第一章-基本概念和定理-光信息教學(xué)課件

OpticalInformationProcessing光學(xué)信息處理授課教師：胡慧芳OpticalInformationProcessing1前沿光學(xué)信息處理是激光器問(wèn)世后發(fā)展起來(lái)的一個(gè)研究新方向，現(xiàn)代信息處理技術(shù)中一個(gè)重要組成部分，在現(xiàn)代光學(xué)中占有很重要的地位。光是一種具有電磁波性質(zhì)的物質(zhì)。不同的光波對(duì)于不同的介質(zhì)會(huì)表現(xiàn)出不同的傳輸性質(zhì)。光通過(guò)不同的光學(xué)系統(tǒng)時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)自由傳輸、成像、衍射、干涉、色散頻率變換等功能。“信息”是通信科學(xué)中早就采用的術(shù)語(yǔ)，這個(gè)觀點(diǎn)也適用于光學(xué)。如一幅圖像實(shí)際上是一種二維空間的光強(qiáng)或光場(chǎng)分布，它可以看作攜帶著信息的光強(qiáng)或光場(chǎng)隨空間變化的序列，稱(chēng)為光學(xué)信息。光學(xué)信息可以是一維、二維或三維的空間性的信息。前沿光學(xué)信息處理是激光器問(wèn)世后發(fā)展起來(lái)的一個(gè)研究新方向2將通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)的光波稱(chēng)為光學(xué)信號(hào)，光波通過(guò)系統(tǒng)的過(guò)程看作是系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的處理。通過(guò)系統(tǒng)之前的光波稱(chēng)為輸入信號(hào)或輸入光波，通過(guò)系統(tǒng)后的光波稱(chēng)為輸出信號(hào)或輸出光波。作為電磁波，光學(xué)信號(hào)是隨時(shí)間和空間而變化的，由于光波的時(shí)間頻率極高，通常只能檢測(cè)到它的時(shí)間平均效果。需要把對(duì)光學(xué)信號(hào)的研究轉(zhuǎn)變?yōu)榭臻g分布問(wèn)題進(jìn)行。對(duì)光學(xué)信號(hào)空間分布的研究，往往是通過(guò)對(duì)一個(gè)截平面內(nèi)光學(xué)信號(hào)分布的研究為基礎(chǔ)進(jìn)行的，因此我們通常把光學(xué)信號(hào)表示為一個(gè)二維分布的空間信號(hào)。輸入信號(hào)所在的平面稱(chēng)為輸入面，輸出信號(hào)所在的平面稱(chēng)為輸出面。

將通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)的光波稱(chēng)為光學(xué)信號(hào)，光波通過(guò)系統(tǒng)的過(guò)程看作是系3什么是光學(xué)信息處理？

用光學(xué)的方法實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信息的各種變換或處理。它以全息術(shù)、光學(xué)傳遞函數(shù)和激光技術(shù)為基礎(chǔ)。透鏡的傅里葉變換效應(yīng)是光學(xué)信息處理的理論核心。光學(xué)信息處理具有的特點(diǎn)：高度并行性大容量

小尺寸等。光學(xué)信息處理的概念光學(xué)信息：是指光的強(qiáng)度(或振幅)、相位、顏色(波長(zhǎng))和偏振態(tài)等。光學(xué)信息處理：基于光學(xué)頻譜分析，利用傅里葉綜合技術(shù)，通過(guò)空域或頻域調(diào)制，借助空間濾波技術(shù)對(duì)光學(xué)信息進(jìn)行處理的過(guò)程。什么是光學(xué)信息處理？4光學(xué)信息處理的研究對(duì)象：研究如何對(duì)各種光學(xué)信息進(jìn)行綜合性的處理。例如各種光學(xué)運(yùn)算（加、減、乘、除、相關(guān)、卷積、微分、矩陣相乘、邏輯運(yùn)算等）；光學(xué)信息的抽取、編碼、存儲(chǔ)、增強(qiáng)、去模糊、特征識(shí)別；各種光學(xué)變換（傅里葉變換、對(duì)數(shù)變換、梅林變換、拉普拉斯變換）等。有時(shí)光學(xué)信息處理也稱(chēng)為光學(xué)數(shù)據(jù)處理，它的發(fā)展遠(yuǎn)景是“光計(jì)算”。光學(xué)信息處理主要包括：

信息傳遞、信息存儲(chǔ)和信號(hào)處理，而透鏡的傅里葉變換效應(yīng)則構(gòu)成了光學(xué)信息處理的理論框架。光學(xué)信息處理的研究對(duì)象：5光學(xué)信息處理分類(lèi)

按處理的性質(zhì)可分為：線性處理；非線性處理線性處理：系統(tǒng)對(duì)多個(gè)輸入之和的響應(yīng)（即輸出）等于各單獨(dú)輸入時(shí)的響應(yīng)（輸出）之和。在許多情況下，介質(zhì)對(duì)光波產(chǎn)生的影響是線性的，如一個(gè)光學(xué)成像系統(tǒng)就是典型的線性系統(tǒng)。在相干光照明時(shí)，光學(xué)透鏡所具有的傅里葉變換性質(zhì)也是一種線性的性質(zhì)。按所用光的相干性可分為：相干、非相干和部分相干處理。線性系統(tǒng)輸入信號(hào)是若干輸入光波的線性組合，系統(tǒng)對(duì)這個(gè)線性組合信號(hào)的總輸出等于各光波單獨(dú)輸入的輸出光波的線性組合，而且這個(gè)信號(hào)的線性組合與輸入信號(hào)的組合形式完全相同，則這個(gè)系統(tǒng)滿(mǎn)足線性疊加原理，稱(chēng)之為線性系統(tǒng)。

光學(xué)信息處理分類(lèi)6平移不變系統(tǒng)輸入信號(hào)產(chǎn)生了一個(gè)平移，系統(tǒng)在輸入信號(hào)平移前后輸出信號(hào)的唯一差別也只是產(chǎn)生平移，這樣的系統(tǒng)叫平移不變系統(tǒng)。平移不變系統(tǒng)不改變輸出信號(hào)的圖形分布，只是平移前后的輸出圖形整體產(chǎn)生了一個(gè)平行的位置變化。線性平移不變系統(tǒng)

同時(shí)具有線性性質(zhì)和平移不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱(chēng)為線性平移不變系統(tǒng)。特點(diǎn)：（1）由線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)，可把復(fù)雜的輸入信號(hào)看作是若干簡(jiǎn)單的基元輸入信號(hào)的線性組合，每一個(gè)基元輸入信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后都對(duì)應(yīng)著一個(gè)子輸出信號(hào)，總的輸出信號(hào)是這些子輸出信號(hào)的線性組合，而且組合的關(guān)系與基元輸入信號(hào)的組合關(guān)系是完全相同的。

平移不變系統(tǒng)7（2）由系統(tǒng)的平移不變性質(zhì)，若輸入信號(hào)只是處于輸入平面內(nèi)不同位置的同一種形式的基元信號(hào)，那么輸出信號(hào)也將只有一種形式的信號(hào)，而這些基元輸入信號(hào)與對(duì)應(yīng)的子輸出信號(hào)之間存在一一對(duì)應(yīng)的平移關(guān)系。常見(jiàn)的基元輸入信號(hào)表達(dá)方式：沖激信號(hào)、單色平面波信號(hào)。

沖激信號(hào)代表處于不同位置的單色點(diǎn)光源；

單色平面波代表沿不同方向傳播的平面波。數(shù)學(xué)表達(dá)式：二維沖激函數(shù)、二維復(fù)指數(shù)函數(shù)。這兩種函數(shù)既能夠表達(dá)信號(hào)的物理意義，又能夠表達(dá)線性平移不變系統(tǒng)的傳輸特性，同時(shí)也是進(jìn)行系統(tǒng)及信號(hào)分析、信號(hào)處理以及實(shí)際應(yīng)用中的重要工具。（2）由系統(tǒng)的平移不變性質(zhì)，若輸入信號(hào)只是處于輸入平面內(nèi)不同8二維沖激函數(shù)和二維復(fù)指數(shù)函數(shù)是從兩個(gè)不同的側(cè)面來(lái)描述透鏡與信號(hào)之間的關(guān)系，即以不同的角度和方式描述同一物理過(guò)程。輸入光信號(hào)被看做不同位置二維沖激函數(shù)（點(diǎn)光源）的線性組合，線性組合的系數(shù)是對(duì)應(yīng)位置處信號(hào)的值。以二維沖激函數(shù)作為基函數(shù)時(shí)，描述的是信號(hào)直觀空間分布特性，稱(chēng)為空域分析法。沿不同方向傳輸?shù)钠矫娌ù碇鈱W(xué)信號(hào)在該方向的空間頻率，沿用光譜和頻譜分析的習(xí)慣，把沿某一方向傳輸?shù)膯紊矫娌ǚQ(chēng)為沿該方向的角譜。

