抽象函數(shù)題型匯編

抽象函數(shù)常見(jiàn)題型匯編類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問(wèn)題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一。本文就抽象函數(shù)常見(jiàn)題型及解法評(píng)析如下： (一) 已知 的定義域，求

的定義域，解法：若范圍即為

的定義域?yàn)榈亩x域。

，則

中

，從中解得

的取值的定義域?yàn)?/p>

設(shè)函數(shù) ，則的定義域?yàn)椋?）函數(shù) 的定義域?yàn)開(kāi)_____；（2）函數(shù)

的定義域?yàn)開(kāi)______解析：（1）由已知有（2）由已知，得

，解得，解得

，故，故

的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?二) 已知 的定義域，求

的定義域。解法：若定義域。

的定義域?yàn)?/p>

，則由

確定

的范圍即為

的

函數(shù) 的定義域?yàn)?/p>

，則

的定義域?yàn)開(kāi)____。解析：由

，得

，所以

，故填(三) 已知 的定義域，求

的定義域。解法：先由

定義域求

定義域，再由

定義域求得

定義域。

函數(shù)

定義域是

，則

的定義域是_______解析：先求

的定義域，

的定義域是

，，即 的定義域是再求 的定義域， ，的定義域是(四) 運(yùn)算型的抽象函數(shù)域，再求交集。

函數(shù) 的定義域是 的定義域。解析： 由已知，有 ，即函數(shù)的定義域由 確定函數(shù)

的定義域是 已知函數(shù)

的定義域是［1，2］，求

()的定義域。解析：所以

的定義域是［1，2］，是指中的

滿足

，從而函數(shù)

()的定義域是［1，4］ 已知函數(shù) 的定義域是 ，求函數(shù) 的定義域。解析： 的定義域是 ，意思是凡被

f

作用的對(duì)象都在

中，由此可得

(

)定義域?yàn)椋?/p>

，則

定義域是__。

的定義域是

解析：因?yàn)榧?/p>

均相當(dāng)于

(

)中的

，所以

時(shí)，則(，

); 當(dāng)

時(shí)，則(，

)

(

)

(

)

u

u

u

u

u

u

u

u

u

(

g

(

))

(

)(

)

g

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

(

(

(

)

(

)

(

(

(

b(

(

b(

)

b

,

b

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)

(

)

)

(

)

(

)

(

)

)

(

)

),),

(

)

g

(

)

(

)

g

(

)

g

(

)

(

)

g

(

)

(

)

(

)g

(

)

g

(

)

(

)

g

(

)

g

(

)

g

g

(

)

g

(

)

設(shè)

(

)

的定義域?yàn)樽匀粩?shù)集，且滿足條件

(

(

)

()

,及

=1,求

(

)解析：∵

(

)

的定義域?yàn)?/p>

N，取

=1,則有

(

(

)

∵

=1,∴

=

+2,

……

()

(

以上各式相加，有

()

=1+2+3+……+

=

nn

∴

N

設(shè)函數(shù)

(

)存在反函數(shù)，g(

)

對(duì)稱，則函數(shù)(

)

(

)，(

)與g()的圖象關(guān)于直線A.

(

) B.

() C.

解析：要求

(

)的解析式，實(shí)質(zhì)上就是求

(

)圖象上任一點(diǎn)P(

，

)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系。 點(diǎn)

P(

，

)關(guān)于直線

的對(duì)稱點(diǎn)(

，

)適合

(

)，即

g(

)。又g(

)

(

)，

(

)

(

)

(

)，即(

)

(

)

，選

B。

設(shè)對(duì)滿足 的所有實(shí)數(shù)

，函數(shù)，求

的解析式。

滿足解析：在

中以

代換其中

x，得：再在(1)中以 代換

x，得化簡(jiǎn)得：評(píng)析：如果把

x

和 分別看作兩個(gè)變量，怎樣實(shí)現(xiàn)由兩個(gè)變量向一個(gè)變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留一個(gè)變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。 即在其定義域內(nèi)令變量取某特殊值而獲解，關(guān)鍵是抽象問(wèn)題具體化。或 已知定義域?yàn)?的函數(shù)

f(x) ；②解析：取因?yàn)?/p>

，求

(3)，(9)的值。，得，所以又取

，得 定義在R上的函數(shù)

