概率統(tǒng)計模型課件

概率統(tǒng)計模型初等概率模型隨機決策模型概率統(tǒng)計模型初等概率模型1概率模型

現(xiàn)實世界的變化受著眾多因素的影響，包括確定的和隨機的。如果從建模的背景、目的和手段看，主要因素是確定的，隨機因素可以忽略，或者隨機因素的影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)，那么就能夠建立確定性模型。如果隨機因素對研究對象的影響必須考慮，可用隨機變量和概率分布描述隨機因素的影響，建立隨機模型--概率模型。統(tǒng)計模型

如果由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜性及人們認(rèn)識程度的限制，無法分析實際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機理規(guī)律的模型，那么通常要搜集大量的數(shù)據(jù)，基于對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析建立模型，這就是本章還要討論的用途非常廣泛的一類隨機模型—統(tǒng)計回歸模型。概率模型2隨機決策模型日常理財決策一：存銀行決策二：投資好處：保險、增值不足：收入較低好處：收入較高不足：風(fēng)險大決策問題：常見于政治、經(jīng)濟、文化、社會及日常生活中隨機決策模型日常理財決策一：存銀行決策二：投資好處：3決策問題分類確定性決策不確定性決策風(fēng)險性決策如：微分方程模型、規(guī)劃論模型房地產(chǎn)投資、股票投資等風(fēng)險性決策模型內(nèi)容風(fēng)險決策模型的概念決策樹概念兩個實例決策問題分類確定性決策不確定性決策風(fēng)險性決策如：微分方程模型4風(fēng)險決策——是指在作出決策時，往往有某些隨機性的因素影響，而決策者對于這些因素的了解不足，但是對各種因素發(fā)生的概率已知或者可估算出來，因此這種決策因存在一定的風(fēng)險.1、風(fēng)險性決策模型的基本概念風(fēng)險決策的定義風(fēng)險決策的基本要素內(nèi)容包括：決策者、方案、準(zhǔn)則、狀態(tài)、結(jié)果方案或策略：參謀人員為決策者提供的各種可行計劃和謀略.決策者：進行決策的個人、委員會或某個組織.在問題比較重大和嚴(yán)肅時，通常應(yīng)以后者形式出現(xiàn).風(fēng)險決策——是指在作出決策時，往往有某些隨機性的因素1、風(fēng)險5準(zhǔn)則：衡量所選方案正確性的標(biāo)準(zhǔn).作為風(fēng)險型決策，采用的比較多的準(zhǔn)則是期望效益值準(zhǔn)則，也即根據(jù)每個方案的數(shù)學(xué)期望值作出判斷.事件或狀態(tài)：不為決策者可控制的客觀存在的且將發(fā)生的自然狀態(tài)稱為狀態(tài)(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即為三個事件或稱三種狀態(tài)，均為人所不可控因素.結(jié)果：某事件(狀態(tài))發(fā)生帶來的收益或損失值.風(fēng)險決策的基本要素內(nèi)容包括：決策者、方案、準(zhǔn)則、狀態(tài)、結(jié)果準(zhǔn)則：衡量所選方案正確性的標(biāo)準(zhǔn).作為風(fēng)險型決策，采用的比較6風(fēng)險決策的方法決策樹法：利用樹形圖法表示決策過程的方法.決策樹法的特點：直觀、簡便利用靈敏度分析方法對決策結(jié)果進行進一步的推廣和分析風(fēng)險決策的方法決策樹法：利用樹形圖法表示決策過程的方法.72、決策樹的概念【例1】某漁船要對下個月是否出海打漁作出決策，若出海后天氣好的話，可獲收益5000元，若天氣變壞將損失2000元；若不出海，無論天氣好壞都將承擔(dān)1000元損失費。據(jù)預(yù)測，下個月好天氣的概率為0.6，壞天氣的概率為0.4.問如何作出最佳決策？2、決策樹的概念【例1】某漁船要對下個月是否出海打漁作出決策8決策樹的畫法A決策結(jié)點策略分枝BC狀態(tài)結(jié)點概率分枝益損值出海不出海天氣好0.6天氣壞0.4天氣好0.6天氣壞0.45000-2000-1000-1000注意：畫決策樹時，方向為從左到右，畫的過程中同時將各種數(shù)據(jù)標(biāo)于相應(yīng)的位置。上面的樹形圖即為“打漁”問題的數(shù)學(xué)模型，如何求解該模型？上例的決策樹如圖所示，其中：□——表示決策點，從它引出的分枝叫方案分枝，其數(shù)目就是方案數(shù)○——表示機會節(jié)點，從它引出的分支叫概率分支，每條概率分支代表一種自然狀態(tài)，并標(biāo)有相應(yīng)狀態(tài)發(fā)生的概率?！鳌Q為末稍節(jié)點，右邊數(shù)字表示各方案在不同自然狀態(tài)下的益損值。決策樹的畫法A決策策略分枝BC狀態(tài)概率分枝益損值出海不出9ABC出海不出海天氣好0.6天氣壞0.4天氣好0.6天氣壞0.45000-2000-1000-1000模型的求解方法：期望值準(zhǔn)則注意:求解過程為從右到左進行，即從最右端的結(jié)點開始計算其期望值。以“打漁”問題為例，先計算“出?！钡氖找嫫谕担阂猿龊５氖找孀鳛殡S機變量X，相應(yīng)的天氣情況的概率作為概率，則相應(yīng)的概率分布為：X5000-2000P0.60.4ABC出海不出海天氣好0.6天氣壞0.4天氣好0.6天氣壞010ABC出海不出海天氣好0.6天氣壞0.4天氣好0.6天氣壞0.45000-2000-1000-1000X5000-2000P0.60.4于是，出海的收益期望值為：E(X)=5000×0.6+(-2000)×0.4=22002200同理，不出海的收益期望值為：E(Y)=-1000×0.6+(-1000)×0.4=-1000-1000最后，比較兩個期望值的大小，進行決策：出海！上例只包括一個決策點，稱為單級決策問題。在有此實際問題中將包括兩個或兩個以上的決策點，稱為多級決策問題，可利用同樣的思路進行決策。ABC出海不出海天氣好0.6天氣壞0.4天氣好0.6天氣壞011【例3】投資決策問題：為了生產(chǎn)某種產(chǎn)品，設(shè)計了兩個基建方案，一是建大廠，二是建小廠，大廠需要投資300萬元，小廠需要投資160萬元，兩者的使用期都是10年。估計在此期間，產(chǎn)品銷路好的可能性是0.7，銷路差的可能性是0.3，若銷路好，建大廠每年收益100萬元，建小廠每年收益40萬元；若銷路差，建大廠每年損失20萬元，建小廠每年收益10萬元（詳見下表），試問應(yīng)建大廠還是建小廠？進一步的，將投資分為前三年和后七年兩期考慮，根據(jù)市場預(yù)測，前三年銷路好的概率為0.7，而如果前三年的銷路好，則后七年銷路好的概率為0.9，如果前三年的銷路差，則后七年的銷路肯定差，在這種情況下，建大廠和建小廠哪個方案好？

