(完整word版)高中物理運動學(xué)中等時圓應(yīng)用技巧(含答案),推薦文檔

BEBE2=R2(]—自由下落到O的時間依次遞減，故選項B正確。21：如圖所示，AB、AC、AD是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細桿，A、B、C、D位于同一圓周上，O點為圓周的圓心，A點不是圓的最高點.每根桿上都套著一個光滑小滑環(huán)(圖中未畫出)，三個滑環(huán)分別從A處從靜止開始釋放，用t「t2、t3依次表示滑環(huán)到達B、C、D所用的時間，則三個時間的關(guān)系是什么？解析A不在圓的最高點，前面的結(jié)論直接用是不行的?可以采用如下的方法解決。如圖7所示，過點A作豎直線交AB的垂直平分線于點以0]為圓心、O1A為半徑畫圓交AB于B、分別交AC、AD的延長線于C]、在圓ABC]Di中用前面的結(jié)論可知,所以[汶丫。不可以根據(jù)CC1<D]D]?得到t2<t3，因為小環(huán)進入虛線部分時初速度不一樣，以后運動的加速度也不一樣。要判斷t2和t3的關(guān)系可以模仿前面方法構(gòu)造新圓，用結(jié)論可知t2>t3。另解假設(shè)圓的半徑為R,建立如圖8所示的直角坐標(biāo)系，連接A0并假設(shè)其與x軸的夾角為a，則A點的坐標(biāo)為(Rcosa,Rsina).設(shè)直線AB與x軸的夾角為0,則直線AB的斜率為k=tanO，直線AB的方程為y—sina=tanG(x—cosa),整理變形有xtanO—y+sina—tanOcosa=0,由數(shù)學(xué)知識可知，坐標(biāo)原點到直線AB的距離為OE=|sina—tanOcosa|v'1+tan2^由幾何知識解得sin2a+tan2Ocos2a-2sinacosatanO1+tan2O

整理得BE=(cos0cosa+sinasin0)R，由牛頓第二運動定律有環(huán)的加速度a=gsin0，由運動學(xué)公式有2BE=1gsin9由牛頓第二運動定律有環(huán)的加速度a=gsin0，^2'4R(cosacos9+sinasin9)tgsin9-pgcos9-西cosasina

cosasina

+——1-ctan9解得小環(huán)運動時間為所以0增大，時間減小，由此式可知：0增大，時間t減小，即［込氓.t1>t2>t3.當(dāng)式中*90。時，t=2\R，與傾角、桿長無關(guān)，就是前面推g當(dāng)式中a=90°或a=—90。、“=0時，時間t=2\R.可見等時圓g導(dǎo)的等時圓規(guī)律.22：如圖，底邊為定長b的直角斜面中，球從光滑直角斜面頂端規(guī)律適用的條件是：細桿光滑、A點為圓周的最高點或最低點.

作出圓的一條豎直切線MN，于圓切于D點。A點為所作圓的最低點。由圖可看出：從MN上不同的點由靜止滑到A點，以DA時間為最短。（由“等時圓”可知，圖中E/、D、C各點到達A的時間相等。）所以小球從底邊b為定長的光滑直角斜面上滑下時以45啲時間為最少，而且此時間與球從P點自由下落到圓最低點的時間相等。所以t=導(dǎo)的等時圓規(guī)律.22：如圖，底邊為定長b的直角斜面中，球從光滑直角斜面頂端min飛g23：有三個光滑斜軌道1、2、3，它們的傾角依次是600，450和300，這些軌道交于O點．現(xiàn)有位于同一豎直線上的3個小物體甲、乙、丙，分別沿這3個軌道同時從靜止自由下滑，如圖，物體滑到O點的先后順序是（）

A.甲最先，乙稍后，丙最后B.乙最先，然后甲和丙同時到達C.甲、乙、丙同時到達D.乙最先，甲稍后，丙最后【答案】B解析：設(shè)斜面底邊長為l，傾角為9，則物體沿光滑斜面下滑時加速度為a=gsin9，物體的位移為x=1/cos9。物體由斜面頂端由靜止開始運動到底端，由運動學(xué)公式得II2l_[4l\gsin9cos9gsin29lcos9

