巖石力學(xué)與工程巖石本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論課件

5巖石本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論5.1概念

巖石和巖體的物理力學(xué)性質(zhì)，一般可以用彈性、塑性、粘性或三者的組合等模型來描述。（1）本構(gòu)關(guān)系1.彈性本構(gòu)關(guān)系

即當(dāng)巖石在外載荷作用下，巖石變形處于彈性變形階段時(shí)的本構(gòu)關(guān)系。2.塑性本構(gòu)關(guān)系

即當(dāng)巖石在外載荷作用下，巖石變形處于塑性變形階段時(shí)的本構(gòu)關(guān)系。12/16/202215巖石本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論5.1概念12/14/2022113.流變本構(gòu)關(guān)系

如果巖石在外載荷作用條件不變的條件下，巖石的應(yīng)變或應(yīng)力還隨時(shí)間而變化，則稱該巖石具有流變性，此時(shí)的本構(gòu)關(guān)系稱為巖石的流變本構(gòu)關(guān)系。（2）強(qiáng)度理論

指采用判斷、推理的方法，推測(cè)材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下破壞的原因，而建立強(qiáng)度準(zhǔn)則，所提出的一些假設(shè)。總之，巖石的力學(xué)性質(zhì)可分為變形性質(zhì)和強(qiáng)度性質(zhì)兩類，變形性質(zhì)主要通過本構(gòu)關(guān)系來反映，而強(qiáng)度性質(zhì)則主要通過強(qiáng)度準(zhǔn)則來反映。

12/16/202223.流變本構(gòu)關(guān)系12/14/2022225.2巖石彈性問題的求解（1）巖石彈性問題的求解步驟（2）平衡微分方程12/16/202235.2巖石彈性問題的求解12/14/202233（3）幾何方程

（4）物理方程（彈性本構(gòu)關(guān)系）

12/16/20224（3）幾何方程12/14/202244（5）邊界條件

1.位移邊界條件2.應(yīng)力邊界條件3.混合邊界條件12/16/20225（在上）（在上）（5）邊界條件12/14/20225（在上）（在55.3巖石流變理論5.3.1概念（1）研究背景1.各種巖土工程，無一不和時(shí)間因素有關(guān)；2.是巖石力學(xué)的重要研究?jī)?nèi)容之一；3.存在的問題尚多，理論與實(shí)驗(yàn)研究仍有待進(jìn)一步加強(qiáng)。（2）流變現(xiàn)象

1.流變性質(zhì)：是指材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與時(shí)間因素有關(guān)的性質(zhì)。2.流變現(xiàn)象：材料變形過程中具有時(shí)間效應(yīng)的現(xiàn)象。3.巖石的流變包括蠕變、松弛和彈性后效。

12/16/202265.3巖石流變理論12/14/2022664.蠕變：是當(dāng)應(yīng)力不變時(shí)，變形隨時(shí)間的增加而增長(zhǎng)的現(xiàn)象。

5.松弛：是當(dāng)應(yīng)變不變時(shí)，應(yīng)力隨時(shí)間增加而減小的現(xiàn)象。6.彈性后效：是加載或卸載時(shí)，彈性應(yīng)變滯后于應(yīng)力的現(xiàn)象。7.粘性流動(dòng)：即蠕變一段時(shí)間后卸載，部分應(yīng)變永久不恢復(fù)的現(xiàn)象。（3）研究蠕變的意義1.中硬以下巖石及軟巖中開挖的地下工程，大都需要經(jīng)過半個(gè)月甚至半年時(shí)間變形才能穩(wěn)定；或處于無休止的變形狀態(tài)，直至破壞失穩(wěn)。2.解決地下工程的設(shè)計(jì)和維護(hù)問題。12/16/202274.蠕變：是當(dāng)應(yīng)力不變時(shí)，變形隨時(shí)間的增加而增長(zhǎng)的現(xiàn)象。17（4）蠕變的三個(gè)階段

如圖5-1中的abcd曲線所示，蠕變過程可分為三個(gè)階段：1.第一蠕變階段：如曲線中ab段所示，應(yīng)變速率隨時(shí)間增加而減小，故稱為減速蠕變階段或初始蠕變階段；2.第二蠕變階段：如曲線中bc段所示，應(yīng)變速率保持不變，故稱為等速蠕變階段；3.第三蠕變階段：如曲線中cd段所示，應(yīng)變速率迅速增加直到巖石破壞，故稱為加速蠕變階段。

12/16/20228εdcbat0圖5-1巖石蠕變曲線

（4）蠕變的三個(gè)階段12/14/20228εdcbat0圖8（5）巖石的長(zhǎng)期強(qiáng)度

當(dāng)巖石的應(yīng)力超過某一臨界值時(shí)，蠕變向不穩(wěn)定蠕變發(fā)展；當(dāng)巖石的應(yīng)力小于該臨界值時(shí)，蠕變按穩(wěn)定蠕變發(fā)展。通常稱此臨界應(yīng)力為巖石的長(zhǎng)期強(qiáng)度。5.3.2流變模型理論流變性主要研究巖石在流變過程中的應(yīng)力、應(yīng)變和時(shí)間的關(guān)系，即通過應(yīng)力、應(yīng)變和時(shí)間組成的流變方程來表示。流變方程主要包括本構(gòu)方程、蠕變方程和松弛方程。在一系列的巖石流變?cè)囼?yàn)基礎(chǔ)上建立反映巖石流變性質(zhì)的方程，通常有兩種方法：12/16/20229（5）巖石的長(zhǎng)期強(qiáng)度12/14/202299（1）經(jīng)驗(yàn)方程法

