《合情推理》課件

第二章推理與證明睢縣回族高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)組高二數(shù)學(xué)選修2-2第二章睢縣回族高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)組高二數(shù)學(xué)選修2-2引言

“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式．推理一般包括合情推理和演繹推理．在本章中，我們將通過對已學(xué)知識的回顧，進(jìn)一步體會(huì)合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異；體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法,包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。引言

在日常生活中，人們常常需要進(jìn)行這樣那樣的推理。例如:什么是推理

推理是人們思維活動(dòng)的過程，是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程。醫(yī)生診斷病人的病癥，警察偵破案件，氣象專家預(yù)測天氣的可能狀態(tài)，考古學(xué)家推斷遺址的年代，數(shù)學(xué)家論證命題的真?zhèn)蔚鹊?。在?shù)學(xué)中，證明的過程更離不開推理。

下面介紹人們在日?；顒?dòng)和科學(xué)研究中經(jīng)常使用的兩種推理——合情推理與演繹推理。在日常生活中，人們常常需要進(jìn)行這樣那樣的推理。例如:高二數(shù)學(xué)選修2-2

第二章推理與證明2.1合情推理與演繹推理2.1.1合情推理睢縣回族高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)組高二數(shù)學(xué)選修2-2推理第一個(gè)芒果是甜的第二個(gè)芒果是甜的第三個(gè)芒果是甜的這個(gè)果園的芒果都是甜的已知判斷前提新的判斷結(jié)論推理第一個(gè)芒果是甜的第二個(gè)芒果是甜的第三個(gè)芒果是甜的這個(gè)果園銅能導(dǎo)電鋁能導(dǎo)電金能導(dǎo)電銀能導(dǎo)電一切金屬都能導(dǎo)電.三角形內(nèi)角和為凸四邊形內(nèi)角和為凸五邊形內(nèi)角和為

凸n邊形內(nèi)角和為第一個(gè)芒果是甜的第二個(gè)芒果是甜的第三個(gè)芒果是甜的這個(gè)果園的芒果都是甜的第一個(gè)數(shù)為2第二個(gè)數(shù)為4第三個(gè)數(shù)為6第四個(gè)數(shù)為8第n個(gè)數(shù)為2n.銅能導(dǎo)電一切金屬都能導(dǎo)電.三角形內(nèi)角和凸n邊形內(nèi)角和為第一個(gè)銅能導(dǎo)電鋁能導(dǎo)電金能導(dǎo)電銀能導(dǎo)電一切金屬都能導(dǎo)電.三角形內(nèi)角和為凸四邊形內(nèi)角和為凸五邊形內(nèi)角和為

凸n邊形內(nèi)角和為第一個(gè)芒果是甜的第二個(gè)芒果是甜的第三個(gè)芒果是甜的這個(gè)果園的芒果都是甜的第一個(gè)數(shù)為2第二個(gè)數(shù)為4第三個(gè)數(shù)為6第四個(gè)數(shù)為8第n個(gè)數(shù)為2n.部分個(gè)別整體一般銅能導(dǎo)電一切金屬都能導(dǎo)電.三角形內(nèi)角和凸n邊形內(nèi)角和為第一個(gè)數(shù)學(xué)上有幾個(gè)著名的猜想：歌德巴赫猜想費(fèi)馬猜想地圖的”四色猜想”歌尼斯堡七橋猜想黎曼猜想你知道這些猜想是如何提出的嗎？在來看些例子數(shù)學(xué)上有幾個(gè)著名的猜想：歌德巴赫猜想費(fèi)馬猜想地圖的”四色猜想3＋7＝103＋17＝2013＋17＝3010＝3＋720＝3＋1730＝13＋176＝3+3，8＝3+5,10＝5+5,……1000＝29+971，1002=139+863,……猜想任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)的和.數(shù)學(xué)皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想一個(gè)規(guī)律：偶數(shù)＝奇質(zhì)數(shù)＋奇質(zhì)數(shù)3＋7＝1010＝3＋76＝3+3，哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。哥德巴赫是德國一位中學(xué)教師，也是一位著名的數(shù)學(xué)家，生于1690年，1725年當(dāng)選為俄國彼得堡科學(xué)院院士。1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)（只能被1和它本身整除的正整數(shù)）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想:(a)任何一個(gè)>=6之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。(b)任何一個(gè)>=9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個(gè)猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這個(gè)猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意。從提出這個(gè)猜想至今，許多數(shù)學(xué)家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。當(dāng)然曾經(jīng)有人作了些具體的驗(yàn)證工作，例如:6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,....等等。有人對33×108以內(nèi)且大過6之偶數(shù)一一進(jìn)行驗(yàn)算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明尚待數(shù)學(xué)家的努力。目前最佳的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年證明的，稱為陳氏定理(Chen‘sTheorem)“任何充份大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和，而后者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積。”通常都簡稱這個(gè)結(jié)果為大偶數(shù)可表示為“1+2”的形式。這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說，他歌德巴赫提出猜想的推理過程:

