第五章量子力學(xué)的矩陣形式和表象變換培訓(xùn)課件

第五章量子力學(xué)的表象變換與矩陣形式量子態(tài)的不同表象，幺正變換力學(xué)量的矩陣表示力學(xué)量的表象變換第五章量子力學(xué)的表象變換與矩陣形式量子態(tài)的不同表象，幺1通過坐標(biāo)變換,以引進(jìn)量子力學(xué)中的表象及表象變換的概念.表象:量子力學(xué)中的態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象.x1x2x’1x’2A1A’1A2A’2Ae1e2e’1e’2θθO平面坐標(biāo)系x1和x2的基矢e1和e2，長度為1，彼此正交，即（1）平面上的任何一個(gè)矢量都可用它們來展開,（2）A1和A2表示矢量A在兩個(gè)分量坐標(biāo)上的投影。5.1量子態(tài)的不同表象，幺正變換通過坐標(biāo)變換,以引進(jìn)量子力學(xué)中的表象及表象變換的概念.x1x2假設(shè)另一個(gè)x’1x’2直角坐標(biāo)系，由原來的坐標(biāo)系順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角,其基矢為e’1e’2,滿足（1’）在此坐標(biāo)中，矢量A表示成（2’）（3）對(duì)上式分別用e’1,e’2點(diǎn)乘（4）假設(shè)另一個(gè)x’1x’2直角坐標(biāo)系，由原來的坐標(biāo)系順時(shí)針旋轉(zhuǎn)3寫成矩陣的形式（5）R（θ）稱為變換矩陣元，是兩個(gè)坐標(biāo)系基矢之間的標(biāo)積。當(dāng)R確定后，任何兩個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系也就確定了。其轉(zhuǎn)置矩陣表示為（6）x1x2x’1x’2A1A’1A2A’2Ae1e2e’1e’2θθO寫成矩陣的形式（5）R（θ）稱為變換矩陣元，是兩個(gè)坐標(biāo)系基矢4變換矩陣R與其轉(zhuǎn)置矩陣之間的關(guān)系為因?yàn)镽＊=R，（7）變換矩陣R與其轉(zhuǎn)置矩陣之間的關(guān)系為因?yàn)镽＊=R，（7）5

一個(gè)粒子的態(tài)完全可由歸一化的波函數(shù)ψ(r,t)來描述，將ψ(r,t)稱為坐標(biāo)表象。下面將討論用動(dòng)量為變量描述波函數(shù)。將ψ(r,t)還可表示成在整個(gè)動(dòng)量空間積分。c(p,t)為展開系數(shù)，ψp(r)是動(dòng)量的本征函數(shù)。（11）（12）

一個(gè)粒子的態(tài)完全可由歸一化的波函數(shù)ψ(r,6顯然，c(p,t)描述的粒子態(tài)與ψ(r,t)描述的粒子態(tài)同樣完整。已知c(p,t)，就可以求出ψ(r,t)，反之也一樣。即c(p,t)和ψ(r,t)描述的是粒子態(tài)同一個(gè)狀態(tài)。因此，將c(p,t)稱為粒子態(tài)的動(dòng)量表象。

如果已知ψ(r,t)就可以通過上式得到c(p,t)，反過來也成立。（13）（14）顯然，c(p,t)描述的粒子態(tài)與ψ(r,t)描述的粒子態(tài)同7那么在動(dòng)量表象中，坐標(biāo)的平均值可以表示為其它觀測(cè)量的平均值類似可表示出。那么在動(dòng)量表象中，坐標(biāo)的平均值可以表示為其它觀測(cè)量的平均值類8如果ψ(x,t)描述的狀態(tài)是動(dòng)量p’的自由粒子的狀態(tài)在動(dòng)量表象中，具有確定動(dòng)量p’

的粒子波函數(shù)是函數(shù)。如果ψ(x,t)描述的狀態(tài)是動(dòng)量p’的自由粒子的狀態(tài)在動(dòng)量表9例題：一維粒子運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)是解：由于波函數(shù)為歸一化，首先要對(duì)波函數(shù)進(jìn)行歸一化求1）粒子動(dòng)量的幾率分布；2）粒子的平均動(dòng)量例題：一維粒子運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)是解：由于波函數(shù)為歸一化，首先要對(duì)波10解釋:如果a作用于波函數(shù),則湮滅(annihilate)了一個(gè)聲子,因而稱為a湮滅算符;a+作用于函數(shù),則產(chǎn)生一個(gè)聲子,a+產(chǎn)生算符.當(dāng)Fmn=1,稱為單位矩陣（unitmatrix）,表示為I＝(δmn).有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零如果是勢(shì)能為球?qū)ΨQ勢(shì)阱。稱為聲子數(shù)算符(phononnumberoperator),S與S+的積等于單位矩陣。當(dāng)R確定后，任何兩個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系也就確定了。1量子態(tài)的不同表象，幺正變換1）幺正變換不改變算符的本征值右矢(ket)>和左矢（bra）<矩陣Fpp’是動(dòng)量空間。這是一個(gè)久期（secular）方程。坐標(biāo)x的本征態(tài)矢正交歸一的條件是，解法一：在動(dòng)量表象中，x的算符表示為：我們注意到，從得到的結(jié)果一樣，因?yàn)樗鼈兌寂cH算符對(duì)易。在經(jīng)典力學(xué)中，常用矢量的形式討論問題，并不指明坐標(biāo)系。解釋:如果a作用于波函數(shù),則湮滅(annihilate11動(dòng)量的幾率分布為動(dòng)量的平均值為動(dòng)量的幾率分布為動(dòng)量的平均值為12

考慮任意力學(xué)量Q本征值為1,

2,…,

n…,對(duì)應(yīng)的正交本征函數(shù)u1(x),u

2(x),…u

n(x)