即根據(jù)巖石蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果，由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的回歸擬合方法建立的方程。通常形式為：（2）微分方程法

本方法是將巖石介質(zhì)理想化，歸納成各種模型，模型可用理想化的具有基本性能（彈性、塑性和粘性）的元件組合而成。通過這些元件不同形式的串聯(lián)和并聯(lián)得到一些典型的流變模型體，相應(yīng)地推導(dǎo)出它們的有關(guān)微分方程。

12/16/202210（5-10）

（1）經(jīng)驗(yàn)方程法12/14/202210（5-10）105.3.3基本元件（1）彈性元件（虎克體H）1.定義

如果材料在載荷作用下，其變形性質(zhì)完全符合虎克定律，即是一種理想的彈性體，則稱此種材料為虎克體，用符號(hào)H代表。

2.力學(xué)模型12/16/202211圖5-2虎克體力學(xué)模型及其動(dòng)態(tài)5.3.3基本元件12/14/202211圖5-2虎克體113.本構(gòu)方程

4.虎克體的性能

1）具有瞬時(shí)彈性變形性質(zhì)，無論載荷大小，只要不為零，就有相應(yīng)的應(yīng)變，當(dāng)為零時(shí)，也為零，說明虎克體沒有彈性后效，即與時(shí)間無關(guān)；2）應(yīng)變恒定時(shí)，應(yīng)力也保持恒定不變，應(yīng)力不會(huì)因時(shí)間增長(zhǎng)而減小，故無應(yīng)力松弛性質(zhì)；3）應(yīng)力保持恒定時(shí)，應(yīng)變也保持不變，即無蠕變性質(zhì)。12/16/202212（5-11）

3.本構(gòu)方程12/14/202212（5-11）12（2）塑性元件（庫(kù)侖體C）

1.定義

當(dāng)物體所受的應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，便開始產(chǎn)生塑性變形，即使應(yīng)力不再增加，變形仍然不斷增長(zhǎng)，具有這一性質(zhì)的物體為塑性體，用符合Y來代表。

2.力學(xué)模型

12/16/202213圖5-3塑性體力學(xué)模型及其動(dòng)態(tài)（2）塑性元件（庫(kù)侖體C）12/14/202213圖5-3133.本構(gòu)方程4.塑性體的性能1）當(dāng)物體所受的應(yīng)力小于屈服極限時(shí)，模型表現(xiàn)為剛形體；2）當(dāng)物體所受的應(yīng)力大于或等于屈服極限時(shí)，模型表現(xiàn)為理想塑性體，即具有塑性流動(dòng)的特點(diǎn)。12/16/202214（5-12）

3.本構(gòu)方程12/14/202214（5-12）14（3）粘性元件（牛頓體N）

1.定義

牛頓流體是一種理想粘性體，即應(yīng)力與應(yīng)變速率成正比，用符號(hào)N表示

。

2.力學(xué)模型

12/16/202215圖5-4牛頓流體力學(xué)模型及其動(dòng)態(tài)（3）粘性元件（牛頓體N）12/14/202215圖5-4153.本構(gòu)方程

將（5-13）式積分，得：式中：C——積分常數(shù)，當(dāng)時(shí)，C=0，則：4.牛頓體的性質(zhì)1）從（5-15）式可以看出，當(dāng)t=0時(shí)，ε=0。當(dāng)應(yīng)力為時(shí)，完成其相應(yīng)的應(yīng)變需要時(shí)間，說明應(yīng)變與時(shí)間有關(guān)，牛頓體無瞬時(shí)變形。12/16/202216或（5-13）

（5-14）

（5-15）

3.本構(gòu)方程12/14/202216或（5-13）（5-1162）當(dāng)時(shí)，即，積分后得，表明除去外力后應(yīng)變?yōu)槌?shù)，活塞的位移立即停止，不再恢復(fù)，只有再受到相應(yīng)的壓力時(shí)，活塞才回到原位。所以牛頓體無彈性后效，有永久形變。3）當(dāng)應(yīng)變時(shí)，，說明當(dāng)應(yīng)變保持某一恒定值后，應(yīng)力為零，即無應(yīng)力松弛性能。12/16/2022172）當(dāng)時(shí)，即，積分后得175.4組合流變模型

三種基本元件進(jìn)行組合時(shí)應(yīng)力、應(yīng)變的計(jì)算規(guī)則：

1.串聯(lián)組合體中各元件的應(yīng)力相等；應(yīng)變等于各元件應(yīng)變之和。2.并聯(lián)組合體中各元件的應(yīng)變相等；應(yīng)力等于各元件應(yīng)力之和。5.4.1圣維南體（St.V:H-C）（1）力學(xué)模型

