課表編排問題-數(shù)學(xué)建模

課表編排問題-數(shù)學(xué)建模課表編排問題-數(shù)學(xué)建模課表編排問題-數(shù)學(xué)建模資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月課表編排問題-數(shù)學(xué)建模版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：魅力數(shù)模美麗力建力建學(xué)院第六屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽自信堅(jiān)強(qiáng)團(tuán)結(jié)創(chuàng)新論文題目課表編排0-1規(guī)劃模型參賽編號(hào)2008tj0804監(jiān)制：力建學(xué)院團(tuán)委數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)（2010年11月）力建學(xué)院第六屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了第六屆建工數(shù)學(xué)建模竟賽的競(jìng)賽規(guī)則。我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與本隊(duì)以外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們?cè)敢獬袚?dān)由此引起的一切后果。 我們的參賽編號(hào)為：2008tj0804參賽隊(duì)員(簽名)： 隊(duì)員1：葉慶隊(duì)員2：靳小龍隊(duì)員3：胡傳鵬課表編排問題第一部分摘要：本文根據(jù)制定課表時(shí)需考慮的問題,建立了沖突最少的0-1規(guī)劃模型；求解得課表，并根據(jù)所得結(jié)果對(duì)教師聘用,教室的配置,來做出合理的建議。考慮目標(biāo)函數(shù)時(shí)，分析課表編排要符合的條件為：課程要求、教師課程編排盡量分散、同課程編排盡量分散、教師超出工作量盡量少。則我們目標(biāo)函數(shù)沖突最少分解為：各門課程各自不符合程度總和最少、各教師各自課程編排分散程度總和最大、各門課程編排分散程度總和最大、各教師超出工作量程度總和最少?？紤]約束條件時(shí)，分析附錄中的相關(guān)數(shù)據(jù),得到課程編排的影響因素有,時(shí)間,教室,課程等，則可以根據(jù)此來約束目標(biāo)函數(shù)。根據(jù)以上考慮因素建立系統(tǒng)遞階圖,使目標(biāo)更清晰。建立空間向量，已知數(shù)據(jù)與空間向量一一對(duì)應(yīng)。根據(jù)課程要求與實(shí)際編排差距最少原理，建立目標(biāo)函數(shù)。加上課表編的約束條件,進(jìn)行優(yōu)化,用Matlab求解課表.再根據(jù)求解得課表與相關(guān)系數(shù)指標(biāo)為教師聘用,教室的配置,來做出合理建議.關(guān)鍵詞：課表編排系統(tǒng)遞階圖空間向量第二部分一、問題重述某高校現(xiàn)有課程40門，編號(hào)為C01～C40；教師共有25名，編號(hào)為T01～T25；教室18間，編號(hào)為R01～R18。具體屬性及要求見表1，表2，表3：課表編排規(guī)則：每周以5天為單位進(jìn)行編排；每天最多只能編排8節(jié)課，上午4節(jié)，下午4節(jié)，特殊情況下可以編排10節(jié)課，每門課程以2節(jié)課為單位進(jìn)行編排，同類課程盡可能不安排在同一時(shí)間。你所要解決的問題：請(qǐng)你結(jié)合實(shí)際情況給出較為合理的課表編排方案，分析你所給出的方案的合理性。對(duì)教師聘用，教室配置給出合理化建議。二、問題的分析問題分析為先建立合理的課表編排方案，再從課表編排方案中分析對(duì)教師聘用，教室配置給出合理化建議。