銷路好0.7銷路差0.3建大廠100-20建小廠4010狀態(tài)及概率益損值方案【例3】投資決策問題：為了生產(chǎn)某種產(chǎn)品，設(shè)計了兩個基建方案，12概率統(tǒng)計模型課件13圖4—1決策樹

注意：決策問題的目標(biāo)如果是效益（如利潤、投資、回報等）應(yīng)取期望值的最大值，如果決策目標(biāo)是費用的支出或損失，則應(yīng)取期望值的最小值。

（2）多級決策問題

下面以投資決策問題為例，說明決策方法。

（a）畫決策樹（圖4—2）

（b）計算各點的益損期望值：

點2：[0.7×100+0.3×(-20)]×10(年)-300（大廠投資）=340萬元

點3：[0.7×40+0.3×10]×10(年)-160（小廠投資）=150萬元

由此可見，建大廠的方案是合理的。

圖4—1決策樹

注意：決策問題的目標(biāo)如果是效益（如利潤14現(xiàn)在考慮一種情況：

假定對投資決策問題分為前三年和后七年兩期考慮。根據(jù)市場預(yù)測，前三年銷路好的概率為0.7，而如果前三年銷路好，則后七年銷路好的概率為0.9，如果前三年銷路差，則后七年的銷路肯定差，在這種情況下，建大廠和建小廠那個方案好？

（a）畫出決策樹如下（圖4—3）

現(xiàn)在考慮一種情況：

假定對投資決策問題分為前三年和后七年兩期15圖4—3決策樹圖4—3決策樹16（b）計算各點的益損期望值

點4：[0.9×100+0.1×(—20)]×7(年)=616萬元

點5：1.0×(—20)×7(年)=—140萬元

點2：0.7×100×3(年)+0.7×616+0.3×(—20)×3(年)+0.3×(—140)

—300(大廠投資)=281.2

點6：[0.9×40+0.1×10]×7(年)=259

點7：1.0×10×7(年)=70

點3：0.7×40×3(年)+0.7×259+0.3×10×3(年)+0.3×70—

160(小廠投資)=135.3

通過比較，建大廠仍然是合理方案。（b）計算各點的益損期望值

點4：[0.9×100+0.1×17【例3】某工程采正常速度施工，若無壞天氣的影響，可確保在30天內(nèi)按期完成工程，但據(jù)天氣預(yù)報，15天后肯定變壞，有40%的可能出現(xiàn)陰雨天氣，但這不會影響工程進度;有50%的可能遇到小風(fēng)暴而使工期推遲15天;另有10%的可能遇到大風(fēng)暴而使工期推遲20天。對于以上可能出現(xiàn)的情況，考慮兩種方案：（1）提前加班，確保工程在15天內(nèi)完成，實施此方案需增加額外支付18000元。（2）先維持原定的施工進度，等到15天后根據(jù)實際出現(xiàn)的天氣狀況再作對策：a）若遇陰雨天，則維持正常進度，不必支付額外費用。b）若遇小風(fēng)暴，則有下述兩個供選方案：一是抽空（風(fēng)暴過后）施工，支付工程延期損失費20000元，二是采用應(yīng)急措施，實施此措施可能有三種結(jié)果：有50%的可能減少誤工期1天，支付延期損失費和應(yīng)急費用24000元;的可能減少誤工期2天，支付延期損失費和應(yīng)急費用18000元;有20%的可能減少誤工期3天支付延期損失費和應(yīng)急費用12000元。3）若遇大風(fēng)暴，則仍然有兩個方案可供選擇：一是抽空進行施工，支付工程的延期損失費50000元;二是采取應(yīng)急措施，實施此措施可能有三種結(jié)果：有70%的可能減少誤工期2天，支付延期損失費及應(yīng)急費用54000元;有20%可能減小誤工期3天，支付延期損失費及應(yīng)急費用46000元;有10%的可能減少誤工期4天，支付延期損失費及應(yīng)急費用38000元。試進行決策，選擇最佳行動方案。【例3】某工程采正常速度施工，若無壞天氣的影響，可確保在318解：（1）據(jù)題意畫出決策樹，如圖：

A正常速度

風(fēng)暴CE0－18000

－12000－18000

－24000

－20000

BDF－54000

－46000

－38000－50000

減少誤工3天(0.2)

減少誤工4天(0.1)減少誤工2天(0.7)

減少誤工1天(0.5)減少誤工2天(0.3)減少誤工3天(0.2)

陰雨0.40.5

0.1

-

提前加班

應(yīng)急正常施工

正常施工

應(yīng)急

臺風(fēng)

解：（1）據(jù)題意畫出決策樹，如圖：A正常速度風(fēng)暴CE0－19A正常速度

風(fēng)暴CE0－18000

－12000－18000

－24000

－20000

BDF－54000

－46000

－38000－50000

(0.2)(0.1)(0.7)(0.5)(0.3)(0.2)

陰雨0.40.5

0.1

提前加班

應(yīng)急正常施工

正常施工

應(yīng)急

臺風(fēng)

求解上述模型先做一級決策對臺風(fēng)情形，計算采取應(yīng)急措施付出的數(shù)學(xué)期望為：E(F)=-(0.7×54000+0.2×46000+0.1×38000)=-50800-50800同理，對決策結(jié)點C計算采取應(yīng)急措施時狀態(tài)結(jié)點E所支付的數(shù)學(xué)期望值為-19800-19800A正常速度風(fēng)暴CE0－18000－12000－1800020A正常速度