…,則任意波函數(shù)（x）按Q的本征函數(shù)展開為下標(biāo)n表示能級(jí)，上式兩邊同乘以u(píng)*m(x),并積分粒子態(tài)完全由an完全集確定，即能量表象。（16）（17）3.能量表象考慮任意力學(xué)量Q本征值為1,2,…,13因?yàn)樗允菍?duì)應(yīng)力學(xué)量Q取不同能量本征值的幾率因?yàn)樗允菍?duì)應(yīng)力學(xué)量Q取不同能量本征值的幾率14可表示成一列矩陣的形式其共軛矩陣為一行矩陣因?yàn)椴ê瘮?shù)是歸一化的，表示成可表示成一列矩陣的形式其共軛矩陣為一行矩陣因?yàn)椴ê瘮?shù)是歸一化15例題1：一維諧振子的能量表象中不同能量本征值的波函數(shù)n=0:n=1:因?yàn)橄到y(tǒng)的波函數(shù)是正交歸一的波函數(shù)，表示為例題1：一維諧振子的能量表象中不同能量本征值的波函數(shù)n=0:162）求一維無限深勢(shì)阱中粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量在能量表象中的矩陣元如果一個(gè)算符本身不顯含時(shí)間，即稱為聲子數(shù)算符(phononnumberoperator),算符a和a+相互共軛的.S與S+的積等于單位矩陣。因此，將c(p,t)稱為粒子態(tài)的動(dòng)量表象。矩陣Fpp’是動(dòng)量空間。2）幺正變換下，矩陣的跡（trace)不變。TheSchr?dingerRepresentation在描述一個(gè)系統(tǒng)時(shí)，這兩個(gè)表象是完全等價(jià)的。將F和a從A表象變換到B表象代入原方程，求解b1、b2若算符F的本征態(tài)矢是連續(xù)譜，右矢(ket)>和左矢（bra）<這種性質(zhì)稱為本征值n的封閉性。將有1，2….因?yàn)椴ê瘮?shù)是歸一化的，表示成設(shè)算符B的正交歸一的本征函數(shù)1(r)，2(r)，…n(r);第一項(xiàng)表示算符L的瞬時(shí)偏導(dǎo)數(shù)的平均值，第二項(xiàng)積分則利用直角坐標(biāo)系中，矢量A的方向由i,j,k三個(gè)單位矢量基矢決定，大小由Ax,Ay,Az三個(gè)分量（基矢的系數(shù)）決定。在量子力學(xué)中，選定一個(gè)F表象，將Q的本征函數(shù)u1(x),u2(x),…un(x),…看作一組基矢，有無限多個(gè)。大小由a1(t),a2(t),…an(t),…系數(shù)決定。所以，量子力學(xué)中態(tài)矢量所決定的空間是無限維的空間函數(shù)，基矢是正交歸一的波函數(shù)。數(shù)學(xué)上稱為希爾伯特（Hilbert）空間.常用的表象有坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象、能量表象和角動(dòng)量表象總結(jié)2）求一維無限深勢(shì)阱中粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量在能量表象中的矩陣元17例題2質(zhì)量為m的粒子在均勻力場(chǎng)f(x)=-F(F>0)中運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)范圍限制在x0,試在動(dòng)量表象中求解束縛態(tài)能級(jí)和本征函數(shù)。解：勢(shì)能為V（x）＝Fx，總能量為在動(dòng)量表象中，x的算符表示為例題2質(zhì)量為m的粒子在均勻力場(chǎng)f(x)=-F(F>0)中運(yùn)18定態(tài)的薛定諤方程E可由貝塞爾函數(shù)解出，基態(tài)能級(jí)為定態(tài)的薛定諤方程E可由貝塞爾函數(shù)解出，基態(tài)能級(jí)為19習(xí)題4.1求在動(dòng)量表象中角動(dòng)量Lx的矩陣元和L2x的矩陣元解：Lx在動(dòng)量表象中的矩陣元第一項(xiàng)習(xí)題4.1求在動(dòng)量表象中角動(dòng)量Lx的矩陣元和L2x的矩陣元20第二項(xiàng)也可以導(dǎo)出，則Lx的矩陣元第二項(xiàng)也可以導(dǎo)出，則Lx的矩陣元214.2算符的矩陣表示設(shè)算符F有如下關(guān)系：在Q表象中，Q的本征值分別為Q1，Q2，Q3，…Qn…,對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)分別為u1(x),u2(x),…un(x),….將(x,t)和(x,t)分別在Q表項(xiàng)中由Q的本征函數(shù)展開代入上式，4.2算符的矩陣表示設(shè)算符F有如下關(guān)系：在Q表象中，Q的22兩邊同乘以u(píng)*n(x),并在整個(gè)空間積分利用本征函數(shù)un(x)的正交性兩邊同乘以u(píng)*n(x),并在整個(gè)空間積分利用本征函數(shù)un(23引進(jìn)記號(hào)這就是在Q表項(xiàng)中的表述方式。表示成矩陣的形式：引進(jìn)記號(hào)這就是在Q表項(xiàng)中的表述方式。表示成矩陣的形式：24用TrF表示，定義為矩陣的對(duì)角單元之和。TheSchr?dingerRepresentation若算符F的本征組態(tài)矢是正交歸一的，本征值分別為Fi,Fj,…坐標(biāo)x的本征態(tài)矢正交歸一的條件是，數(shù)學(xué)上稱為希爾伯特（Hilbert）空間.這就是Ehrenfest’stheorem例題：求算符x在下面波函數(shù)中的本征值,[-a,a]區(qū)間例題：軌道角動(dòng)量l=rp，證明在lz的任何一個(gè)本征態(tài)下，lx和ly的平均值為零從一個(gè)表象轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€(gè)表象由時(shí)間相關(guān)的幺正矩陣實(shí)現(xiàn)。與勢(shì)能V(r)對(duì)易。若算符F的本征態(tài)矢是連續(xù)譜，TheEigenvalueProblem那么在動(dòng)量表象中，坐標(biāo)的平均值可以表示為第五章量子力學(xué)的表象變換與矩陣形式例題：軌道角動(dòng)量l=rp，證明在lz的任何一個(gè)本征態(tài)下，lx和ly的平均值為零矩陣F＝（Fmnδmn）稱為對(duì)角矩陣（diagonalmatrix）,時(shí)間導(dǎo)數(shù)用TrF表示，定義為矩陣的對(duì)角單元之和。例題：一維粒子運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)是兩個(gè)矩陣的和為兩個(gè)矩陣的分量之和。我們知道諧振子的能量是等間隔的,ψn所具有的能量大于n?ω,將該能量分成n份，一份稱為聲子(phonons),那么將ψn稱為n聲子態(tài)(n-phononstate),（23）矩陣Fnm的共軛矩陣表示為因?yàn)榱孔恿W(xué)中的算符都是厄米算符，即將滿足該式的矩陣稱為厄米矩陣用TrF表示，定義為矩陣的對(duì)角單元之和。（23）矩陣Fnm的25若在轉(zhuǎn)置矩陣中，每個(gè)矩陣元素用它的共軛復(fù)數(shù)來代替，得到的新矩陣稱為F的共軛矩陣Fnm的轉(zhuǎn)置矩陣為根據(jù)厄米矩陣的定義所以例如例如若在轉(zhuǎn)置矩陣中，每個(gè)矩陣元素用它的共軛復(fù)數(shù)來26例題（習(xí)題4.2）求一維無限深勢(shì)阱中粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量在能量表象中的矩陣元能量表象例題（習(xí)題4.2）求一維無限深勢(shì)阱中粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量在能量27第五章量子力學(xué)的矩陣形式和表象變換培訓(xùn)課件28Q在自身表象中的矩陣元Qm為Q在自身空間中的的本征值如X在坐標(biāo)空間中可表示為動(dòng)量p在動(dòng)量空間中表示為結(jié)論：算符在自身的表象中是一個(gè)對(duì)角矩陣Q在自身表象中的矩陣元Qm為Q在自身空間中的的本征值如X在坐29一維無限深勢(shì)阱能量表象中能量的矩陣元一維諧振子能量表象中能量的矩陣元一維無限深勢(shì)阱能量表象中能量的矩陣元一維諧振子能量表象中能量30

兩個(gè)矩陣的和為兩個(gè)矩陣的分量之和。設(shè)C為兩矩陣之和

Cmn=Amn＋Bmn（42）兩矩陣之積矩陣Fpp’是動(dòng)量空間。矩陣F＝（Fmnδmn）稱為對(duì)角矩陣（diagonalmatrix）,當(dāng)Fmn=1,稱為單位矩陣（unitmatrix）,表示為I＝(δmn).在動(dòng)量空間中，算符F的矩陣元兩個(gè)矩陣的和為兩個(gè)矩陣的分量之和。設(shè)C為兩矩陣之和兩矩陣314.3量子力學(xué)公式的矩陣表述1.平均值公式4.3量子力學(xué)公式的矩陣表述1.平均值公式32寫成矩陣形式（51）簡寫為寫成矩陣形式（51）簡寫為33例題求一維無限深勢(shì)阱中，當(dāng)n=1和n=2時(shí)粒子坐標(biāo)的平均值解：例題求一維無限深勢(shì)阱中，當(dāng)n=1和n=2時(shí)粒子坐標(biāo)的平均342.TheEigenvalueProblem

在量子力學(xué)中最重要的問題是找算符的本征值和本征函數(shù)。首先，算符F的本征函數(shù)滿足（54）（55）2.TheEigenvalueProblem35有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零（60）這是一個(gè)線性齊次代數(shù)方程組這是一個(gè)久期（secular）方程。將有1，2….n

n個(gè)解,就是F的本征值。有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零（60）這是一個(gè)線性齊次代數(shù)36例題：求算符x在下面波函數(shù)中的本征值,[-a,a]區(qū)間解：則例題：求算符x在下面波函數(shù)中的本征值,[-a,a]區(qū)間解37該行列式有解的條件是其系數(shù)行列式為零兩個(gè)本征值分別為該行列式有解的條件是其系數(shù)行列式為零兩個(gè)本征值分別為383.矩陣形式的薛定諤方程TheSchr?dingerEquationinMatrixForm薛定諤方程（77）不顯含時(shí)間的波函數(shù)的能量表象（78）波函數(shù)根據(jù)哈密頓本征函數(shù)展開（79）代入薛定諤方程（80）3.矩陣形式的薛定諤方程薛定諤方程（77）不顯含時(shí)間的波函數(shù)39兩邊同乘以并積分（81）（82）簡寫為H，均為矩陣元。兩邊同乘以并積分（81）（82）簡寫為H，均為矩陣元。40例題：求在動(dòng)量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)線性諧振子的總能量為解法一：在動(dòng)量表象中，x的算符表示為：則H算符表示為定態(tài)的薛定諤方程寫為例題：求在動(dòng)量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)線性諧振子的總41c（p）是動(dòng)量表象中的本征函數(shù)仿照一維諧振子坐標(biāo)空間的求解方法可解出c(p)。解法二c（p）是動(dòng)量表象中的本征函數(shù)仿照一維諧振子坐標(biāo)空間的求解方42當(dāng)n＝0時(shí)，當(dāng)n＝0時(shí)，43討論從一個(gè)表象變換到另一個(gè)表象的一般情況。設(shè)算符A的正交歸一的本征函數(shù)ψ1(r)，ψ2(r)，…ψn(r);設(shè)算符B的正交歸一的本征函數(shù)1(r)，