12/16/202218圖5-5圣維南體力學(xué)模型5.4組合流變模型12/14/202218圖5-5圣維南18（2）本構(gòu)方程

本構(gòu)圖形12/16/202219（5-16）圖5-6圣維南體本構(gòu)關(guān)系示意圖

（2）本構(gòu)方程12/14/202219（5-16）圖5-19（3）卸載特性

如在某一時(shí)刻卸載，使，則彈性變形全部恢復(fù)，塑性變形停止，但已發(fā)生的塑性變形永久保留。（4）圣維南體的特性

1.代表理想彈塑性體，它無蠕變，無松弛也無彈性后效。2.本構(gòu)關(guān)系與時(shí)間t無關(guān)，故不屬于流變模型，但它是復(fù)合體模型中常見的一個(gè)組成部分。12/16/202220（3）卸載特性12/14/202220205.4.2馬克斯威爾體（M:H-N）（1）力學(xué)模型（2）本構(gòu)方程

由串聯(lián)關(guān)系可得：

12/16/202221圖5-7馬克斯威爾體力學(xué)模型

由于5.4.2馬克斯威爾體（M:H-N）12/14/20222121所以本構(gòu)方程為：（3）蠕變方程

在恒定載荷作用下，則，其本構(gòu)方程可化簡(jiǎn)為：解此微分方程，代入初始條件，得蠕變方程：

12/16/202222

（5-17）

（5-18）

所以本構(gòu)方程為：12/14/202222（5-17）（522（4）松弛方程

當(dāng)保持不變時(shí)，則有，因此本構(gòu)方程可變?yōu)椋航獯朔匠蹋氤跏紬l件，可得松弛方程：（5）松弛時(shí)間

令，則（5-19）式可變?yōu)椋寒?dāng)t=t1時(shí)定義：規(guī)定應(yīng)力降到初始應(yīng)力的37%時(shí)，所需要的時(shí)間為松弛時(shí)間。12/16/202223（5-19）

（4）松弛方程12/14/202223（5-19）23（6）馬克斯威爾體的特性

1.具有瞬時(shí)變形，并隨著時(shí)間增長(zhǎng)應(yīng)變逐漸增大，即具有等速蠕變的性質(zhì)；

2.當(dāng)應(yīng)變恒定時(shí)，應(yīng)力隨時(shí)間的增長(zhǎng)而逐漸減小，即馬克斯威爾體模型具有松弛效應(yīng)。

12/16/202224圖5-8馬克斯威爾體的蠕變曲線和松弛曲線（6）馬克斯威爾體的特性12/14/202224圖5-8245.4.3開爾文體（K:H/N）（1）力學(xué)模型（2）本構(gòu)方程

由于二元并聯(lián)關(guān)系可得：因此開爾文體的本構(gòu)方程為：

12/16/202225圖5-9開爾文體力學(xué)模型（5-20）

5.4.3開爾文體（K:H/N）12/14/202225圖25（3）蠕變方程

如果在時(shí)，施加一個(gè)不變的應(yīng)力后，保持恒定，根據(jù)本構(gòu)方程可得：解上述微分方程，代入初始條件，可得蠕變方程：（4）卸載方程

在時(shí)卸載，即，代入本構(gòu)方程：

12/16/202226（5-21）

（3）蠕變方程12/14/202226（5-21）26解上述微分方程可得：當(dāng)時(shí)，，結(jié)合本構(gòu)方程，可得卸載方程

：由式（5-21）和（5-22）可得如下曲線12/16/202227或

（5-22）

圖5-10開爾文體蠕變曲線和彈性后效曲線

解上述微分方程可得：12/14/202227或（5-22）27（5）松弛方程

當(dāng)模型的應(yīng)變恒定時(shí)，即，此時(shí)的本構(gòu)方程為：

由（5-23）式可以看出，當(dāng)應(yīng)變保持恒定時(shí)，應(yīng)力也保持恒定，并不隨時(shí)間增加而減小，即本模型沒有應(yīng)力松弛性質(zhì)。（6）開爾文體的特性

1.屬于穩(wěn)定蠕變模型；2.具有彈性后效性質(zhì)，沒有松弛性質(zhì)。

12/16/202228（5-23）

（5）松弛方程12/14/202228（5-23）285.4.4理想粘塑性體（C/N）（1）力學(xué)模型

12/16/202229圖5-11理想粘塑性體力學(xué)模型5.4.4理想粘塑性體（C/N）12/14/202229圖29（2）本構(gòu)方程

根據(jù)并聯(lián)規(guī)則：

這兩個(gè)元件的本構(gòu)關(guān)系為：根據(jù)本構(gòu)關(guān)系可知，當(dāng)時(shí)，，說明此時(shí)模型表現(xiàn)為剛體性質(zhì)。但當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為理想粘塑性體。因此，本模型的本構(gòu)方程為：12/16/202230（5-24）

（2）本構(gòu)方程12/14/202230（5-24）30（3）蠕變方程

1.當(dāng)時(shí)，本模型屬于剛體，沒有蠕變性質(zhì)。2.當(dāng)時(shí)，設(shè)有恒載，代入本構(gòu)方程有：解此微分方程，代入初始條件，可得蠕變方程：（4）理想粘塑性體特性

本模型沒有彈性和彈性后效，有不穩(wěn)定蠕變。12/16/202231（5-25）

（3）蠕變方程12/14/202231（5-25）315.4.5廣義開爾文體（廣義K:H-K）（1）力學(xué)模型

（2）本構(gòu)方程

由于串聯(lián)有：對(duì)于彈簧有：對(duì)于開爾文體有：12/16/202232圖5-14廣義開爾文體力學(xué)模型5.4.5廣義開爾文體（廣義K:H-K）12/14/20232所以12/16/202233化簡(jiǎn)上式可得廣義開爾文體本構(gòu)方程：