(

)滿足：

(

)

)且

)

(

，求

的值。由

)

(

，以

代入，有

(

)

(

)，

(

)為奇函數(shù)且有

，又由

(

()]

(

)是周期為

8

的周期函數(shù)，

已知

(

)的定義域?yàn)?/p>

，且

(

)

(

)

(

)對(duì)一切正實(shí)數(shù)

，都成立，若

，則

_______。在條件

(

)

(

)

(

)中，令

，得

，

又令

，得

，

已知

(

)是定義在

R

上的函數(shù)，且滿足：

(

(

)]

(

)，

，求

的值。緊扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)

(

)是周期函數(shù)，顯然

()，于是

，

所以

，故

(

)是以

為周期的周期函數(shù)，從而

y 設(shè)函數(shù)

f(x)

x、，y

總成立，且存在解析：令

，使得，得

，求函數(shù)，即有

或

的值域。。，則 ，對(duì)任意若，則 ，對(duì)任意，使得

成立矛盾，故

，必有

。對(duì)任意由于 均成立，因此，對(duì)任意對(duì)任意

，有下面來(lái)證明，對(duì)任意設(shè)存在 ，使得 ，則這與上面已證的

矛盾，因此，對(duì)任意所以評(píng)析：在處理抽象函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，往往需要對(duì)某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。

(

)，

(

)

(

)

()

(

)

，

(

(

)

[，

，

(

)

(

)

(

)

[(

)

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

()

()

(

)

(

)

(

(

(

)在[，

[，

m

m

作用。

(

)

，

(

)

解析：

(

)

(

)

(，

(

)

(

)

(

(

)(，

(m

)

(m

)

mm

m

m

m

m

m

m

m

m

m

已知函數(shù)

(

)是定義在(，上的減函數(shù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式

(

)

(

)恒成立，求

的值。

由 題 意 知 兩 式 對(duì) 一 切

恒 成

立

，

則

有

已知函數(shù)

(

)對(duì)任意，

有

(

)

()

(

)

，當(dāng)

時(shí)，

(

)

，

，求不等式

(

的解集。解析：設(shè)、

且

，則

，

(

)

，即

(

)

故

(

)為增函數(shù)，又

，

，

(

，

，

因此不等式

(

的解集為

。 設(shè)

f(x)定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)

時(shí)，

，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，有證明：在

，求證：中取

在

R

上為增函數(shù)。，得若

，令

，則

，與

矛盾所以

，即有當(dāng)而

時(shí)，

；當(dāng)，所以

時(shí)，又當(dāng)

時(shí)，

，所以對(duì)任意

，恒有設(shè)

，則∴

，∴

在

R

上為增函數(shù)

已知偶函數(shù)

(

)在，)

(

)在(，上是增函是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。證明：

(

)(，

(

)，)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)，

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(，

(

)

，

(

)[，A.

B.

解析：B 已知函數(shù) 對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù)，試判斷函數(shù)

f(x)的奇偶性。

都有解析：取

得：

，所以又取再取因?yàn)?/p>

得：則為非零函數(shù)，所以

，所以，即為偶函數(shù)。 若函數(shù)

(

)(

(

)

與

(

)

(

)是偶函數(shù)。證明：設(shè)

(

)圖象上任意一點(diǎn)為（

，

）

(

)與

(

)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P(

，

)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)(

，

)在

(

)的圖象上，

又

(

)，

(

)

(

) 即對(duì)于函數(shù)定義域上的任意

都有

()

(

)，所以

(

)是偶函數(shù)。3.

3.

，則

是以

為周期的周期函數(shù)；幾種特殊的抽象函數(shù)：具有周期性的抽象函數(shù)：函數(shù)

滿足對(duì)定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù)

（其中

為常數(shù)）,1.

，則

是以

為周期的周期函數(shù)；2.

，則

是以

為周期的周期函數(shù)；

4.

，則

是以

為周期的周期函數(shù)；5.