2(r)，…

n(r);（64）（66）1.UnitaryTransformation（幺正變換）（65）算符F在A表象中（67）算符F在B表象中討論從一個(gè)表象變換到另一個(gè)表象的一般情況。（64）（66）144c(p,t)為展開系數(shù)，ψp(r)是動(dòng)量的本征函數(shù)。例題：軌道角動(dòng)量l=rp，證明在lz的任何一個(gè)本征態(tài)下，lx和ly的平均值為零1量子態(tài)的不同表象，幺正變換顯然，c(p,t)描述的粒子態(tài)與ψ(r,t)描述的粒子態(tài)同樣完整。1）幺正變換不改變算符的本征值結(jié)論：平均值隨時(shí)間的變化就等于的平均值。解釋:如果a作用于波函數(shù),則湮滅(annihilate)了一個(gè)聲子,因而稱為a湮滅算符;a+作用于函數(shù),則產(chǎn)生一個(gè)聲子,a+產(chǎn)生算符.常用的表象有坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象、能量表象和角動(dòng)量表象稱為聲子數(shù)算符(phononnumberoperator),用TrF表示，定義為矩陣的對(duì)角單元之和。用TrF表示，定義為矩陣的對(duì)角單元之和。第一項(xiàng)表示算符L的瞬時(shí)偏導(dǎo)數(shù)的平均值，第二項(xiàng)積分則利用稱為投影算符或單位算符例題：軌道角動(dòng)量l=rp，證明在lz的任何一個(gè)本征態(tài)下，lx和ly的平均值為零與勢(shì)能V(r)對(duì)易。直角坐標(biāo)系中，矢量A的方向由i,j,k三個(gè)單位矢量基矢決定，大小由Ax,Ay,Az三個(gè)分量（基矢的系數(shù)）決定。那么在動(dòng)量表象中，坐標(biāo)的平均值可以表示為兩個(gè)矩陣的和為兩個(gè)矩陣的分量之和。求1）粒子動(dòng)量的幾率分布；計(jì)算［a,a+］,［a,a+a］,［a+,a+a］確定Fmn與F之間聯(lián)系的轉(zhuǎn)換矩陣。將算符B的本征函數(shù)(x)用算符A的本征函數(shù)n(x)展開。兩邊同乘以并積分得（69）（68）同理c(p,t)為展開系數(shù)，ψp(r)是動(dòng)量的本征函數(shù)。確定45（70）（71）應(yīng)用厄密共軛矩陣性質(zhì)（70）（71）應(yīng)用厄密共軛矩陣性質(zhì)46得到算符在兩個(gè)表象中的變換矩陣簡寫為這就是力學(xué)量F從A表象變換到B表象的變換公式。（72）得到算符在兩個(gè)表象中的變換矩陣簡寫為這就是力學(xué)量F從A表象變47因?yàn)棣缀挺斩际钦粴w一的波函數(shù)，（68）因?yàn)棣缀挺斩际钦粴w一的波函數(shù)，（68）48S與S+的積等于單位矩陣。即SS+＝I,S+＝S-1（74）

將滿足上式的矩陣稱為幺正矩陣,由幺正矩陣表示的變換稱為幺正變換.物理意義:在不同的表象中幾率是守恒的。如果一個(gè)粒子在態(tài)φn中的幾率為1，在態(tài)ψn中的幾率為Sμn2,那么,Sμ12,Sμ22,…,Sμn2,…給出粒子在態(tài)ψn中出現(xiàn)的幾率分布。下面的式子必定成立。（75）S與S+的積等于單位矩陣。即SS+＝I,S+＝S-1（7449例題：求轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣R(）的特征值、特征矢量和幺正變換矩陣.解：設(shè)在A表象中B表象中特征矢為本征值為代入原方程，求解b1、b2

例題：求轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣R(）的特征值、特征矢量和幺正變換矩陣50當(dāng)＝＝變換矩陣當(dāng)＝＝變換矩陣51下面討論態(tài)矢量u(x,t)從A表象變換到B表象的公式b=S+a下面討論態(tài)矢量u(x,t)從A表象變換到B表象的公式b=S52總結(jié)：幺正變換的性質(zhì)1）幺正變換不改變算符的本征值設(shè)算符F在A表項(xiàng)中的本征值方程為a為態(tài)矢將F和a從A表象變換到B表象在B表象中因?yàn)閎=S+a＝S－1a總結(jié)：幺正變換的性質(zhì)1）幺正變換不改變算符的本征值設(shè)算符F在532）幺正變換下，矩陣的跡（trace)不變。用TrF表示，定義為矩陣的對(duì)角單元之和。那么TrFA=TrFB,矩陣的積不依賴于特別的表象。2）幺正變換下，矩陣的跡（trace)不變。用TrF表示545.4狄喇克符號(hào)在經(jīng)典力學(xué)中，體系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與所選取的坐標(biāo)是無關(guān)的，坐標(biāo)是為了處理問題方便才引進(jìn)的。同樣，在量子力學(xué)中，粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與選取的表象無關(guān)，表象的選取是為了處理問題方便。在經(jīng)典力學(xué)中，常用矢量的形式討論問題，并不指明坐標(biāo)系。同樣，量子力學(xué)中描述態(tài)和力學(xué)量，也可以不用坐標(biāo)系。這樣一套符號(hào)稱為狄喇克符號(hào)。5.4狄喇克符號(hào)在經(jīng)典力學(xué)中，體系的運(yùn)動(dòng)規(guī)551.右矢

(ket)>和左矢（bra）<左矢<表示右矢的共軛，例如ψ

＊，表示為<ψ，是ψ>的共軛態(tài)矢。<x′是x′>的共軛態(tài)矢。

量子體系的一切可能的態(tài)構(gòu)成一個(gè)Hilbert空間，Hilbert是一個(gè)以復(fù)量為基的一個(gè)有限的或無限的、完全的矢量空間。<ψ

φ>＊＝<φ

ψ>2.標(biāo)積在Hilbert空間中。一個(gè)標(biāo)積(scalarproduct)定義為一對(duì)函數(shù)ψ和φ的乘積。標(biāo)積記為<ψφ>

