平面圖形的面積課件

第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用平面圖形的面積體積平面曲線的弧長(zhǎng)小結(jié)、作業(yè)1/31第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用平面圖形的面積1/311直角坐標(biāo)情形一、平面圖形的面積A用元素法建立曲邊梯形面積A的計(jì)算公式：2/31直角坐標(biāo)情形一、平面圖形的面積A用元素法建立曲邊梯形面積A的2妨此可得（圖1）的面積：Ayx=f(y)（圖2）的面積：（圖1）（圖2）3/31妨此可得（圖1）的面積：Ayx=f(y)（圖2）的面積：（圖3（圖3）的面積：xy=f(x)（圖3）4/31（圖3）的面積：xy=f(x)（圖3）4/314解先求兩曲線的交點(diǎn)。5/31解先求兩曲線的交點(diǎn)。5/315另解選為積分變量6/31另解選為積分變量6/316解設(shè)橢圓方程為由對(duì)稱性知，總面積等于第一象限部分面積的4倍．以x為積分變量，得7/31解設(shè)橢圓方程為由對(duì)稱性知，總面積等于第一象限部分面積的4倍．7設(shè)曲邊梯形的曲邊參數(shù)方程為其面積的計(jì)算公式可由直角坐標(biāo)下曲邊梯形的面積公式經(jīng)過(guò)定積分的換元法得到：2.參數(shù)方程情形8/31設(shè)曲邊梯形的曲邊參數(shù)方程為其面積的計(jì)算公式可由直角坐標(biāo)下曲邊8橢圓的面積9/31橢圓的面積9/319曲邊扇形面積元素曲邊扇形的面積公式3.極坐標(biāo)方程的情形10/31曲邊扇形面積元素曲邊扇形的面積公式3.極坐標(biāo)方程的情形1010解由對(duì)稱性知，總面積=第一象限部分面積的4倍。11/31解由對(duì)稱性知，總面積=第一象限部分面積的4倍。11/3111解利用對(duì)稱性知，所求面積為上半部的兩倍，12/31解利用對(duì)稱性知，所求面積為上半部的兩倍，12/3112

旋轉(zhuǎn)體——由一個(gè)平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積13/31旋轉(zhuǎn)體——由一個(gè)平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而13xyo旋轉(zhuǎn)體的體積公式14/31xyo旋轉(zhuǎn)體的體積公式14/311415/3115/3115解16/31解16/3116另解17/31另解17/3117解18/31解18/3118另解19/31另解19/3119注解20/31注解20/312021/3121/31212.平行截面面積為已知的立體的體積如果知道了一個(gè)立體垂直于某個(gè)定軸（記為x軸）的各個(gè)截面面積A(x)，那么，這個(gè)立體的體積元素為立體體積22/312.平行截面面積為已知的立體的體積如果知道22解取坐標(biāo)系如圖所示。垂直于x軸的截面的面積為所求立體體積23/31解取坐標(biāo)系如圖所示。垂直于x軸的截面的面積為所求立體體積2323另解以垂直于y軸的平面切割立體，得截面面積為立體體積24/31另解以垂直于y軸的平面切割立體，24三、平面曲線的弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)元素（弧微分）基本公式弧長(zhǎng)25/31三、平面曲線的弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)元素（弧微分）基本公式弧長(zhǎng)25/3125弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)26/31弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)26/3126解星形線在第一象限部分的方程為根據(jù)對(duì)稱性第一象限部分的弧長(zhǎng)27/31解星形線在第一象限部分的方程為根據(jù)對(duì)稱性第一象限部分的弧長(zhǎng)227另解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對(duì)稱性第一象限部分的弧長(zhǎng)28/31另解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對(duì)稱性第一象限部分的弧長(zhǎng)28/3128解29/31解29/31291、直角坐標(biāo)方程給出的平面圖形的面積一般以直角坐標(biāo)為積分變量；四、小結(jié)2、參數(shù)方程給出的平面圖形的面積可由直角坐標(biāo)面積計(jì)算公式經(jīng)積分變量替換得到；3、極坐標(biāo)方程給出的平面圖形的面積一般以由極坐標(biāo)為積分變量；4、曲邊梯形的面積的計(jì)算一般以由直角坐標(biāo)為積分變量；曲邊扇形的面積的計(jì)算一般以由極坐標(biāo)為積分變量。30/311、直角坐標(biāo)方程給出的平面圖形的面積一般以直角坐標(biāo)為積分變量30作業(yè)習(xí)題6-22-(1)68-(1)91215-(4)1819212529作業(yè)習(xí)題6-2315、旋轉(zhuǎn)體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)一周；繞軸旋轉(zhuǎn)一周；（繞非坐標(biāo)軸直線旋轉(zhuǎn)一周）.6、平行截面面積為已知的立體的體積。參數(shù)方程；極坐標(biāo)方程。8、求弧長(zhǎng)的公式直角坐標(biāo)方程；7、平面曲線弧長(zhǎng)元素（弧微分）的基本公式；31/315、旋轉(zhuǎn)體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)一周；繞軸旋轉(zhuǎn)一周；（繞32第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用平面圖形的面積體積平面曲線的弧長(zhǎng)小結(jié)、作業(yè)1/31第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用平面圖形的面積1/3133直角坐標(biāo)情形一、平面圖形的面積A用元素法建立曲邊梯形面積A的計(jì)算公式：2/31直角坐標(biāo)情形一、平面圖形的面積A用元素法建立曲邊梯形面積A的34妨此可得（圖1）的面積：Ayx=f(y)（圖2）的面積：（圖1）（圖2）3/31妨此可得（圖1）的面積：Ayx=f(y)（圖2）的面積：（圖35（圖3）的面積：xy=f(x)（圖3）4/31（圖3）的面積：xy=f(x)（圖3）4/3136解先求兩曲線的交點(diǎn)。5/31解先求兩曲線的交點(diǎn)。5/3137另解選為積分變量6/31另解選為積分變量6/3138解設(shè)橢圓方程為由對(duì)稱性知，總面積等于第一象限部分面積的4倍．以x為積分變量，得7/31解設(shè)橢圓方程為由對(duì)稱性知，總面積等于第一象限部分面積的4倍．39設(shè)曲邊梯形的曲邊參數(shù)方程為其面積的計(jì)算公式可由直角坐標(biāo)下曲邊梯形的面積公式經(jīng)過(guò)定積分的換元法得到：2.參數(shù)方程情形8/31設(shè)曲邊梯形的曲邊參數(shù)方程為其面積的計(jì)算公式可由直角坐標(biāo)下曲邊40橢圓的面積9/31橢圓的面積9/3141曲邊扇形面積元素曲邊扇形的面積公式3.極坐標(biāo)方程的情形10/31曲邊扇形面積元素曲邊扇形的面積公式3.極坐標(biāo)方程的情形1042解由對(duì)稱性知，總面積=第一象限部分面積的4倍。11/31解由對(duì)稱性知，總面積=第一象限部分面積的4倍。11/3143解利用對(duì)稱性知，所求面積為上半部的兩倍，12/31解利用對(duì)稱性知，所求面積為上半部的兩倍，12/3144