針對(duì)問題一：1、該問題要求給出合理的課表編排方案，分析如下：（1）、總體上盡量使每門課程符合要求，即求各門課程各自不符合程度總和最低；（2）、總體上使同一老師的課程盡量分散，即求其總各教師各自課程編排分散程度總和最大；（3）、總體上使每門課程的編排盡量分散，即求各門課程編排分散程度總和表達(dá)式最大；（4）、總體上使同一老師相對(duì)超出的工作量盡量少，各教師超出工作量程度總和最少。2、針對(duì)編排方案約束條件如下：（1）、同一時(shí)間段同一教室不能同時(shí)上兩門或兩門以上的課程；（2）、在任一教室上課的人數(shù)不能超過最大座位數(shù)；（3）、同一時(shí)間段同一教室不能同時(shí)上兩門或兩門以上的課程；（4）、在安排課程與老師授課類別要符合課程類別，不要造成混亂；利用層次分析法，求出表示不同程度的權(quán)重表達(dá)式，把以上各點(diǎn)要達(dá)到的目標(biāo)整合成為單目標(biāo)的總目標(biāo)0-1規(guī)劃問題。針對(duì)問題二：1、根據(jù)教師聘用則要求分析出哪一類課程需要的教師越少，則越要聘用教那一類課程的教師。各類教師少的程度可用各類教師補(bǔ)課程度系數(shù)（各類教師周最大課時(shí)數(shù)之和與各教師實(shí)際課時(shí)數(shù)之和的比值）來作分析參考，系數(shù)越大則該類教師越少，應(yīng)盡量聘用能勝任該類課程的教師。2、針對(duì)教室配置給出合理化則要求分析出：（1）對(duì)各類教室配置座位數(shù)量應(yīng)為多少才合理；（2）各教室類別（機(jī)房，多媒體教室，通教室）數(shù)量的應(yīng)為多少才合理；則可以從應(yīng)配置座位系數(shù)（數(shù)量與實(shí)際座位數(shù)量之差，再比上實(shí)際座位數(shù)量）和配置類別系數(shù)（課程要求與實(shí)際類別數(shù)量之差，再比上實(shí)際類別數(shù)量）分析可得：座位系數(shù)越大，則對(duì)各類教室配置座位數(shù)量需求越大，則越要配置多一點(diǎn)座位，反之越??；配置類別系數(shù)越大，則各教室類別（機(jī)房，多媒體教室，通教室）數(shù)量需求越大，則越要配置多一點(diǎn)該類別教室，反之則越小。三、模型假設(shè)假設(shè)機(jī)房、多媒體教室和普通教室三者的重要性系數(shù)之比為3︰2︰1；（機(jī)房可以當(dāng)作多媒體教室用，而多媒體教室也可以當(dāng)普通教室用）假設(shè)課程類別、課時(shí)數(shù)、座位數(shù)、教師類別、時(shí)間段的重要性之比為︰︰︰︰；假設(shè)每位教師都不會(huì)生病請(qǐng)假而能正常上課；假設(shè)每個(gè)教室的設(shè)備都能正常運(yùn)作，桌凳等不會(huì)損壞，學(xué)生不會(huì)去旁聽而導(dǎo)致桌椅不夠使用；要求的最佳課表是唯一的；假設(shè)在星期一到星期五內(nèi)沒有節(jié)假日、法定假期，課程能按時(shí)上課。建立模型的流程圖如下：各門課程各自不符合程度總和表達(dá)式各門課程各自不符合程度總和表達(dá)式課程編排求得最優(yōu)解單門不符合程度表達(dá)式單教師課程編排分散程度表達(dá)式單門課程編排分散程度表達(dá)式各教師各自課程編排分散程度總和表達(dá)式表達(dá)式各門課程編排分散程度總和表達(dá)式總不滿意程度表達(dá)式課程表編排約束原則非線性規(guī)劃各教師超出工作量程度總和表達(dá)式單教師超出工作量程度各類教師補(bǔ)課程度系數(shù)配置座位系數(shù)教室配置類別系數(shù)四、符號(hào)及變量說明符號(hào)符號(hào)說明rcjt第幾個(gè)教室的序號(hào)第幾個(gè)課程的序號(hào)第幾個(gè)時(shí)間段的序號(hào)，每門課程以2節(jié)課為單位進(jìn)行編排，把一個(gè)星期分為二十個(gè)時(shí)間段，=1….20第幾個(gè)教師的序號(hào)課程空間向量，即第c個(gè)課程在第j個(gè)時(shí)間段下課程安排教室空間向量，即在第r個(gè)教室第j個(gè)時(shí)間段下的教室符號(hào)符號(hào)