一個(gè)量子態(tài)用右矢>來表示。例如用

ψ>表示波函數(shù)ψ描述的狀態(tài)。1.右矢(ket)>和左矢（bra）<左矢<表56標(biāo)積運(yùn)算規(guī)則：若<ψφ>＝0，則稱<ψ與φ>正交。若<ψψ>＝1，則稱ψ>為歸一化態(tài)矢。表示態(tài)矢是正交歸一的完備系標(biāo)積運(yùn)算規(guī)則：若<ψφ>＝0，則稱<ψ與φ>正交。表57同樣，量子力學(xué)中描述態(tài)和力學(xué)量，也可以不用坐標(biāo)系。將滿足上式的矩陣稱為幺正矩陣,由幺正矩陣表示的變換稱為幺正變換.稱為投影算符或單位算符得到算符在兩個(gè)表象中的變換矩陣有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零c(p,t)為展開系數(shù)，ψp(r)是動(dòng)量的本征函數(shù)。這種性質(zhì)稱為本征值n的封閉性。解法一：在動(dòng)量表象中，x的算符表示為：稱為算符F在Q表象中的矩陣元考慮坐標(biāo)、動(dòng)量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)都不顯含時(shí)間，則下式成立S與S+的積等于單位矩陣。它們有同樣的表觀值、同樣的譜。一個(gè)粒子的態(tài)完全可由歸一化的波函數(shù)ψ(r,t)來描述，將ψ(r,t)稱為坐標(biāo)表象。PropertiesoftheOperatorsaanda+R（θ）稱為變換矩陣元，是兩個(gè)坐標(biāo)系基矢之間的標(biāo)積。1求在動(dòng)量表象中角動(dòng)量Lx的矩陣元和L2x的矩陣元這樣一套符號(hào)稱為狄喇克符號(hào)。在描述一個(gè)系統(tǒng)時(shí)，這兩個(gè)表象是完全等價(jià)的。若算符F的本征態(tài)矢是連續(xù)譜，1）幺正變換不改變算符的本征值常用的表象有坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象、能量表象和角動(dòng)量表象例題：軌道角動(dòng)量l=rp，證明在lz的任何一個(gè)本征態(tài)下，lx和ly的平均值為零證明：設(shè)m為lz=的本征態(tài)，屬于本征值狀態(tài)為m因?yàn)閷?duì)易關(guān)系同樣，量子力學(xué)中描述態(tài)和力學(xué)量，也可以不用坐標(biāo)系。例題：軌道58類似地，利用對(duì)易關(guān)系可以證明類似地，利用對(duì)易關(guān)系可以證明59|A>在Q表象中的分量為a1(t),a2(t),..,<B|在Q表象中的分量為b1(t)＊,b2(t)＊,..,顯然，若算符F的本征組態(tài)矢是正交歸一的，本征值分別為Fi,Fj,…若算符F的本征態(tài)矢是連續(xù)譜，2.態(tài)矢在具體表象中的狄喇克表示方法|A>在Q表象中的分量為a1(t),a2(t),..,顯然60坐標(biāo)x的本征態(tài)矢正交歸一的條件是，動(dòng)量p的本征態(tài)矢正交歸一的條件是，波函數(shù)的歸一化性表示為因?yàn)椴ê瘮?shù)（x,t）可以用一組基矢展開坐標(biāo)x的本征態(tài)矢正交歸一的條件是，動(dòng)量p的本征態(tài)矢正交歸一的61因?yàn)檫@種性質(zhì)稱為本征值n的封閉性。用狄喇克形式表示為展開系數(shù)為因?yàn)檫@種性質(zhì)稱為本征值n的封閉性。用狄喇克形式表示為展開系數(shù)62將代入上式，得稱為投影算符或單位算符在連續(xù)譜的情況下，求和應(yīng)換為積分將代入上式，得稱為投影算符或單位算符在連續(xù)譜的情況下，求和應(yīng)63例題：兩個(gè)態(tài)矢|A>和|B>在同一個(gè)表象Q中的標(biāo)記例題：兩個(gè)態(tài)矢|A>和|B>在同一個(gè)表象Q中的標(biāo)記643.算符在具體表象中的狄喇克表示方法設(shè)算符F存在如下關(guān)系將態(tài)矢A、B分別在Q表象中展開用|m>左乘上式，再利用正交性3.算符在具體表象中的狄喇克表示方法設(shè)算符F存在如下關(guān)系將65則稱為算符F在Q表象中的矩陣元?jiǎng)t稱為算符F在Q表象中的矩陣元66例題薛定諤方程表示為兩邊左乘以<k|,例題薛定諤方程表示為兩邊左乘以<k|,67例題：對(duì)于（l2,lz）的共同本征態(tài)Ylm(,),計(jì)算lx2ly2的平均值，對(duì)易關(guān)系解：例題：對(duì)于（l2,lz）的共同本征態(tài)Ylm(,),計(jì)算68例題：一維粒子運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)是3LawsofConservationR（θ）稱為變換矩陣元，是兩個(gè)坐標(biāo)系基矢之間的標(biāo)積。用TrF表示，定義為矩陣的對(duì)角單元之和。例題2質(zhì)量為m的粒子在均勻力場(chǎng)f(x)=-F(F>0)中運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)范圍限制在x0,試在動(dòng)量表象中求解束縛態(tài)能級(jí)和本征函數(shù)。算符a和a+相互共軛的.而力學(xué)量算符則不隨時(shí)間變化，因而應(yīng)用算符來描述不顯含時(shí)間的物理量，我們將這種描述方式稱為薛定諤表象或薛定諤圖像。諧振子波場(chǎng)中的量子正是聲子.兩個(gè)矩陣的和為兩個(gè)矩陣的分量之和。常用的表象有坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象、能量表象和角動(dòng)量表象將滿足上式的矩陣稱為幺正矩陣,由幺正矩陣表示的變換稱為幺正變換.1量子態(tài)的不同表象，幺正變換一個(gè)量子態(tài)用右矢>來表示。稱為聲子數(shù)算符(phononnumberoperator),算符a和a+相互共軛的.c（p）是動(dòng)量表象中的本征函數(shù)那么在動(dòng)量表象中，坐標(biāo)的平均值可以表示為解：Lx在動(dòng)量表象中的矩陣元?jiǎng)恿縫在動(dòng)量空間中表示為由于例題：一維粒子運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)是由于69例題設(shè)算符F和G為任意算符，且證明，對(duì)于F的本征態(tài)，證明設(shè)為F的本征態(tài)，本征值為，則有兩邊取復(fù)共軛例題設(shè)算符F和G為任意算符，且證明，對(duì)于F的本征態(tài)，證明設(shè)705.5諧振子的升降算符一維諧振子的歸一化本征函數(shù)為（43）（44）H多項(xiàng)式有如下關(guān)系存在5.5諧振子的升降算符一維諧振子的歸一化本征函數(shù)為（43）71（46）（45）（47）得到減去（44）式（44）（44）與（47）式相加減，得（46）（45）（47）得到減去（44）式（44）（44）與72（48）做如下替代（49）(48)式變?yōu)椋?0）將a稱為降冪算符(loweringoperator),將a+稱為升冪算符.（48）做如下替代（49）(48)式變?yōu)椋?0）將a稱為降冪73由于本征值n是諧振子波函數(shù)的指數(shù)因子,因而我們定義一個(gè)數(shù)算符N(numberoperator)（52）的本征值是n,本征函數(shù)是ψn,

（51）由于本征值n是諧振子波函數(shù)的指數(shù)因子,因而我們定義一個(gè)數(shù)算符742.PropertiesoftheOperatorsaanda+算符a和a+相互共軛的.（51）

a和a+是實(shí)數(shù),存在a=a*,a+=(a+)*（52）（53）用狄喇克算符表示為（54）2.PropertiesoftheOperators75通過進(jìn)行a

+ψn運(yùn)算,我們可以計(jì)算從基態(tài)開始的所有本征函數(shù)（56）對(duì)n＝0,（57）通過進(jìn)行a+ψn運(yùn)算,我們可以計(jì)算從基態(tài)開始的所有本征函數(shù)76兩式相加、減兩式相加、減77第五章量子力學(xué)的矩陣形式和表象變換培訓(xùn)課件78第五章量子力學(xué)的矩陣形式和表象變換培訓(xùn)課件79由此可計(jì)算出能量本征值由此可計(jì)算出能量本征值80例題對(duì)于諧振子的能量本征態(tài)|n>，計(jì)算x,p，x2，p2的平均值及x、p。解：因?yàn)槔谜恍?，同樣得到例題對(duì)于諧振子的能量本征態(tài)|n>，計(jì)算x,p，x2，p81利用正交性，得到利用正交性，得到82對(duì)于基態(tài)，n=0，剛好是測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的下限對(duì)于基態(tài)，n=0，剛好是測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的下限834.Interpretationofaanda+我們知道諧振子的能量是等間隔的,ψn所具有的能量大于n?ω,將該能量分成n份，一份稱為聲子(phonons),那么將ψn稱為n聲子態(tài)(n-phononstate),中表示聲子數(shù),零聲子態(tài)(zero-phononstate)，稱為真空.（66）解釋:如果a

作用于波函數(shù),則湮滅(annihilate)了一個(gè)聲子,因而稱為a湮滅算符;a+作用于函數(shù),則產(chǎn)生一個(gè)聲子,a+產(chǎn)生算符.4.Interpretationofaanda+我84由于稱為聲子數(shù)算符(phononnumberoperator),（67）諧振子波場(chǎng)中的量子正是聲子.如果與光子相類比的話,就更清楚了.a|3>Annihilationofaphonona+2|1>Creationoftwoohonons諧振子的能級(jí)和聲子的湮滅、產(chǎn)生示意圖En/?ω7/25/23/21/2x由于稱為聲子數(shù)算符(phononnumberoperat85計(jì)算［a,a+］,［a,a+a］,［a+,a+a］計(jì)算［a,a+］,［a,a+a］,［a+,a+a］865.6力學(xué)量隨時(shí)間的演化厄米算符

L其平均值為（1）

因?yàn)椴ê瘮?shù)和算符都是時(shí)間相關(guān)的，則平均值也是時(shí)間相關(guān)的。（2）第一項(xiàng)表示算符L的瞬時(shí)偏導(dǎo)數(shù)的平均值，第二項(xiàng)積分則利用（3）應(yīng)用算符H的厄密性得到H=E5.6力學(xué)量隨時(shí)間的演化厄米算符L其平均值為（1）87（4）簡化為（5）結(jié)論：平均值隨時(shí)間的變化就等于的平均值。若L不顯含時(shí)間，即（6）如果則（4）簡化為（5）結(jié)論：平均值隨時(shí)間的變化就等于886.2Ehrenfest’sTheorem考慮坐標(biāo)、動(dòng)量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)都不顯含時(shí)間，則下式成立對(duì)其它分量，有類似的成立。為了考察它們的對(duì)易性，我們考慮粒子在一個(gè)勢(shì)壘中，其哈密頓量為6.2Ehrenfest’sTheorem考慮坐標(biāo)、動(dòng)量89位置和動(dòng)量之間的關(guān)系與經(jīng)典力學(xué)中的坐標(biāo)與動(dòng)量之間的關(guān)系一致。位置和動(dòng)量之間的關(guān)系與經(jīng)典力學(xué)中的坐標(biāo)與動(dòng)量之間的關(guān)系一致。90形式與經(jīng)典的牛頓方程相似。對(duì)三維的位置和動(dòng)量，有這就是Ehrenfest’stheorem