（5-26）

所以12/14/202233化簡(jiǎn)上式可得廣義開爾文體本構(gòu)方程33（3）蠕變方程在恒定載荷作用下，由于廣義開爾文體由彈簧和開爾文體兩部分組成，其蠕變也是由兩部分組成。對(duì)于彈簧只有瞬時(shí)變形，對(duì)于開爾文體，其蠕變方程為，可應(yīng)用疊加法，所以廣義開爾文體在恒定應(yīng)力作用下的蠕變方程為：

12/16/202234（3）蠕變方程12/14/20223434（4）彈性后效（卸載效應(yīng)）

如果在時(shí)刻卸載，虎克體產(chǎn)生的彈性變形立即恢復(fù)，但是開爾文體的變形則需要經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間才能恢復(fù)到零，其卸載方程和開爾文體的卸載方程相類似，只是用代替即可。其蠕變曲線和彈性后效曲線，如圖5-15所示。

12/16/202235蠕變曲線t0彈性后效圖5-15廣義開爾文體蠕變曲線和卸載曲線（4）彈性后效（卸載效應(yīng)）12/14/202235蠕變曲線355.4.6飽依丁-湯姆遜體（PTh：H/M）（1）力學(xué)模型（2）本構(gòu)方程

本模型是由馬克斯威爾體與虎克體并聯(lián)而成，由并聯(lián)規(guī)則：12/16/202236圖5-16飽依丁-湯姆遜體力學(xué)模型5.4.6飽依丁-湯姆遜體（PTh：H/M）12/14/236由馬克斯威爾體的本構(gòu)關(guān)系可得：由虎克體可得：即：代入化簡(jiǎn)，即可得到本模型的本構(gòu)方程：

12/16/202237則：

且有

（5-28）

由馬克斯威爾體的本構(gòu)關(guān)系可得：12/14/202237則：37（3）蠕變方程當(dāng)在恒定的應(yīng)力作用下，此時(shí)，則本構(gòu)方程變?yōu)椋航馍鲜鍪轿⒎址匠?，可得：從?-29）分析可以得出：1.當(dāng)時(shí)，；2.當(dāng)時(shí)，可得：。12/16/202238（5-29）

（3）蠕變方程12/14/202238（5-29）38

由1、2可知（5-29）式所表達(dá)的蠕變曲線如圖5-17所示，且此蠕變屬于穩(wěn)定蠕變。（4）卸載方程（彈性后效）若本模型在受恒載的時(shí)刻突然卸載，此時(shí)產(chǎn)生的蠕變應(yīng)變?yōu)椋?/p>

12/16/2022390t圖5-17飽依丁-湯姆遜體蠕變曲線由1、2可知（5-29）式所表達(dá)的蠕變曲線如圖5-17所39

為了研究模型卸載后應(yīng)變變化情況，因此令此時(shí)刻為零時(shí)刻，即，并且有，根據(jù)本構(gòu)方程可得：解上式微分方程可得：從（5-30）式可以看出：當(dāng)時(shí)的應(yīng)變；當(dāng)時(shí)，。應(yīng)力在時(shí)刻就已經(jīng)為零了，而應(yīng)變則需要更長(zhǎng)時(shí)間才能回零，因而，本模型具有彈性后效性質(zhì)。12/16/202240（5-30）

為了研究模型卸載后應(yīng)變變化情況，因此令此時(shí)刻為零時(shí)刻，40（5）松弛效應(yīng)

飽依丁-湯姆遜體是由一個(gè)馬克斯威爾體和一個(gè)虎克體并聯(lián)而成，馬克斯威爾體具有松弛效應(yīng)，因此，如果保持本模型的不變，即保持不變，此時(shí)保持恒定，而由于松弛效應(yīng)而減小，使得也減小。由此看來，本模型具有松弛性質(zhì)。5.4.7賓漢姆體（1）力學(xué)模型

12/16/202241圖5-18賓漢姆體力學(xué)模型（5）松弛效應(yīng)12/14/202241圖5-18賓漢姆體41（2）本構(gòu)方程

由串聯(lián)可得：

對(duì)于虎克體有：

對(duì)于理想粘塑性體有：因此，賓漢姆體的本構(gòu)方程為：

12/16/202242（5-31）

（2）本構(gòu)方程12/14/202242（5-31）42（3）蠕變方程

當(dāng)模型在恒定應(yīng)力的作用下，此時(shí)。若時(shí)，理想粘塑性體沒有變形，只有彈簧有變形，但沒有蠕變；若時(shí)，根據(jù)本構(gòu)方程（5-31）式第二式可得：解此微分方程，代入初始條件，得蠕變方程為

：

12/16/202243（5-32）

（）

0圖5-19賓漢姆體蠕變曲線

（3）蠕變方程12/14/202243（5-32）（43（4）松弛方程如果保持應(yīng)變恒定，即，則。1.若應(yīng)力值，則理想粘塑性體為剛體，沒有形變，此時(shí)的賓漢姆體相當(dāng)一個(gè)虎克體，沒有松弛。2.若應(yīng)力值在的條件下，根據(jù)本構(gòu)方程可知：解此微分方程，代入初始條件，可得松弛方程：