通過對一些偶數(shù)的驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)它們總可以表現(xiàn)成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和（而且沒有反例），于是猜想：

任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。歌德巴赫提出猜想的推理過程:哥德巴赫猜想的過程：具體的材料觀察分析猜想出一般性的結(jié)論歸納推理的過程：哥德巴赫猜想的過程：具體的材料觀察分析猜想出一般性的結(jié)論歸納由某類事物的具有某些特征,推出該類事物的都具有這些特征的推理,或者由概括出的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).部分對象全部對象個(gè)別事實(shí)一般結(jié)論歸納推理從上面的幾個(gè)例子，可以得到簡言之：歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理由某類事物的具有某些特征,部分對象全歸納推理的一般模式:S1具有P,S2具有P,……Sn具有P,(S1,S2,…,Sn是A類事物的對象）所以A類事物具有P結(jié)論具有猜測性，要進(jìn)一步進(jìn)行證明歸納推理的一般模式:S1具有P,S2具有P,……Sn具有P,歸納推理的一般步驟：⑶檢驗(yàn)猜想。⑵提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；⑴對有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納整理；歸納推理的一般步驟：⑶檢驗(yàn)猜想。⑵提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)問卷調(diào)查對數(shù)學(xué)的印象

你認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程主要是為了

生動(dòng)活潑

嚴(yán)肅枯燥

發(fā)現(xiàn)問題

解決問題甲學(xué)校19%71%11%89%乙學(xué)校7%75%23%77%丙學(xué)校16%64%21%79%丁學(xué)校25%53%16%84%

例

某課題組為了解本市的高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài),對四所學(xué)校做了一個(gè)問卷調(diào)查,其中有兩道題的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:

根據(jù)這四所學(xué)校的情況,你能判斷該市高中生對數(shù)學(xué)的普遍印象嗎?對數(shù)學(xué)你認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程主要是為了生動(dòng)1，3，5，7，…，由此你猜想出第個(gè)數(shù)是_______.這就是從部分到整體,從個(gè)別到一般的歸納推理.