形式與經(jīng)典的牛頓方程相似。對(duì)三維的位置和動(dòng)量，有這就是Ehr916.3LawsofConservation則該算符對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為零，其運(yùn)動(dòng)可視為常數(shù),即勻速運(yùn)動(dòng)。如果一個(gè)算符本身不顯含時(shí)間，即它又與H對(duì)易，算符H是總能量算符，顯然H與它本身對(duì)易。即使它顯含時(shí)間,其運(yùn)動(dòng)仍為常量，這就是能量守恒定律。勻速運(yùn)動(dòng)的算符對(duì)我們量子力學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)非常重要。1.守恒量6.3LawsofConservation則該算符對(duì)時(shí)92動(dòng)量算符P不顯含時(shí)間，如果V／x=0,則稱為動(dòng)量守恒定律.對(duì)中心力,勢(shì)能只是半徑r的函數(shù),角動(dòng)量算符與勢(shì)能V(r)對(duì)易。整個(gè)哈密頓量為因此有角動(dòng)量守恒定律成立。還可得出動(dòng)量算符P不顯含時(shí)間，如果V／x=0,則稱為動(dòng)量守恒定932.TheVirialTheorem

位力定律是從動(dòng)能算符和勢(shì)能的平均值得到的公式既在經(jīng)典力學(xué)中成立，又在量子力學(xué)中成立。在經(jīng)典力學(xué)中，的瞬時(shí)平均值在周期運(yùn)動(dòng)中為零。時(shí)間導(dǎo)數(shù)在量子力學(xué)中，我們考慮的表觀值。最后一個(gè)等式證明如下2.TheVirialTheorem位力定律是94得到位力定律。我們注意到，從得到的結(jié)果一樣，因?yàn)樗鼈兌寂cH算符對(duì)易。如果是勢(shì)能為球?qū)ΨQ勢(shì)阱。有位力定理得到對(duì)所有的n都成立,當(dāng)然<|V|>的表觀值存在.得到位力定律。我們注意到，從95The

Schr?dingerRepresentation

前面我們應(yīng)用了與時(shí)間相關(guān)的態(tài)函數(shù)ψ(r,t)描述物理系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化，這樣，我們將不顯含時(shí)間的力學(xué)量的平均值及幾率分布隨時(shí)間的演化，完全歸為波函數(shù)隨之間的演化。而力學(xué)量算符則不隨時(shí)間變化，因而應(yīng)用算符來描述不顯含時(shí)間的物理量，我們將這種描述方式稱為薛定諤表象或薛定諤圖像。波函數(shù)和算符不是實(shí)際觀測(cè)的對(duì)象，實(shí)際觀測(cè)的對(duì)象為波函數(shù)的幾率分布和平均值的變化。TheSchr?dingerRepresentation96為了解釋這兩種不同的表象，我們有時(shí)也稱為圖像。我們來看算符L的矩陣元在描述一個(gè)系統(tǒng)時(shí)，這兩個(gè)表象是完全等價(jià)的。它們有同樣的表觀值、同樣的譜。從一個(gè)表象轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€(gè)表象由時(shí)間相關(guān)的幺正矩陣實(shí)現(xiàn)。The

HeisenbergRepresentation

TheHeisenbergRepresentation(HeisenbergPicture)是薛定諤圖像的逆過程。波函數(shù)不隨時(shí)間變化，算符卻隨時(shí)間變化即由與時(shí)間相關(guān)的算符來描述物理系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化過程。為了解釋這兩種不同的表象，我們有時(shí)也稱為圖像。我97對(duì)波函數(shù)，我們寫出它的能量表象定態(tài)的時(shí)間相關(guān)性與指數(shù)因子有關(guān)，將（93）代入到（92）（92）（93）（94）（95）在推導(dǎo)過程中矩陣元并沒有發(fā)生變化，（92）和（95）只是時(shí)間相關(guān)性不同，（92）中式波函數(shù)與時(shí)間相關(guān)，而（95）是算符與時(shí)間相關(guān)。對(duì)波函數(shù)，我們寫出它的能量表象定態(tài)的時(shí)間相關(guān)性與指數(shù)因子有關(guān)98第五章量子力學(xué)的表象變換與矩陣形式量子態(tài)的不同表象，幺正變換力學(xué)量的矩陣表示力學(xué)量的表象變換第五章量子力學(xué)的表象變換與矩陣形式量子態(tài)的不同表象，幺99通過坐標(biāo)變換,以引進(jìn)量子力學(xué)中的表象及表象變換的概念.表象:量子力學(xué)中的態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象.x1x2x’1x’2A1A’1A2A’2Ae1e2e’1e’2θθO平面坐標(biāo)系x1和x2的基矢e1和e2，長度為1，彼此正交，即（1）平面上的任何一個(gè)矢量都可用它們來展開,（2）A1和A2表示矢量A在兩個(gè)分量坐標(biāo)上的投影。5.1量子態(tài)的不同表象，幺正變換通過坐標(biāo)變換,以引進(jìn)量子力學(xué)中的表象及表象變換的概念.x1x100假設(shè)另一個(gè)x’1x’2直角坐標(biāo)系，由原來的坐標(biāo)系順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角,其基矢為e’1e’2,滿足（1’）在此坐標(biāo)中，矢量A表示成（2’）（3）對(duì)上式分別用e’1,e’2點(diǎn)乘（4）假設(shè)另一個(gè)x’1x’2直角坐標(biāo)系，由原來的坐標(biāo)系順時(shí)針旋轉(zhuǎn)101寫成矩陣的形式（5）R（θ）稱為變換矩陣元，是兩個(gè)坐標(biāo)系基矢之間的標(biāo)積。當(dāng)R確定后，任何兩個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系也就確定了。其轉(zhuǎn)置矩陣表示為（6）x1x2x’1x’2A1A’1A2A’2Ae1e2e’1e’2θθO寫成矩陣的形式（5）R（θ）稱為變換矩陣元，是兩個(gè)坐標(biāo)系基矢102變換矩陣R與其轉(zhuǎn)置矩陣之間的關(guān)系為因?yàn)镽＊=R，（7）變換矩陣R與其轉(zhuǎn)置矩陣之間的關(guān)系為因?yàn)镽＊=R，（7）103

一個(gè)粒子的態(tài)完全可由歸一化的波函數(shù)ψ(r,t)來描述，將ψ(r,t)稱為坐標(biāo)表象。下面將討論用動(dòng)量為變量描述波函數(shù)。將ψ(r,t)還可表示成在整個(gè)動(dòng)量空間積分。c(p,t)為展開系數(shù)，ψp(r)是動(dòng)量的本征函數(shù)。（11）（12）

一個(gè)粒子的態(tài)完全可由歸一化的波函數(shù)ψ(r,104顯然，c(p,t)描述的粒子態(tài)與ψ(r,t)描述的粒子態(tài)同樣完整。已知c(p,t)，就可以求出ψ(r,t)，反之也一樣。即c(p,t)和ψ(r,t)描述的是粒子態(tài)同一個(gè)狀態(tài)。因此，將c(p,t)稱為粒子態(tài)的動(dòng)量表象。

如果已知ψ(r,t)就可以通過上式得到c(p,t)，反過來也成立。（13）（14）顯然，c(p,t)描述的粒子態(tài)與ψ(r,t)描述的粒子態(tài)同105那么在動(dòng)量表象中，坐標(biāo)的平均值可以表示為其它觀測(cè)量的平均值類似可表示出。那么在動(dòng)量表象中，坐標(biāo)的平均值可以表示為其它觀測(cè)量的平均值類106如果ψ(x,t)描述的狀態(tài)是動(dòng)量p’的自由粒子的狀態(tài)在動(dòng)量表象中，具有確定動(dòng)量p’

的粒子波函數(shù)是函數(shù)。如果ψ(x,t)描述的狀態(tài)是動(dòng)量p’的自由粒子的狀態(tài)在動(dòng)量表107例題：一維粒子運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)是解：由于波函數(shù)為歸一化，首先要對(duì)波函數(shù)進(jìn)行歸一化求1）粒子動(dòng)量的幾率分布；2）粒子的平均動(dòng)量例題：一維粒子運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)是解：由于波函數(shù)為歸一化，首先要對(duì)波108解釋:如果a作用于波函數(shù),則湮滅(annihilate)了一個(gè)聲子,因而稱為a湮滅算符;a+作用于函數(shù),則產(chǎn)生一個(gè)聲子,a+產(chǎn)生算符.當(dāng)Fmn=1,稱為單位矩陣（unitmatrix）,表示為I＝(δmn).有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零如果是勢(shì)能為球?qū)ΨQ勢(shì)阱。稱為聲子數(shù)算符(phononnumberoperator),S與S+的積等于單位矩陣。當(dāng)R確定后，任何兩個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系也就確定了。1量子態(tài)的不同表象，幺正變換1）幺正變換不改變算符的本征值右矢(ket)>和左矢（bra）<矩陣Fpp’是動(dòng)量空間。這是一個(gè)久期（secular）方程。坐標(biāo)x的本征態(tài)矢正交歸一的條件是，解法一：在動(dòng)量表象中，x的算符表示為：我們注意到，從得到的結(jié)果一樣，因?yàn)樗鼈兌寂cH算符對(duì)易。在經(jīng)典力學(xué)中，常用矢量的形式討論問題，并不指明坐標(biāo)系。解釋:如果a作用于波函數(shù),則湮滅(annihilate109動(dòng)量的幾率分布為動(dòng)量的平均值為動(dòng)量的幾率分布為動(dòng)量的平均值為110