旋轉(zhuǎn)體——由一個(gè)平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積13/31旋轉(zhuǎn)體——由一個(gè)平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而45xyo旋轉(zhuǎn)體的體積公式14/31xyo旋轉(zhuǎn)體的體積公式14/314615/3115/3147解16/31解16/3148另解17/31另解17/3149解18/31解18/3150另解19/31另解19/3151注解20/31注解20/315221/3121/31532.平行截面面積為已知的立體的體積如果知道了一個(gè)立體垂直于某個(gè)定軸（記為x軸）的各個(gè)截面面積A(x)，那么，這個(gè)立體的體積元素為立體體積22/312.平行截面面積為已知的立體的體積如果知道54解取坐標(biāo)系如圖所示。垂直于x軸的截面的面積為所求立體體積23/31解取坐標(biāo)系如圖所示。垂直于x軸的截面的面積為所求立體體積2355另解以垂直于y軸的平面切割立體，得截面面積為立體體積24/31另解以垂直于y軸的平面切割立體，56三、平面曲線的弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)元素（弧微分）基本公式弧長(zhǎng)25/31三、平面曲線的弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)元素（弧微分）基本公式弧長(zhǎng)25/3157弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)26/31弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)26/3158解星形線在第一象限部分的方程為根據(jù)對(duì)稱性第一象限部分的弧長(zhǎng)27/31解星形線在第一象限部分的方程為根據(jù)對(duì)稱性第一象限部分的弧長(zhǎng)259另解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對(duì)稱性第一象限部分的弧長(zhǎng)28/31另解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對(duì)稱性第一象限部分的弧長(zhǎng)28/3160解29/31解29/31611、直角坐標(biāo)方程給出的平面圖形的面積一般以直角坐標(biāo)為積分變量；四、小結(jié)2、參數(shù)方程給出的平面圖形的面積可由直角坐標(biāo)面積計(jì)算公式經(jīng)積分變量替換得到；3、極坐標(biāo)方程給出的平面圖形的面積一般以由極坐標(biāo)為積分變量；4、曲邊梯形的面積的計(jì)算一般以由直角坐標(biāo)為積分變量；曲邊扇形的面積的計(jì)算一般以由極坐標(biāo)為積分變量。30/311、直角坐標(biāo)方程給出的平面圖形的面積一般以直角坐標(biāo)為積分變量62作業(yè)習(xí)題6-22-(1)68-(1)91215-(4)18