說明教師空間向量，即第t個(gè)教師第j個(gè)時(shí)間段下的教師為決策變量，可以取1或0（1為真，0為假）為決策變量，可以取1或0（1為真，0為假）為決策變量，可以取1或0（1為真，0為假）第c個(gè)課程的類別第c個(gè)課程的學(xué)時(shí)數(shù)第c個(gè)課程的對(duì)教室座位最大要求數(shù)；第c個(gè)課程的對(duì)教室要求的類別；第c個(gè)課程的時(shí)間要求；第r個(gè)教室的最大座位數(shù)；第r個(gè)教室的教室類別；第t個(gè)教師能勝任課程的類別；第t個(gè)教師的周最大學(xué)時(shí)；第t個(gè)教師增加的課時(shí)數(shù)第t教師的時(shí)間段：第t個(gè)教師在第j個(gè)時(shí)間段上課c個(gè)課程的不符合程度第t個(gè)教師課程編排分散程度；第c門課程編排分散程度第t個(gè)教師超出工作量程度總不滿意程度各類教師補(bǔ)課程度系數(shù)配置座位系數(shù)配置類別系數(shù)一組數(shù)的集合的平方差五、模型的建立與求解課程的系統(tǒng)系統(tǒng)遞階層次結(jié)構(gòu)的建立針對(duì)課程各因素之間的關(guān)系，建立如下系統(tǒng)的遞階圖：課程課程課程課程………課程課程；；；課程類別課時(shí)數(shù)座位數(shù)教師類別時(shí)間段機(jī)房多媒體教室普通教室上午下午五維空間向量的確立用層次分析法的原理和表1，表2，表3中的數(shù)據(jù)構(gòu)建五維空間向量集=（，，，，），=（0，0，，，0），=（，，0，0，），則把個(gè)數(shù)據(jù)與向量一一對(duì)應(yīng)起來。其中規(guī)定如下：eq\o\ac(○,1)l的值為1，2，3，4，5，6，7，8分別對(duì)應(yīng)課程類別為1，2，3，4，5，6，7，8；eq\o\ac(○,2)x的值1，2，3分別對(duì)應(yīng)周課時(shí)數(shù)為1或2，3或4，5或6；eq\o\ac(○,3)n的值分別對(duì)應(yīng)其座位數(shù)；eq\o\ac(○,)m是值為2，1，0分別對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)中機(jī)房，多媒體教室，普通教室；eq\o\ac(○,)h的值為1，0，0或1分別對(duì)應(yīng)，其數(shù)據(jù)中的上午，下午。則得出實(shí)際的課程向量，實(shí)際的教師向量和實(shí)際的教室向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系式為：求第c個(gè)課程不符合程度表達(dá)式實(shí)際課程向量與要求課程向量差距越大，則越大；根據(jù)層次分析法原理來求出對(duì)應(yīng)的權(quán)重為該不符合程度的值?！?①求單教師課程編排分散程度根據(jù)“課程編排分散程度越大，則對(duì)應(yīng)的時(shí)間段分散程度越大，即其值分散程度越大”的原理，以該時(shí)間段的值的平方差為該單教師課程編排分散程度的值………………..②求單課程編排分散程度同理根據(jù)“課程編排分散程度越大，則對(duì)應(yīng)的時(shí)間段分散程度越大，即其值分散程度越大”的原理，以該時(shí)間段的值的平方差為該單課程編排分散程度的值………………③求單教師超出工作量程度：以為單教師超出工作量程度的值…………………………..④求目標(biāo)函數(shù)總不滿意程度：根據(jù)假設(shè)3（課表總不滿意程度與各門課程各自不符合程度總和成正比，與各教師各自課程編排分散程度總和成反比，與各門課程編排分散程度總和成反比，與各教師超出工作量程度總和成反比），用為總不滿意程度的值…………………….