已知數(shù)列｛｝的第一項(xiàng)=1,且(＝1，2，3，···)，請歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為________.1，3，5，7，…，由此你猜想出第這就是從部分例：已知＞＞＞＞＞……則當(dāng)n為時(shí)，有例：已知＞＞＞＞＞……則當(dāng)n為時(shí)，有例:數(shù)一數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E,然后用歸納法推理得出它們之間的關(guān)系.例:數(shù)一數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E,然后用歸多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱錐立方體正八面體五棱柱截角正方體尖頂塔464556598多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱錐立方體正八面體五棱柱截角正方體尖頂塔464556598668612812610多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱錐立方體正八面體五棱柱截角正方體尖頂塔46455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想歐拉公式多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱如圖所示，有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.(1)每次只能移動(dòng)1個(gè)金屬片；(2)較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面；試推測：把n個(gè)金屬片從1號針移到3號針，最少需要移動(dòng)多少次？123讓我們一起來歸納推理如圖所示，有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則，把123第1個(gè)圓環(huán)從1到3.設(shè)為把個(gè)圓環(huán)從1號針移到3號針的最少次數(shù)，則＝1時(shí)，＝1123第1個(gè)圓環(huán)從1到3.設(shè)為把個(gè)圓環(huán)從1＝2時(shí)，123前1個(gè)圓環(huán)從1到2;第2個(gè)圓環(huán)從1到3;第1個(gè)圓環(huán)從2到3.＝3第1個(gè)圓環(huán)從1到3.設(shè)為把個(gè)圓環(huán)從1號針移到3號針的最少次數(shù)，則＝1時(shí)，＝1＝2時(shí)，123前1個(gè)圓環(huán)從1到2;＝3第1個(gè)圓環(huán)

n＝3時(shí)，前2個(gè)圓環(huán)從1到2;第3個(gè)圓環(huán)從1到3;前2個(gè)圓環(huán)從2到3.＝7＝2時(shí)，前1個(gè)圓環(huán)從1到2;第2個(gè)圓環(huán)從1到3;第1個(gè)圓環(huán)從2到3.＝3第1個(gè)圓環(huán)從1到3.設(shè)為把個(gè)圓環(huán)從1號針移到3號針的最少次數(shù)，則＝1時(shí)，＝1123猜想an=2n-1n＝3時(shí)，前2個(gè)圓環(huán)從1到2;＝7＝2時(shí)，(05年廣東)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù).當(dāng)n

≥3

時(shí),

f(n)=

.(用n表示)讓我們一起來歸納推理(05年廣東)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條

任何形如的數(shù)都是質(zhì)數(shù)這就是著名的"費(fèi)馬猜想"觀察到都是質(zhì)數(shù),進(jìn)而猜想:

任何形如的數(shù)都是質(zhì)數(shù)這就費(fèi)馬半個(gè)世紀(jì)后,費(fèi)馬

宣布了費(fèi)馬的這個(gè)猜想不成立,它不能作為一個(gè)求質(zhì)數(shù)的公式.以后,人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)

不是質(zhì)數(shù).至今這樣的反例共找到了46個(gè),卻還沒有找到第6個(gè)正面的例子,也就是說目前只有n=0,1,2,3,4這5個(gè)情況下,Fn才是質(zhì)數(shù).