以二維復(fù)指數(shù)函數(shù)作為基函數(shù)時(shí)，描述的是信號(hào)的頻域分布特性，稱(chēng)為頻域分析法。二維沖激函數(shù)和二維復(fù)指數(shù)函數(shù)是從兩個(gè)不同的側(cè)面來(lái)描述透鏡與信9信號(hào)的空域分布和頻域分布是對(duì)于同一個(gè)信號(hào)不同方式的描述，二者之間必然存在一定的聯(lián)系，傅里葉分析就是建立這種聯(lián)系的數(shù)學(xué)工具知道了光學(xué)信號(hào)的空域分布，就可以通過(guò)傅里葉分析得到它的頻域分布。反之，知道了光學(xué)信號(hào)的頻域分布，也可以通過(guò)傅里葉分析得到它的空域分布。

信號(hào)的空域分布和頻域分布是對(duì)于同一個(gè)信號(hào)不同方式的描述，二者10光學(xué)信息處理技術(shù)發(fā)展過(guò)程

著名德國(guó)科學(xué)家阿貝(E.Abbe，1840~1905)，1873年提出了二次成像理論及其相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，為光學(xué)信息處理打下了一定的理論基礎(chǔ)，是空間濾波與光學(xué)信息處理的先導(dǎo)。

1935年，物理學(xué)家策尼克(F.Zernike,1888~1966)

發(fā)明了相襯顯微鏡，將相位分布轉(zhuǎn)化為強(qiáng)度分布，成功地育接觀察到微小的相位物體——細(xì)菌，用光學(xué)方法實(shí)現(xiàn)了圖像處理，解決了由于染色而導(dǎo)致細(xì)菌大量死亡的問(wèn)題。策尼克由此榮獲了1953年度的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

1946年，法國(guó)科學(xué)家杜費(fèi)(P.M.Duffieux,1891~1979)把光學(xué)成像系統(tǒng)看作線性濾波器，采用傅里葉方法成功地分析了成像過(guò)程，發(fā)表了他的名著《傅

里葉變換及其在光學(xué)中的應(yīng)用》。

光學(xué)信息處理技術(shù)發(fā)展過(guò)程著名德國(guó)科學(xué)家阿貝(E.Abbe11

艾里斯(P.Elias)

等人的經(jīng)典論文《光學(xué)與通信理論》、《光學(xué)處理的傅里葉方法》以及奧尼爾(E.L.O’Neil)

的論文《光學(xué)中的空間濾波》相繼發(fā)表，為光學(xué)信息處理提供了有力的數(shù)學(xué)工具，并為光學(xué)與通信科學(xué)的結(jié)合奠定了基礎(chǔ)。

1963年，范德拉格特(A.VanderLugt)

提出了復(fù)數(shù)空間濾波的概念，使光學(xué)信息處理進(jìn)入了一個(gè)廣泛應(yīng)用的新階段。

20世紀(jì)80年代以后，隨著高新技術(shù)的蓬勃興起，光學(xué)信息處理技術(shù)發(fā)展很快。艾里斯(P.Elias)等人的經(jīng)典論文《光學(xué)與通信12參考書(shū)籍《近代光學(xué)信息處理》宋菲君，北京大學(xué)出版社《光信息科學(xué)與技術(shù)應(yīng)用》，鄭光昭，電子工業(yè)大學(xué)出版社《信息光學(xué)》，蘇顯渝，科學(xué)出版社《光學(xué)信息技術(shù)及應(yīng)用》，陳家璧等，高等教育出版社《傅立葉光學(xué)》，呂乃光，機(jī)械出版社參考書(shū)籍《近代光學(xué)信息處理》宋菲君，北京大學(xué)出版社13第一章傅里葉變換的數(shù)理基礎(chǔ)1.1

常用的幾種非初等函數(shù)在光學(xué)信號(hào)處理中，有一些廣泛使用的描述信號(hào)和系統(tǒng)的常用數(shù)學(xué)函數(shù)，其中的一些函數(shù)還是非初等的特殊函數(shù)和特殊函數(shù)?；境醯群瘮?shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)

初等函數(shù)：在自變量的定義域內(nèi)，能用單一解析式對(duì)上述五種基本初等函數(shù)進(jìn)行有限次數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)。

非初等函數(shù):

在自變量的定義域中，不能用單一解析式表示的函數(shù)。在現(xiàn)代光學(xué)中，常用這些非初等函數(shù)和特殊函數(shù)來(lái)描述光場(chǎng)的分布。

第一章傅里葉變換的數(shù)理基礎(chǔ)1.1常用的幾種非初等函數(shù)141.1.1矩形函數(shù)（RectangleFunction）定義：寬度為a(

a>0),中心在x0的一維矩形函數(shù)為

用x代表時(shí)間變量時(shí)，用該函數(shù)描述照相機(jī)的快門(mén)，這時(shí)a表示曝光時(shí)間；用x代表空間變量時(shí)，用該函數(shù)描述空間域中無(wú)限大不透明屏上一個(gè)寬度為a的狹（單）縫的透過(guò)率。（1-1-1）a>01.1.1矩形函數(shù)（RectangleFunction15若令x0=0，有

這是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，寬度為a高為1的矩形

。當(dāng)x0=0，a＝1時(shí)，有

這是一個(gè)偶函數(shù)。一維矩形函數(shù)常表示一維透光縫等，故也稱(chēng)為門(mén)函數(shù)（GatingFunction）。

（1-1-2）（1-1-2’）-a/2a/201rect(x/a)若令x0=0，有（1-1-2）（1-1-2’）-a/2a/16二維矩形函數(shù)為兩個(gè)一維矩形函數(shù)的乘積其中a>0,b>0。該函數(shù)在xoy平面上以（x0，y0）為中心的a×b矩形區(qū)域內(nèi)函數(shù)值為1，其他地方處處等于0。

（1-1-3）二維矩形函數(shù)為兩個(gè)一維矩形函數(shù)的乘積（1-1-3）17令x0=0，y0=0，則表示xoy平面上以原點(diǎn)為中心的a×b矩形區(qū)域內(nèi)函數(shù)值為l，其他地方處處等于0。二維矩形函數(shù)可用來(lái)描述無(wú)限大不透明屏上矩形孔的透過(guò)率（b圖）。（a）（b）（1-1-4）令x0=0，y0=0，則表示xoy平面上以原點(diǎn)為中心的a18用二維矩形函數(shù)與某函數(shù)（或圖像）相乘，可以截取出矩形孔范圍內(nèi)的函數(shù)值，其他位置處賦予零值。二維矩形函數(shù)與某函數(shù)相乘后，可限制該函數(shù)自變量的取值范圍，起到截取函數(shù)的作用。

（a）I(x,y)

(b)

(c)

用二維矩形函數(shù)與某函數(shù)（或圖像）相乘，可以截取出矩形孔范圍內(nèi)191.1.2sinc(x)函數(shù)定義：一維sinc

函數(shù)為：

該函數(shù)在原點(diǎn)處有最大值1,在處的值等于0;

原點(diǎn)兩側(cè)第一級(jí)零點(diǎn)之間的寬度(sinc函數(shù)的主瓣寬度）

為2a，且它的面積等于a。

（1-1-5）a>01.1.2sinc(x)函數(shù)（1-1-5）a>020二維sinc函數(shù)定義：二維sinc函數(shù)為：式中a>0,b>0

這是兩個(gè)一維sinc函數(shù)的乘積，零點(diǎn)位置在，m，n均為正整數(shù)。一維sinc函數(shù)表示單縫的夫瑯和費(fèi)衍射的振幅分布；二維sinc函數(shù)可以表示矩孔的夫瑯和費(fèi)衍射的振幅分布，其平方表示衍射的光強(qiáng)分布圖樣。

（1-1-6）二維sinc函數(shù)的平方值分布圖

（1-1-6）二維sinc函數(shù)的平方值分布圖21rect(x)和sinc(x)函數(shù)關(guān)系：sinc(x)圖形是矩形函數(shù)的傅里葉變換。

1.1.3

階躍函數(shù)（StepFunction）定義：一維階躍函數(shù)為：（1-1-7）rect(x)和sinc(x)函數(shù)關(guān)系：（1-1-7）22將一維階躍函數(shù)與某函數(shù)相乘時(shí)（a>0）在x>0的部分，乘積等于該函數(shù)值；在x<0的部分，乘積恒等于0。一維階躍函數(shù)的作用如同一個(gè)“開(kāi)關(guān)”，可在某點(diǎn)“開(kāi)啟”或“關(guān)閉”另一個(gè)函數(shù)。習(xí)題：畫(huà)出cos(2πx)step(x)和cos(x)rect(x/a)

的圖形。二維階躍函數(shù)定義為：

這里定義的二維階躍函數(shù)在y方向上等于常數(shù)，而在x方向上等同于一維階躍函數(shù)，相當(dāng)于一維階躍函數(shù)在y方向上延伸。（1-1-8）將一維階躍函數(shù)與某函數(shù)相乘時(shí)（a>0）（1-1-8）23這種函數(shù)可用來(lái)描述光學(xué)直邊(或刀口)的透過(guò)率二維階躍函數(shù)圖

二維階躍函數(shù)圖241.1.4

符號(hào)函數(shù)（SignumFunction）定義一維符號(hào)函數(shù)為（1-1-9）1.1.4符號(hào)函數(shù)（SignumFunction）（125符號(hào)函數(shù)與一維階躍函數(shù)之間的關(guān)系：（式中令a=1）和階躍函數(shù)的情況一樣，寬度和面積的概念是沒(méi)有意義的。a的正負(fù)僅僅決定函數(shù)的取向。sgn(x/a)與某函數(shù)相乘，可使被乘函數(shù)以某點(diǎn)為界，此點(diǎn)一側(cè)的函數(shù)值極性發(fā)生翻轉(zhuǎn)。在實(shí)際應(yīng)用中，可用于某光學(xué)孔徑的一半嵌有π位相板，與另一半的相位相反，描述此光學(xué)孔徑的復(fù)振幅透過(guò)率。