12/16/202244

（5-33）

（）

（4）松弛方程12/14/202244（5-33）（445.4.8四元件組合體——伯格斯體

（1）力學(xué)模型

（2）本構(gòu)方程

在推導(dǎo)本構(gòu)方程時(shí)，可將開爾文體和馬克斯威爾體看成單個(gè)元件，然后應(yīng)用串聯(lián)運(yùn)算規(guī)則，即可求出整個(gè)模型體的本構(gòu)方程如下：12/16/202245圖5-21伯格斯體力學(xué)模型（5-34）

5.4.8四元件組合體——伯格斯體12/14/2022445（3）蠕變方程

在推導(dǎo)蠕變方程時(shí)，也可把開爾文體和馬克斯威爾體的蠕變方程進(jìn)行疊加，就可得出本模型的蠕變方程：（4）卸載效應(yīng)

如果在某一時(shí)刻卸載，馬克斯威爾體的彈簧k2產(chǎn)生瞬時(shí)變形，但它的粘性元件也產(chǎn)生了永久變形；對(duì)于開爾文體卸載后，由于粘性元件的作用，使彈簧的形變不能馬上恢復(fù)，而只能經(jīng)過相當(dāng)一段時(shí)間后，才能使這兩個(gè)元件的變形得以恢復(fù)，因此，這就使本模型具有了彈性后效效應(yīng)。12/16/202246

（5-35）（3）蠕變方程12/14/202246（5-35）46（5）伯格斯體的特性1.具有瞬時(shí)彈性變形；2.具有減速蠕變、等速蠕變、彈性后效以及松弛效應(yīng)等性質(zhì)；3.比較適合描述軟巖的性質(zhì)。

12/16/202247卸載曲線蠕變曲線0圖5-22伯格斯體蠕變和卸載曲線12/14/202247卸載曲線蠕變曲線0圖5-22伯格斯475.4.9五元件組合體——西原體

（1）力學(xué)模型

（2）本構(gòu)方程

1.本模型在時(shí)，理想粘塑性體表現(xiàn)為剛體，沒有形變。因此，它就是廣義開爾文體，它具有瞬時(shí)彈性變形、彈性后效、蠕變和松弛等性質(zhì)。

2.當(dāng)時(shí)，它與伯格斯體模型相似，只是應(yīng)力要扣除即可。因此本模型的本構(gòu)方程為：

12/16/202248圖5-23西原體力學(xué)模型

5.4.9五元件組合體——西原體12/14/20224848（3）蠕變方程

本模型的蠕變方程也可以應(yīng)用疊加和變化列出：

12/16/202249（5-36）

（5-37）

12/14/202249（5-36）（5-37）49（4）西原體的特性

1.在應(yīng)力水平較低時(shí)具有廣義開爾文體的性質(zhì)，表現(xiàn)出穩(wěn)定蠕變；

2.當(dāng)應(yīng)力水平超過巖石某一臨界值后，理想塑性體的性質(zhì)以充分表現(xiàn)出來，本模型逐漸轉(zhuǎn)化為不穩(wěn)定蠕變性質(zhì)；3.本模型比較適合模擬軟巖的流變特性。12/16/202250（4）西原體的特性12/14/202250505.6巖石強(qiáng)度理論5.6.1概述（1）巖石強(qiáng)度理論是研究巖石在各種應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度準(zhǔn)則的理論。（2）強(qiáng)度準(zhǔn)則表征巖石在極限應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài)和巖石強(qiáng)度參數(shù)之間的關(guān)系。（3）應(yīng)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定

1.以壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負(fù)。

2.剪應(yīng)力使物體產(chǎn)生逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。

3.角度以x軸正向沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)所形成的夾角為正，反之為負(fù)。

12/16/2022515.6巖石強(qiáng)度理論12/14/20225151（4）基本應(yīng)力公式

任意角度截面的應(yīng)力計(jì)算公式最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力的表達(dá)式

最大主應(yīng)力與作用面的夾角12/16/202252圖5-25二維的應(yīng)力狀態(tài)

（4）基本應(yīng)力公式12/14/202252圖5-25二維525.6.2最大正應(yīng)力強(qiáng)度理論（1）實(shí)質(zhì)材料破壞取決于絕對(duì)值最大的正應(yīng)力。因此，對(duì)于作用于巖體的三個(gè)主應(yīng)力，只要有一個(gè)主應(yīng)力達(dá)到巖體或巖石的單軸抗壓強(qiáng)度或單軸抗拉強(qiáng)度，巖體或巖石就會(huì)破壞。（2）強(qiáng)度條件其中：——巖體或巖石單軸抗壓強(qiáng)度及單軸抗拉強(qiáng)度的泛稱。

12/16/202253或

5.6.2最大正應(yīng)力強(qiáng)度理論12/14/202253或53（3）應(yīng)用條件

本理論只適用于巖體單向受力狀態(tài)或者脆性巖石在二維應(yīng)力條件下的受力狀態(tài)，所以對(duì)于處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)中的巖體不宜采用這種強(qiáng)度理論。5.6.3最大正應(yīng)變強(qiáng)度理論（1）實(shí)質(zhì)

材料破壞取決于最大正應(yīng)變，材料發(fā)生張性破壞的原因是由于其最大正應(yīng)變達(dá)到或超過一定的極限應(yīng)變所致。所以只要巖體中任意一方向的最大正應(yīng)變達(dá)到其單軸壓縮或單軸拉伸破壞時(shí)的應(yīng)變值時(shí)，巖體或巖石就會(huì)破壞。