大膽猜想

小心求證宣布了費(fèi)馬的這個(gè)猜想不成立,它不能作為一個(gè)求質(zhì)數(shù)的公式.歸納推理的基礎(chǔ)歸納推理的作用歸納推理觀察、分析發(fā)現(xiàn)新事實(shí)、獲得新結(jié)論由部分到整體、個(gè)別到一般的推理注意歸納推理的結(jié)論不一定成立歸納推理的基礎(chǔ)歸納推理的作用歸納推理觀察、分析發(fā)現(xiàn)新事實(shí)、獲牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力門捷列夫發(fā)現(xiàn)元素周期律應(yīng)用歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新事實(shí),獲得新結(jié)論!歸納推理是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑!歌德巴赫猜想四色定理牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力應(yīng)用歸納推理可以歸納推理是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑可能有生命存在有生命存在溫度適合生物的生存一年中有四季的變更有大氣層大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存一年中有四季的變更有大氣層行星、圍繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)行星、圍繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)火星地球火星上是否存在生命可能有生命存在有生命存在溫度適合生物的生存一年中有四季的變更火星與地球的思維過程：火星地球存在類似特征地球上有生命存在猜測火星上也可能有生命存在火星與地球的思維過程：火星地球存在類似特征地球上有生命存在猜圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(diǎn)(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與不過球心的截面(圓面)的圓點(diǎn)的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(diǎn)(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圓的性質(zhì)得出球的性質(zhì)球的體積球的表面積圓的周長圓的面積圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理.類比推理簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．由兩類對象具有某些類似特征和其中類比推理簡言之，類比類比推理的幾個(gè)特點(diǎn);1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認(rèn)識為基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性.3.類比的結(jié)果是猜測性的不一定可靠,但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.類比推理的幾個(gè)特點(diǎn);1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”.你是否想過“等和數(shù)列”、“等積數(shù)列”？我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”.你是否想過“等和數(shù)從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差等于一個(gè)常數(shù)的數(shù)列是等差數(shù)列.類推從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的和等于一個(gè)常數(shù)的數(shù)列是等和數(shù)列.從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差等于一個(gè)常數(shù)例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。猜想不等式的性質(zhì)：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞ba2＞b2;等等。讓我們一起來類比推理類比推理的結(jié)論不一定成立.例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：猜想不等例2：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想．ＡＢＣabcoABCs1s2s3c2=a2+b2S2△ABC=S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC猜想:讓我們一起來類比推理例2：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)總結(jié)：1.進(jìn)行類比推理的步驟：(1)找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；(2)用一類對象的已知特征去猜測另一類對象的特征，從而得出一個(gè)猜想；(3)檢驗(yàn)這個(gè)猜想.2、類比推理的一般模式:所以B類事物可能具有性質(zhì)d’.A類事物具有性質(zhì)a,b,c,d,B類事物具有性質(zhì)a’,b’,c’,(a,b,c與a’,b’,c’相似或相同）觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論總結(jié)：1.進(jìn)行類比推理的步驟：(1)找出兩類對象之間可以確類比推理類比推理以舊的知識為基礎(chǔ),推測新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能由特殊到特殊的推理類比推理的結(jié)論不一定成立注意類比推理類比推理由特殊到特殊的推理類比推理的結(jié)論不一定成立注1.如圖，在平行四邊形中，有

那么，在平行六面體中，有

練習(xí)：運(yùn)用類比法的關(guān)鍵是：尋找一個(gè)合適的類比對象1.如圖，在平行四邊形中，有練習(xí)：運(yùn)用類比法的2．由上圖（左）有面積關(guān)系：

