學案函數(shù)的奇偶性

7/7函數(shù)的奇偶性【第一學時】函數(shù)的奇偶性(一)【學習目標】1．結合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義。2．能判斷函數(shù)的奇偶性，能運用奇偶函數(shù)的圖象特征解決一些簡單問題?！緦W習重難點】能判斷函數(shù)的奇偶性，能運用奇偶函數(shù)的圖象特征解決一些簡單問題。【學習過程】一、新知初探偶函數(shù)與奇函數(shù)（1）定義：設函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，如果對于任意x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)；如果對于任意x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)。（2）偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關于原點對稱。二、初試身手1．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A．y＝x B．y＝3x2C．y＝eq\f(1,x) D．y＝|x|(x∈[0，1])2．f(x)＝x3＋eq\f(1,x)的圖象關于________對稱。3．如果函數(shù)f(x)具有奇偶性，那么函數(shù)f(x)的定義域一定關于原點對稱嗎？三、合作探究題型一函數(shù)奇偶性判斷角度1一般函數(shù)奇偶性的判斷【例1－1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(x)＝2－|x|；（2）f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；（3）f(x)＝eq\f(x,x－1)。角度2分段函數(shù)奇偶性的判定【例1－2】判斷函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,－x＋1，x<0))的奇偶性。題型二奇、偶函數(shù)的圖象特征【例2】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x2＋1)，令g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))。（1）已知f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上的圖象如圖，請據(jù)此在該坐標系中補全函數(shù)f(x)在定義域內的圖象，請說明你的作圖依據(jù)；（2）求證：f(x)＋g(x)＝1(x≠0)。題型三由奇偶性求參數(shù)值【例3】（1）若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域為[a－1，2a]，則a＝________，b＝________。（2）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2x是奇函數(shù)，則實數(shù)a＝________?！緦W習小結】1．結合實例，利用函數(shù)圖象抽象出函數(shù)奇偶性，提升直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)。2．奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)，為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要先將函數(shù)進行化簡，或應用定義的等價形式f(－x)＝±f(x)?f(－x)?f(x)＝0?eq\f(f（－x）,f（x）)＝±1(f(x)≠0)。3．（1）若f(x)＝0且f(x)的定義域關于原點對稱，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。（2）f(x)為奇函數(shù)?f(x)的圖象關于原點對稱，f(x)為偶函數(shù)?f(x)的圖象關于y軸對稱?！揪珶挿答仭?．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)－x的圖象關于（）A．y軸對稱 B．直線y＝－x對稱C．坐標原點對稱 D．直線y＝x對稱2．下列函數(shù)中既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上是增函數(shù)的是（）A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2x＋13．已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[a－1，2a]上的奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為________________。4．若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________。5．求證：函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(1,x2)的圖象關于y軸對稱?！镜诙W時】函數(shù)的奇偶性(二)【學習目標】1．掌握函數(shù)奇偶性的簡單應用。2．了解函數(shù)圖象的對稱軸、對稱中心滿足的條件?！緦W習重難點】掌握函數(shù)奇偶性的簡單應用?！緦W習過程】一、新知初探奇函數(shù)、偶函數(shù)性質（1）奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，若函數(shù)的圖象關于原點對稱，則該函數(shù)是奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，若函數(shù)的圖象關于y軸對稱，則該函數(shù)是偶函數(shù)。（2）若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上為增函數(shù)(減函數(shù))，則f(x)在[－b，－a]上為增函數(shù)(減函數(shù))，即在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相同。（3）若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上為增函數(shù)(減函數(shù))，則f(x)在[－b，－a]上為減函數(shù)(增函數(shù))，即在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反。二、初試身手1．定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則（）A．f（3）<f(－4)<f(－π)B．f(－π)<f(－4)<f（3）C．f（3）<f(－π)<f(－4)D．f（4）<f(－π)<f（3）2．函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝－x＋1，則當x<0時，f(x)＝________。3．若函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象關于y軸對稱，則f(x)，g(x)是偶函數(shù)嗎？三、合作探究題型一利用奇偶性求解析式角度1求對稱區(qū)間上的解析式【例1－1】（1）函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且當x<0時，f(x)＝x(x－1)，則當x>0時，f(x)＝________。（2）函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝－2x2＋3x＋1，則f(x)＝________。角度2構造方程組求解析式【例1－2】設f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式。題型二奇偶性與單調性綜合應用角度1比較大小【例2－1】（1）若對于任意實數(shù)x總有f(－x)＝f(x)，且f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是增函數(shù)，則（）A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)<f（2）B．f（2）<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)C．f（2）<f(－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))D．f(－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f（2）（2）設偶函數(shù)f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是（）A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3)角度2利用奇偶性、單調性解不等式【例2－2】（1）設定義在[－3，3]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，3]上是減函數(shù)，若f(1－m)<f(m)，求實數(shù)m的取值范圍。（2）定義在[－2，2]上的偶函數(shù)g(x)，當x≥0時，g(x)為減函數(shù)，若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范圍。題型三奇偶性與對稱性的應用【例3】若函數(shù)y＝f(x)在(0，2)上是增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．f（1）<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2))) B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f（1）<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<f（1） D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<f（1）<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))【學習小結】1．結合圖象的對稱性，通過奇偶性的應用，提升邏輯推理素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學抽象素養(yǎng)。2．奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調性；偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調性。3．如果一個奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0；如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)。4．利用奇偶性可以簡化研究函數(shù)性質的過程，利用奇偶性求函數(shù)值、解析式、比較大小、解不等式等核心是轉化。5．對于抽象函數(shù)(未給出解析表達式的函數(shù))可畫出滿足條件的示意圖來幫助分析解決問題。【精煉反饋】1．若函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，則下列關系成立的是（）A．f(－3)>f(0)>f（1） B．f(－3)>f（1）>f(0)C．f（1）>f(0)>f(－3) D．f（1）>f(－3)>f(0)2．已知函數(shù)y＝f(x)在R上為奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝x2－2x，則當x<0時，f(x)的解析式是（）A．f(x)＝－x(x＋2) B．f(x)＝x(x－2)C．