或（1-1-10）符號(hào)函數(shù)與一維階躍函數(shù)之間的關(guān)系：或（1-1-10）261.1.5三角函數(shù)(TriangleFunction)

定義一維三角形函數(shù)為：這是一個(gè)以原點(diǎn)為中心，底邊長(zhǎng)為2a，高度為1的等腰三角形令a=1

，則有（1-1-11）（1-1-11’）a>0

1.1.5三角函數(shù)(TriangleFunction27二維三角形函數(shù)定義為：其中a>0,b>0該函數(shù)可視為兩個(gè)一維三角形函數(shù)的乘積

在光學(xué)成像中

二維三角形函數(shù)可用來(lái)表示一個(gè)光瞳為矩形的非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)。

（1-1-12）中心在原點(diǎn)的二維三角函數(shù)二維三角形函數(shù)定義為：（1-1-12）中心在原點(diǎn)的二維三角函28三角函數(shù)也具有曲線下面積等于1的性質(zhì)，即滿(mǎn)足1.1.6高斯函數(shù)(GaussianFunction)

一維高斯函數(shù)定義為式中a>0稱(chēng)為高斯函數(shù)半徑當(dāng)時(shí)，函數(shù)值變?yōu)?/e。（1-1-13）三角函數(shù)也具有曲線下面積等于1的性質(zhì)，即滿(mǎn)足（1-1-13）29二維高斯函數(shù)定義為：式中，a>0,b>0函數(shù)曲線下的體積等于ab。（1-1-14）中心在原點(diǎn)的一維高斯函數(shù)

中心在原點(diǎn)的二維高斯函數(shù)

（1-1-14）中心在原點(diǎn)的一維高斯函數(shù)中心在原點(diǎn)的二維高30若a＝b＝l，則二維高斯函數(shù)可表示成：若用極坐標(biāo)表示，則令，便有高斯函數(shù)的重要性質(zhì)：①光滑函數(shù)，其各階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的。②傅里葉變換也是高斯函數(shù)。高斯函數(shù)常用來(lái)描述激光器發(fā)出的高斯光束，也用于光學(xué)信息處理中的“切趾術(shù)”。（1-1-15）（1-1-16）若a＝b＝l，則二維高斯函數(shù)可表示成：（1-1-15）（1-311.1.7

圓域函數(shù)(CircleFunction)在直角坐標(biāo)系中：

在極坐標(biāo)系中：定義圓域函數(shù)為

圓域函數(shù)可用來(lái)描述無(wú)限大不透明屏上圓孔的透過(guò)率。（1-1-17）1.1.7圓域函數(shù)(CircleFunction)（132練習(xí)：畫(huà)出：Step((x-2)/-1);bsinc((x-x0)/a);sgn((x+1)/-1)的圖形。解答：練習(xí)：畫(huà)出：Step((x-2)/-1);331.1.8狄拉克δ函數(shù)（沖激函數(shù)）一、δ函數(shù)的定義定義1(積分表達(dá)式)

：該定義表明δ函數(shù)不是普通的函數(shù)，它不像普通函數(shù)那樣全由數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系確定。實(shí)際上，δ函數(shù)是一個(gè)廣義函數(shù)，其屬性完全由它在積分中的作用表現(xiàn)出來(lái)。從應(yīng)用角度看，可以把δ函數(shù)與普通函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，用普通函數(shù)描述它的性質(zhì)。

（1-1-18）1.1.8狄拉克δ函數(shù)（沖激函數(shù)）一、δ函數(shù)的34定義2(函數(shù)序列表達(dá)式)：若存在函數(shù)序列fN(x，y)，且滿(mǎn)足條件：δ函數(shù)可以用一個(gè)函數(shù)序列fN(x，y)的極限來(lái)表示。fN(x，y)的具體形式可以是多種多樣的。（1-1-19）則（1-1-20）定義2(函數(shù)序列表達(dá)式)：（1-1-19）則（1-1-2035幾種表示δ函數(shù)的函數(shù)序列及其極限幾種表示δ函數(shù)的函數(shù)序列及其極限36舉例：分析表中前兩種表示δ函數(shù)的函數(shù)序列函數(shù)序列。（1）分析函數(shù)序列當(dāng)N

逐漸增大時(shí)的情況。利用矩形函數(shù)可將δ函數(shù)定義為:矩形脈沖序列

舉例：分析表中前兩種表示δ函數(shù)的函數(shù)序列函數(shù)序列。矩形脈沖序37（2）利用類(lèi)似的方法分析函數(shù)序列：當(dāng)N

逐漸增大時(shí)的情況。利用高斯函數(shù)可將δ函數(shù)定義為:同樣，可得出δ函數(shù)的以下表達(dá)式：高斯脈沖序列

（2）利用類(lèi)似的方法分析函數(shù)序列：高斯脈沖序列38可簡(jiǎn)單地用下圖所示的一個(gè)箭頭表示δ函數(shù)：

二維δ函數(shù)是一維δ函數(shù)的簡(jiǎn)單推廣。（a）一維情形

（b）二維情形

可簡(jiǎn)單地用下圖所示的一個(gè)箭頭表示δ函數(shù)：（a）一維情形（39習(xí)題：試分別寫(xiě)出右圖中所示圖形的函數(shù)表達(dá)式習(xí)題：40二、δ函數(shù)的物理意義δ函數(shù)常用來(lái)描述脈沖狀態(tài)這樣一類(lèi)物理現(xiàn)象：

時(shí)間變量的函數(shù)描寫(xiě)單位能量的瞬間電脈沖；空間變量的δ函數(shù)可以描寫(xiě)：?jiǎn)挝毁|(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量密度，單位電量的點(diǎn)電荷的電荷密度，單位光通量的點(diǎn)光源的面發(fā)光度等。舉例：考察平行光束通過(guò)透鏡后會(huì)聚于焦點(diǎn)時(shí)的照度分布。二、δ函數(shù)的物理意義41設(shè)忽略透鏡孔徑的衍射觀察屏P,可得到一個(gè)界限清晰的圓形亮斑。移動(dòng)屏P向后焦面趨近，觀察：亮斑直徑越來(lái)越小，屏上的照度A(x，y)(單位面積所接收的光通量)越來(lái)越大。極限情況：屏與后焦面完全重合，點(diǎn)在焦點(diǎn)處的照度值為無(wú)限大

，在焦點(diǎn)以外為0。

用δ函數(shù)表示后焦面上的照度分布設(shè)忽略透鏡孔徑的衍射用δ函數(shù)表示后焦面上的照度分布42后焦面上的照度分布A(x，y)滿(mǎn)足：若將通過(guò)透鏡的光通量歸一化，則后焦面上的照度分布可用δ(x，y)描述。對(duì)空間任一點(diǎn)P(ra)處的點(diǎn)光源發(fā)出的面發(fā)光度La(r)，當(dāng)包圍該點(diǎn)的封閉面無(wú)限縮小時(shí)，有：

（1-1-21）

（1-1-22）

Fa

—點(diǎn)光源發(fā)出的全部光通量

后焦面上的照度分布A(x，y)滿(mǎn)足：（1-1-21）（1-43在光學(xué)中用δ(x-x0，y-y0)直接表示平面上(x0，y0)點(diǎn)的點(diǎn)光源；用δ(x-x0)表示x=x0處的一個(gè)線光源(或無(wú)限細(xì)的狹縫)三、δ函數(shù)的基本性質(zhì)1．篩選特性(SiftingProperty)

若函數(shù)f（x,y）在（x0，y0）點(diǎn)連續(xù)，則有可把一切函數(shù)都分解成δ函數(shù)的線性組合，而每一個(gè)分解成的δ函數(shù)都產(chǎn)生它自己的脈沖響應(yīng)。

（1-1-23）

在光學(xué)中（1-1-23）442．可分離變量(SeparaleVariable)在直角坐標(biāo)系下，有

在極坐標(biāo)系下，有式中r與r0分別是點(diǎn)(r,θ)和點(diǎn)(r0,θ0)的矢徑（1-1-24）

（1-1-25）

（1-1-26）

2．可分離變量(SeparaleVariable)（1-145同時(shí)有3．與普通函數(shù)乘積的性質(zhì)設(shè)函數(shù)f（x,y）在（x0，y0）點(diǎn)連續(xù)，則有推論：①f(x，y)δ(x，y)＝f(0，0)δ(x，y)（1-1-27）

（1-1-28）

同時(shí)有（1-1-27）（1-1-28）46②δ(x，y)δ(x-x0，y-y0)＝0(x0≠0，y0≠0)

③δ(x，y)δ(x，y)