則由上圖（右），則類似的結(jié)論是：

2．由上圖（左）有面積關(guān)系：則由上圖（右），則類似的結(jié)論是3:(2001年上海)已知兩個(gè)圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個(gè)更一般的命題,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個(gè)特例,推廣的命題為---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.(x-a)2+(y-b)2=r2與②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或設(shè)圓的方程為①b≠d),則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.3:(2001年上海)已知兩個(gè)圓①x2+y2=1:與②x2+4.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點(diǎn),P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論:試通過類比,寫出在空間中的類似結(jié)論.4.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.平面上空間中圖形結(jié)論證法ABCPpapbpcABCDP平面上空間中圖結(jié)論證AB分析：面積法分析：面積法ABCDOOABCDOO《合情推理》課件《合情推理》課件（2004廣東，15）由圖(1)有面積關(guān)系:則由圖(2)有體積關(guān)系:圖(1)圖(2)（2004廣東，15）圖(1)圖(2)《合情推理》課件《合情推理》課件一年夏天，魯班上山砍樹，因?yàn)槠露嘎坊?，而且橫七豎八地長滿了小樹、雜草，行走非常不便。魯班只好攙著樹木、拽著茅草往上爬。忽然，腳底一滑，身體便順著山坡往下滾去，魯班急中生智，急忙抓住一把茅草，由于沒有抓牢，反而感到手掌心疼痛無比?；缴侥_，魯班狼狽地爬了起來，伸開手掌一看，掌心已是鮮血淋漓。魯班非常驚奇，為何一把茅草能夠劃破人的手掌。魯班顧不得疼痛，沿著滑下來的山坡，爬上去一看，這叢茅草與別的草沒有兩樣。魯班不甘心，便揪下一根茅草仔細(xì)地觀察起來。這茅草的葉子很怪，葉子兩邊都長著鋒利的小細(xì)齒，人手握緊它一拽，手掌就會(huì)被劃破。魯班又試著用茅草在他的手指上拉了一下，果然又劃開一道血口。魯班從這件事中得到啟發(fā)，心想：如果仿照茅草細(xì)齒，來做一件邊緣帶有細(xì)齒的工具，用它來鋸樹，豈不比斧砍更快、更好嗎？魯班忘記疼痛，轉(zhuǎn)身下山，做起試驗(yàn)來。在金屬工匠的幫助下，魯班做了一把帶有許多細(xì)齒的鐵條。魯班將這件工具拿去鋸樹，果然又快又省力。鋸子就這樣發(fā)明了。一年夏天，魯班上山砍樹，因?yàn)槠露嘎坊?，而且橫七豎八地長滿了小類比推理由特殊到特殊的推理;以舊的知識為基礎(chǔ),推測新的結(jié)果；結(jié)論不一定成立.歸納推理由部分到整體、特殊到一般的推理;以觀察分析為基礎(chǔ),推測新的結(jié)論;具有發(fā)現(xiàn)的功能;結(jié)論不一定成立.具有發(fā)現(xiàn)的功能;類比推理由特殊到特殊的推理;以舊的知識為基礎(chǔ),推測新的結(jié)果；小結(jié)?歸納推理和類比推理的過程從具體問題出發(fā)觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類比提出猜想通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.合情推理歸納推理類比推理小結(jié)?歸納推理和類比推理的過程從具體問題出發(fā)觀察、分善于觀察勤于思考敢于猜想的人常常會(huì)冒出創(chuàng)造的靈感火花再見善于觀察勤于思考敢于猜想的人常常會(huì)冒出創(chuàng)造的靈感火花再見第二章推理與證明睢縣回族高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)組高二數(shù)學(xué)選修2-2第二章睢縣回族高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)組高二數(shù)學(xué)選修2-2引言

“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式．推理一般包括合情推理和演繹推理．在本章中，我們將通過對已學(xué)知識的回顧，進(jìn)一步體會(huì)合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異；體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法,包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。引言

在日常生活中，人們常常需要進(jìn)行這樣那樣的推理。例如:什么是推理

推理是人們思維活動(dòng)的過程，是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程。醫(yī)生診斷病人的病癥，警察偵破案件，氣象專家預(yù)測天氣的可能狀態(tài)，考古學(xué)家推斷遺址的年代，數(shù)學(xué)家論證命題的真?zhèn)蔚鹊?。在?shù)學(xué)中，證明的過程更離不開推理。

下面介紹人們在日?；顒?dòng)和科學(xué)研究中經(jīng)常使用的兩種推理——合情推理與演繹推理。在日常生活中，人們常常需要進(jìn)行這樣那樣的推理。例如:高二數(shù)學(xué)選修2-2

第二章推理與證明2.1合情推理與演繹推理2.1.1合情推理睢縣回族高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)組高二數(shù)學(xué)選修2-2推理第一個(gè)芒果是甜的第二個(gè)芒果是甜的第三個(gè)芒果是甜的這個(gè)果園的芒果都是甜的已知判斷前提新的判斷結(jié)論推理第一個(gè)芒果是甜的第二個(gè)芒果是甜的第三個(gè)芒果是甜的這個(gè)果園銅能導(dǎo)電鋁能導(dǎo)電金能導(dǎo)電銀能導(dǎo)電一切金屬都能導(dǎo)電.三角形內(nèi)角和為凸四邊形內(nèi)角和為凸五邊形內(nèi)角和為