，則

是以

為周期的周期函數(shù).

6.

，則

是以

為周期的周期函數(shù).7.

，則

是以

為周期的周期函數(shù).

8. 函數(shù)

滿足

（

），若

為奇函數(shù)，則其周期為

，若

為偶函數(shù)，則其周期為

.9.函數(shù)

的圖象關(guān)于直線

和

b

b

都對(duì)稱，則函數(shù)

是以

b

為周期的周期函數(shù)；10.函數(shù)

的圖象關(guān)于兩點(diǎn)

,

、

b,

是以

b

為周期的周期函數(shù)；

b

都對(duì)稱，則函數(shù)11.

函數(shù)

的圖象關(guān)于

,

是以

b

為周期的周期函數(shù)；

和直線

b

b

都對(duì)稱，則函數(shù) 設(shè)

(

)定義在

R

上且對(duì)任意的

有

(

)

(

(

，求證：

(

)是周期函數(shù)，并找出它的一個(gè)周期。

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

(

(

(

(

)

(

(

(

(

)

(

(

) 設(shè)函數(shù)

(

)的定義域?yàn)?/p>

R，且對(duì)任意的

有

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) 解析：

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

),

(

)

)

，

(

)

(

)

(

)

，

(

)

)，

,

(

)

(

，

(

)

(

)

(

)

(

)

(

),

(

)

(

(

)

(

)

.

(

)

)

，

(

)

(

)

(

)

，

,

(

)

)，

(

)

)，

(

),

(

)

b(

b)

(

)b

)

(

)

和

b

b

b

)

b)，

[

b)]

[(

)b]

[(

)]

(

)

，

(

),b

)

(

)

(

)

(

)

(

),

(

)

)，

(

)

(

),

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

M

(，

b(b

)

(

)b

)

(

)

M

(，

)

(

)，

(

)b

b

b

b

b

b

b

b

b

(

)

b

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

M

(，

N(b，

(

b)

(

)b

)

(

)

M(，，N(b，

b

b

)

b

)，

[

b

)]

b(

)]

(

)]

()，

(

)b

)

（）對(duì)稱性的概念及常見(jiàn)函數(shù)的對(duì)稱性、對(duì)稱性的概念①軸對(duì)稱：如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一條直線對(duì)折，直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合，則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的軸對(duì)稱，該直線稱為該函數(shù)的對(duì)稱軸。

全重合，則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的中心對(duì)稱，該點(diǎn)稱為該函數(shù)的對(duì)稱中心。、常見(jiàn)函數(shù)的對(duì)稱性（所有函數(shù)自變量可取有意義的所有值）①常函數(shù)

;②一次函數(shù)

;③二次函數(shù)

;④反比例函數(shù)

;⑤指數(shù)函數(shù)

;⑥對(duì)數(shù)函數(shù)

;⑦冪函數(shù)

;⑧正弦函數(shù);⑨正弦型函數(shù)

)

既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱;⑩余弦函數(shù);⑾正切函數(shù);⑿耐克函數(shù);⒀三次函數(shù)：顯然三次函數(shù)中的奇函數(shù)是中心對(duì)稱，對(duì)稱中心是原點(diǎn)，而其他的三次函數(shù)是否具備對(duì)稱性得因題而異。⒁絕對(duì)值函數(shù)：這里主要說(shuō)的是

和

(

)兩類。前者顯然是偶函數(shù)，它會(huì)關(guān)于

軸對(duì)稱;后者是把軸下方的圖像對(duì)稱到⒂形如

b(

)

的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線

d也沒(méi)有一定的結(jié)論，例如

⒂形如

b(

)

的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線

dd (由分母為零確定)(由分母為零確定)和直線

(

的系數(shù)確定)

。

d

,

（）抽像函數(shù)的對(duì)稱性、函數(shù)

(

)圖像本身的對(duì)稱性（自對(duì)稱問(wèn)題）（）軸對(duì)稱①

(

)的圖像關(guān)于直線

對(duì)稱

(

)

(

)

(

)

)

(

)

)②

(

)

(b

)