考慮任意力學(xué)量Q本征值為1,

2,…,

n…,對(duì)應(yīng)的正交本征函數(shù)u1(x),u

2(x),…u

n(x)

…,則任意波函數(shù)（x）按Q的本征函數(shù)展開為下標(biāo)n表示能級(jí)，上式兩邊同乘以u(píng)*m(x),并積分粒子態(tài)完全由an完全集確定，即能量表象。（16）（17）3.能量表象考慮任意力學(xué)量Q本征值為1,2,…,111因?yàn)樗允菍?duì)應(yīng)力學(xué)量Q取不同能量本征值的幾率因?yàn)樗允菍?duì)應(yīng)力學(xué)量Q取不同能量本征值的幾率112可表示成一列矩陣的形式其共軛矩陣為一行矩陣因?yàn)椴ê瘮?shù)是歸一化的，表示成可表示成一列矩陣的形式其共軛矩陣為一行矩陣因?yàn)椴ê瘮?shù)是歸一化113例題1：一維諧振子的能量表象中不同能量本征值的波函數(shù)n=0:n=1:因?yàn)橄到y(tǒng)的波函數(shù)是正交歸一的波函數(shù)，表示為例題1：一維諧振子的能量表象中不同能量本征值的波函數(shù)n=0:1142）求一維無限深勢(shì)阱中粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量在能量表象中的矩陣元如果一個(gè)算符本身不顯含時(shí)間，即稱為聲子數(shù)算符(phononnumberoperator),算符a和a+相互共軛的.S與S+的積等于單位矩陣。因此，將c(p,t)稱為粒子態(tài)的動(dòng)量表象。矩陣Fpp’是動(dòng)量空間。2）幺正變換下，矩陣的跡（trace)不變。TheSchr?dingerRepresentation在描述一個(gè)系統(tǒng)時(shí)，這兩個(gè)表象是完全等價(jià)的。將F和a從A表象變換到B表象代入原方程，求解b1、b2若算符F的本征態(tài)矢是連續(xù)譜，右矢(ket)>和左矢（bra）<這種性質(zhì)稱為本征值n的封閉性。將有1，2….因?yàn)椴ê瘮?shù)是歸一化的，表示成設(shè)算符B的正交歸一的本征函數(shù)1(r)，2(r)，…n(r);第一項(xiàng)表示算符L的瞬時(shí)偏導(dǎo)數(shù)的平均值，第二項(xiàng)積分則利用直角坐標(biāo)系中，矢量A的方向由i,j,k三個(gè)單位矢量基矢決定，大小由Ax,Ay,Az三個(gè)分量（基矢的系數(shù)）決定。在量子力學(xué)中，選定一個(gè)F表象，將Q的本征函數(shù)u1(x),u2(x),…un(x),…看作一組基矢，有無限多個(gè)。大小由a1(t),a2(t),…an(t),…系數(shù)決定。所以，量子力學(xué)中態(tài)矢量所決定的空間是無限維的空間函數(shù)，基矢是正交歸一的波函數(shù)。數(shù)學(xué)上稱為希爾伯特（Hilbert）空間.常用的表象有坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象、能量表象和角動(dòng)量表象總結(jié)2）求一維無限深勢(shì)阱中粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量在能量表象中的矩陣元115例題2質(zhì)量為m的粒子在均勻力場(chǎng)f(x)=-F(F>0)中運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)范圍限制在x0,試在動(dòng)量表象中求解束縛態(tài)能級(jí)和本征函數(shù)。解：勢(shì)能為V（x）＝Fx，總能量為在動(dòng)量表象中，x的算符表示為例題2質(zhì)量為m的粒子在均勻力場(chǎng)f(x)=-F(F>0)中運(yùn)116定態(tài)的薛定諤方程E可由貝塞爾函數(shù)解出，基態(tài)能級(jí)為定態(tài)的薛定諤方程E可由貝塞爾函數(shù)解出，基態(tài)能級(jí)為117習(xí)題4.1求在動(dòng)量表象中角動(dòng)量Lx的矩陣元和L2x的矩陣元解：Lx在動(dòng)量表象中的矩陣元第一項(xiàng)習(xí)題4.1求在動(dòng)量表象中角動(dòng)量Lx的矩陣元和L2x的矩陣元118第二項(xiàng)也可以導(dǎo)出，則Lx的矩陣元第二項(xiàng)也可以導(dǎo)出，則Lx的矩陣元1194.2算符的矩陣表示設(shè)算符F有如下關(guān)系：在Q表象中，Q的本征值分別為Q1，Q2，Q3，…Qn…,對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)分別為u1(x),u2(x),…un(x),….將(x,t)和(x,t)分別在Q表項(xiàng)中由Q的本征函數(shù)展開代入上式，4.2算符的矩陣表示設(shè)算符F有如下關(guān)系：在Q表象中，Q的120兩邊同乘以u(píng)*n(x),并在整個(gè)空間積分利用本征函數(shù)un(x)的正交性兩邊同乘以u(píng)*n(x),并在整個(gè)空間積分利用本征函數(shù)un(121引進(jìn)記號(hào)這就是在Q表項(xiàng)中的表述方式。表示成矩陣的形式：引進(jìn)記號(hào)這就是在Q表項(xiàng)中的表述方式。表示成矩陣的形式：122用TrF表示，定義為矩陣的對(duì)角單元之和。TheSchr?dingerRepresentation若算符F的本征組態(tài)矢是正交歸一的，本征值分別為Fi,Fj,…坐標(biāo)x的本征態(tài)矢正交歸一的條件是，數(shù)學(xué)上稱為希爾伯特（Hilbert）空間.這就是Ehrenfest’stheorem例題：求算符x在下面波函數(shù)中的本征值,[-a,a]區(qū)間例題：軌道角動(dòng)量l=rp，證明在lz的任何一個(gè)本征態(tài)下，lx和ly的平均值為零從一個(gè)表象轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€(gè)表象由時(shí)間相關(guān)的幺正矩陣實(shí)現(xiàn)。與勢(shì)能V(r)對(duì)易。若算符F的本征態(tài)矢是連續(xù)譜，TheEigenvalueProblem那么在動(dòng)量表象中，坐標(biāo)的平均值可以表示為第五章量子力學(xué)的表象變換與矩陣形式例題：軌道角動(dòng)量l=rp，證明在lz的任何一個(gè)本征態(tài)下，lx和ly的平均值為零矩陣F＝（Fmnδmn）稱為對(duì)角矩陣（diagonalmatrix）,時(shí)間導(dǎo)數(shù)用TrF表示，定義為矩陣的對(duì)角單元之和。例題：一維粒子運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)是兩個(gè)矩陣的和為兩個(gè)矩陣的分量之和。我們知道諧振子的能量是等間隔的,ψn所具有的能量大于n?ω,將該能量分成n份，一份稱為聲子(phonons),那么將ψn稱為n聲子態(tài)(n-phononstate),（23）矩陣Fnm的共軛矩陣表示為因?yàn)榱孔恿W(xué)中的算符都是厄米算符，即將滿足該式的矩陣稱為厄米矩陣用TrF表示，定義為矩陣的對(duì)角單元之和。（23）矩陣Fnm的123若在轉(zhuǎn)置矩陣中，每個(gè)矩陣元素用它的共軛復(fù)數(shù)來代替，得到的新矩陣稱為F的共軛矩陣Fnm的轉(zhuǎn)置矩陣為根據(jù)厄米矩陣的定義所以例如例如若在轉(zhuǎn)置矩陣中，每個(gè)矩陣元素用它的共軛復(fù)數(shù)來124例題（習(xí)題4.2）求一維無限深勢(shì)阱中粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量在能量表象中的矩陣元能量表象例題（習(xí)題4.2）求一維無限深勢(shì)阱中粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量在能量125第五章量子力學(xué)的矩陣形式和表象變換培訓(xùn)課件126Q在自身表象中的矩陣元Qm為Q在自身空間中的的本征值如X在坐標(biāo)空間中可表示為動(dòng)量p在動(dòng)量空間中表示為結(jié)論：算符在自身的表象中是一個(gè)對(duì)角矩陣Q在自身表象中的矩陣元Qm為Q在自身空間中的的本征值如X在坐127一維無限深勢(shì)阱能量表象中能量的矩陣元一維諧振子能量表象中能量的矩陣元一維無限深勢(shì)阱能量表象中能量的矩陣元一維諧振子能量表象中能量128