凸n邊形內(nèi)角和為第一個(gè)芒果是甜的第二個(gè)芒果是甜的第三個(gè)芒果是甜的這個(gè)果園的芒果都是甜的第一個(gè)數(shù)為2第二個(gè)數(shù)為4第三個(gè)數(shù)為6第四個(gè)數(shù)為8第n個(gè)數(shù)為2n.銅能導(dǎo)電一切金屬都能導(dǎo)電.三角形內(nèi)角和凸n邊形內(nèi)角和為第一個(gè)銅能導(dǎo)電鋁能導(dǎo)電金能導(dǎo)電銀能導(dǎo)電一切金屬都能導(dǎo)電.三角形內(nèi)角和為凸四邊形內(nèi)角和為凸五邊形內(nèi)角和為

凸n邊形內(nèi)角和為第一個(gè)芒果是甜的第二個(gè)芒果是甜的第三個(gè)芒果是甜的這個(gè)果園的芒果都是甜的第一個(gè)數(shù)為2第二個(gè)數(shù)為4第三個(gè)數(shù)為6第四個(gè)數(shù)為8第n個(gè)數(shù)為2n.部分個(gè)別整體一般銅能導(dǎo)電一切金屬都能導(dǎo)電.三角形內(nèi)角和凸n邊形內(nèi)角和為第一個(gè)數(shù)學(xué)上有幾個(gè)著名的猜想：歌德巴赫猜想費(fèi)馬猜想地圖的”四色猜想”歌尼斯堡七橋猜想黎曼猜想你知道這些猜想是如何提出的嗎？在來看些例子數(shù)學(xué)上有幾個(gè)著名的猜想：歌德巴赫猜想費(fèi)馬猜想地圖的”四色猜想3＋7＝103＋17＝2013＋17＝3010＝3＋720＝3＋1730＝13＋176＝3+3，8＝3+5,10＝5+5,……1000＝29+971，1002=139+863,……猜想任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)的和.數(shù)學(xué)皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想一個(gè)規(guī)律：偶數(shù)＝奇質(zhì)數(shù)＋奇質(zhì)數(shù)3＋7＝1010＝3＋76＝3+3，哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。哥德巴赫是德國一位中學(xué)教師，也是一位著名的數(shù)學(xué)家，生于1690年，1725年當(dāng)選為俄國彼得堡科學(xué)院院士。1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)（只能被1和它本身整除的正整數(shù)）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想:(a)任何一個(gè)>=6之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。(b)任何一個(gè)>=9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個(gè)猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這個(gè)猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意。從提出這個(gè)猜想至今，許多數(shù)學(xué)家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。當(dāng)然曾經(jīng)有人作了些具體的驗(yàn)證工作，例如:6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,....等等。有人對33×108以內(nèi)且大過6之偶數(shù)一一進(jìn)行驗(yàn)算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明尚待數(shù)學(xué)家的努力。目前最佳的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年證明的，稱為陳氏定理(Chen‘sTheorem)“任何充份大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和，而后者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積?！蓖ǔ６己喎Q這個(gè)結(jié)果為大偶數(shù)可表示為“1+2”的形式。這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說，他歌德巴赫提出猜想的推理過程:

通過對一些偶數(shù)的驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)它們總可以表現(xiàn)成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和（而且沒有反例），于是猜想：

任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。歌德巴赫提出猜想的推理過程:哥德巴赫猜想的過程：具體的材料觀察分析猜想出一般性的結(jié)論歸納推理的過程：哥德巴赫猜想的過程：具體的材料觀察分析猜想出一般性的結(jié)論歸納由某類事物的具有某些特征,推出該類事物的都具有這些特征的推理,或者由概括出的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).部分對象全部對象個(gè)別事實(shí)一般結(jié)論歸納推理從上面的幾個(gè)例子，可以得到簡言之：歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理由某類事物的具有某些特征,部分對象全歸納推理的一般模式:S1具有P,S2具有P,……Sn具有P,(S1,S2,…,Sn是A類事物的對象）所以A類事物具有P結(jié)論具有猜測性，要進(jìn)一步進(jìn)行證明歸納推理的一般模式:S1具有P,S2具有P,……Sn具有P,歸納推理的一般步驟：⑶檢驗(yàn)猜想。⑵提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；⑴對有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納整理；歸納推理的一般步驟：⑶檢驗(yàn)猜想。⑵提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)問卷調(diào)查對數(shù)學(xué)的印象