風(fēng)暴CE0－18000

－12000－18000

－24000

－20000

BDF－54000

－46000

－38000－50000

(0.2)(0.1)(0.7)(0.5)(0.3)(0.2)

陰雨0.40.5

0.1

-

提前加班

應(yīng)急正常施工

正常施工

應(yīng)急

臺風(fēng)

求解上述模型對決策D，因為采取應(yīng)急措施的數(shù)學(xué)期望為-50800，正常施工的期望即為-50000顯然，應(yīng)采取決策為正常施工。-50800-19800-50000同理，對決策C，應(yīng)采取應(yīng)急措施進行施工，即C的期望值為-19800-19800A正常速度風(fēng)暴CE0－18000－12000－1800021A正常速度

風(fēng)暴CE0－18000

－12000－18000

－24000

－20000

BDF－54000

－46000

－38000－50000

(0.2)(0.1)(0.7)(0.5)(0.3)(0.2)

陰雨0.40.5

0.1

-

提前加班

應(yīng)急正常施工

正常施工

應(yīng)急

臺風(fēng)

求解上述模型再做二級決策：再狀態(tài)結(jié)點B處，用第1級決策的結(jié)果計算“效益”的數(shù)學(xué)期望值為：E(B)=0×0.4+(-19800)×0.5+(-50000)×0.1=-14900-50800-19800-50000-19800-14900A正常速度風(fēng)暴CE0－18000－12000－1800022A正常速度

風(fēng)暴CE0－18000

－12000－18000

－24000

－20000

BDF－54000

－46000

－38000－50000

(0.2)(0.1)(0.7)(0.5)(0.3)(0.2)

陰雨0.40.5

0.1

-

提前加班

應(yīng)急正常施工

正常施工

應(yīng)急

臺風(fēng)

最后結(jié)論：不用提前加班，等15天后遇陰雨太天或臺風(fēng)都只須聽其自然按原來的進度施工，而遇暴風(fēng)雨則采取應(yīng)急措施，此決策方案支付的數(shù)學(xué)期望為14900元-50800-19800-50000-19800-14900A正常速度風(fēng)暴CE0－18000－12000－1800023【討論題】天龍服裝廠設(shè)計了一款新式女裝準(zhǔn)備推向全國。如果直接大批量生產(chǎn)與銷售，主觀估計成功與失敗的概率各為0.5其分別的獲利為1200萬元與-500萬元，如取消生產(chǎn)銷售計劃，則損失設(shè)計與準(zhǔn)備費用40萬元。為穩(wěn)妥起見，可先小批量生產(chǎn)試銷，試銷的投入需45萬元。據(jù)歷史資料與專家估計，試銷成功與失敗的概率分別為0.6與0.4，又據(jù)過去情況，大批生產(chǎn)銷售為成功的例子中，試銷成功的占84%，大批生產(chǎn)銷售失敗的事例中，試銷成功的占36%。試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，通過建立決策樹模型按期望值準(zhǔn)則確定最優(yōu)決策。【討論題】天龍服裝廠設(shè)計了一款新式女裝準(zhǔn)備推向全國。如24問題分析與模型假設(shè)

4.設(shè)定以下變量

1.問題涉及直接大批量生產(chǎn)與銷售、取消生產(chǎn)銷售計劃和小批量試銷售這樣三個決策方案的取舍，在每種方案下又分為成功或失敗兩種結(jié)果；2.決策目標(biāo)在表面上看是獲利大小，實際上是要決定試銷與否；3.尚需注意后面幾句話：“大批生產(chǎn)銷售為成功的例子中，試銷成功的占84%，大批生產(chǎn)銷售失敗的事例中，試銷成功的占36%”，這意味著要計算兩個概率，其一是當(dāng)試銷成功時，大批量銷售成功與失敗的概率；其二是試銷失敗情況下，大批量銷售成功與失敗的概率，這意味著要利用貝葉斯概率公式；

--試銷成功，則--試銷失??；

--大量銷售成功，則--大量銷售失敗。問題分析與模型假設(shè)4.設(shè)定以下變量1.問題涉及直接大批25模型建立1.先來計算兩個概率，注意到代入貝葉斯概率公式

從而即當(dāng)試銷成功時，大批量銷售成功與失敗的概率分別為0.78和0.22.同理可以算出在試銷失敗情況下，大批量銷售成功與失敗的概率分別為0.22和0.78.模型建立代入貝葉斯概率公式26試銷-45萬成功0.6失敗0.4不試銷大量銷售大量銷售大量銷售取消銷售取消銷售取消銷售成功0.78成功0.22成功0.5失敗0.78失敗0.22失敗0.51200萬-500萬-40萬1200萬-500萬-40萬1200萬-500萬-40萬試銷與否作為決策思路，從左至由畫出決策樹模型如下，這棵樹即為所求的數(shù)學(xué)模型。為了簡單化，原題沒有對求解等后續(xù)過程作要求。我們不妨將模型求解出來。試銷-45萬成功0.6失敗0.4不試銷大量銷售大量銷售大量銷27（三）模型求解試銷-45萬成功0.6失敗0.4不試銷大量銷售大量銷售大量銷售取消銷售取消銷售取消銷售成功0.78成功0.22成功0.5失敗0.78失敗0.22失敗0.51200萬-500萬-40萬1200萬-500萬-40萬1200萬-500萬-40萬圖--3350350-40-126479.6434.6826826（三）模型求解試銷-45萬成功0.6失敗0.4不試銷大量銷售28案例一航空公司的預(yù)訂票策略1.問題的提出在激烈的市場競爭中，航空公司為爭取更多的客源而開展的一個優(yōu)質(zhì)服務(wù)項目是預(yù)訂票業(yè)務(wù)。公司承諾，預(yù)先訂購機票的乘客如果未能按時前來登機，可以乘坐下一班機或退票，無需附加任何費用。當(dāng)然也可以訂票時只訂座，登機時才付款，這兩種辦法對于下面的討論是等價的。設(shè)某種型號的飛機容量為n，若公司限制預(yù)定n張機票，那么由于總會有一些訂了機票的乘客不按時來登機，致使飛機因不滿員飛行而利潤降低，甚至虧本，如果不限制訂票數(shù)量呢，那么當(dāng)持票按時前來登機的乘客超過飛機容量時，必然會引起那些不能登機飛走的乘客（以下稱被擠掉者）的抱怨，公司不管以什么方式予以補救，也會導(dǎo)致受損和一定的經(jīng)濟損失，如客員減少，擠掉以后班機乘客，公司無償供應(yīng)食宿，付給一定的賠償金等。這樣，綜合考慮公司經(jīng)濟利益，必然存在一個恰當(dāng)訂票數(shù)量和限額。

