六年級(jí) 數(shù)論綜合

六年級(jí)數(shù)論綜合六年級(jí)數(shù)論綜合六年級(jí)數(shù)論綜合六年級(jí)數(shù)論綜合編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話(huà)：傳真:郵編:六年級(jí)第8講數(shù)論綜合（一）【興趣篇】4.一個(gè)各位數(shù)字均不為0的三位數(shù)能被8整除,將其中百位數(shù)字、十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字分別劃去后可以得到三個(gè)兩位數(shù)(例如,按此方法由247將得到47、27、24)。已知這些兩位數(shù)中一個(gè)是5的倍數(shù)，另一個(gè)是6的倍數(shù)，還有一個(gè)是7的倍數(shù)，原來(lái)的三位數(shù)是多少？【分析與解】一個(gè)是5的倍數(shù),各4位數(shù)字均不為0，所以三位數(shù)中一定有一個(gè)是5。能被7整除有14、21、28、35、42、49、56、63。被5整除有15、25、35、45、55、65、75、85、95，能被6整除有12、18、24、36、42、48、54、66。經(jīng)試得滿(mǎn)足條件的三位數(shù)是656。6．一個(gè)自然數(shù)N共有9個(gè)約數(shù)，而N—1共有8個(gè)約數(shù)。滿(mǎn)足條件的自然數(shù)中，最小的和第二小的分別是多少？

【分析與解】N要約數(shù)為9。N分解質(zhì)因數(shù)指數(shù)必定是2與2，N—1要約數(shù)為8，N—1分解質(zhì)因數(shù)指數(shù)必定是1、1與1，N要最小，所以從2的2次乘3的3次，可是，N—1不符合，經(jīng)試，只有196才符合，用同樣的方法，得到第二小的是256。10．信息在戰(zhàn)爭(zhēng)中是非常重要的，它常以密文的方式傳送。對(duì)方能獲取密文卻很難知道破譯密文的密碼,這樣就達(dá)到了保密的作用.有一天我軍截獲了敵軍的一串密文:A37|8B4|21C,字母表示還沒(méi)有被破譯出來(lái)的數(shù)字.如果知道密碼滿(mǎn)足如下條件:①密文由三個(gè)三位數(shù)連在一起組成,每個(gè)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字互不相同;②三個(gè)三位數(shù)除以12所得到的余數(shù)是三個(gè)互不相同的質(zhì)數(shù);③三個(gè)字母表示的數(shù)字互不相同且不全是奇數(shù).你能破解此密文嗎?【分析與解】由①得，A不能為3、7，B不能為4、8，C不能為2、1，21C÷12，當(dāng)C為5時(shí)，余數(shù)是11，當(dāng)C為8時(shí)，余數(shù)是2，當(dāng)C為9時(shí)，余數(shù)是3，其它的不符合。8B4÷12，當(dāng)B為5時(shí)，余數(shù)是2，其它的不符合，所B只能是5，C只能是9。B、C是奇數(shù)，所以A只能是是偶數(shù)，A37÷12，有且只當(dāng)A是4時(shí)，余數(shù)是5。密文:A37|8B4|21C為437854219。【拓展篇】8.一個(gè)合數(shù),其最大的兩個(gè)約數(shù)之和為1164.求所有滿(mǎn)足要求的合數(shù).【分析與解】一個(gè)合數(shù),其最大的兩個(gè)約數(shù)之和為1164，這兩個(gè)數(shù)之間可以是兩倍、三倍、或11倍的關(guān)系，這樣1164除去3乘2得第一個(gè)合數(shù)776，1164除去4乘3得第二個(gè)合數(shù)873，1164除去12乘11得第三個(gè)合數(shù)1067。所有滿(mǎn)足要求的合數(shù)是776、873、1067。9.已知a與b是兩個(gè)正整數(shù),且A＞B.請(qǐng)問(wèn):⑴如果它們的最小公倍數(shù)是36,那么這兩個(gè)正整數(shù)有多少種情況?

⑵如果它們的最小公倍數(shù)是120,那么這兩個(gè)正整數(shù)有多少種情況?

【分析與解】⑴36分解質(zhì)因數(shù)，a＞b，當(dāng)a=36時(shí)，b有8種情況，當(dāng)a=18時(shí)，b有2種情況，當(dāng)a=12時(shí)，b有1種情況，當(dāng)a=9時(shí)，b有1種情況，所以最小公倍數(shù)是36,那么這兩個(gè)正整數(shù)有12種情況。⑵120分解質(zhì)因數(shù)，用⑴中的方法能解得最小公倍數(shù)是120,這兩個(gè)正整數(shù)有31種情況。12.如圖15-l,在一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔(少于100個(gè)).小明像玩跳棋那樣從A孔出發(fā)沿著逆時(shí)針?lè)较颍扛魩讉€(gè)孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先試著每隔2孔跳一步,結(jié)果只能跳到B孔.他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好回到4孔.問(wèn)這個(gè)圓圈上共有多少個(gè)孔?【分析與解】設(shè)這個(gè)圓圈有n個(gè)孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n能被7整除．則將n-1是3、5的倍數(shù),即是15的倍數(shù),所以n=15t+1,又因?yàn)榉彩?的倍數(shù),即15t+1=7A,將系數(shù)與常數(shù)對(duì)7取模,有t+1≡0(mod7),所以t取6或6與7的倍數(shù)和.對(duì)應(yīng)孔數(shù)為15×6+l=91或91與105的倍數(shù)和，滿(mǎn)足題意的孔數(shù)只有91．即這個(gè)圓圈上共有91個(gè)孔．【超越篇】1． 有6個(gè)互不相同且不為0的自然數(shù)，其中任意5個(gè)數(shù)的和都是7的倍數(shù)，任意4個(gè)數(shù)的和都是6的倍數(shù)。請(qǐng)問(wèn)：這6個(gè)數(shù)的和最小是多少？【分析與解】我們由題可以想到，這6個(gè)數(shù)能被7整除，被6除余3,可以得出這6個(gè)數(shù)分別是:21、63、105、147、189、231。這6個(gè)數(shù)的和最小是756。2． 設(shè)N=301×302×…×2005×2006，請(qǐng)問(wèn)：(1) N的末尾一共會(huì)出現(xiàn)多少個(gè)連續(xù)的數(shù)字“0”