12/16/202254（3）應(yīng)用條件12/14/20225454（2）強(qiáng)度條件

式中：根據(jù)廣義虎克定律求出；由巖體或巖石單軸壓縮或單軸拉伸試驗(yàn)確定。或由廣義虎克定律，可寫成如下形式：其中：——三個(gè)主應(yīng)力；——巖體泊松比；——泛指巖體單軸抗壓強(qiáng)度及單軸抗拉強(qiáng)度。（3）應(yīng)用條件

本強(qiáng)度理論只適用于無圍壓或低圍壓條件下的脆性巖石或巖體，而不宜用于巖體的塑性變形。

12/16/202255（2）強(qiáng)度條件12/14/202255555.6.4最大剪應(yīng)力強(qiáng)度理論

（1）實(shí)質(zhì)

材料的破壞取決于最大剪應(yīng)力。即當(dāng)巖體所承受的最大剪應(yīng)力達(dá)到其極限剪應(yīng)力時(shí)，巖體便發(fā)生剪切破壞。（2）強(qiáng)度條件

或者可寫成如下解析形式：（3）應(yīng)用條件

本理論比較適合巖體彈塑性分析，但這種強(qiáng)度理論沒有考慮中間主應(yīng)力的影響。12/16/202256或5.6.4最大剪應(yīng)力強(qiáng)度理論12/14/202256或565.6.5庫(kù)侖準(zhǔn)則（1）實(shí)質(zhì)

巖石的破壞主要是剪切破壞，巖石的強(qiáng)度，即抗摩擦強(qiáng)度等于巖石本身抗剪切摩擦的粘結(jié)力和剪切面上的法向力產(chǎn)生的摩擦力。（2）強(qiáng)度條件庫(kù)侖準(zhǔn)則的莫爾應(yīng)力圓直觀圖解

應(yīng)力摩爾圓方程

12/16/202257圖5-26

坐標(biāo)下庫(kù)侖準(zhǔn)則

5.6.5庫(kù)侖準(zhǔn)則12/14/202257圖5-26坐標(biāo)57（3）庫(kù)倫-摩爾圓的力學(xué)意義

1.如果應(yīng)力圓上的點(diǎn)落在強(qiáng)度曲線AR之下，則說明該點(diǎn)表示的應(yīng)力還沒有達(dá)到材料的強(qiáng)度值，故材料不會(huì)破壞；2.如果應(yīng)力圓上的點(diǎn)超過了該區(qū)域，則說明該點(diǎn)表示的應(yīng)力以超過了材料的強(qiáng)度并發(fā)生破壞；3.如果應(yīng)力圓正好與強(qiáng)度曲線相切，則說明材料處于極限平衡狀態(tài)，巖石所產(chǎn)生的剪切破壞將可能在該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的平面上發(fā)生。（4）定義

破斷角是指最大主應(yīng)力方向與剪切面間的夾角。

由圖5-26可得：

12/16/202258（3）庫(kù)倫-摩爾圓的力學(xué)意義12/14/20225858（5）一些重要關(guān)系由圖5-26可知若用平均主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力表示，則上式變?yōu)椋毫硗膺€可以得到：

12/16/202259（5-51）

（5-52）

（5）一些重要關(guān)系12/14/202259（5-51）（559若令，則極限應(yīng)力為巖石的單軸抗壓強(qiáng)度，即：利用三角恒等式有：根據(jù)（5-53）式和（5-54）式，（5-52）式可變成：

12/16/202260（5-54）

（5-55）

（5-53）

若令，則極限應(yīng)力為巖石的單軸抗壓605.6.6莫爾強(qiáng)度理論（1）實(shí)質(zhì)材料性質(zhì)本身也是應(yīng)力的函數(shù)。且指出“到極限狀態(tài)時(shí)，滑動(dòng)面上的剪應(yīng)力達(dá)到一個(gè)取決于正應(yīng)力與材料性質(zhì)的最大值”?？捎煤瘮?shù)關(guān)系表示：

（2）函數(shù)曲線的力學(xué)意義1.表示對(duì)應(yīng)于各種應(yīng)力狀態(tài)下的破壞莫爾應(yīng)力圓包絡(luò)線，即各破壞莫爾圓的外公切線，稱為莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線。所謂莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線就是指有各極限應(yīng)力圓的破壞點(diǎn)所組成的軌跡線。

12/16/2022615.6.6莫爾強(qiáng)度理論12/14/202261612.這條曲線可以判斷巖石中一點(diǎn)是否發(fā)生剪切破壞，如果應(yīng)力圓與包絡(luò)線相切或相割，則研究點(diǎn)將產(chǎn)生破壞；如果在包絡(luò)線下方，則不會(huì)產(chǎn)生破壞。3.包絡(luò)線形式有：斜直線型、二次拋物線型、雙曲線型等，其中斜直線型與庫(kù)侖準(zhǔn)則基本一致，可以說，庫(kù)侖準(zhǔn)則是莫爾準(zhǔn)則的一個(gè)特例。

12/16/202262圖5-27完整巖石的莫爾強(qiáng)度曲線

a–單向抗拉；b-單向抗壓；c-三向受壓

2.這條曲線可以判斷巖石中一點(diǎn)是否發(fā)生剪切破壞，如果62（3）二次拋物線型1.包絡(luò)曲線圖12/16/202263圖5-28二次拋物線型強(qiáng)度包絡(luò)線