假設(shè)飛機容量為300，乘客準(zhǔn)時到達(dá)機場而未乘上飛機賠償費是機票價格的10%，飛行費用與飛機容量、機票價格成正比（由統(tǒng)計資料知，比例系數(shù)為0.6，乘客不按時前來登機的概率為0.03），案例一航空公司的預(yù)訂票策略1.問題的提出在激烈的29請你:

1）建立一個數(shù)學(xué)模型，給出衡量公司經(jīng)濟利益和社會聲譽的指標(biāo)，對上述預(yù)定票業(yè)務(wù)確定最佳的預(yù)定票數(shù)量。

2）考慮不同客源的不同需要，如商人喜歡上述這種無約束的預(yù)定票業(yè)務(wù)，他們寧愿接受較高的票價，而按時上下班的雇員或游客，會愿意以若不能按時前來登機則機票失效為代價，換取較低額的票價。公司為降低風(fēng)險，可以把后者作為基本客源。根據(jù)這種實際情況，制定更好的預(yù)訂票策略。請你:

1）建立一個數(shù)學(xué)模型，給出衡量公司經(jīng)濟利益和社會302.模型假設(shè)與符號說明模型假設(shè)（1）假設(shè)預(yù)訂票的乘客是否按時前來登機是隨機的。

（2）假設(shè)已預(yù)訂票的乘客不能前來登機的乘客數(shù)是一個隨機變量。

（3）假設(shè)飛機的飛行費用與乘客的多少無關(guān)。符號約定n：飛機的座位數(shù)，即飛機的容量；

g：機票的價格；

f：飛行的費用；

b：乘客準(zhǔn)時到達(dá)機場而未乘上飛機的賠償費；m：售出的機票數(shù)；

k：已預(yù)訂票的乘客不能前來登機的乘客數(shù)，即遲到的乘客數(shù)，它是一個隨機變量；

pk：已預(yù)訂票的m個乘客中有k個乘客不能按時前來登機的概率；

p：每位乘客遲到的概率；

Pj（m）：已預(yù)訂票前來登機的乘客中至少擠掉j人的概率，即社會聲譽指標(biāo)；

S：公司的利潤；

ES：公司的平均利潤。2.模型假設(shè)與符號說明模型假設(shè)符號約定n：飛機的座位數(shù)，31

當(dāng)m-k≤n

時，說明m-k個乘客全部登機，此時利潤S=（m-k）g-f3.問題的分析及數(shù)學(xué)模型問題的分析通過上面引進的符號易知，賠償費b=0.1g，飛行費用f=0.6ng，每位乘客遲到的概率p=0.03，已預(yù)訂票的m個乘客中，恰有k個乘客不能按時前來登機，即遲到的乘客數(shù)k服從二項分布B（m，p），當(dāng)m-k>n時，說明有n個乘客登機，有m-k-n個乘客沒有登上飛機，即被擠掉了，此時利潤S=ng–f-(m–k-n)b根據(jù)以上的分析，利潤S可表示為：遲到的乘客數(shù)k=0,1,2,…,m-n-1時，說明有m-k-n個乘客被擠掉；

遲到的乘客數(shù)k=m-n，m-n+1，…，m時，說明已來的m-k個乘客全部登機了。當(dāng)m-k≤n時，說明m-k個乘客全部登機，此時利潤S32于是平均利潤因為于是平均利潤因為33由于k服從B（n，p）可知，隨機變量k的數(shù)學(xué)期望E（k）=mp，此時，所以由于k服從B（n，p）可知，隨機變量k的數(shù)學(xué)期望E（k）=m34模型建立

通過以上對問題的分析，可以在一定的社會聲譽指標(biāo)Pj（m）范圍內(nèi)，尋求合適的m，根據(jù)f=0.6Ng的關(guān)系，使得目標(biāo)函數(shù)ES/f達(dá)到最大，即模型建立

通過以上對問題的分析，可以在一定的社會聲譽指標(biāo)Pj35下面考慮社會聲譽指標(biāo):

由于m=n+k+j，所以k=m-n-j，即當(dāng)被擠掉的乘客數(shù)為j時，等價的說法是恰有m-n-j個遲到的乘客。

公司希望被擠掉的乘客人數(shù)不要太多，被擠掉的概率不要太大，可用至少擠掉j人的概率作為聲譽指標(biāo)，相應(yīng)地k的取值范圍為k=0,1,2,…,m-n-j，社會聲譽指標(biāo)

下面考慮社會聲譽指標(biāo):

由于m=n+k+j，所以k=m-36為了對模型（1）進行求解，可以分別給定m，比m=305,306,…,350，計算ES/f，同時，給定j，比如取j=5，計算社會聲譽指標(biāo)Pj（m），從中選取使ES/f最大，且社會聲譽指標(biāo)Pj（m）小于等于某個α（比如取α=0.05）的最佳訂票數(shù)m。4.模型求解為了對模型（1）進行求解，可以分別給定m，比m=3037下面給出MATLAB計算程序：

%飛機最佳訂票策略ch34

%文件名：ch34.m

%m表示售出的票數(shù)；Es表示平均利潤；p表示聲譽指標(biāo)；

form=305:325

sm=0;

p=0;

fork=0:m-305

pp=(prod(m-k+1:m)/prod(1:k))*0.03^k*0.97^(m-k);p=p+pp;

sm=sm+(m-k-300)*pp/prod(1:k);

end

Es=(1/180)*[0.97*m-1.1*sm]-1;

m

Es

p

end下面給出MATLAB計算程序：

%飛機最佳訂票策略ch3438

mESp3050.64369.2338e-0053060.64909.3723e-0043070.65430.00483083093103113123133143150.65960.66490.67030.67560.68100.68640.69170.69710.01670.04420.09520.17420.27960.40280.53140.6525m39