你認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程主要是為了

生動(dòng)活潑

嚴(yán)肅枯燥

發(fā)現(xiàn)問題

解決問題甲學(xué)校19%71%11%89%乙學(xué)校7%75%23%77%丙學(xué)校16%64%21%79%丁學(xué)校25%53%16%84%

例

某課題組為了解本市的高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài),對四所學(xué)校做了一個(gè)問卷調(diào)查,其中有兩道題的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:

根據(jù)這四所學(xué)校的情況,你能判斷該市高中生對數(shù)學(xué)的普遍印象嗎?對數(shù)學(xué)你認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程主要是為了生動(dòng)1，3，5，7，…，由此你猜想出第個(gè)數(shù)是_______.這就是從部分到整體,從個(gè)別到一般的歸納推理.

已知數(shù)列｛｝的第一項(xiàng)=1,且(＝1，2，3，···)，請歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為________.1，3，5，7，…，由此你猜想出第這就是從部分例：已知＞＞＞＞＞……則當(dāng)n為時(shí)，有例：已知＞＞＞＞＞……則當(dāng)n為時(shí)，有例:數(shù)一數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E,然后用歸納法推理得出它們之間的關(guān)系.例:數(shù)一數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E,然后用歸多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱錐立方體正八面體五棱柱截角正方體尖頂塔464556598多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱錐立方體正八面體五棱柱截角正方體尖頂塔464556598668612812610多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱錐立方體正八面體五棱柱截角正方體尖頂塔46455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想歐拉公式多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱如圖所示，有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.(1)每次只能移動(dòng)1個(gè)金屬片；(2)較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面；試推測：把n個(gè)金屬片從1號針移到3號針，最少需要移動(dòng)多少次？123讓我們一起來歸納推理如圖所示，有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則，把123第1個(gè)圓環(huán)從1到3.設(shè)為把個(gè)圓環(huán)從1號針移到3號針的最少次數(shù)，則＝1時(shí)，＝1123第1個(gè)圓環(huán)從1到3.設(shè)為把個(gè)圓環(huán)從1＝2時(shí)，123前1個(gè)圓環(huán)從1到2;第2個(gè)圓環(huán)從1到3;第1個(gè)圓環(huán)從2到3.＝3第1個(gè)圓環(huán)從1到3.設(shè)為把個(gè)圓環(huán)從1號針移到3號針的最少次數(shù)，則＝1時(shí)，＝1＝2時(shí)，123前1個(gè)圓環(huán)從1到2;＝3第1個(gè)圓環(huán)

n＝3時(shí)，前2個(gè)圓環(huán)從1到2;第3個(gè)圓環(huán)從1到3;前2個(gè)圓環(huán)從2到3.＝7＝2時(shí)，前1個(gè)圓環(huán)從1到2;第2個(gè)圓環(huán)從1到3;第1個(gè)圓環(huán)從2到3.＝3第1個(gè)圓環(huán)從1到3.設(shè)為把個(gè)圓環(huán)從1號針移到3號針的最少次數(shù)，則＝1時(shí)，＝1123猜想an=2n-1n＝3時(shí)，前2個(gè)圓環(huán)從1到2;＝7＝2時(shí)，(05年廣東)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù).當(dāng)n

≥3

時(shí),

f(n)=

.(用n表示)讓我們一起來歸納推理(05年廣東)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條

任何形如的數(shù)都是質(zhì)數(shù)這就是著名的"費(fèi)馬猜想"觀察到都是質(zhì)數(shù),進(jìn)而猜想:

任何形如的數(shù)都是質(zhì)數(shù)這就費(fèi)馬半個(gè)世紀(jì)后,費(fèi)馬

宣布了費(fèi)馬的這個(gè)猜想不成立,它不能作為一個(gè)求質(zhì)數(shù)的公式.以后,人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)

不是質(zhì)數(shù).至今這樣的反例共找到了46個(gè),卻還沒有找到第6個(gè)正面的例子,也就是說目前只有n=0,1,2,3,4這5個(gè)情況下,Fn才是質(zhì)數(shù).