兩個(gè)矩陣的和為兩個(gè)矩陣的分量之和。設(shè)C為兩矩陣之和

Cmn=Amn＋Bmn（42）兩矩陣之積矩陣Fpp’是動(dòng)量空間。矩陣F＝（Fmnδmn）稱為對(duì)角矩陣（diagonalmatrix）,當(dāng)Fmn=1,稱為單位矩陣（unitmatrix）,表示為I＝(δmn).在動(dòng)量空間中，算符F的矩陣元兩個(gè)矩陣的和為兩個(gè)矩陣的分量之和。設(shè)C為兩矩陣之和兩矩陣1294.3量子力學(xué)公式的矩陣表述1.平均值公式4.3量子力學(xué)公式的矩陣表述1.平均值公式130寫成矩陣形式（51）簡寫為寫成矩陣形式（51）簡寫為131例題求一維無限深勢(shì)阱中，當(dāng)n=1和n=2時(shí)粒子坐標(biāo)的平均值解：例題求一維無限深勢(shì)阱中，當(dāng)n=1和n=2時(shí)粒子坐標(biāo)的平均1322.TheEigenvalueProblem

在量子力學(xué)中最重要的問題是找算符的本征值和本征函數(shù)。首先，算符F的本征函數(shù)滿足（54）（55）2.TheEigenvalueProblem133有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零（60）這是一個(gè)線性齊次代數(shù)方程組這是一個(gè)久期（secular）方程。將有1，2….n

n個(gè)解,就是F的本征值。有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零（60）這是一個(gè)線性齊次代數(shù)134例題：求算符x在下面波函數(shù)中的本征值,[-a,a]區(qū)間解：則例題：求算符x在下面波函數(shù)中的本征值,[-a,a]區(qū)間解135該行列式有解的條件是其系數(shù)行列式為零兩個(gè)本征值分別為該行列式有解的條件是其系數(shù)行列式為零兩個(gè)本征值分別為1363.矩陣形式的薛定諤方程TheSchr?dingerEquationinMatrixForm薛定諤方程（77）不顯含時(shí)間的波函數(shù)的能量表象（78）波函數(shù)根據(jù)哈密頓本征函數(shù)展開（79）代入薛定諤方程（80）3.矩陣形式的薛定諤方程薛定諤方程（77）不顯含時(shí)間的波函數(shù)137兩邊同乘以并積分（81）（82）簡寫為H，均為矩陣元。兩邊同乘以并積分（81）（82）簡寫為H，均為矩陣元。138例題：求在動(dòng)量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)線性諧振子的總能量為解法一：在動(dòng)量表象中，x的算符表示為：則H算符表示為定態(tài)的薛定諤方程寫為例題：求在動(dòng)量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)線性諧振子的總139c（p）是動(dòng)量表象中的本征函數(shù)仿照一維諧振子坐標(biāo)空間的求解方法可解出c(p)。解法二c（p）是動(dòng)量表象中的本征函數(shù)仿照一維諧振子坐標(biāo)空間的求解方140當(dāng)n＝0時(shí)，當(dāng)n＝0時(shí)，141討論從一個(gè)表象變換到另一個(gè)表象的一般情況。設(shè)算符A的正交歸一的本征函數(shù)ψ1(r)，ψ2(r)，…ψn(r);設(shè)算符B的正交歸一的本征函數(shù)1(r)，

2(r)，…

n(r);（64）（66）1.UnitaryTransformation（幺正變換）（65）算符F在A表象中（67）算符F在B表象中討論從一個(gè)表象變換到另一個(gè)表象的一般情況。（64）（66）1142c(p,t)為展開系數(shù)，ψp(r)是動(dòng)量的本征函數(shù)。例題：軌道角動(dòng)量l=rp，證明在lz的任何一個(gè)本征態(tài)下，lx和ly的平均值為零1量子態(tài)的不同表象，幺正變換顯然，c(p,t)描述的粒子態(tài)與ψ(r,t)描述的粒子態(tài)同樣完整。1）幺正變換不改變算符的本征值結(jié)論：平均值隨時(shí)間的變化就等于的平均值。解釋:如果a作用于波函數(shù),則湮滅(annihilate)了一個(gè)聲子,因而稱為a湮滅算符;a+作用于函數(shù),則產(chǎn)生一個(gè)聲子,a+產(chǎn)生算符.常用的表象有坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象、能量表象和角動(dòng)量表象稱為聲子數(shù)算符(phononnumberoperator),用TrF表示，定義為矩陣的對(duì)角單元之和。用TrF表示，定義為矩陣的對(duì)角單元之和。第一項(xiàng)表示算符L的瞬時(shí)偏導(dǎo)數(shù)的平均值，第二項(xiàng)積分則利用稱為投影算符或單位算符例題：軌道角動(dòng)量l=rp，證明在lz的任何一個(gè)本征態(tài)下，lx和ly的平均值為零與勢(shì)能V(r)對(duì)易。直角坐標(biāo)系中，矢量A的方向由i,j,k三個(gè)單位矢量基矢決定，大小由Ax,Ay,Az三個(gè)分量（基矢的系數(shù)）決定。那么在動(dòng)量表象中，坐標(biāo)的平均值可以表示為兩個(gè)矩陣的和為兩個(gè)矩陣的分量之和。求1）粒子動(dòng)量的幾率分布；計(jì)算［a,a+］,［a,a+a］,［a+,a+a］確定Fmn與F之間聯(lián)系的轉(zhuǎn)換矩陣。將算符B的本征函數(shù)(x)用算符A的本征函數(shù)n(x)展開。兩邊同乘以并積分得（69）（68）同理c(p,t)為展開系數(shù)，ψp(r)是動(dòng)量的本征函數(shù)。確定143（70）（71）應(yīng)用厄密共軛矩陣性質(zhì)（70）（71）應(yīng)用厄密共軛矩陣性質(zhì)144得到算符在兩個(gè)表象中的變換矩陣簡寫為這就是力學(xué)量F從A表象變換到B表象的變換公式。（72）得到算符在兩個(gè)表象中的變換矩陣簡寫為這就是力學(xué)量F從A表象變145因?yàn)棣缀挺斩际钦粴w一的波函數(shù)，（68）因?yàn)棣缀挺斩际钦粴w一的波函數(shù)，（68）146S與S+的積等于單位矩陣。即SS+＝I,S+＝S-1（74）

將滿足上式的矩陣稱為幺正矩陣,由幺正矩陣表示的變換稱為幺正變換.物理意義:在不同的表象中幾率是守恒的。如果一個(gè)粒子在態(tài)φn中的幾率為1，在態(tài)ψn中的幾率為Sμn2,那么,Sμ12,Sμ22,…,Sμn2,…給出粒子在態(tài)ψn中出現(xiàn)的幾率分布。下面的式子必定成立。（75）S與S+的積等于單位矩陣。即SS+＝I,S+＝S-1（74147例題：求轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣R(）的特征值、特征矢量和幺正變換矩陣.解：設(shè)在A表象中B表象中特征矢為本征值為代入原方程，求解b1、b2

例題：求轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣R(）的特征值、特征矢量和幺正變換矩陣148當(dāng)＝＝變換矩陣當(dāng)＝＝變換矩陣149下面討論態(tài)矢量u(x,t)從A表象變換到B表象的公式b=S+a下面討論態(tài)矢量u(x,t)從A表象變換到B表象的公式b=S150總結(jié)：幺正變換的性質(zhì)1）幺正變換不改變算符的本征值設(shè)算符F在A表項(xiàng)中的本征值方程為a為態(tài)矢將F和a從A表象變換到B表象在B表象中因?yàn)閎=S+a＝S－1a總結(jié)：幺正變換的性質(zhì)1）幺正變換不改變算符的本征值設(shè)算符F在1512）幺正變換下，矩陣的跡（trace)不變。用TrF表示，定義為矩陣的對(duì)角單元之和。那么TrFA=TrFB,矩陣的積不依賴于特別的表象。2）幺正變換下，矩陣的跡（trace)不變。用TrF表示1525.4狄喇克符號(hào)在經(jīng)典力學(xué)中，體系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與所選取的坐標(biāo)是無關(guān)的，坐標(biāo)是為了處理問題方便才引進(jìn)的。同樣，在量子力學(xué)中，粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與選取的表象無關(guān)，表象的選取是為了處理問題方便。在經(jīng)典力學(xué)中，常用矢量的形式討論問題，并不指明坐標(biāo)系。同樣，量子力學(xué)中描述態(tài)和力學(xué)量，也可以不用坐標(biāo)系。這樣一套符號(hào)稱為狄喇克符號(hào)。5.4狄喇克符號(hào)在經(jīng)典力學(xué)中，體系的運(yùn)動(dòng)規(guī)1531.右矢