無(wú)定義4、坐標(biāo)縮放性質(zhì)（Scaling）式中，a、b為任意實(shí)常數(shù)。推論：δ函數(shù)是偶函數(shù)。

（1-1-29）

（1-1-30）

（1-1-31）

（1-1-32）

②δ(x，y)δ(x-x0，y-y0)＝0(475、積分形式

式(1-1-33)表明：δ函數(shù)可以由等振幅的所有頻率的正弦波(余弦函數(shù))來(lái)合成。6、微分形式令，有（1-1-33）（1-1-35）（1-1-34）5、積分形式（1-1-33）（1-1-35）（1-1-3448式中，f(x)有界且在x=0處可微進(jìn)一步，令，則對(duì)δ(x)函數(shù)的m階導(dǎo)數(shù)有：（1-1-36）（1-1-37）（1-1-38）（1-1-40）（1-1-39）（1-1-41）式中，f(x)有界且在x=0處可微（1-1-36）（1-1491.1.9梳妝函數(shù)(CombFunctiou)

一維梳妝函數(shù)定義：二維梳妝函數(shù)定義：（1-1-42）

一維梳妝函圖

（1-1-43）

二維梳妝函數(shù)圖

1.1.9梳妝函數(shù)(CombFunctiou)一維梳50一維梳妝函數(shù)可用于描述光柵透過(guò)率。

二維梳妝函數(shù)可用于表示點(diǎn)源面陣、針孔面陣的透過(guò)率

。

梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積：式中m，n取整數(shù)。利用梳狀函數(shù)可對(duì)普通函數(shù)作等間隔抽樣，只取出梳妝函數(shù)有值的位置處的函數(shù)值，所以它又可稱(chēng)為普通函數(shù)的抽樣函數(shù)，在討論圖像的抽樣理論時(shí)極為有用。

（1-1-44）

一維梳妝函數(shù)可用于描述光柵透過(guò)率。（1-1-44）51習(xí)題：習(xí)題：521.2傅里葉變換的基本概念傅里葉分析在光學(xué)信息處理中的作用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：通過(guò)傅里葉分析表示光學(xué)信號(hào)的空域分布與頻域分布之間的關(guān)系。傅里葉分析在線性平移不變系統(tǒng)的輸入信號(hào)、輸出信號(hào)及系統(tǒng)之間建立了特別簡(jiǎn)單的關(guān)系。根據(jù)光學(xué)系統(tǒng)的傅里葉變換特點(diǎn)，采用實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)傅里葉分析，進(jìn)一步通過(guò)空間濾波等方法，可以實(shí)現(xiàn)光學(xué)信號(hào)的分析處理。用傅里葉分析方法還可以對(duì)已經(jīng)采集到的光學(xué)信號(hào)和圖像等進(jìn)行分析處理，以達(dá)到光學(xué)測(cè)量和改善圖像質(zhì)量等目的。

1.2傅里葉變換的基本概念傅里葉分析在光學(xué)信息處理中的作53在光學(xué)信號(hào)的數(shù)值處理中，可以把一些耗時(shí)的積分運(yùn)算化為傅里葉變換形式，通過(guò)快速傅里葉變換算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化和快速的運(yùn)算。在光學(xué)信息處理中采用線性系統(tǒng)分析理論，不僅為認(rèn)識(shí)同一物理現(xiàn)象提供了不同的分析方法，以及確定不同分析方法之間的關(guān)系，還使人們可以從新的角度理解物理現(xiàn)象，了解其中新的物理意義并產(chǎn)生更多的應(yīng)用領(lǐng)域。

在光學(xué)信號(hào)的數(shù)值處理中，可以把一些耗時(shí)的積分運(yùn)算化為傅里葉變541.2.1傅里葉級(jí)數(shù)及頻譜的概念1、傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)f（x）是周期為T(mén)的周期函數(shù)，滿(mǎn)足狄里赫利條件：①f（x）在區(qū)間分段連續(xù)；②只存在有限個(gè)極值點(diǎn)；③只存在有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)；④絕對(duì)可積，即1.2.1傅里葉級(jí)數(shù)及頻譜的概念55（1-2-1）（1-2-2）則f（x）可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)：其中傅里葉系數(shù)（1-2-1）（1-2-2）則f（x）可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)：56應(yīng)用歐拉公式，得各項(xiàng)展開(kāi)式由上，（1-2-1）式可改寫(xiě)為令（1-2-3）（1-2-4）（1-2-5）應(yīng)用歐拉公式，得各項(xiàng)展開(kāi)式（1-2-3）（1-2-4）（157則傅里葉級(jí)數(shù)可以表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)的形式其中傅里葉系數(shù)周期T的倒數(shù)1/T稱(chēng)為函數(shù)f(x)的基頻，表示為

Δμ=1/T則稱(chēng)μ=nΔμ=n/T為函數(shù)f(x)的諧頻（簡(jiǎn)稱(chēng)頻率）。（1-2-6）（1-2-7）則傅里葉級(jí)數(shù)可以表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)的形式（1-2-6）（1-2582、頻譜的概念一個(gè)周期變化的物理量既可以在空間域x中用f(x)來(lái)描述，也可以在空間頻率域μ

中用來(lái)描述,二者是等效的。（1-2-6）中系數(shù)cn按頻率μ的分布圖形稱(chēng)為f(x)的頻譜。cn一般是復(fù)函數(shù)，所以cn的模值|cn|隨頻率μ的分布圖叫做f(x)的振幅頻譜，而cn的輻角隨頻率μ的分布圖叫做f(x)的位相頻譜。由（1-2-7）式，有（1-2-8）2、頻譜的概念（1-2-8）59鋸齒波及其頻率

頻譜分析方法：將一個(gè)系統(tǒng)的輸入函數(shù)f（x）展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，在頻率域中分析各諧波的變化，最后綜合出系統(tǒng)的輸出函數(shù)的處理方法。

鋸齒波及其頻率頻譜分析方法：將一個(gè)系統(tǒng)的輸入函數(shù)f（x）展601.2.2

傅里葉變換一、一維傅里葉變換1、從傅里葉級(jí)數(shù)演變?yōu)楦道锶~變換

將傅里葉系數(shù)代入（1-2-6）式，并利用基頻和諧頻的表達(dá)式，得若將方括弧中的積分表示為則有（1-2-9)（1-2-10)（1-2-11)1.2.2傅里葉變換一、一維傅里葉變換（1-2-9)（161或2、一維傅里葉變換的定義令T→∞，有Δμ=dμ→0，則式（1-2-12）中對(duì)參數(shù)n在（-∞，∞）區(qū)域的求和轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)參數(shù)μ在（-∞，∞）區(qū)域的積分，周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為非周期函數(shù)的傅里葉變換，表示為式（1-2-13）稱(chēng)為f（x）的傅里葉變換,式（1-2-14)

稱(chēng)為F（μ）的傅里葉的逆變換。（1-2-13）（1-2-14）（1-2-12)或（1-2-13）（1-2-14）（1-2-12)62比較式（1-2-6）和（1-2-12），可知

F（μ）具有頻譜密度的概念．非周期函數(shù)f（x）的頻譜F（μ）具有連續(xù)分布的性質(zhì)。

傅里葉變換和傅里葉逆變換可用運(yùn)算符號(hào)表示如下（1-2-17）（1-2-16）（1-2-15）常用：f(x)

F(u)

表示變換對(duì)。

比較式（1-2-6）和（1-2-12），可知（1-2-1763３、傅里葉變換舉例矩形函數(shù)的傅里葉變換。由矩形函數(shù)的定義：矩形函數(shù)及其頻譜它的傅里葉變換為３、傅里葉變換舉例矩形函數(shù)及其頻譜它的傅里葉變換為64負(fù)指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換。設(shè)解：負(fù)指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換。設(shè)解：65二、二維傅里葉變換

1、直角坐標(biāo)系中的二維傅里葉變換a)二維復(fù)函數(shù)f(x，y)的二維傅里葉變換定義：f(x，y)為的原函數(shù)，為f(x，y)的像函數(shù)。函數(shù)的逆傅里葉變換為

是復(fù)函數(shù)，可用其模和幅角表示：（1-2-18）（1-2-19）（1-2-20）二、二維傅里葉變換1、直角坐標(biāo)系中的二維傅里葉變換（1-266為f(x，y)的傅里葉變換振幅譜（AmplitudeSpectrum）；為位相譜（PhaseSpectrum）；為f(x，y)的功率譜（PowerSpectrum）。b)二維復(fù)函數(shù)f(x，y)傅里葉變換的存在條件①函數(shù)f(x，y)必須對(duì)整個(gè)無(wú)限xoy平面絕對(duì)可積，即②函數(shù)f(x，y)必須在xoy平面上的每一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)局部連續(xù)，即僅存在有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)和有限個(gè)極大和極小點(diǎn)。③函數(shù)f（x，y）必須沒(méi)有無(wú)窮大間斷點(diǎn)。為f(x，y)的傅里葉變換振幅譜（Ampli672）可分離變量函數(shù)的二維傅里葉變換有一類(lèi)二維函數(shù)具有可分離變量性質(zhì)，即∵二維傅里葉變換核具有可分離變量性質(zhì)∴f(x,y)的二維傅里葉變換可表示為兩個(gè)一維傅里葉變換的乘積