⑤課程表編排約束原則同一時(shí)間段同一教室不能同時(shí)上兩門或兩門以上的課程；在任一教室上課的人數(shù)不能超過最大座位數(shù)；同一時(shí)間段同一教室不能同時(shí)上兩門或兩門以上的課程；在安排課程與老師配對(duì)時(shí)要符合課程類別，不能亂；非線性規(guī)劃模型最終確定（整合上述公式）補(bǔ)課程度系數(shù)=各類教師周最大課時(shí)數(shù)之和與各教師實(shí)際課時(shí)數(shù)之和的比值配置座位系數(shù)=課程要求數(shù)量與實(shí)際座位數(shù)量之差，再比上實(shí)際座位數(shù)量配置系數(shù)=課程要求與實(shí)際類別數(shù)量之差，再比上實(shí)際類別數(shù)量（二）模型的求解假使課程類別、課時(shí)數(shù)、座位數(shù)、教室類別、時(shí)間段的重要性之比=9：7：7：6：4，代入上式，再利用Matlab對(duì)上述非線性規(guī)劃問題進(jìn)行，具體程序代碼見附錄1求解得到個(gè)決策變量，對(duì)應(yīng)如下表（其中的序號(hào)為課程類號(hào)）：表1.單周課表星期一星期二星期三星期四星期五1~2節(jié)課①(C01_T01_R04)③(C11_T07_R08)=4\*GB3④(C18_T12_R02)⑧(C37_T24_R13)=2\*GB3②(C07_T04_R04)=4\*GB3④(C16_T13_R16)⑦(C34_T22_R01)①(C01_T01_R04)③(C11_T07_R08)=4\*GB3④(C18_T12_R02)⑤(C21_T14_R18)=2\*GB3②(C07_T04_R04)=4\*GB3④(C16_T13_R16)⑦(C34_T22_R01)⑧(C37_T24_R13)=2\*GB3②(C08_T06_R18)③(C11_T07_R08)=4\*GB3④(C18_T12_R02)⑤(C21_T14_R17)3~4節(jié)課①(C04_T01_R04)③(C12_T09_R02)⑦(C31_T20_R07)⑧(C38_T25_R13)=2\*GB3②(C10_T04_R16)=4\*GB3④(C19_T13_R04)⑤(C25_T16_R01)⑦(C33_T21_R08)①(C04_T01_R04)③(C12_T09_R02)⑤(C23_T14_R18)⑥(C29_T19_R10)⑦(C31_T20_R07)=2\*GB3②(C10_T04_R16)=4\*GB3④(C19_T13_R04)⑤(C25_T16_R01)⑧(C36_T23_R13)=4\*GB3④(C20_T11_R02)⑥(C29_T19_R04)⑦(C31_T20_R07)5~6節(jié)課①(C03_T02_R18)③(C13_T10_R04)⑥(C27_T17_R06)⑧(C39_T25_R12)①(C02_T03_R18)=2\*GB3②(C09_T06_R17)⑤(C22_T16_R16)⑥(C26_T19_R10)⑧(C36_T08_R13)①(C03_T02_R18)③(C13_T10_R04)⑥(C27_T17_R06)⑦(C32_T22_R16)①(C02_T03_R18)=2\*GB3②(C09_T06_R17)⑤(C22_T16_R16)⑧(C39_T25_R12)①(C03_T02_R18)③(C13_T10_R04)⑥(C28_T17_R06)⑧(C36_T08_R13)7~8節(jié)課③(C14_T09_R18)=4\*GB3④(C17_T11_R08)⑤(C24_T15_R09)⑥(C28_T18_R06)①(C05_T03_R08)=2\*GB3②(C06_T05_R02)⑦(C35_T21_R07)⑧(C40_T23_R12)③(C15_T08_R18)=4\*GB3④(C17_T11_R08)⑤(C24_T15_R09)⑥(C30_T18_R06)①(C05_T03_R08)=2\*GB3②(C06_T05_R02)⑦(C35_T21_R07)⑧(C40_T23_R12)③(C15_T08_R18)⑤(C24_T15_R09)⑥(C30_T18_R06)表2.