(ket)>和左矢（bra）<左矢<表示右矢的共軛，例如ψ

＊，表示為<ψ，是ψ>的共軛態(tài)矢。<x′是x′>的共軛態(tài)矢。

量子體系的一切可能的態(tài)構(gòu)成一個(gè)Hilbert空間，Hilbert是一個(gè)以復(fù)量為基的一個(gè)有限的或無限的、完全的矢量空間。<ψ

φ>＊＝<φ

ψ>2.標(biāo)積在Hilbert空間中。一個(gè)標(biāo)積(scalarproduct)定義為一對(duì)函數(shù)ψ和φ的乘積。標(biāo)積記為<ψφ>

一個(gè)量子態(tài)用右矢>來表示。例如用

ψ>表示波函數(shù)ψ描述的狀態(tài)。1.右矢(ket)>和左矢（bra）<左矢<表154標(biāo)積運(yùn)算規(guī)則：若<ψφ>＝0，則稱<ψ與φ>正交。若<ψψ>＝1，則稱ψ>為歸一化態(tài)矢。表示態(tài)矢是正交歸一的完備系標(biāo)積運(yùn)算規(guī)則：若<ψφ>＝0，則稱<ψ與φ>正交。表155同樣，量子力學(xué)中描述態(tài)和力學(xué)量，也可以不用坐標(biāo)系。將滿足上式的矩陣稱為幺正矩陣,由幺正矩陣表示的變換稱為幺正變換.稱為投影算符或單位算符得到算符在兩個(gè)表象中的變換矩陣有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零c(p,t)為展開系數(shù)，ψp(r)是動(dòng)量的本征函數(shù)。這種性質(zhì)稱為本征值n的封閉性。解法一：在動(dòng)量表象中，x的算符表示為：稱為算符F在Q表象中的矩陣元考慮坐標(biāo)、動(dòng)量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)都不顯含時(shí)間，則下式成立S與S+的積等于單位矩陣。它們有同樣的表觀值、同樣的譜。一個(gè)粒子的態(tài)完全可由歸一化的波函數(shù)ψ(r,t)來描述，將ψ(r,t)稱為坐標(biāo)表象。PropertiesoftheOperatorsaanda+R（θ）稱為變換矩陣元，是兩個(gè)坐標(biāo)系基矢之間的標(biāo)積。1求在動(dòng)量表象中角動(dòng)量Lx的矩陣元和L2x的矩陣元這樣一套符號(hào)稱為狄喇克符號(hào)。在描述一個(gè)系統(tǒng)時(shí)，這兩個(gè)表象是完全等價(jià)的。若算符F的本征態(tài)矢是連續(xù)譜，1）幺正變換不改變算符的本征值常用的表象有坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象、能量表象和角動(dòng)量表象例題：軌道角動(dòng)量l=rp，證明在lz的任何一個(gè)本征態(tài)下，lx和ly的平均值為零證明：設(shè)m為lz=的本征態(tài)，屬于本征值狀態(tài)為m因?yàn)閷?duì)易關(guān)系同樣，量子力學(xué)中描述態(tài)和力學(xué)量，也可以不用坐標(biāo)系。例題：軌道156類似地，利用對(duì)易關(guān)系可以證明類似地，利用對(duì)易關(guān)系可以證明157|A>在Q表象中的分量為a1(t),a2(t),..,<B|在Q表象中的分量為b1(t)＊,b2(t)＊,..,顯然，若算符F的本征組態(tài)矢是正交歸一的，本征值分別為Fi,Fj,…若算符F的本征態(tài)矢是連續(xù)譜，2.態(tài)矢在具體表象中的狄喇克表示方法|A>在Q表象中的分量為a1(t),a2(t),..,顯然158坐標(biāo)x的本征態(tài)矢正交歸一的條件是，動(dòng)量p的本征態(tài)矢正交歸一的條件是，波函數(shù)的歸一化性表示為因?yàn)椴ê瘮?shù)（x,t）可以用一組基矢展開坐標(biāo)x的本征態(tài)矢正交歸一的條件是，動(dòng)量p的本征態(tài)矢正交歸一的159因?yàn)檫@種性質(zhì)稱為本征值n的封閉性。用狄喇克形式表示為展開系數(shù)為因?yàn)檫@種性質(zhì)稱為本征值n的封閉性。用狄喇克形式表示為展開系數(shù)160將代入上式，得稱為投影算符或單位算符在連續(xù)譜的情況下，求和應(yīng)換為積分將代入上式，得稱為投影算符或單位算符在連續(xù)譜的情況下，求和應(yīng)161例題：兩個(gè)態(tài)矢|A>和|B>在同一個(gè)表象Q中的標(biāo)記例題：兩個(gè)態(tài)矢|A>和|B>在同一個(gè)表象Q中的標(biāo)記1623.算符在具體表象中的狄喇克表示方法設(shè)算符F存在如下關(guān)系將態(tài)矢A、B分別在Q表象中展開用|m>左乘上式，再利用正交性3.算符在具體表象中的狄喇克表示方法設(shè)算符F存在如下關(guān)系將163則稱為算符F在Q表象中的矩陣元?jiǎng)t稱為算符F在Q表象中的矩陣元164例題薛定諤方程表示為兩邊左乘以<k|,例題薛定諤方程表示為兩邊左乘以<k|,165例題：對(duì)于（l2,lz）的共同本征態(tài)Ylm(,),計(jì)算lx2ly2的平均值，對(duì)易關(guān)系解：例題：對(duì)于（l2,lz）的共同本征態(tài)Ylm(,),計(jì)算166例題：一維粒子運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)是3LawsofConservationR（θ）稱為變換矩陣元，是兩個(gè)坐標(biāo)系基矢之間的標(biāo)積。用TrF表示，定義為矩陣的對(duì)角單元之和。例題2質(zhì)量為m的粒子在均勻力場(chǎng)f(x)=-F(F>0)中運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)范圍限制在x0,試在動(dòng)量表象中求解束縛態(tài)能級(jí)和本征函數(shù)。算符a和a+相互共軛的.而力學(xué)量算符則不隨時(shí)間變化，因而應(yīng)用算符來描述不顯含時(shí)間的物理量，我們將這種描述方式稱為薛定諤表象或薛定諤圖像。諧振子波場(chǎng)中的量子正是聲子.兩個(gè)矩陣的和為兩個(gè)矩陣的分量之和。常用的表象有坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象、能量表象和角動(dòng)量表象將滿足上式的矩陣稱為幺正矩陣,由幺正矩陣表示的變換稱為幺正變換.1量子態(tài)的不同表象，幺正變換一個(gè)量子態(tài)用右矢>來表示。稱為聲子數(shù)算符(phononnumberoperator),算符a和a+相互共軛的.c（p）是動(dòng)量表象中的本征函數(shù)那么在動(dòng)量表象中，坐標(biāo)的平均值可以表示為解：Lx在動(dòng)量表象中的矩陣元?jiǎng)恿縫在動(dòng)量空間中表示為由于例題：一維粒子運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)是由于167例題設(shè)算符F和G為任意算符，且證明，對(duì)于F的本征態(tài)，證明設(shè)為F的本征態(tài)，本征值為，則有兩邊取復(fù)共軛例題設(shè)算符F和G為任意算符，且證明，對(duì)于F的本征態(tài)，證明設(shè)1685.5諧振子的升降算符一維諧振子的歸一化本征函數(shù)為（43）（44）H多項(xiàng)式有如下關(guān)系存在5.5諧振子的升降算符一維諧振子的歸一化本征函數(shù)為（43）169（46）（45）（47）得到減去（44）式（44）（44）與（47）式相加減，得（46）（45）（47）得到減去（44）式（44）（44）與170（48）做如下替代（49）(48)式變?yōu)椋?0）將a稱為降冪算符(loweringoperator),將a+稱為升冪算符.（48）做如下替代（49）(48)式變?yōu)椋?0）將a稱為降冪171由于本征值n是諧振子波函數(shù)的指數(shù)因子,因而我們定義一個(gè)數(shù)算符N(numberoperator)（52）的本征值是n,本征函數(shù)是ψn,

（51）由于本征值n是諧振子波函數(shù)的指數(shù)因子,因而我們定義一個(gè)數(shù)算符1722.PropertiesoftheOperatorsaanda+算符a和a+相互共軛的.（51）

a和a+是實(shí)數(shù),存在a=a*,a+=(a+)*（52）（53）用狄喇克算符表示為（54）2.PropertiesoftheOperators173通過進(jìn)行a

+ψn運(yùn)算,我們可以計(jì)算從基態(tài)開始的所有本征函數(shù)（56）對(duì)n＝0,（57）通過進(jìn)行a+ψn運(yùn)算,我們可以計(jì)算從基態(tài)開始的所有本征函數(shù)174兩式相加、減兩式相加、減175第五章量子力學(xué)的矩陣形式和表象變換培訓(xùn)課件176第五章量子力學(xué)的矩陣