(完整word版)高中物理運(yùn)動(dòng)學(xué)中等時(shí)圓應(yīng)用技巧(含答案),推薦文檔

BEBE2=R2(]—自由下落到O的時(shí)間依次遞減，故選項(xiàng)B正確。21：如圖所示，AB、AC、AD是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，A、B、C、D位于同一圓周上，O點(diǎn)為圓周的圓心，A點(diǎn)不是圓的最高點(diǎn).每根桿上都套著一個(gè)光滑小滑環(huán)(圖中未畫出)，三個(gè)滑環(huán)分別從A處從靜止開始釋放，用t「t2、t3依次表示滑環(huán)到達(dá)B、C、D所用的時(shí)間，則三個(gè)時(shí)間的關(guān)系是什么？解析A不在圓的最高點(diǎn)，前面的結(jié)論直接用是不行的?可以采用如下的方法解決。如圖7所示，過(guò)點(diǎn)A作豎直線交AB的垂直平分線于點(diǎn)以0]為圓心、O1A為半徑畫圓交AB于B、分別交AC、AD的延長(zhǎng)線于C]、在圓ABC]Di中用前面的結(jié)論可知,所以[汶丫。不可以根據(jù)CC1<D]D]?得到t2<t3，因?yàn)樾…h(huán)進(jìn)入虛線部分時(shí)初速度不一樣，以后運(yùn)動(dòng)的加速度也不一樣。要判斷t2和t3的關(guān)系可以模仿前面方法構(gòu)造新圓，用結(jié)論可知t2>t3。另解假設(shè)圓的半徑為R,建立如圖8所示的直角坐標(biāo)系，連接A0并假設(shè)其與x軸的夾角為a，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為(Rcosa,Rsina).設(shè)直線AB與x軸的夾角為0,則直線AB的斜率為k=tanO，直線AB的方程為y—sina=tanG(x—cosa),整理變形有xtanO—y+sina—tanOcosa=0,由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線AB的距離為OE=|sina—tanOcosa|v'1+tan2^由幾何知識(shí)解得sin2a+tan2Ocos2a-2sinacosatanO1+tan2O

整理得BE=(cos0cosa+sinasin0)R，由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有環(huán)的加速度a=gsin0，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有2BE=1gsin9由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有環(huán)的加速度a=gsin0，^2'4R(cosacos9+sinasin9)tgsin9-pgcos9-西cosasina

cosasina

+——1-ctan9解得小環(huán)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為所以0增大，時(shí)間減小，由此式可知：0增大，時(shí)間t減小，即［込氓.t1>t2>t3.當(dāng)式中*90。時(shí)，t=2\R，與傾角、桿長(zhǎng)無(wú)關(guān)，就是前面推g當(dāng)式中a=90°或a=—90。、“=0時(shí)，時(shí)間t=2\R.可見等時(shí)圓g導(dǎo)的等時(shí)圓規(guī)律.22：如圖，底邊為定長(zhǎng)b的直角斜面中，球從光滑直角斜面頂端規(guī)律適用的條件是：細(xì)桿光滑、A點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)或最低點(diǎn).

作出圓的一條豎直切線MN，于圓切于D點(diǎn)。A點(diǎn)為所作圓的最低點(diǎn)。由圖可看出：從MN上不同的點(diǎn)由靜止滑到A點(diǎn)，以DA時(shí)間為最短。（由“等時(shí)圓”可知，圖中E/、D、C各點(diǎn)到達(dá)A的時(shí)間相等。）所以小球從底邊b為定長(zhǎng)的光滑直角斜面上滑下時(shí)以45啲時(shí)間為最少，而且此時(shí)間與球從P點(diǎn)自由下落到圓最低點(diǎn)的時(shí)間相等。所以t=導(dǎo)的等時(shí)圓規(guī)律.22：如圖，底邊為定長(zhǎng)b的直角斜面中，球從光滑直角斜面頂端min飛g23：有三個(gè)光滑斜軌道1、2、3，它們的傾角依次是600，450和300，這些軌道交于O點(diǎn)．現(xiàn)有位于同一豎直線上的3個(gè)小物體甲、乙、丙，分別沿這3個(gè)軌道同時(shí)從靜止自由下滑，如圖，物體滑到O點(diǎn)的先后順序是（）

A.甲最先，乙稍后，丙最后B.乙最先，然后甲和丙同時(shí)到達(dá)C.甲、乙、丙同時(shí)到達(dá)D.乙最先，甲稍后，丙最后【答案】B解析：設(shè)斜面底邊長(zhǎng)為l，傾角為9，則物體沿光滑斜面下滑時(shí)加速度為a=gsin9，物體的位移為x=1/cos9。物體由斜面頂端由靜止開始運(yùn)動(dòng)到底端，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得II2l_[4l\gsin9cos9gsin29lcos9