雙周課表星期一星期二星期三星期四星期五1~2節(jié)課①(C01_T01_R04)③(C11_T07_R08)=4\*GB3④(C18_T12_R02)⑧(C37_T24_R13)=2\*GB3②(C07_T04_R04)=4\*GB3④(C16_T13_R16)⑦(C34_T22_R01)①(C01_T01_R04)③(C11_T07_R08)=4\*GB3④(C18_T12_R02)⑤(C21_T14_R18)=2\*GB3②(C07_T04_R04)=4\*GB3④(C16_T13_R16)⑦(C34_T22_R01)⑧(C37_T24_R13)=2\*GB3②(C08_T06_R18)③(C11_T07_R08)=4\*GB3④(C18_T12_R02)⑤(C21_T14_R17)3~4節(jié)課①(C04_T01_R04)③(C12_T09_R02)⑦(C31_T20_R07)⑧(C38_T25_R13)=2\*GB3②(C10_T04_R16)=4\*GB3④(C19_T13_R04)⑤(C25_T16_R01)⑦(C33_T21_R08)①(C04_T01_R04)③(C12_T09_R02)⑤(C23_T14_R18)⑥(C29_T19_R10)⑦(C31_T20_R07)=4\*GB3④(C19_T13_R04)⑤(C25_T16_R01)⑧(C36_T23_R13)⑦(C33_T21_R08)=4\*GB3④(C20_T11_R02)⑥(C29_T19_R04)⑦(C31_T20_R07)⑤(C23_T14_R18)5~6節(jié)課①(C03_T02_R18)③(C13_T10_R04)⑥(C27_T17_R06)⑧(C39_T25_R12)①(C02_T03_R18)=2\*GB3②(C09_T06_R17)⑤(C22_T16_R16)⑥(C26_T19_R10)⑧(C36_T08_R13)①(C03_T02_R18)③(C13_T10_R04)⑥(C27_T17_R06)⑦(C32_T22_R16)①(C02_T03_R18)=2\*GB3②(C09_T06_R17)⑤(C22_T16_R16)⑧(C39_T25_R12)⑥(C26_T19_R10)①(C03_T02_R18)③(C13_T10_R04)⑥(C28_T17_R06)⑧(C36_T08_R13)7~8節(jié)課③(C14_T09_R18)=4\*GB3④(C17_T11_R08)⑤(C24_T15_R09)⑥(C28_T18_R06)①(C05_T03_R08)=2\*GB3②(C06_T05_R02)⑦(C35_T21_R07)⑧(C40_T23_R12)=4\*GB3④(C17_T11_R08)⑤(C24_T15_R09)⑥(C30_T18_R06)=2\*GB3②(C06_T05_R02)⑦(C35_T21_R07)⑧(C40_T23_R12)③(C15_T08_R18)⑤(C24_T15_R09)⑥(C30_T18_R06)表3.教師任課檢驗(yàn)教師編號(hào)能勝任課程類別周最大課時(shí)數(shù)對(duì)教室類別要求實(shí)際上課數(shù)需要補(bǔ)課數(shù)需要補(bǔ)課數(shù)超出周最大課時(shí)數(shù)的比例T011，84多媒體教室或機(jī)房84T0214普通教室62T0316普通教室71T0424多媒體教室73T0524普通教室40T0626普通教室60T0734普通教室62T083，83普通教室或機(jī)房3+44T0934普通教室62T1036多媒體教室60T1148普通教室80T1244普通教室40T1346多媒體教室82T1452普通教室75T155，83普通教室或機(jī)房63T1654普通教室84T1764普通教室62T1866普通教室60T1964多媒體教室73T2074普通教室62T2176普通教室71T2276多媒體教室82T233，84普通教室或機(jī)房0+62T244，86普通教室或機(jī)房0+60T256，84普通教室或機(jī)房0+62總體的比為因?yàn)榭傮w的超出約為,所以大概需46個(gè)學(xué)時(shí).若教師的周均最大的課時(shí)數(shù)為6,則需要在聘請(qǐng)8位教師.則由上的比例可算出,課程類別1,2,3,4,5,6,7,8,分別需在請(qǐng)1,1,1,0,2,1,1,1.位教師,聘請(qǐng)后,每類課程所需的教師的課時(shí)基本滿足.(三)模型的優(yōu)化①重排原理我們看到對(duì)于許多問題，在進(jìn)行搜索試探時(shí)選取集合si的順序是任意的．