(2) 用N不斷除以12，直到結(jié)果不能被12整除為止，一共可以除以多少次12？【分析與解】(1)要求N的末尾一共會(huì)出現(xiàn)多少個(gè)連續(xù)的數(shù)字“0”，我們只要計(jì)算N有多少個(gè)2乘5，在N中5的因數(shù)比2少,所以就只要求出多少個(gè)因數(shù)5就可以了.305-2005有341個(gè)5的倍數(shù),325-2000有68個(gè)25的倍數(shù),375-2000有14個(gè)125的倍數(shù),625-1925有3個(gè)125的倍數(shù),所以一共有341+68+14+3=426個(gè). N的末尾一共會(huì)出現(xiàn)426個(gè)連續(xù)的數(shù)字“0”.(2)12=2×2×3,要求N一共可以除以多少次12,只要求N含有多少個(gè)2×2×3因式就可以了,用(1)的方法算出有多個(gè)2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024的倍數(shù)的數(shù),一共算得有1700個(gè)，3的倍數(shù)的有1526，2×2的因式有850個(gè)，3的因式有1526，所以一共可以除以850次12。3． 老師告訴貝貝和晶晶一個(gè)小于5000的四位數(shù)。這個(gè)四位數(shù)是5的倍數(shù)。貝貝計(jì)算出它與5！的最小公倍數(shù)，晶晶計(jì)算出它與10！的最大公約數(shù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)貝貝的計(jì)算結(jié)果恰好是晶晶的5倍。請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)四位數(shù)是多少？【分析與解】貝貝的計(jì)算結(jié)果恰好是晶晶的5倍，這個(gè)四位數(shù)與5！的最小公倍數(shù)是貝貝的計(jì)算結(jié)果，顯然這個(gè)數(shù)為4！的倍數(shù)，所知又為5！的倍數(shù)，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)與5！最小公倍數(shù)就是它本身，它與10！的最大公約數(shù)最小也是120，它本身必須包含600這個(gè)約數(shù)，而600也是10！的約數(shù)，所以這個(gè)四位數(shù)就是3000。4． 一個(gè)正整數(shù)，它分別加上75和48以后都不是120的倍數(shù)，但這兩個(gè)和的乘積卻能被120整除。這個(gè)正整數(shù)最小是多少？【分析與解】設(shè)這個(gè)正整數(shù)為A,則(75+A)×(48+A)=3600+A(75+48+A)是120的倍數(shù),則A(75+48+A)=A(123+A),A(123+A)是120的倍數(shù),則A是120的倍數(shù)或(123+A)是120的倍數(shù),是要使正整數(shù)最小,我們只要使(123+A)是120的倍數(shù),得A是240-123=117.這個(gè)正整數(shù)最小是117.5． a、b、c是三個(gè)非零自然數(shù)。a和b的最小公倍數(shù)是300，c和a，c和b的最大公約數(shù)都是20，且a﹥b﹥c。請(qǐng)問(wèn)：滿(mǎn)足條件的a、b、c共有多少組？

【分析與解】300=20×3×5，是a、b的最小公倍數(shù)，而20是a和c、b和c的最大公約數(shù)，所以 a、b、c有7種可能，即a20×520×3×520×3×520×520×3×520×3×520×3×5b20×320×320×520×320×320×520×5C20202040404080a﹥b﹥c，滿(mǎn)足條件的a、b、c共有7組。6． 有一類(lèi)三位數(shù)，它們除以2、3、4、5、6所得到的余數(shù)互不相同（可以含0）。這樣的三位數(shù)中最小的三個(gè)是多少？【分析與解】除以2、3、4、5、6所得到的余數(shù)互不相同（可以含0），要求找到一個(gè)數(shù)能整除2、3、4、5、6后有余數(shù)的數(shù)，所以先求最小公倍數(shù)，2×3×4×5×6=60，又因?yàn)槭亲钚∪粩?shù)，所以是120。當(dāng)120減1得119，讓119除以2、3、4、5、6，所得的余數(shù)分別為：1、2、3、4、5；當(dāng)120減2得118，讓118除以2、3、4、5、6，所得的余數(shù)分別為：0、1、2、3、4，當(dāng)120減3得117，讓117除以2、3、4、5、6，所得的余數(shù)分別為：1、0、1、2、3，不符合，所以余數(shù)0不是除以4、6，而除以2、3都有了，所以只有除以5得0了，個(gè)位不能是0，因?yàn)槭?的話(huà)能被動(dòng)整除，所以個(gè)位只能是5了。經(jīng)算只有155符合，所以第三小的是155，這樣的三位數(shù)