3160.70240.75663170.70780.83883180.71320.89903190.71850.93993200.72390.96613210.72930.98183220.73470.99073230.74000.99543240.74540.99793250.75080.999031640從計算結(jié)果易見，當(dāng)m=309時，社會聲譽指標(biāo)當(dāng)m=310時，社會聲譽指標(biāo)所以為了使ES/f量大，且要滿足社會聲譽指標(biāo)，則最佳訂票數(shù)可取m=309。從計算結(jié)果易見，412、某市要投資一個項目，有3個方案可供選擇：（1）一次投資到位，需要資金1.4億；根據(jù)測算，該項目產(chǎn)品如果銷售好，每年可獲利2千萬元；如果銷售差，每年將虧損0.5千萬元，項目的服務(wù)期20年。（2）二次投資，先投資5.8億萬元，如果銷售時，六年后擴大項目規(guī)模，追加投資8千萬元，如果第一次產(chǎn)品銷售好，每年可獲利0.8千萬元，銷售差時，每年可獲利0.6千萬元；擴大規(guī)模后，每年獲利1.9千萬元，擴建后的服務(wù)期14年。（3）小規(guī)模投資5.8千萬元，服務(wù)期20年。根據(jù)市場預(yù)測，該項目上馬之后，產(chǎn)品20年內(nèi)銷售好的概率為0.7，銷售不好的概率為0.3。選擇最優(yōu)方案2、某市要投資一個項目，有3個方案可供選擇：42概率統(tǒng)計模型初等概率模型隨機決策模型概率統(tǒng)計模型初等概率模型43概率模型

現(xiàn)實世界的變化受著眾多因素的影響，包括確定的和隨機的。如果從建模的背景、目的和手段看，主要因素是確定的，隨機因素可以忽略，或者隨機因素的影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)，那么就能夠建立確定性模型。如果隨機因素對研究對象的影響必須考慮，可用隨機變量和概率分布描述隨機因素的影響，建立隨機模型--概率模型。統(tǒng)計模型

如果由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜性及人們認(rèn)識程度的限制，無法分析實際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機理規(guī)律的模型，那么通常要搜集大量的數(shù)據(jù)，基于對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析建立模型，這就是本章還要討論的用途非常廣泛的一類隨機模型—統(tǒng)計回歸模型。概率模型44隨機決策模型日常理財決策一：存銀行決策二：投資好處：保險、增值不足：收入較低好處：收入較高不足：風(fēng)險大決策問題：常見于政治、經(jīng)濟、文化、社會及日常生活中隨機決策模型日常理財決策一：存銀行決策二：投資好處：45決策問題分類確定性決策不確定性決策風(fēng)險性決策如：微分方程模型、規(guī)劃論模型房地產(chǎn)投資、股票投資等風(fēng)險性決策模型內(nèi)容風(fēng)險決策模型的概念決策樹概念兩個實例決策問題分類確定性決策不確定性決策風(fēng)險性決策如：微分方程模型46風(fēng)險決策——是指在作出決策時，往往有某些隨機性的因素影響，而決策者對于這些因素的了解不足，但是對各種因素發(fā)生的概率已知或者可估算出來，因此這種決策因存在一定的風(fēng)險.1、風(fēng)險性決策模型的基本概念風(fēng)險決策的定義風(fēng)險決策的基本要素內(nèi)容包括：決策者、方案、準(zhǔn)則、狀態(tài)、結(jié)果方案或策略：參謀人員為決策者提供的各種可行計劃和謀略.決策者：進行決策的個人、委員會或某個組織.在問題比較重大和嚴(yán)肅時，通常應(yīng)以后者形式出現(xiàn).風(fēng)險決策——是指在作出決策時，往往有某些隨機性的因素1、風(fēng)險47準(zhǔn)則：衡量所選方案正確性的標(biāo)準(zhǔn).作為風(fēng)險型決策，采用的比較多的準(zhǔn)則是期望效益值準(zhǔn)則，也即根據(jù)每個方案的數(shù)學(xué)期望值作出判斷.事件或狀態(tài)：不為決策者可控制的客觀存在的且將發(fā)生的自然狀態(tài)稱為狀態(tài)(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即為三個事件或稱三種狀態(tài)，均為人所不可控因素.結(jié)果：某事件(狀態(tài))發(fā)生帶來的收益或損失值.風(fēng)險決策的基本要素內(nèi)容包括：決策者、方案、準(zhǔn)則、狀態(tài)、結(jié)果準(zhǔn)則：衡量所選方案正確性的標(biāo)準(zhǔn).作為風(fēng)險型決策，采用的比較48風(fēng)險決策的方法決策樹法：利用樹形圖法表示決策過程的方法.決策樹法的特點：直觀、簡便利用靈敏度分析方法對決策結(jié)果進行進一步的推廣和分析風(fēng)險決策的方法決策樹法：利用樹形圖法表示決策過程的方法.492、決策樹的概念【例1】某漁船要對下個月是否出海打漁作出決策，若出海后天氣好的話，可獲收益5000元，若天氣變壞將損失2000元；若不出海，無論天氣好壞都將承擔(dān)1000元損失費。據(jù)預(yù)測，下個月好天氣的概率為0.6，壞天氣的概率為0.4.問如何作出最佳決策？2、決策樹的概念【例1】某漁船要對下個月是否出海打漁作出決策50決策樹的畫法A決策結(jié)點策略分枝BC狀態(tài)結(jié)點概率分枝益損值出海不出海天氣好0.6天氣壞0.4天氣好0.6天氣壞0.45000-2000-1000-1000注意：畫決策樹時，方向為從左到右，畫的過程中同時將各種數(shù)據(jù)標(biāo)于相應(yīng)的位置。上面的樹形圖即為“打漁”問題的數(shù)學(xué)模型，如何求解該模型？上例的決策樹如圖所示，其中：□——表示決策點，從它引出的分枝叫方案分枝，其數(shù)目就是方案數(shù)○——表示機會節(jié)點，從它引出的分支叫概率分支，每條概率分支代表一種自然狀態(tài)，并標(biāo)有相應(yīng)狀態(tài)發(fā)生的概率。△——稱為末稍節(jié)點，右邊數(shù)字表示各方案在不同自然狀態(tài)下的益損值。決策樹的畫法A決策策略分枝BC狀態(tài)概率分枝益損值出海不出51ABC出海不出海天氣好0.6天氣壞0.4天氣好0.6天氣壞0.45000-2000-1000-1000模型的求解方法：期望值準(zhǔn)則注意:求解過程為從右到左進行，即從最右端的結(jié)點開始計算其期望值。以“打漁”問題為例，先計算“出?！钡氖找嫫谕担阂猿龊５氖找孀鳛殡S機變量X，相應(yīng)的天氣情況的概率作為概率，則相應(yīng)的概率分布為：X5000-2000P0.60.4ABC出海不出海天氣好0.6天氣壞0.4天氣好0.6天氣壞052ABC出海不出海天氣好0.6天氣壞0.4天氣好0.6天氣壞0.45000-2000-1000-1000X5000-2000P0.60.4于是，出海的收益期望值為：E(X)=5000×0.6+(-2000)×0.4=22002200同理，不出海的收益期望值為：E(Y)=-1000×0.6+(-1000)×0.4=-1000-1000最后，比較兩個期望值的大小，進行決策：出海！上例只包括一個決策點，稱為單級決策問題。在有此實際問題中將包括兩個或兩個以上的決策點，稱為多級決策問題，可利用同樣的思路進行決策。ABC出海不出海天氣好0.6天氣壞0.4天氣好0.6天氣壞053【例3】投資決策問題：為了生產(chǎn)某種產(chǎn)品，設(shè)計了兩個基建方案，一是建大廠，二是建小廠，大廠需要投資300萬元，小廠需要投資160萬元，兩者的使用期都是10年。估計在此期間，產(chǎn)品銷路好的可能性是0.7，銷路差的可能性是0.3，若銷路好，建大廠每年收益100萬元，建小廠每年收益40萬元；若銷路差，建大廠每年損失20萬元，建小廠每年收益10萬元（詳見下表），試問應(yīng)建大廠還是建小廠？進一步的，將投資分為前三年和后七年兩期考慮，根據(jù)市場預(yù)測，前三年銷路好的概率為0.7，而如果前三年的銷路好，則后七年銷路好的概率為0.9，如果前三年的銷路差，則后七年的銷路肯定差，在這種情況下，建大廠和建小廠哪個方案好？