（3）二次拋物線型12/14/202263圖5-28二次拋632.函數(shù)形式式中：——巖石的單軸抗拉強(qiáng)度；n——待定系數(shù)。利用圖5-28，有下列關(guān)系式：并且有：

12/16/202264（5-57）

（5-58）

（5-59）

2.函數(shù)形式12/14/202264（5-57）（5-5864

將（5-59）式代入（5-58）式，并消除式中的，得二次拋物線型包絡(luò)線的主應(yīng)力表達(dá)式為：在單軸壓縮條件下，有則可根據(jù)（5-60）式解得待定系數(shù)n，即：因此，利用（5-57）式、（5-60）式和（5-61）式，可判斷巖石試件是否破壞。

12/16/202265（5-60）

（5-61）

將（5-59）式代入（5-58）式，并消除式中的，65（4）雙曲線型

函數(shù)表達(dá)式：式中：——包絡(luò)線漸近線的傾角，。（5）適用范圍1.二次拋物線形的比較適合巖性為中軟以下的巖石，如泥灰?guī)r、砂巖、泥質(zhì)頁(yè)巖等；2.雙曲線形比較適合巖性為中硬以上的巖石，如砂巖、灰?guī)r、花崗巖等。12/16/202266（5-62）

（4）雙曲線型12/14/202266（5-62）66（6）優(yōu)缺點(diǎn)

1.優(yōu)點(diǎn)：

1）實(shí)質(zhì)上是一種剪應(yīng)力強(qiáng)度理論，該理論比較全面的反映了巖石的強(qiáng)度特征，它既適用于塑性巖石也適用于脆性巖石的剪切破壞；2）反映了巖石的抗拉強(qiáng)度遠(yuǎn)小于抗壓強(qiáng)度這一特性；3）能解釋巖石在三軸等拉時(shí)會(huì)破壞，而在三軸等壓時(shí)不會(huì)破壞的特點(diǎn)。

2.缺點(diǎn)：

1）忽略了中間主應(yīng)力的影響，與試驗(yàn)結(jié)果有一定的誤差；2）只適用于剪切破壞，受拉區(qū)的適應(yīng)性還有待于進(jìn)一步探討，不適用于巖石的膨脹和蠕變破壞。

12/16/202267（6）優(yōu)缺點(diǎn)12/14/202267675.6.7格里菲斯（Griffith）強(qiáng)度理論（1）理論的基本思想1．在脆性材料的內(nèi)部存在隨機(jī)分布的許多扁平的裂紋，這些微小的裂紋，在數(shù)學(xué)上可用一個(gè)扁平的橢圓來描述。

2．根據(jù)理論分析，隨著作用的外力增大，裂紋將沿著與最大拉應(yīng)力成直角的方向擴(kuò)展，最后逐漸向最大主應(yīng)力方向過渡。

3.當(dāng)作用在裂紋尖端處的有效應(yīng)力達(dá)到形成新裂紋所需的能量時(shí)，裂紋開始擴(kuò)展，其表達(dá)式為：12/16/202268（5-63）

5.6.7格里菲斯（Griffith）強(qiáng)度理論12/14/6812/16/202269圖5-29在壓應(yīng)力條件下裂隙開始破裂及擴(kuò)展方向

12/14/202269圖5-29在壓應(yīng)力條件下裂隙開始破69（2）強(qiáng)度判據(jù)

在坐標(biāo)中的強(qiáng)度曲線如下

12/16/202270

（5-64）

圖5-30Griffith強(qiáng)度曲線

（2）強(qiáng)度判據(jù)12/14/202270（5-64）圖570（3）從強(qiáng)度曲線可以得到如下結(jié)論

1.材料的單軸抗壓強(qiáng)度是抗拉強(qiáng)度的8倍，其反映了脆性材料的基本力學(xué)特征，這個(gè)由理論上嚴(yán)格給出的結(jié)果，它在數(shù)量級(jí)上是合理的，但在細(xì)節(jié)上還是有一些出入；2.不論在何種應(yīng)力狀態(tài)下，材料都是因?yàn)榱鸭y尖端附近達(dá)到極限拉應(yīng)力而開始擴(kuò)展的基本觀點(diǎn)，即材料的破壞機(jī)理是拉伸破壞。新裂紋與最大主應(yīng)力方向斜交，而且擴(kuò)展方向會(huì)最終趨于與最大主應(yīng)力方向平行。（4）適用條件

本理論只適用于研究脆性巖石的破壞。

12/16/202271（3）從強(qiáng)度曲線可以得到如下結(jié)論12/14/202271715.6.8德魯克-普拉格準(zhǔn)則

（1）準(zhǔn)則方程

其中：為應(yīng)力第一不變量；

為應(yīng)力偏量第二不變量；僅與巖石內(nèi)摩擦角和粘結(jié)力有關(guān)的試驗(yàn)常數(shù)：

12/16/202272（6-65）

5.6.8德魯克-普拉格準(zhǔn)則12/14/202272（6-72（2）評(píng)價(jià)

德魯克-普拉格準(zhǔn)則計(jì)入了中間主應(yīng)力的影響，又考慮了靜水壓力的作用，克服了庫(kù)侖-莫爾準(zhǔn)則的主要弱點(diǎn)。作業(yè)：P229：22、23、24