這就提示我們：在其他條件相當(dāng)?shù)那疤嵯?，讓元素個(gè)數(shù)最少的si優(yōu)先將更為有效．從圖1所示的同一問題的2棵不同的狀態(tài)空間樹，可以體會(huì)這種策略的潛力．在圖1(a)中，若從第1層消去1個(gè)結(jié)點(diǎn)，則從所有應(yīng)當(dāng)考慮的3元組中一次消去l2個(gè)3元組．對(duì)于圖1(b)，若同樣是從第1層消去1個(gè)結(jié)點(diǎn)，卻只從應(yīng)當(dāng)考慮的3元組中消去8個(gè)3元組．前者的效果明顯比后者好．②動(dòng)態(tài)約束函數(shù)在大多數(shù)的回溯算法中，約束條件是隨著搜索過程的深入而逐漸加強(qiáng)的．我們希望將約束條件的變化也加以考慮，以此提高算法的效率．圖1同一問題的2個(gè)不同狀態(tài)空間樹六、模型的檢驗(yàn)把附錄中編號(hào)為COI到C40四十門課程，編號(hào)為T01到T25的二十五名教師，編號(hào)為R01到R18的十八間教室代入模塊五所建立的模型中，得到結(jié)果如上述表1、2、3所示，基本符合題目中教師聘用、教室配置合理、學(xué)生上課課程安排合理等要求。七、模型的應(yīng)用與推廣本模型實(shí)用性強(qiáng)，可根據(jù)學(xué)校不同的教學(xué)層次要求選擇相應(yīng)的模型，只需改變課時(shí)約束條件就可求解。學(xué)?？衫么四Ｐ?，快速的設(shè)計(jì)出較好的課程表。排課模型的建立很好地減少了教務(wù)系統(tǒng)排課的工作量，提高了工作效率。對(duì)教師資源做到最合理的應(yīng)用。適合于在不同層次級(jí)別的學(xué)校推廣。八、模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)本模型的優(yōu)缺點(diǎn)：本模型先通過分析構(gòu)建出五維空間向量和列出線性方程，利用matlab模擬求解結(jié)果，使得結(jié)果的正確性和可信度高；通過構(gòu)建五維的數(shù)組，使得問題的分析簡(jiǎn)單清晰；模型的建立雖然綜合考慮了很多因素，但為了建立模型，理想化了許多影響因素，這使得模型具有一定的局限性，得到的最優(yōu)化方案可能與實(shí)際情況有一定的出入。本模型可以推廣到考慮多個(gè)老師，多個(gè)教師，多個(gè)課程，多個(gè)班的時(shí)候的情況。在解題過程中變量多，條件多，過程比較麻煩，對(duì)于數(shù)據(jù)量大的實(shí)際問題解決起來繁瑣。九、參考文獻(xiàn)[1]姜啟源、謝金星、葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，[2]薛定宇、陳陽泉，高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的MATLAB求解，北京：清華大學(xué)出版社，[3]趙靜、但琦,數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),北京：高等教育出版社,[4]吳金榮．關(guān)于大學(xué)課程表問題的研究[J]．運(yùn)籌與管理。2002(6)．[5]吳金榮．求解課程表問題的分支定界法[J]．運(yùn)籌與管理，2002(1)[6]邵維忠,楊芙清面向?qū)ο蟮南到y(tǒng)分析[M].北京:清華大學(xué)出版社,1998[7]周建新,王科俊,王文武課表編排專家系統(tǒng)[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用,2000(5):76-78[8]魏平,熊偉清.計(jì)算機(jī)輔助課表編排技術(shù)的研究[J].甘肅工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),1997,23(4):76～81.[9]王祜民,趙致格.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