銷路好0.7銷路差0.3建大廠100-20建小廠4010狀態(tài)及概率益損值方案【例3】投資決策問題：為了生產(chǎn)某種產(chǎn)品，設(shè)計了兩個基建方案，54概率統(tǒng)計模型課件55圖4—1決策樹

注意：決策問題的目標(biāo)如果是效益（如利潤、投資、回報等）應(yīng)取期望值的最大值，如果決策目標(biāo)是費用的支出或損失，則應(yīng)取期望值的最小值。

（2）多級決策問題

下面以投資決策問題為例，說明決策方法。

（a）畫決策樹（圖4—2）

（b）計算各點的益損期望值：

點2：[0.7×100+0.3×(-20)]×10(年)-300（大廠投資）=340萬元

點3：[0.7×40+0.3×10]×10(年)-160（小廠投資）=150萬元

由此可見，建大廠的方案是合理的。

圖4—1決策樹

注意：決策問題的目標(biāo)如果是效益（如利潤56現(xiàn)在考慮一種情況：

假定對投資決策問題分為前三年和后七年兩期考慮。根據(jù)市場預(yù)測，前三年銷路好的概率為0.7，而如果前三年銷路好，則后七年銷路好的概率為0.9，如果前三年銷路差，則后七年的銷路肯定差，在這種情況下，建大廠和建小廠那個方案好？

（a）畫出決策樹如下（圖4—3）

現(xiàn)在考慮一種情況：

假定對投資決策問題分為前三年和后七年兩期57圖4—3決策樹圖4—3決策樹58（b）計算各點的益損期望值

點4：[0.9×100+0.1×(—20)]×7(年)=616萬元

點5：1.0×(—20)×7(年)=—140萬元

點2：0.7×100×3(年)+0.7×616+0.3×(—20)×3(年)+0.3×(—140)

—300(大廠投資)=281.2

點6：[0.9×40+0.1×10]×7(年)=259

點7：1.0×10×7(年)=70

點3：0.7×40×3(年)+0.7×259+0.3×10×3(年)+0.3×70—

160(小廠投資)=135.3

通過比較，建大廠仍然是合理方案。（b）計算各點的益損期望值

點4：[0.9×100+0.1×59【例3】某工程采正常速度施工，若無壞天氣的影響，可確保在30天內(nèi)按期完成工程，但據(jù)天氣預(yù)報，15天后肯定變壞，有40%的可能出現(xiàn)陰雨天氣，但這不會影響工程進度;有50%的可能遇到小風(fēng)暴而使工期推遲15天;另有10%的可能遇到大風(fēng)暴而使工期推遲20天。對于以上可能出現(xiàn)的情況，考慮兩種方案：（1）提前加班，確保工程在15天內(nèi)完成，實施此方案需增加額外支付18000元。（2）先維持原定的施工進度，等到15天后根據(jù)實際出現(xiàn)的天氣狀況再作對策：a）若遇陰雨天，則維持正常進度，不必支付額外費用。b）若遇小風(fēng)暴，則有下述兩個供選方案：一是抽空（風(fēng)暴過后）施工，支付工程延期損失費20000元，二是采用應(yīng)急措施，實施此措施可能有三種結(jié)果：有50%的可能減少誤工期1天，支付延期損失費和應(yīng)急費用24000元;的可能減少誤工期2天，支付延期損失費和應(yīng)急費用18000元;有20%的可能減少誤工期3天支付延期損失費和應(yīng)急費用12000元。3）若遇大風(fēng)暴，則仍然有兩個方案可供選擇：一是抽空進行施工，支付工程的延期損失費50000元;二是采取應(yīng)急措施，實施此措施可能有三種結(jié)果：有70%的可能減少誤工期2天，支付延期損失費及應(yīng)急費用54000元;有20%可能減小誤工期3天，支付延期損失費及應(yīng)急費用46000元;有10%的可能減少誤工期4天，支付延期損失費及應(yīng)急費用38000元。試進行決策，選擇最佳行動方案?！纠?】某工程采正常速度施工，若無壞天氣的影響，可確保在360解：（1）據(jù)題意畫出決策樹，如圖：