大膽猜想

小心求證宣布了費(fèi)馬的這個(gè)猜想不成立,它不能作為一個(gè)求質(zhì)數(shù)的公式.歸納推理的基礎(chǔ)歸納推理的作用歸納推理觀察、分析發(fā)現(xiàn)新事實(shí)、獲得新結(jié)論由部分到整體、個(gè)別到一般的推理注意歸納推理的結(jié)論不一定成立歸納推理的基礎(chǔ)歸納推理的作用歸納推理觀察、分析發(fā)現(xiàn)新事實(shí)、獲牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力門捷列夫發(fā)現(xiàn)元素周期律應(yīng)用歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新事實(shí),獲得新結(jié)論!歸納推理是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑!歌德巴赫猜想四色定理牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力應(yīng)用歸納推理可以歸納推理是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑可能有生命存在有生命存在溫度適合生物的生存一年中有四季的變更有大氣層大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存一年中有四季的變更有大氣層行星、圍繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)行星、圍繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)火星地球火星上是否存在生命可能有生命存在有生命存在溫度適合生物的生存一年中有四季的變更火星與地球的思維過程：火星地球存在類似特征地球上有生命存在猜測火星上也可能有生命存在火星與地球的思維過程：火星地球存在類似特征地球上有生命存在猜圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(diǎn)(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與不過球心的截面(圓面)的圓點(diǎn)的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(diǎn)(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圓的性質(zhì)得出球的性質(zhì)球的體積球的表面積圓的周長圓的面積圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理.類比推理簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．由兩類對象具有某些類似特征和其中類比推理簡言之，類比類比推理的幾個(gè)特點(diǎn);1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認(rèn)識為基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性.3.類比的結(jié)果是猜測性的不一定可靠,但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.類比推理的幾個(gè)特點(diǎn);1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”.你是否想過“等和數(shù)列”、“等積數(shù)列”？我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”.你是否想過“等和數(shù)從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差等于一個(gè)常數(shù)的數(shù)列是等差數(shù)列.類推從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的和等于一個(gè)常數(shù)的數(shù)列是等和數(shù)列.從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差等于一個(gè)常數(shù)例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。猜想不等式的性質(zhì)：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞ba2＞b2;等等。讓我們一起來類比推理類比推理的結(jié)論不一定成立.例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：猜想不等例2：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想．ＡＢＣabcoABCs1s2s3c2=a2+b2S2△ABC=S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC猜想:讓我們一起來類比推理例2：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)總結(jié)：1.進(jìn)行類比推理的步驟：(1)找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；(2)用一類對象的已知特征去猜測另一類對象的特征，從而得出一個(gè)猜想；(3)檢驗(yàn)這個(gè)猜想.2、類比推理的一般模式:所以B類事物可能具有性質(zhì)d’.A類事物具有性質(zhì)a,b,c,d,B類事物具有性質(zhì)a’,b’,c’,(a,b,c與a’,b’,c’相似或相同）觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論總結(jié)：1.進(jìn)行類比推理的步驟：(1)找出兩類對象之間可以確類比推理類比推理以舊的知識為基礎(chǔ),推測新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能由特殊到特殊的推理類比推理的結(jié)論不一定成立注意類比推理類比推理由特殊到特殊的推理類比推理的結(jié)論不一定成立注1.如圖，在平行四邊形中，