(

)的圖像關(guān)于直線

b

b

對(duì)稱. 特別地，函數(shù)

(

)的圖像關(guān)于

軸對(duì)稱的充要條件是

(

)

(

).（）中心對(duì)稱①

(

)

的

圖

像

關(guān)

于

點(diǎn)

(,

b)

對(duì)

稱

(

)

(

)

b

(

)

)

b

(

)

)

b

②

(

)

(b

)

(

)的圖像關(guān)于點(diǎn)

b,對(duì)稱.特別地，函數(shù)

(

)的圖像關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱的充要條件是

(

)

(

)

.（）對(duì)稱性與周期性之間的聯(lián)系①若函數(shù)

既關(guān)于直線b對(duì)稱

b

關(guān)于無(wú)數(shù)條直線對(duì)稱，相鄰對(duì)稱軸的距離為 b

；且函數(shù)

為周期函數(shù)，周期

b

；特別地：若

(

)是偶函數(shù)，圖像又關(guān)于直線

對(duì)稱，則

(

)是周期為

的周

b

對(duì)稱（）函數(shù)

b

對(duì)稱（）函數(shù)

(

)與

(

)圖像關(guān)于

軸對(duì)稱。②若函數(shù)

既關(guān)于點(diǎn)

b

對(duì)稱

b

關(guān)于無(wú)數(shù)

b

b

；③若函數(shù)

既關(guān)于直線b

對(duì)稱

b

關(guān)于無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)和直線對(duì)稱，相鄰對(duì)稱軸和中心的距離為

b

，相鄰對(duì)稱軸或中心的距離為

b

；且函數(shù)

為周期函數(shù)，周期

b

。特別地：若

(

)是奇函數(shù)，圖像又關(guān)于直線

對(duì)稱，則

(

)是周期為

的周期函數(shù)。、兩個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱性（互對(duì)稱問(wèn)題）（）函數(shù)

(

)與

(

)圖像關(guān)于直線

對(duì)稱。（）函數(shù)

(

)與

)圖像關(guān)于直線

對(duì)稱（）函數(shù)

(

)與

)圖像關(guān)于直線

對(duì)稱（）函數(shù)

(

)

與

(b

)

圖像關(guān)于直線

(

)(b

)

對(duì)稱即直線（）函數(shù)

(

)與

(

)圖像關(guān)于

軸對(duì)稱。（）函數(shù)

(

)與

(

)圖像關(guān)于直線

成軸對(duì)稱。（）函數(shù)

(

)與

()

圖像關(guān)于直線

成軸對(duì)稱。（）函數(shù)

與

的圖像關(guān)于直線

對(duì)稱。（）函數(shù)

與

的圖像關(guān)于直線

對(duì)稱。（

）函數(shù)

有反函數(shù)，則

和

的圖像關(guān)于直線

對(duì)稱。（

(

)與

b

)

的圖像關(guān)于點(diǎn)(,

b)數(shù)

(

)與

(

)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 函數(shù) 滿足 ，求

值。解析：已知式即在對(duì)稱關(guān)系式

中取

，所以函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，2002）對(duì)稱。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（2002，0）對(duì)稱。所以將上式中的

x

用 代換，得a、b均為常數(shù)，函數(shù) 對(duì)一切實(shí)數(shù)

x

都滿足 ，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）成中心對(duì)稱圖形。 性使問(wèn)題獲解。 已知函數(shù)

(

)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，

時(shí)，

(

)是增函數(shù)，若

，且

，則

(

)，

(

)的大小關(guān)系是_______。 解析：

，

且

，

又時(shí)，

(

)是增函數(shù)，

(

)

(

)

(

)是偶函數(shù)，

(

)

(

)

，故

(

)

(

) 討論方程根的問(wèn)題 已知函數(shù)

(

)對(duì)一切實(shí)數(shù)

x

都滿足

)

)，并且

(

)

有三個(gè)實(shí)根，則這三個(gè)實(shí)根之和是_______。

)

)知直線

是函數(shù)

(

)

(

)

有三個(gè)實(shí)根，由對(duì)稱性知

必是方程的一個(gè)根，其余兩根

，

關(guān)于直線