二維可分離變量的傅里葉變換也是二維可分離變量函數(shù)。

（1-2-21）

（1-2-22）

2）可分離變量函數(shù)的二維傅里葉變換（1-2-21）（1-268二維傅里葉變換舉例：設(shè)求其傅里葉變換。解：

二維傅里葉變換舉例：69說(shuō)明：①若函數(shù)f（x，y）存在間斷點(diǎn)，則假定在該點(diǎn)附近函數(shù)值有限，且其左、右極限存在，分別記為f(x—0，y—0)和f（x+0，y+0)，并令：②從應(yīng)用的角度看，可以認(rèn)為傅里葉變換實(shí)際上總是存在的。③對(duì)一些不滿(mǎn)足其傅里葉變換存在的充分條件的函數(shù)，可以借助函數(shù)序列極限概念或δ函數(shù)的性質(zhì)得到這類(lèi)函數(shù)的廣義傅里葉變換。（1-2-23）說(shuō)明：（1-2-23）70三、廣義傅里葉變換1、廣義傅里葉變換的定義設(shè)f(x)是一個(gè)不存在狹義傅里葉變換的函數(shù)，而gN(x)是一個(gè)存在狹義傅里葉變換的普通函數(shù)序列，即有f(x)是gN(x)在N→∞時(shí)的極限，即存在，則定義f(x)的廣義傅里葉變換為廣義傅里葉變換是極限意義下的普通傅里葉變換。（1-2-24）（1-2-25）（1-2-26）三、廣義傅里葉變換1、廣義傅里葉變換的定義（1-2-24）（712、一維廣義傅里葉變換舉例1）求符號(hào)函數(shù)sgn(x)的傅里葉變換

解：計(jì)算過(guò)程可分為3個(gè)步驟：選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)序列。例如?。河煞?hào)函數(shù)的定義，顯然有：求：

2、一維廣義傅里葉變換舉例1）求符號(hào)函數(shù)sgn(x)的傅里葉72求：由上式取極限得：2)沖激函數(shù)(δ函數(shù))的傅里葉變換解：選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)序列,如將δ(x)表示為高斯函數(shù)序列的極限，即第一章-基本概念和定理-光信息教學(xué)課件73顯然有求：令，并利用積分公式：顯然有74求：由上式取極限最后得到：的傅里葉變換為1。3)常數(shù)1的傅里葉逆變換是否為δ(x)?令則常數(shù)1的傅里葉逆變換是:得出求：由上式取極限最后得到：75類(lèi)似可得即這是一個(gè)很重要的結(jié)果，解決了常數(shù)的傅里葉變換問(wèn)題。4)sin(πx)和cos(πx)的傅里葉變換

類(lèi)似可得76同理，可得在實(shí)際應(yīng)用中所研究的信號(hào)，都是有限空間、有限時(shí)間的有限信號(hào)，在信號(hào)存在的區(qū)域之外，可以認(rèn)為信號(hào)的值為零，因此實(shí)際問(wèn)題中傅里葉變換的存在條件總是可以得到滿(mǎn)足的。

今后涉及到的函數(shù)都存在相應(yīng)的傅里葉變換，只是分狹義和廣義傅里葉變換兩類(lèi)。同理，可得771.2.3傅里葉函數(shù)的基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)設(shè)則有函數(shù)線性組合的傅里葉變換等于各函數(shù)傅里葉變換的線性組合。2、對(duì)稱(chēng)性設(shè)，若將函數(shù)F(x)作為傅里葉變換的輸入，則有（1-2-27）1.2.3傅里葉函數(shù)的基本性質(zhì)（1-2-27）78對(duì)稱(chēng)性的作用之一表現(xiàn)在：當(dāng)已知時(shí)，可以不作積分，直接得出F(x)的傅里葉變換。3、迭次傅里葉變換設(shè)，對(duì)F(u)再作一次傅里葉變換，則有

對(duì)函數(shù)f（x）連續(xù)兩次傅里葉變換，得到反射坐標(biāo)系統(tǒng)的原函數(shù)。對(duì)函數(shù)f（x）連續(xù)做兩次傅里葉變換，得到其倒立的像。（1-2-29）（1-2-28）對(duì)稱(chēng)性的作用之一表現(xiàn)在：（1-2-29）（1-2-28）794、坐標(biāo)縮放性質(zhì)（Scaling）

設(shè),a為不等于零的實(shí)常數(shù)，

，則有原函數(shù)在空域坐標(biāo)x中的收縮（或擴(kuò)展），會(huì)引起其頻譜函數(shù)在頻域坐標(biāo)u中的擴(kuò)展（或收縮），以及整個(gè)頻譜幅度的一個(gè)總體的變化。

5、平移和相移性質(zhì)（Shift）

設(shè)，x0是不為零的實(shí)常數(shù)，則有原函數(shù)在空域中的平移，將導(dǎo)致頻譜函數(shù)在頻域中的一個(gè)線性相移。原函數(shù)在空域中的相移會(huì)引起頻譜函數(shù)在頻域中的平移。

（1-2-31）（1-2-32）（1-2-30）

4、坐標(biāo)縮放性質(zhì)（Scaling）（1-2-31）（1-2806、面積對(duì)應(yīng)關(guān)系設(shè),則有f(x)曲線下面積等于F(0)，F(xiàn)(u)的曲線下面積等于f(0)。

7、復(fù)共軛函數(shù)的傅里葉變換設(shè),則有（1-2-33）（1-2-34）6、面積對(duì)應(yīng)關(guān)系（1-2-33）（1-2-34）818、傅里葉變換對(duì)的實(shí)、復(fù)、奇、偶關(guān)系設(shè),且f（x）和F（μ）均為復(fù)函數(shù)，一般可表示為:f（x）的傅里葉變換為當(dāng)f（x）為偶函數(shù)時(shí)，由于是μ的偶函數(shù)，F(xiàn)（μ）是偶函數(shù)（1-2-35）8、傅里葉變換對(duì)的實(shí)、復(fù)、奇、偶關(guān)系（1-2-35）82當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，由于是μ的奇函數(shù)，所以F（μ）是奇函數(shù)。當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，由于831.3卷積和相關(guān)1.3.1卷積(Convo1ution)

一、卷積概念的引入1.3卷積和相關(guān)1.3.1卷積(Convo1utio84根據(jù)單縫夫瑯和費(fèi)衍射的強(qiáng)度公式，位于x0＝0處的一小段光源I0(0)Δx0，通過(guò)系統(tǒng)后的像強(qiáng)度分布ΔIi(xi)為：式中，f為會(huì)聚透鏡L1，L2的焦距。位于x0處的一小段光源I0(x0)Δx0通過(guò)系統(tǒng)后的像強(qiáng)度分布ΔI

i

(xi，x0)為式中。（1-3-1）

（1-3-2）

根據(jù)單縫夫瑯和費(fèi)衍射的強(qiáng)度公式，位于x0＝0處的一（1-3-85在近軸條件下，位于不同x0處的光源，除了I０(x０)Δx0可能不同外，通過(guò)系統(tǒng)后的像強(qiáng)度“分布形式”是一樣的。若x0＝0處的單位強(qiáng)度的點(diǎn)光源對(duì)應(yīng)的像強(qiáng)度分布為在x0處單位強(qiáng)度點(diǎn)光源對(duì)應(yīng)的像強(qiáng)度分布為Ｐ(xi-x0),它只是Ｐ(xi)在xi方向上平移了x0

：像平面上某點(diǎn)xi處的總光強(qiáng)Ii(xi)應(yīng)該是所有這些光強(qiáng)分布在該點(diǎn)所取值之和，Ii(xi)可表示成：

（1-3-3）

（1-3-4）

（1-3-5）

在近軸條件下，（1-3-3）（1-3-4）（1-3-5）86當(dāng)時(shí)，遍取所有的x0值，則Ii(xi)可用積分式表示為：上式稱(chēng)為I０(x)對(duì)Ｐ(x)的卷積運(yùn)算。二、卷積的定義兩個(gè)復(fù)函數(shù)f(x)與h(x)的一維卷積定義為定義函數(shù)f(x，y)與h(x，y)的二維卷積為：（1-3-6）

（1-3-7）

（1-3-8）

當(dāng)時(shí)，遍取所有的x0值，則Ii(xi87三、卷積的物理意義和幾何意義物理意義：光學(xué)系統(tǒng)像平面上的光強(qiáng)分布是物的光強(qiáng)分布與單位強(qiáng)度點(diǎn)光源對(duì)應(yīng)的像強(qiáng)度分布的卷積。卷積的幾何意義

三、卷積的物理意義和幾何意義88①置換變量：將f(x)和h(x)中的自變量x換成積分變量，見(jiàn)上圖(a)、(b)；②折疊：將曲線繞縱軸轉(zhuǎn)1800，構(gòu)成對(duì)稱(chēng)于縱軸的“鏡像”，見(jiàn)上圖(c)；③位移：將曲線移動(dòng)距離x(設(shè)向右移動(dòng)時(shí)x>0)，得到，見(jiàn)上圖(d)；④相乘：將位移后的函數(shù)乘以，得到；⑤積分：曲線下的面積即為對(duì)應(yīng)于給定x值時(shí)的卷積，見(jiàn)上圖(e)。卷積運(yùn)算的兩個(gè)效應(yīng)：①展寬效應(yīng)：卷積的非零值范圍等于被卷積兩函數(shù)的非零值范圍之和。只要f(x)和h(x)的非零值范圍有重疊，則二者的卷積就不為零。