A正常速度

風(fēng)暴CE0－18000

－12000－18000

－24000

－20000

BDF－54000

－46000

－38000－50000

減少誤工3天(0.2)

減少誤工4天(0.1)減少誤工2天(0.7)

減少誤工1天(0.5)減少誤工2天(0.3)減少誤工3天(0.2)

陰雨0.40.5

0.1

-

提前加班

應(yīng)急正常施工

正常施工

應(yīng)急

臺風(fēng)

解：（1）據(jù)題意畫出決策樹，如圖：A正常速度風(fēng)暴CE0－61A正常速度

風(fēng)暴CE0－18000

－12000－18000

－24000

－20000

BDF－54000

－46000

－38000－50000

(0.2)(0.1)(0.7)(0.5)(0.3)(0.2)

陰雨0.40.5

0.1

提前加班

應(yīng)急正常施工

正常施工

應(yīng)急

臺風(fēng)

求解上述模型先做一級決策對臺風(fēng)情形，計算采取應(yīng)急措施付出的數(shù)學(xué)期望為：E(F)=-(0.7×54000+0.2×46000+0.1×38000)=-50800-50800同理，對決策結(jié)點C計算采取應(yīng)急措施時狀態(tài)結(jié)點E所支付的數(shù)學(xué)期望值為-19800-19800A正常速度風(fēng)暴CE0－18000－12000－1800062A正常速度

風(fēng)暴CE0－18000

－12000－18000

－24000

－20000

BDF－54000

－46000

－38000－50000

(0.2)(0.1)(0.7)(0.5)(0.3)(0.2)

陰雨0.40.5

0.1

-

提前加班

應(yīng)急正常施工

正常施工

應(yīng)急

臺風(fēng)

求解上述模型對決策D，因為采取應(yīng)急措施的數(shù)學(xué)期望為-50800，正常施工的期望即為-50000顯然，應(yīng)采取決策為正常施工。-50800-19800-50000同理，對決策C，應(yīng)采取應(yīng)急措施進行施工，即C的期望值為-19800-19800A正常速度風(fēng)暴CE0－18000－12000－1800063A正常速度

風(fēng)暴CE0－18000

－12000－18000

－24000

－20000

BDF－54000

－46000

－38000－50000

(0.2)(0.1)(0.7)(0.5)(0.3)(0.2)

陰雨0.40.5

0.1

-

提前加班

應(yīng)急正常施工

正常施工

應(yīng)急

臺風(fēng)

求解上述模型再做二級決策：再狀態(tài)結(jié)點B處，用第1級決策的結(jié)果計算“效益”的數(shù)學(xué)期望值為：E(B)=0×0.4+(-19800)×0.5+(-50000)×0.1=-14900-50800-19800-50000-19800-14900A正常速度風(fēng)暴CE0－18000－12000－1800064A正常速度

風(fēng)暴CE0－18000

－12000－18000

－24000

－20000

BDF－54000

－46000

－38000－50000

(0.2)(0.1)(0.7)(0.5)(0.3)(0.2)

陰雨0.40.5

0.1

-

提前加班

應(yīng)急正常施工

正常施工

應(yīng)急

臺風(fēng)

最后結(jié)論：不用提前加班，等15天后遇陰雨太天或臺風(fēng)都只須聽其自然按原來的進度施工，而遇暴風(fēng)雨則采取應(yīng)急措施，此決策方案支付的數(shù)學(xué)期望為14900元-50800-19800-50000-19800-14900A正常速度風(fēng)暴CE0－18000－12000－1800065【討論題】天龍服裝廠設(shè)計了一款新式女裝準(zhǔn)備推向全國。如果直接大批量生產(chǎn)與銷售，主觀估計成功與失敗的概率各為0.5其分別的獲利為1200萬元與-500萬元，如取消生產(chǎn)銷售計劃，則損失設(shè)計與準(zhǔn)備費用40萬元。為穩(wěn)妥起見，可先小批量生產(chǎn)試銷，試銷的投入需45萬元。據(jù)歷史資料與專家估計，試銷成功與失敗的概率分別為0.6與0.4，又據(jù)過去情況，大批生產(chǎn)銷售為成功的例子中，試銷成功的占84%，大批生產(chǎn)銷售失敗的事例中，試銷成功的占36%。試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，通過建立決策樹模型按期望值準(zhǔn)則確定最優(yōu)決策?！居懻擃}】天龍服裝廠設(shè)計了一款新式女裝準(zhǔn)備推向全國。如66問題分析與模型假設(shè)

4.設(shè)定以下變量

1.問題涉及直接大批量生產(chǎn)與銷售、取消生產(chǎn)銷售計劃和小批量試銷售這樣三個決策方案的取舍，在每種方案下又分為成功或失敗兩種結(jié)果；2.決策目標(biāo)在表面上看是獲利大小，實際上是要決定試銷與否；3.尚需注意后面幾句話：“大批生產(chǎn)銷售為成功的例子中，試銷成功的占84%，大批生產(chǎn)銷售失敗的事例中，試銷成功的占36%”，這意味著要計算兩個概率，其一是當(dāng)試銷成功時，大批量銷售成功與失敗的概率；其二是試銷失敗情況下，大批量銷售成功與失敗的概率，這意味著要利用貝葉斯概率公式；

--試銷成功，則--試銷失?。?/p>

--大量銷售成功，則--大量銷售失敗。問題分析與模型假設(shè)4.設(shè)定以下變量1.問題涉及直接大批67模型建立1.先來計算兩個概率，注意到代入貝葉斯概率公式

