定積分換元法與分部積分法復(fù)習(xí)題

..1．計算下列定積分：⑴；[解法一]應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式。[解法二]應(yīng)用定積分換元法令,則,當(dāng)從單調(diào)變化到時,從單調(diào)變化到,于是有。⑵；[解法一]應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式。[解法二]應(yīng)用定積分換元法令,則,當(dāng)從單調(diào)變化到1時,從1單調(diào)變化到16,于是有。⑶；[解法一]應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式。[解法二]應(yīng)用定積分換元法令,則,當(dāng)從0單調(diào)變化到時,從1單調(diào)變化到0,于是有。⑷；[解]被積式為,不屬于三角函數(shù)的基本可積形式,須進(jìn)行變換。由于1是獨立的,易于分離出去獨立積分,于是問題成為對的積分,這是正、余弦的奇數(shù)次冪的積分,其一般方法是應(yīng)用第一換元法,先分出一次式以便作湊微分：,余下的,這樣得到的便為變量代換做好了準(zhǔn)備。具體的變換方式有如下兩種：[解法一]應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式。[解法二]應(yīng)用定積分換元法令,則,當(dāng)從0單調(diào)變化到時,從1單調(diào)變化到,于是有。⑸；[解]這是正、余弦的偶次冪,其一般積分方法為,利用三角函數(shù)的半角公式：,將平方部份降次成為一次的余弦三角函數(shù)：,使之可以換元成為基本可積形式：[解法一]應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式。[解法二]應(yīng)用定積分換元法令,則,當(dāng)從單調(diào)變化到時,從單調(diào)變化到,于是有。⑹；[解]被積函數(shù)中含根號,且根指數(shù)及根號內(nèi)多項式的次數(shù)都是2,應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的三角變換法：為使根號內(nèi)的變量在后的平方差轉(zhuǎn)換成完全平方,應(yīng)令,當(dāng)從0單調(diào)變化到時,從0單調(diào)變化到,且,,使得。⑺；[解]被積函數(shù)中含根號,且根指數(shù)及根號內(nèi)多項式的次數(shù)都是2,應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的三角變換法：為使根號內(nèi)的變量在后的平方差轉(zhuǎn)換成完全平方,應(yīng)令,當(dāng)從單調(diào)變化到1時,從單調(diào)變化到,且,,使得。⑻〔；[解]被積函數(shù)中含根號,且根指數(shù)及根號內(nèi)多項式的次數(shù)都是2,應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的三角變換法：為使根號內(nèi)的變量在后的平方差轉(zhuǎn)換成完全平方,應(yīng)令,當(dāng)從0單調(diào)變化到時,從0單調(diào)變化到,且,,使得。⑼；[解]被積函數(shù)中含根號,且根指數(shù)及根號內(nèi)多項式的次數(shù)都是2,應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的三角變換法：為使根號內(nèi)的變量在后的平方和轉(zhuǎn)換成完全平方,應(yīng)令,當(dāng)從1單調(diào)變化到時,從單調(diào)變化到,且使得這時,再令,當(dāng)從單調(diào)變化到時,從單調(diào)變化到,又得。⑽；[解]被積函數(shù)中含根號,且根指數(shù)及根號內(nèi)多項式的次數(shù)都是2,應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的三角變換法。由于根號內(nèi)的二次多項式并非為三角變換中的平方和或差的標(biāo)準(zhǔn)形式,需要先將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形：,現(xiàn)在,根號內(nèi)的二次多項式成為了變量在后的平方差的形式了,因此可令,當(dāng)從0單調(diào)變化到1時,從單調(diào)變化到0,從而對應(yīng)從單調(diào)變化到0,而且,,于是。⑾；[解]被積函數(shù)中含根號,可見根指數(shù)與根號內(nèi)多項式的次數(shù)不相等,應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的直接變換法：[解法一]令,當(dāng)從1單調(diào)變化到4時,從1單調(diào)變化到2,且由此得,,,于是。[解法二]為便于積分,可使變換后的分母成為簡單變量,即令,當(dāng)從1單調(diào)變化到4時,從2單調(diào)變化到3,且由此得,,,于是。⑿；[解]被積函數(shù)中含根號,可見根指數(shù)與根號內(nèi)多項式的次數(shù)不相等,應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的直接變換法：[解法一]令,當(dāng)從單調(diào)變化到1時,從單調(diào)變化到0,且由此得,,,于是。[解法二]為便于積分,可使變換后的分母成為簡單變量,即令,當(dāng)從單調(diào)變化到1時,從單調(diào)變化到,且由此得,,,于是。