課件59隨堂練習(xí)坐標(biāo)是A、(3,2)B、(2,3)C、(-3,-2)D、(-2,-3)BA、x=1,y=3B、x=3,y=1C、x=1,y=-3D、x=5,y=-1B標(biāo)坐標(biāo)為A、