①置換變量：將f(x)和h(x)中的自變量x換成積分變量，89②平滑化效應(yīng)：設(shè)f(x)是一個(gè)變化很劇烈的函數(shù)，h(x)是寬度為a的矩形函數(shù)，則f(x)為某一線狀光源的光強(qiáng)空間分布，rect(x/a)為寬度等于a的一個(gè)光電探測(cè)狹縫，狹縫在空間某一位置接收到的光強(qiáng)度，是光強(qiáng)分布函數(shù)在狹縫范圍內(nèi)的積分。若光電之間的轉(zhuǎn)換是線性的，則由一定寬度的狹縫探測(cè)后所顯示的光強(qiáng)分布，要比原來(lái)的光強(qiáng)分布平緩。

②平滑化效應(yīng)：90舉例：設(shè)

求函數(shù)f(x)和h(x)的卷積積分可在參量x的不同取值區(qū)間分段進(jìn)行。舉例：設(shè)91得到得到92四、卷積的運(yùn)算性質(zhì)

1）線性性設(shè)a，b為任意常數(shù)，則對(duì)于函數(shù)f(x，y)和h(x，y)，則有:同樣有:2．復(fù)函數(shù)的卷積設(shè)f(x，y)和h(x，y)都是復(fù)函數(shù)，它們可表示為:

(1-3-10)(1-3-10’)四、卷積的運(yùn)算性質(zhì)1）線性性(1-3-10)(1-3-1093利用卷積的線性特性式中，復(fù)函數(shù)的卷積運(yùn)算可以歸結(jié)為實(shí)函數(shù)的卷積運(yùn)算,復(fù)函數(shù)的卷積仍是復(fù)函數(shù)

。3．可分離變量直角坐標(biāo)系下的兩個(gè)可分離變量的二元函數(shù)，若

(1-3-11)利用卷積的線性特性(1-3-11)94則可分離變量二元函數(shù)的二維卷積也是可分離變量函數(shù)。4.交換性對(duì)于函數(shù)f(x，y)和h(x，y)，有在卷積運(yùn)算中，取任何一個(gè)函數(shù)為掃描函數(shù)，卷積結(jié)果相同。(1-3-12)(1-3-13)則(1-3-12)(1-3-13)955.

結(jié)合性對(duì)于函數(shù)f(x，y)和h(x，y)，有：6．坐標(biāo)縮放性質(zhì)設(shè)，則有式中，a≠0，b≠0。當(dāng)參與卷積的兩個(gè)函數(shù)橫向同時(shí)縮放a倍時(shí)，卷積函數(shù)g(x,y)橫向縮放a倍，同時(shí)縱向縮放1/|a|倍。

(1-3-14)(1-3-15)5.結(jié)合性(1-3-14)(1-3-15)967．卷積位移不變性若，則參與卷積的兩個(gè)函數(shù)f(x，y)和h(x，y)中任一函數(shù)在x，y方向分別平移x0，y0，其卷積所產(chǎn)生的函數(shù)圖像的形狀和大小不變，只是在x，y方向上同樣分別平移了距離x0，y0。若是兩個(gè)函數(shù)都發(fā)生了平移，卷積函數(shù)的平移量等于兩個(gè)輸入函數(shù)的平移量之和。8.函數(shù)g(x,y)與δ函數(shù)的卷積(1-3-16)(1-3-17)7．卷積位移不變性(1-3-16)(1-3-17)97任一函數(shù)f(x，y)和δ(x-x0，y-y0)卷積運(yùn)算的結(jié)果，在數(shù)學(xué)上就是把該函數(shù)中的自變量x，y分別由δ函數(shù)的宗量(x-x0，y-y0)所代換。9、δ函數(shù)導(dǎo)數(shù)的卷積設(shè)函數(shù)f(x,y)有界，且其k，l階導(dǎo)數(shù)分別存在，于是有(1-3-18)任一函數(shù)f(x，y)和δ(x-x0，y-y0)卷積運(yùn)算的結(jié)果98例1設(shè)有兩函數(shù)，分別為：試求它們的卷積：。解：五、卷積運(yùn)算舉例例1設(shè)有兩函數(shù)，分別為：五、卷積運(yùn)算舉例99第一章-基本概念和定理-光信息教學(xué)課件100所求二函數(shù)的卷積為：2.求下面二函數(shù)的卷積。(1-3-19)所求二函數(shù)的卷積為：(1-3-19)1012、求下面二函數(shù)的卷積。解：由卷積定義式和矩形函數(shù)表達(dá)式，有其中經(jīng)翻轉(zhuǎn)并平移x后，有(1-3-20)(1-3-21)2、求下面二函數(shù)的卷積。(1-3-20)(1-3-21)102最后結(jié)果：3、求下面二函數(shù)的卷積(1-3-22)最后結(jié)果：(1-3-22)103解：由卷積定義式和梳狀函數(shù)表達(dá)式，有解：由卷積定義式和梳狀函數(shù)表達(dá)式，有104§1.3.2相關(guān)(correlation)相關(guān)既是一個(gè)由含參變量的無(wú)窮積分定義的函數(shù),又代表一種運(yùn)算。它與傅里葉變換有密切的聯(lián)系,在光學(xué)圖像特征識(shí)別中具有重要的應(yīng)用。一、互相關(guān)(Crossorrelation)函數(shù)的定義兩個(gè)復(fù)函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的互相關(guān)定義為：式中，*號(hào)表示函數(shù)的復(fù)共軛，號(hào)表示相關(guān)運(yùn)算。令，可得另一種定義形式：

(1-3-24)(1-3-25)§1.3.2相關(guān)(correlation)相關(guān)既是一個(gè)由含105互相關(guān)是兩個(gè)信號(hào)間存在多少相似性或關(guān)聯(lián)性的量度。

在相關(guān)運(yùn)算中，函數(shù)f(x,y)應(yīng)取復(fù)共軛，但圖形不需要翻轉(zhuǎn)，而位移、相乘和積分三個(gè)過(guò)程與卷積是共通的。二、互相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)①互相關(guān)與卷積的聯(lián)系當(dāng)f(x,y)是實(shí)偶函數(shù)時(shí)，有：②互相關(guān)運(yùn)算不滿(mǎn)足交換律但有（1-3-26）

（1-3-27）

（1-3-28）

（1-3-26’）

互相關(guān)是兩個(gè)信號(hào)間存在多少相似性或關(guān)聯(lián)性的量度。（1-3-106三、自相關(guān)（Autocorrelation）的定義令h(x,y)

=f(x,y)自相關(guān)是兩個(gè)相同函數(shù)圖像重疊程度的量度。自相關(guān)有一極大峰值，稱(chēng)為自相關(guān)峰(AutocorrelationPeak)。四、自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)①自相關(guān)函數(shù)具有厄米特對(duì)稱(chēng)性（1-3-29）

（1-3-30）

三、自相關(guān)（Autocorrelation）的定義（1-3-107當(dāng)f(x，y)是實(shí)函數(shù)時(shí)，其自相關(guān)函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)

②自相關(guān)函數(shù)的模在原點(diǎn)處有最大值

例1：

解：（1-3-31）

（1-3-32）

當(dāng)f(x，y)是實(shí)函數(shù)時(shí)，其自相關(guān)函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)（1-3-108計(jì)算有:計(jì)算結(jié)果表達(dá)成：

計(jì)算有:109例2.試計(jì)算，并與例1作比較。得：

例2.試計(jì)算110例3.試計(jì)算

例3.試計(jì)算1111.3.3有限功率函數(shù)的相關(guān)有一類(lèi)函數(shù)（稱(chēng)為有限功率函數(shù)）滿(mǎn)足下述極限：當(dāng)兩個(gè)復(fù)函數(shù)f(x,y)和h(x,y)都是有限功率函數(shù)時(shí)，它們的互相關(guān)定義為：有限功率函數(shù)f(x,y)的自相關(guān)定義為:(1-3-47)式適用于功率有限的信號(hào)，(1-3-29)式適用于能量有限的信號(hào)。（1-3-45）（1-3-46）（1-3-47）1.3.3有限功率函數(shù)的相關(guān)有一類(lèi)函數(shù)（稱(chēng)為有限功率函112§1.4二維傅里葉變換的基本定理一、帕色渥定理(ParsevalTheorem)（能量定理）設(shè)，且積分和都存在，則：信號(hào)在空域中的能量與其在頻域中的能量相等。物理意義：這是能量守恒的體現(xiàn)，故上式又稱(chēng)為能量守恒定理或能量積分定理。

二、卷積定理(Convo1utionTheorem)設(shè),則有：

（1-4-1）（1-4-2）（1-4-3）§1.4二維傅里葉變換的基本定理一、帕色渥定理(Par113兩個(gè)函數(shù)卷積的傅里葉變換等于二函數(shù)各自傅里葉變換的乘積；兩個(gè)函數(shù)乘積的傅里葉變換等于此二函數(shù)各自傅里葉變換的卷積。卷積定理是傅里葉光學(xué)中最重要的定理之一。三、互相關(guān)定理(CrossCorrelationTheorem)

為函數(shù)f(x,y)和g(x,y)互功率密譜(MutualPowerSpectrum)。兩個(gè)函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)與它們的互功率譜構(gòu)成博里葉變換對(duì)。f(x,y)和g(x,y)為實(shí)函數(shù)，乘積的大小還表示兩個(gè)函數(shù)之間的相似程度。

（1-4-5）（1-4-6）兩個(gè)函數(shù)卷積的傅里葉變換等于二函數(shù)各自傅里葉變換的乘積；兩個(gè)114四、自相關(guān)定理(AutocorrelationTheorem)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜函數(shù)之間存在博里葉變換關(guān)系.