⒀；[解]被積函數(shù)中含根號,可見根指數(shù)與根號內(nèi)多項式的次數(shù)不相等,應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的直接變換法：令,當(dāng)從單調(diào)變化到1時,從3單調(diào)變化到1,且由此得,,,于是。⒁；[解]由于,為含復(fù)合函數(shù)的積分,且微分部份僅與復(fù)合函數(shù)之中間變量的微分相差一個常數(shù)倍,可以應(yīng)用第一換元積分法：[解法一]應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式。[解法二]應(yīng)用定積分的換元法令,當(dāng)從1單調(diào)變化到2時,從1單調(diào)變化到,且由此得,于是。⒂；[解]為含復(fù)合函數(shù)的積分,且微分部份與復(fù)合函數(shù)之中間變量的微分僅相差一個常數(shù)倍,可以應(yīng)用第一換元積分法：[解法一]應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式。[解法二]應(yīng)用定積分的換元法令,當(dāng)從0單調(diào)變化到1時,從0單調(diào)變化到,且由此得,于是。⒃；[解]為含復(fù)合函數(shù)的積分,且微分部份與復(fù)合函數(shù)之中間變量的微分相等,可以應(yīng)用第一換元積分法：[解法一]應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式。[解法二]應(yīng)用定積分的換元法令,當(dāng)從1單調(diào)變化到時,從1單調(diào)變化到3,且由此得,于是。⒄；[解]為含復(fù)合函數(shù)的積分,被積函數(shù)為真有理分式,分母為二次無零點的多項式,且分子比分母低一次,可以分解為兩個可積基本分式的積分：。⒅；[解]被積函數(shù)中含根號,可見根指數(shù)與根號內(nèi)多項式的次數(shù)不相等,應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的直接變換法：令,當(dāng)從0單調(diào)變化到2時,從1單調(diào)變化到,且由此得,,,于是。⒆；[解]由于,所以于是有[解法一]應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式。[解法二]應(yīng)用定積分的換元法令,當(dāng)從單調(diào)變化到0時,從0單調(diào)變化到1,當(dāng)從0單調(diào)變化到時,從1單調(diào)變化到0,且由此得,于是。⒇。[解]由于,所以。2．利用函數(shù)的奇偶性計算下列定積分：⑴；[解]由于函數(shù)是奇函數(shù),即知。⑵；[解]由于函數(shù)是偶函數(shù),且有即得。⑶；[解]由于函數(shù)是偶函數(shù),所以。⑷。[解]由于函數(shù)是偶函數(shù),所以。3．證明：〔。[證明]作倒數(shù)變換,當(dāng)從單調(diào)變化到1時,從單調(diào)變化到1,且有,于是有,證畢。4．證明：。[證明]由于,其中,對于,作如下的處理：作變換,當(dāng)從單調(diào)變化到時,從單調(diào)變化到0,且有,,于是,,從而得。證畢。5．設(shè)為連續(xù)函數(shù),證明：⑴當(dāng)是偶函數(shù)時,為奇函數(shù)；[證明]當(dāng)是偶函數(shù)時,有,使得,可知此時為奇函數(shù),證畢。⑵當(dāng)是奇函數(shù)時,為偶函數(shù)。[證明]當(dāng)是奇函數(shù)時,有,使得,可知此時為偶函數(shù),證畢。6．設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù),證明：對任意的常數(shù),有。[證明]題設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù),可知成立,由于其中,對于,作如下的處理：令,當(dāng)從單調(diào)變化到時,從0單調(diào)變化到,使得,于是有,證畢。7．計算下列定積分：⑴；[解]被積函數(shù)屬分部積分第一類,應(yīng)選為先積分部份,[解法一]套用分部積分公式,。[解法二]應(yīng)用列表法可得。⑵；[解]被積函數(shù)屬分部積分第二類,套用分部積分公式,選為先積分部份,?！埠豢芍苯臃e分部份的分部積分不應(yīng)使用列表法⑶；[解]被積函數(shù)屬分部積分第二類,套用分部積分公式,選為先積分部份,。⑷；[解]被積函數(shù)屬分部積分第一類,應(yīng)選為先積分部份,[解法一]套用分部積分公式,。[解法二]應(yīng)用列表法可得。⑸；[解]被積函數(shù)屬分部積分第二類,套用分部積分公式,應(yīng)選為先積分部份,。⑹；[解]被積函數(shù)屬分部積分第一類,應(yīng)選為先積分部份,[解法一]套用分部積分公式,。[解法二]應(yīng)用列表法可得。⑺；[解]被積函數(shù)屬分部積分第一類,與均可選為先積分部份,[解法一]套用分部積分公式,選為先積分部份,即得,移項,整理得。[解法二]套用分部積分公式,選為先積分部份,即得,移項,整理得。⑻；[解]被積函數(shù)屬分部積分第二類,套用分部積分公式,選為先積分部份,。⑼；[解]將三角函數(shù)降次后求解,其中,積分中的被積函數(shù)屬分部積分第一類,套用分部積分公式,選為先積分部份,得,從而得。⑽；[解]被積函數(shù)屬分部積分第二類,且已經(jīng)具有的結(jié)構(gòu),直接套用分部積分公式得即得,移項、整理得。⑾；[解]。⑿。[解]這是含復(fù)合函數(shù)的積分,可用