1=2gsin9t2

l、g—定，所以當(dāng)0二45。時(shí)，tminl、g—定，所以當(dāng)0二45。時(shí)，tmin其下端都固定于底部圓心0,而上端則擱在倉(cāng)庫(kù)側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為300、450、600。若有三個(gè)小孩同時(shí)從a、b、當(dāng)0=300和60o時(shí)，sin20的值相等。25：如圖，在設(shè)計(jì)三角形的屋頂時(shí)，為了使雨水能盡快地從屋頂流下，并認(rèn)為雨水是從靜止開始由屋頂無(wú)摩擦地流動(dòng)。試分析和解：在屋頂寬度（21）一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的最短時(shí)間是多少？c處開始下滑（忽略阻力），則A、a處小孩最先到0點(diǎn)B、b處小孩最先到0點(diǎn)C、c處小孩最先到0點(diǎn)D、a、c處小孩同時(shí)到0點(diǎn)【解析】：方法一：如圖所示，設(shè)斜面底邊長(zhǎng)為1，傾角為0,則雨滴沿光滑斜面下淌時(shí)加速度為a=gsin9，雨滴的位移為解析：三塊滑塊雖然都從同—圓柱面上下滑，但a、b、c三點(diǎn)不可能在同—豎直圓周上，所以下滑時(shí)間不—定相等。設(shè)圓柱底面半徑為R，則—R—=—gsinOt2，t2=——，當(dāng)0=45o時(shí)，t最小，cos92gsin20x=1cos9。雨滴由斜面頂端由靜止開始運(yùn)動(dòng)到底端，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得丄=1gsin912，cos92彳得2141，tgsin9cos9:gsin29世所以當(dāng)?？〞r(shí)「匠mmWp方法二（方法二（?NI）:如圖所示,通過(guò)屋頂作垂線AC與水平線BD相垂直；并以L為半徑、0為圓心畫一個(gè)圓與AC.BC相切。然后，畫傾角不同的屋頂A3、AE、AB...123從圖可以看出：在不同傾角的屋頂中,只有A0是圓的弦,而其余均為圓的割線。根據(jù)“等時(shí)圓”規(guī)律,雨水沿A3運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最2短,且最短時(shí)間為^2di'2x2Lci'TmmNg飛g\g而屋頂?shù)膬A角則為tanoc=-=1noc=45oL26：在豎直平面內(nèi)，固定一個(gè)半徑為/?的大圓環(huán)，其圓心為0,在圓內(nèi)與圓心0同一水平面上的P點(diǎn)搭一光滑斜軌道PM到大環(huán)上，如圖13所示，OP=d<Ro欲使物體從P點(diǎn)釋放后，沿軌道滑到大環(huán)的時(shí)間最短，求M點(diǎn)位置（用0M與水平面的夾角a的三角函數(shù)表達(dá)）。PM=+Ri-2dRcosa設(shè)軌道FM與水平面夾角為0,則物體沿軌道下滑的加速度a=gsin0由正弦定理得:=—冬—sin(0-oc)sin(7i-0)又PM=-at^2聯(lián)立以上四個(gè)方程’有a.0.pm.a和t五個(gè)變量,可以建立起下滑時(shí)間t與OM傾角a之間的函數(shù)關(guān)系,再利用數(shù)學(xué)工具求極值，但計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜。如果改用等時(shí)圓”作圖求解,以定點(diǎn)P為最高點(diǎn),可作出系列半徑廠不同（動(dòng)態(tài)的）“等時(shí)圓”,所有軌道的末端均落在對(duì)應(yīng)的“等時(shí)圓”圓周上。其中,剛好與大環(huán)內(nèi)切的"等時(shí)圓”半徑最小,如圖所示,該“等時(shí)圓啲圓心0滿足O'M=O'P,且在OM連線上。該圓就是由P到定圓的半徑最小的“等時(shí)圓”,物體沿軌道由P滑到M點(diǎn)的時(shí)間也最短。幾何關(guān)系有（尸石=7?—廠'得2R貝UOM與水平面的夾角a滿足tana=L=^_^-或d2dRR2一〃2a—arctan。2dR27：如圖所示，在同一豎直平面內(nèi)，地面上高H的定點(diǎn)F,到半徑為人的定圓的水平距離為厶從F搭建一條光滑軌道到定圓的

圓周上?，F(xiàn)使物體從F點(diǎn)釋放后，沿軌道下滑到定圓的時(shí)間最短,該軌道與豎直方向夾角應(yīng)多大？H和L滿足題設(shè)要求。解析：先用解析法求解。如圖所ZF,延長(zhǎng)PM與定圓相交于N,過(guò)N作水平線與PD相交于K,則物體沿光滑軌道下滑的加速度為gsin仇即°=g?——PNVE1csc2PM2PM?PN乂PM=-at2,所以t2=二2agPK由圓的切割線定理得:麗■莎二丙2二常數(shù)z所以t2=2已，式中空為常數(shù)，兩為變量。當(dāng)M點(diǎn)的選g?PKg2020擇不同時(shí)，PK的值也不同，當(dāng)PK=H時(shí)，其值最大，此時(shí)t最小。也就是軌道PM/延長(zhǎng)線PQ與定圓相交于和地面的接觸點(diǎn)Q,物體沿軌道下滑的時(shí)間最短，軌道PM/與豎直線的夾角a滿足QDL十Ltana==或a=arctan.PDHH圖中PD和OQ都垂直于地面，由幾何關(guān)系可知，軌道PM的延長(zhǎng)線必與定圓?O的交于Q，求得PM與豎直線的夾角a滿足QDL十Ltana==或a=arctan-oPDHH28：在圖中，若套在桿上的三個(gè)小球質(zhì)量均為m，均帶等量正電荷q,且空間有水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E=mg，讓小球q自A、B、C三點(diǎn)自由下滑，比較t「t2、t3的關(guān)系.再用“等時(shí)圓”作圖求解。以定點(diǎn)P為“等時(shí)圓”最高點(diǎn)，作出系列半徑r不同（動(dòng)態(tài)的）“等時(shí)圓”，所有軌道的末端均落在對(duì)應(yīng)的“等時(shí)圓”圓周上。其中，剛好與定圓?O夕沏于M的“等時(shí)圓”半徑最小，如圖12所