函數(shù)表示信號(hào)f(x,y)沿不同方向傳輸?shù)哪芰坑诳偰芰康谋壤Q(chēng)為f(x,y)的功率譜。五、微分變換定理(DifferentialtransformTheorem)

設(shè)，，則有：（1-4-8）（1-4-7）（1-4-9）（1-4-10）四、自相關(guān)定理(AutocorrelationTheore115六、積分變換定理(IntegraltransformThoorem)

七、矩定理(MomentTheorem)

函數(shù)f(x,y)的k+l階矩定義為下列積分：F(u,υ)在原點(diǎn)附近的性態(tài)，包含了關(guān)于函數(shù)f(x,y)的各階矩的信息。八、抽樣定理(1)抽樣定理的表述（1-4-11）（1-4-12）六、積分變換定理(IntegraltransformTh116一維抽樣定理的表述：如果信號(hào)g(x)在頻域內(nèi)不為零的分量限制在某一區(qū)域內(nèi)，或g(x)的頻譜G(u)具有有限大小的截止頻率uc，則稱(chēng)g(x)為帶限函數(shù)。對(duì)g(x)作等間隔抽樣，設(shè)抽樣間隔為

，當(dāng)滿(mǎn)足≤1/2uc時(shí)，可以從樣本函gs(x)的頻譜Gs(u)中，結(jié)合適當(dāng)?shù)臑V波器函數(shù)，絕對(duì)準(zhǔn)確地復(fù)原原來(lái)的連續(xù)函數(shù)g(x)。1/稱(chēng)為抽樣頻率，2uc表示帶限函數(shù)的頻帶寬度。對(duì)應(yīng)于=1/2uc時(shí)的抽樣頻率稱(chēng)為奈奎斯特頻率。(2)抽樣定理的證明證明：應(yīng)用梳狀函數(shù)的乘法性質(zhì)，可將抽樣函數(shù)表示為:(1-4-16)一維抽樣定理的表述：(1-4-16)117抽樣函數(shù)由等距排列的δ函數(shù)陣列組成

抽樣函數(shù)的頻譜為:

抽樣函數(shù)

gs(x)的頻譜Gs(u)是由連續(xù)函數(shù)的頻譜G(u)按周期排列組成的圖形。(1-4-17)

抽樣函數(shù)由等距排列的δ函數(shù)陣列組成(1-4-17)118若g(x)的空間寬度為X，則絕對(duì)準(zhǔn)確地復(fù)原原來(lái)連續(xù)函數(shù)g(x)的最少抽樣點(diǎn)數(shù)為：

M＝X/=2uc·XM—一維限帶函數(shù)的空間帶寬積推廣：若g(x,y)的空間寬度為X、Y，其頻譜G(u,υ)的頻帶寬度為2u·2υ，絕對(duì)準(zhǔn)確地復(fù)原原來(lái)連續(xù)函數(shù)g(x,y)的最少抽樣點(diǎn)數(shù)為:M·N＝4uc·υc·X·YM·N—二維限帶函數(shù)的空間帶寬積若某函數(shù)的頻譜G(u,υ)也是帶限函數(shù)，該抽樣理論也適用于頻域的抽樣。若g(x)的空間寬度為X，則絕對(duì)準(zhǔn)確地復(fù)原原來(lái)連續(xù)函數(shù)g(x119(3)原函數(shù)的恢復(fù)取寬度為u0的門(mén)函數(shù)作為帶通濾波器

濾波器的輸出函數(shù)為：對(duì)上式作傅里葉逆變換：若帶通濾波器的寬度滿(mǎn)足：則

（1-4-18）

（1-4-19）

（1-4-20）

（1-4-21）

(3)原函數(shù)的恢復(fù)（1-4-18）（1-4-19）（1-120g'(x)在某點(diǎn)x的函數(shù)值應(yīng)是一系列sinc函數(shù)對(duì)這點(diǎn)貢獻(xiàn)量的線性疊加。sinc函數(shù)稱(chēng)為插值函數(shù)。插值函數(shù)的項(xiàng)數(shù)趨近于無(wú)窮大時(shí)，可以以任意精度復(fù)原原函數(shù)。

g'(x)在某點(diǎn)x的函數(shù)值應(yīng)是一系列sinc函數(shù)對(duì)這點(diǎn)貢獻(xiàn)量121OpticalInformationProcessing光學(xué)信息處理授課教師：胡慧芳OpticalInformationProcessing122前沿光學(xué)信息處理是激光器問(wèn)世后發(fā)展起來(lái)的一個(gè)研究新方向，現(xiàn)代信息處理技術(shù)中一個(gè)重要組成部分，在現(xiàn)代光學(xué)中占有很重要的地位。光是一種具有電磁波性質(zhì)的物質(zhì)。不同的光波對(duì)于不同的介質(zhì)會(huì)表現(xiàn)出不同的傳輸性質(zhì)。光通過(guò)不同的光學(xué)系統(tǒng)時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)自由傳輸、成像、衍射、干涉、色散頻率變換等功能?！靶畔ⅰ笔峭ㄐ趴茖W(xué)中早就采用的術(shù)語(yǔ)，這個(gè)觀點(diǎn)也適用于光學(xué)。如一幅圖像實(shí)際上是一種二維空間的光強(qiáng)或光場(chǎng)分布，它可以看作攜帶著信息的光強(qiáng)或光場(chǎng)隨空間變化的序列，稱(chēng)為光學(xué)信息。光學(xué)信息可以是一維、二維或三維的空間性的信息。前沿光學(xué)信息處理是激光器問(wèn)世后發(fā)展起來(lái)的一個(gè)研究新方向123將通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)的光波稱(chēng)為光學(xué)信號(hào)，光波通過(guò)系統(tǒng)的過(guò)程看作是系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的處理。通過(guò)系統(tǒng)之前的光波稱(chēng)為輸入信號(hào)或輸入光波，通過(guò)系統(tǒng)后的光波稱(chēng)為輸出信號(hào)或輸出光波。作為電磁波，光學(xué)信號(hào)是隨時(shí)間和空間而變化的，由于光波的時(shí)間頻率極高，通常只能檢測(cè)到它的時(shí)間平均效果。需要把對(duì)光學(xué)信號(hào)的研究轉(zhuǎn)變?yōu)榭臻g分布問(wèn)題進(jìn)行。對(duì)光學(xué)信號(hào)空間分布的研究，往往是通過(guò)對(duì)一個(gè)截平面內(nèi)光學(xué)信號(hào)分布的研究為基礎(chǔ)進(jìn)行的，因此我們通常把光學(xué)信號(hào)表示為一個(gè)二維分布的空間信號(hào)。輸入信號(hào)所在的平面稱(chēng)為輸入面，輸出信號(hào)所在的平面稱(chēng)為輸出面。

將通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)的光波稱(chēng)為光學(xué)信號(hào)，光波通過(guò)系統(tǒng)的過(guò)程看作是系124什么是光學(xué)信息處理？

用光學(xué)的方法實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信息的各種變換或處理。它以全息術(shù)、光學(xué)傳遞函數(shù)和激光技術(shù)為基礎(chǔ)。透鏡的傅里葉變換效應(yīng)是光學(xué)信息處理的理論核心。光學(xué)信息處理具有的特點(diǎn)：高度并行性大容量

小尺寸等。光學(xué)信息處理的概念光學(xué)信息：是指光的強(qiáng)度(或振幅)、相位、顏色(波長(zhǎng))和偏振態(tài)等。光學(xué)信息處理：基于光學(xué)頻譜分析，利用傅里葉綜合技術(shù)，通過(guò)空域或頻域調(diào)制，借助空間濾波技術(shù)對(duì)光學(xué)信息進(jìn)行處理的過(guò)程。什么是光學(xué)信息處理？125光學(xué)信息處理的研究對(duì)象：研究如何對(duì)各種光學(xué)信息進(jìn)行綜合性的處理。例如各種光學(xué)運(yùn)算（加、減、乘、除、相關(guān)、卷積、微分、矩陣相乘、邏輯運(yùn)算等）；光學(xué)信息的抽取、編碼、存儲(chǔ)、增強(qiáng)、去模糊、特征識(shí)別；各種光學(xué)變換（傅里葉變換、對(duì)數(shù)變換、梅林變換、拉普拉斯變換）等。有時(shí)光學(xué)信息處理也稱(chēng)為光學(xué)數(shù)據(jù)處理，它的發(fā)展遠(yuǎn)景是“光計(jì)算”。光學(xué)信息處理主要包括：

信息傳遞、信息存儲(chǔ)和信號(hào)處理，而透鏡的傅里葉變換效應(yīng)則構(gòu)成了光學(xué)信息處理的理論框架。光學(xué)信息處理的研究對(duì)象：126光學(xué)信息處理分類(lèi)