1=2gsin9t2

l、g—定，所以當(dāng)0二45。時，tminl、g—定，所以當(dāng)0二45。時，tmin其下端都固定于底部圓心0,而上端則擱在倉庫側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為300、450、600。若有三個小孩同時從a、b、當(dāng)0=300和60o時，sin20的值相等。25：如圖，在設(shè)計三角形的屋頂時，為了使雨水能盡快地從屋頂流下，并認(rèn)為雨水是從靜止開始由屋頂無摩擦地流動。試分析和解：在屋頂寬度（21）一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的最短時間是多少？c處開始下滑（忽略阻力），則A、a處小孩最先到0點B、b處小孩最先到0點C、c處小孩最先到0點D、a、c處小孩同時到0點【解析】：方法一：如圖所示，設(shè)斜面底邊長為1，傾角為0,則雨滴沿光滑斜面下淌時加速度為a=gsin9，雨滴的位移為解析：三塊滑塊雖然都從同—圓柱面上下滑，但a、b、c三點不可能在同—豎直圓周上，所以下滑時間不—定相等。設(shè)圓柱底面半徑為R，則—R—=—gsinOt2，t2=——，當(dāng)0=45o時，t最小，cos92gsin20x=1cos9。雨滴由斜面頂端由靜止開始運動到底端，由運動學(xué)公式得丄=1gsin912，cos92彳得2141，tgsin9cos9:gsin29世所以當(dāng)?？〞r「匠mmWp方法二（方法二（?NI）:如圖所示,通過屋頂作垂線AC與水平線BD相垂直；并以L為半徑、0為圓心畫一個圓與AC.BC相切。然后，畫傾角不同的屋頂A3、AE、AB...123從圖可以看出：在不同傾角的屋頂中,只有A0是圓的弦,而其余均為圓的割線。根據(jù)“等時圓”規(guī)律,雨水沿A3運動的時間最2短,且最短時間為^2di'2x2Lci'TmmNg飛g\g而屋頂?shù)膬A角則為tanoc=-=1noc=45oL26：在豎直平面內(nèi)，固定一個半徑為/?的大圓環(huán)，其圓心為0,在圓內(nèi)與圓心0同一水平面上的P點搭一光滑斜軌道PM到大環(huán)上，如圖13所示，OP=d<Ro欲使物體從P點釋放后，沿軌道滑到大環(huán)的時間最短，求M點位置（用0M與水平面的夾角a的三角函數(shù)表達）。PM=+Ri-2dRcosa設(shè)軌道FM與水平面夾角為0,則物體沿軌道下滑的加速度a=gsin0由正弦定理得:=—冬—sin(0-oc)sin(7i-0)又PM=-at^2聯(lián)立以上四個方程’有a.0.pm.a和t五個變量,可以建立起下滑時間t與OM傾角a之間的函數(shù)關(guān)系,再利用數(shù)學(xué)工具求極值，但計算相當(dāng)復(fù)雜。如果改用等時圓”作圖求解,以定點P為最高點,可作出系列半徑廠不同（動態(tài)的）“等時圓”,所有軌道的末端均落在對應(yīng)的“等時圓”圓周上。其中,剛好與大環(huán)內(nèi)切的"等時圓”半徑最小,如圖所示,該“等時圓啲圓心0滿足O'M=O'P,且在OM連線上。該圓就是由P到定圓的半徑最小的“等時圓”,物體沿軌道由P滑到M點的時間也最短。幾何關(guān)系有（尸石=7?—廠'得2R貝UOM與水平面的夾角a滿足tana=L=^_^-或d2dRR2一〃2a—arctan。2dR27：如圖所示，在同一豎直平面內(nèi)，地面上高H的定點F,到半徑為人的定圓的水平距離為厶從F搭建一條光滑軌道到定圓的

圓周上?，F(xiàn)使物體從F點釋放后，沿軌道下滑到定圓的時間最短,該軌道與豎直方向夾角應(yīng)多大？H和L滿足題設(shè)要求。解析：先用解析法求解。如圖所ZF,延長PM與定圓相交于N,過N作水平線與PD相交于K,則物體沿光滑軌道下滑的加速度為gsin仇即°=g?——PNVE1csc2PM2PM?PN乂PM=-at2,所以t2=二2agPK由圓的切割線定理得:麗■莎二丙2二常數(shù)z所以t2=2已，式中空為常數(shù)，兩為變量。當(dāng)M點的選g?PKg2020擇不同時，PK的值也不同，當(dāng)PK=H時，其值最大，此時t最小。也就是軌道PM/延長線PQ與定圓相交于和地面的接觸點Q,物體沿軌道下滑的時間最短，軌道PM/與豎直線的夾角a滿足QDL十Ltana==或a=arctan.PDHH圖中PD和OQ都垂直于地面，由幾何關(guān)系可知，軌道PM的延長線必與定圓?O的交于Q，求得PM與豎直線的夾角a滿足QDL十Ltana==或a=arctan-oPDHH28：在圖中，若套在桿上的三個小球質(zhì)量均為m，均帶等量正電荷q,且空間有水平向左的勻強電場，電場強度E=mg，讓小球q自A、B、C三點自由下滑，比較t「t2、t3的關(guān)系.再用“等時圓”作圖求解。以定點P為“等時圓”最高點，作出系列半徑r不同（動態(tài)的）“等時圓”，所有軌道的末端均落在對應(yīng)的“等時圓”圓周上。其中，剛好與定圓?O夕沏于M的“等時圓”半徑最小，如圖12所