從而即當(dāng)試銷成功時，大批量銷售成功與失敗的概率分別為0.78和0.22.同理可以算出在試銷失敗情況下，大批量銷售成功與失敗的概率分別為0.22和0.78.模型建立代入貝葉斯概率公式68試銷-45萬成功0.6失敗0.4不試銷大量銷售大量銷售大量銷售取消銷售取消銷售取消銷售成功0.78成功0.22成功0.5失敗0.78失敗0.22失敗0.51200萬-500萬-40萬1200萬-500萬-40萬1200萬-500萬-40萬試銷與否作為決策思路，從左至由畫出決策樹模型如下，這棵樹即為所求的數(shù)學(xué)模型。為了簡單化，原題沒有對求解等后續(xù)過程作要求。我們不妨將模型求解出來。試銷-45萬成功0.6失敗0.4不試銷大量銷售大量銷售大量銷69（三）模型求解試銷-45萬成功0.6失敗0.4不試銷大量銷售大量銷售大量銷售取消銷售取消銷售取消銷售成功0.78成功0.22成功0.5失敗0.78失敗0.22失敗0.51200萬-500萬-40萬1200萬-500萬-40萬1200萬-500萬-40萬圖--3350350-40-126479.6434.6826826（三）模型求解試銷-45萬成功0.6失敗0.4不試銷大量銷售70案例一航空公司的預(yù)訂票策略1.問題的提出在激烈的市場競爭中，航空公司為爭取更多的客源而開展的一個優(yōu)質(zhì)服務(wù)項目是預(yù)訂票業(yè)務(wù)。公司承諾，預(yù)先訂購機票的乘客如果未能按時前來登機，可以乘坐下一班機或退票，無需附加任何費用。當(dāng)然也可以訂票時只訂座，登機時才付款，這兩種辦法對于下面的討論是等價的。設(shè)某種型號的飛機容量為n，若公司限制預(yù)定n張機票，那么由于總會有一些訂了機票的乘客不按時來登機，致使飛機因不滿員飛行而利潤降低，甚至虧本，如果不限制訂票數(shù)量呢，那么當(dāng)持票按時前來登機的乘客超過飛機容量時，必然會引起那些不能登機飛走的乘客（以下稱被擠掉者）的抱怨，公司不管以什么方式予以補救，也會導(dǎo)致受損和一定的經(jīng)濟損失，如客員減少，擠掉以后班機乘客，公司無償供應(yīng)食宿，付給一定的賠償金等。這樣，綜合考慮公司經(jīng)濟利益，必然存在一個恰當(dāng)訂票數(shù)量和限額。

假設(shè)飛機容量為300，乘客準(zhǔn)時到達(dá)機場而未乘上飛機賠償費是機票價格的10%，飛行費用與飛機容量、機票價格成正比（由統(tǒng)計資料知，比例系數(shù)為0.6，乘客不按時前來登機的概率為0.03），案例一航空公司的預(yù)訂票策略1.問題的提出在激烈的71請你:

1）建立一個數(shù)學(xué)模型，給出衡量公司經(jīng)濟利益和社會聲譽的指標(biāo)，對上述預(yù)定票業(yè)務(wù)確定最佳的預(yù)定票數(shù)量。

2）考慮不同客源的不同需要，如商人喜歡上述這種無約束的預(yù)定票業(yè)務(wù)，他們寧愿接受較高的票價，而按時上下班的雇員或游客，會愿意以若不能按時前來登機則機票失效為代價，換取較低額的票價。公司為降低風(fēng)險，可以把后者作為基本客源。根據(jù)這種實際情況，制定更好的預(yù)訂票策略。請你:

1）建立一個數(shù)學(xué)模型，給出衡量公司經(jīng)濟利益和社會722.模型假設(shè)與符號說明模型假設(shè)（1）假設(shè)預(yù)訂票的乘客是否按時前來登機是隨機的。

（2）假設(shè)已預(yù)訂票的乘客不能前來登機的乘客數(shù)是一個隨機變量。

（3）假設(shè)飛機的飛行費用與乘客的多少無關(guān)。符號約定n：飛機的座位數(shù)，即飛機的容量；

g：機票的價格；

f：飛行的費用；

b：乘客準(zhǔn)時到達(dá)機場而未乘上飛機的賠償費；m：售出的機票數(shù)；

k：已預(yù)訂票的乘客不能前來登機的乘客數(shù)，即遲到的乘客數(shù)，它是一個隨機變量；

pk：已預(yù)訂票的m個乘客中有k個乘客不能按時前來登機的概率；

p：每位乘客遲到的概率；

Pj（m）：已預(yù)訂票前來登機的乘客中至少擠掉j人的概率，即社會聲譽指標(biāo)；

S：公司的利潤；

ES：公司的平均利潤。2.模型假設(shè)與符號說明模型假設(shè)符號約定n：飛機的座位數(shù)，73

當(dāng)m-k≤n

時，說明m-k個乘客全部登機，此時利潤S=（m-k）g-f3.問題的分析及數(shù)學(xué)模型問題的分析通過上面引進的符號易知，賠償費b=0.1g，飛行費用f=0.6ng，每位乘客遲到的概率p=0.03，已預(yù)訂票的m個乘客中，恰有k個乘客不能按時前來登機，即遲到的乘客數(shù)k服從二項分布B（m，p），當(dāng)m-k>n時，說明有n個乘客登機，有m-k-n個乘客沒有登上飛機，即被擠掉了，此時利潤S=ng–f-(m–k-n)b根據(jù)以上的分析，利潤S可表示為：遲到的乘客數(shù)k=0,1,2,…,m-n-1時，說明有m-k-n個乘客被擠掉；

遲到的乘客數(shù)k=m-n，m-n+1，…，m時，說明已來的m-k個乘客全部登機了。當(dāng)m-k≤n時，說明m-k個乘客全部登機，此時利潤S74于是平均利潤因為于是平均利潤因為75由于k服從B（n，p）可知，隨機變量k的數(shù)學(xué)期望E（k）=mp，此時，所以由于k服從B（n，p）可知，隨機變量k的數(shù)學(xué)期望E（k）=m76模型建立

通過以上對問題的分析，可以在一定的社會聲譽指標(biāo)Pj（m）范圍內(nèi)，尋求合適的m，根據(jù)f=0.6Ng的關(guān)系，使得目標(biāo)函數(shù)ES/f達(dá)到最大，即模型建立

通過以上對問題的分析，可以在一定的社會聲譽指標(biāo)Pj77下面考慮社會聲譽指標(biāo):

由于m=n+k+j，所以k=m-n-j，即當(dāng)被擠掉的乘客數(shù)為j時，等價的說法是恰有m-n-j個遲到的乘客。

公司希望被擠掉的乘客人數(shù)不要太多，被擠掉的概率不要太大，可用至少擠掉j人的概率作為聲譽指標(biāo)，相應(yīng)地k的取值范圍為k=0,1,2,…,m-n-j，社會聲譽指標(biāo)