按處理的性質(zhì)可分為：線性處理；非線性處理線性處理：系統(tǒng)對(duì)多個(gè)輸入之和的響應(yīng)（即輸出）等于各單獨(dú)輸入時(shí)的響應(yīng)（輸出）之和。在許多情況下，介質(zhì)對(duì)光波產(chǎn)生的影響是線性的，如一個(gè)光學(xué)成像系統(tǒng)就是典型的線性系統(tǒng)。在相干光照明時(shí)，光學(xué)透鏡所具有的傅里葉變換性質(zhì)也是一種線性的性質(zhì)。按所用光的相干性可分為：相干、非相干和部分相干處理。線性系統(tǒng)輸入信號(hào)是若干輸入光波的線性組合，系統(tǒng)對(duì)這個(gè)線性組合信號(hào)的總輸出等于各光波單獨(dú)輸入的輸出光波的線性組合，而且這個(gè)信號(hào)的線性組合與輸入信號(hào)的組合形式完全相同，則這個(gè)系統(tǒng)滿(mǎn)足線性疊加原理，稱(chēng)之為線性系統(tǒng)。

光學(xué)信息處理分類(lèi)127平移不變系統(tǒng)輸入信號(hào)產(chǎn)生了一個(gè)平移，系統(tǒng)在輸入信號(hào)平移前后輸出信號(hào)的唯一差別也只是產(chǎn)生平移，這樣的系統(tǒng)叫平移不變系統(tǒng)。平移不變系統(tǒng)不改變輸出信號(hào)的圖形分布，只是平移前后的輸出圖形整體產(chǎn)生了一個(gè)平行的位置變化。線性平移不變系統(tǒng)

同時(shí)具有線性性質(zhì)和平移不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱(chēng)為線性平移不變系統(tǒng)。特點(diǎn)：（1）由線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)，可把復(fù)雜的輸入信號(hào)看作是若干簡(jiǎn)單的基元輸入信號(hào)的線性組合，每一個(gè)基元輸入信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后都對(duì)應(yīng)著一個(gè)子輸出信號(hào)，總的輸出信號(hào)是這些子輸出信號(hào)的線性組合，而且組合的關(guān)系與基元輸入信號(hào)的組合關(guān)系是完全相同的。

平移不變系統(tǒng)128（2）由系統(tǒng)的平移不變性質(zhì)，若輸入信號(hào)只是處于輸入平面內(nèi)不同位置的同一種形式的基元信號(hào)，那么輸出信號(hào)也將只有一種形式的信號(hào)，而這些基元輸入信號(hào)與對(duì)應(yīng)的子輸出信號(hào)之間存在一一對(duì)應(yīng)的平移關(guān)系。常見(jiàn)的基元輸入信號(hào)表達(dá)方式：沖激信號(hào)、單色平面波信號(hào)。

沖激信號(hào)代表處于不同位置的單色點(diǎn)光源；

單色平面波代表沿不同方向傳播的平面波。數(shù)學(xué)表達(dá)式：二維沖激函數(shù)、二維復(fù)指數(shù)函數(shù)。這兩種函數(shù)既能夠表達(dá)信號(hào)的物理意義，又能夠表達(dá)線性平移不變系統(tǒng)的傳輸特性，同時(shí)也是進(jìn)行系統(tǒng)及信號(hào)分析、信號(hào)處理以及實(shí)際應(yīng)用中的重要工具。（2）由系統(tǒng)的平移不變性質(zhì)，若輸入信號(hào)只是處于輸入平面內(nèi)不同129二維沖激函數(shù)和二維復(fù)指數(shù)函數(shù)是從兩個(gè)不同的側(cè)面來(lái)描述透鏡與信號(hào)之間的關(guān)系，即以不同的角度和方式描述同一物理過(guò)程。輸入光信號(hào)被看做不同位置二維沖激函數(shù)（點(diǎn)光源）的線性組合，線性組合的系數(shù)是對(duì)應(yīng)位置處信號(hào)的值。以二維沖激函數(shù)作為基函數(shù)時(shí)，描述的是信號(hào)直觀空間分布特性，稱(chēng)為空域分析法。沿不同方向傳輸?shù)钠矫娌ù碇鈱W(xué)信號(hào)在該方向的空間頻率，沿用光譜和頻譜分析的習(xí)慣，把沿某一方向傳輸?shù)膯紊矫娌ǚQ(chēng)為沿該方向的角譜。

以二維復(fù)指數(shù)函數(shù)作為基函數(shù)時(shí)，描述的是信號(hào)的頻域分布特性，稱(chēng)為頻域分析法。二維沖激函數(shù)和二維復(fù)指數(shù)函數(shù)是從兩個(gè)不同的側(cè)面來(lái)描述透鏡與信130信號(hào)的空域分布和頻域分布是對(duì)于同一個(gè)信號(hào)不同方式的描述，二者之間必然存在一定的聯(lián)系，傅里葉分析就是建立這種聯(lián)系的數(shù)學(xué)工具知道了光學(xué)信號(hào)的空域分布，就可以通過(guò)傅里葉分析得到它的頻域分布。反之，知道了光學(xué)信號(hào)的頻域分布，也可以通過(guò)傅里葉分析得到它的空域分布。

信號(hào)的空域分布和頻域分布是對(duì)于同一個(gè)信號(hào)不同方式的描述，二者131光學(xué)信息處理技術(shù)發(fā)展過(guò)程

著名德國(guó)科學(xué)家阿貝(E.Abbe，1840~1905)，1873年提出了二次成像理論及其相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，為光學(xué)信息處理打下了一定的理論基礎(chǔ)，是空間濾波與光學(xué)信息處理的先導(dǎo)。

1935年，物理學(xué)家策尼克(F.Zernike,1888~1966)

發(fā)明了相襯顯微鏡，將相位分布轉(zhuǎn)化為強(qiáng)度分布，成功地育接觀察到微小的相位物體——細(xì)菌，用光學(xué)方法實(shí)現(xiàn)了圖像處理，解決了由于染色而導(dǎo)致細(xì)菌大量死亡的問(wèn)題。策尼克由此榮獲了1953年度的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

1946年，法國(guó)科學(xué)家杜費(fèi)(P.M.Duffieux,1891~1979)把光學(xué)成像系統(tǒng)看作線性濾波器，采用傅里葉方法成功地分析了成像過(guò)程，發(fā)表了他的名著《傅

里葉變換及其在光學(xué)中的應(yīng)用》。

光學(xué)信息處理技術(shù)發(fā)展過(guò)程著名德國(guó)科學(xué)家阿貝(E.Abbe132

艾里斯(P.Elias)

等人的經(jīng)典論文《光學(xué)與通信理論》、《光學(xué)處理的傅里葉方法》以及奧尼爾(E.L.O’Neil)

的論文《光學(xué)中的空間濾波》相繼發(fā)表，為光學(xué)信息處理提供了有力的數(shù)學(xué)工具，并為光學(xué)與通信科學(xué)的結(jié)合奠定了基礎(chǔ)。

1963年，范德拉格特(A.VanderLugt)

提出了復(fù)數(shù)空間濾波的概念，使光學(xué)信息處理進(jìn)入了一個(gè)廣泛應(yīng)用的新階段。

20世紀(jì)80年代以后，隨著高新技術(shù)的蓬勃興起，光學(xué)信息處理技術(shù)發(fā)展很快。艾里斯(P.Elias)等人的經(jīng)典論文《光學(xué)與通信133參考書(shū)籍《近代光學(xué)信息處理》宋菲君，北京大學(xué)出版社《光信息科學(xué)與技術(shù)應(yīng)用》，鄭光昭，電子工業(yè)大學(xué)出版社《信息光學(xué)》，蘇顯渝，科學(xué)出版社《光學(xué)信息技術(shù)及應(yīng)用》，陳家璧等，高等教育出版社《傅立葉光學(xué)》，呂乃光，機(jī)械出版社參考書(shū)籍《近代光學(xué)信息處理》宋菲君，北京大學(xué)出版社134第一章傅里葉變換的數(shù)理基礎(chǔ)1.1

常用的幾種非初等函數(shù)在光學(xué)信號(hào)處理中，有一些廣泛使用的描述信號(hào)和系統(tǒng)的常用數(shù)學(xué)函數(shù)，其中的一些函數(shù)還是非初等的特殊函數(shù)和特殊函數(shù)。基本初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)

初等函數(shù)：在自變量的定義域內(nèi)，能用單一解析式對(duì)上述五種基本初等函數(shù)進(jìn)行有限次數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)。

非初等函數(shù):

在自變量的定義域中，不能用單一解析式表示的函數(shù)。在現(xiàn)代光學(xué)中，常用這些非初等函數(shù)和特殊函數(shù)來(lái)描述光場(chǎng)的分布。

第一章傅里葉變換的數(shù)理基礎(chǔ)1.1常用的幾種非初等函數(shù)1351.1.1矩形函數(shù)（RectangleFunction）定義：寬度為a(

a>0),中心在x0的一維矩形函數(shù)為

用x代表時(shí)間變量時(shí)，用該函數(shù)描述照相機(jī)的快門(mén)，這時(shí)a表示曝光時(shí)間；用x代表空間變量時(shí)，用該函數(shù)描