12/16/202273（2）評(píng)價(jià)12/14/2022737312/16/20227412/14/2022747412/16/20227512/14/2022757512/16/20227612/14/2022767612/16/20227712/14/2022777712/16/20227812/14/2022787812/16/20227912/14/2022797912/16/20228012/14/2022808012/16/20228112/14/2022818112/16/20228212/14/2022828212/16/20228312/14/2022838312/16/20228412/14/2022848412/16/20228512/14/2022858512/16/20228612/14/2022868612/16/20228712/14/2022878712/16/20228812/14/2022888812/16/20228912/14/2022898912/16/20229012/14/2022909012/16/20229112/14/20229191演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！925巖石本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論5.1概念

巖石和巖體的物理力學(xué)性質(zhì)，一般可以用彈性、塑性、粘性或三者的組合等模型來描述。（1）本構(gòu)關(guān)系1.彈性本構(gòu)關(guān)系

即當(dāng)巖石在外載荷作用下，巖石變形處于彈性變形階段時(shí)的本構(gòu)關(guān)系。2.塑性本構(gòu)關(guān)系

即當(dāng)巖石在外載荷作用下，巖石變形處于塑性變形階段時(shí)的本構(gòu)關(guān)系。12/16/2022935巖石本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論5.1概念12/14/20221933.流變本構(gòu)關(guān)系

如果巖石在外載荷作用條件不變的條件下，巖石的應(yīng)變或應(yīng)力還隨時(shí)間而變化，則稱該巖石具有流變性，此時(shí)的本構(gòu)關(guān)系稱為巖石的流變本構(gòu)關(guān)系。（2）強(qiáng)度理論

指采用判斷、推理的方法，推測(cè)材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下破壞的原因，而建立強(qiáng)度準(zhǔn)則，所提出的一些假設(shè)?？傊?，巖石的力學(xué)性質(zhì)可分為變形性質(zhì)和強(qiáng)度性質(zhì)兩類，變形性質(zhì)主要通過本構(gòu)關(guān)系來反映，而強(qiáng)度性質(zhì)則主要通過強(qiáng)度準(zhǔn)則來反映。

12/16/2022943.流變本構(gòu)關(guān)系12/14/20222945.2巖石彈性問題的求解（1）巖石彈性問題的求解步驟（2）平衡微分方程12/16/2022955.2巖石彈性問題的求解12/14/2022395（3）幾何方程

（4）物理方程（彈性本構(gòu)關(guān)系）

12/16/202296（3）幾何方程12/14/2022496（5）邊界條件

1.位移邊界條件2.應(yīng)力邊界條件3.混合邊界條件12/16/202297（在上）（在上）（5）邊界條件12/14/20225（在上）（在975.3巖石流變理論5.3.1概念（1）研究背景1.各種巖土工程，無一不和時(shí)間因素有關(guān)；2.是巖石力學(xué)的重要研究?jī)?nèi)容之一；3.存在的問題尚多，理論與實(shí)驗(yàn)研究仍有待進(jìn)一步加強(qiáng)。（2）流變現(xiàn)象

1.流變性質(zhì)：是指材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與時(shí)間因素有關(guān)的性質(zhì)。2.流變現(xiàn)象：材料變形過程中具有時(shí)間效應(yīng)的現(xiàn)象。3.巖石的流變包括蠕變、松弛和彈性后效。

12/16/2022985.3巖石流變理論12/14/20226984.蠕變：是當(dāng)應(yīng)力不變時(shí)，變形隨時(shí)間的增加而增長(zhǎng)的現(xiàn)象。

5.松弛：是當(dāng)應(yīng)變不變時(shí)，應(yīng)力隨時(shí)間增加而減小的現(xiàn)象。6.彈性后效：是加載或卸載時(shí)，彈性應(yīng)變滯后于應(yīng)力的現(xiàn)象。7.粘性流動(dòng)：即蠕變一段時(shí)間后卸載，部分應(yīng)變永久不恢復(fù)的現(xiàn)象。（3）研究蠕變的意義1.中硬以下巖石及軟巖中開挖的地下工程，大都需要經(jīng)過半個(gè)月甚至半年時(shí)間變形才能穩(wěn)定；或處于無休止的變形狀態(tài)，直至破壞失穩(wěn)。2.解決地下工程的設(shè)計(jì)和維護(hù)問題。12/16/2022994.蠕變：是當(dāng)應(yīng)力不變時(shí)，變形隨時(shí)間的增加而增長(zhǎng)的現(xiàn)象。199（4）蠕變的三個(gè)階段

如圖5-1中的abcd曲線所示，蠕變過程可分為三個(gè)階段：1.第一蠕變階段：如曲線中ab段所示，應(yīng)變速率隨時(shí)間增加而減小，故稱為減速蠕變階段或初始蠕變階段；2.第二蠕變階段：如曲線中bc段所示，應(yīng)變速率保持不變，故稱為等速蠕變階段；3.第三蠕變階段：如曲線中cd段所示，應(yīng)變速率迅速增加直到巖石破壞，故稱為加速蠕變階段。

12/16/2022100εdcbat0圖5-1巖石蠕變曲線

（4）蠕變的三個(gè)階段12/14/20228εdcbat0圖100（5）巖石的長(zhǎng)期強(qiáng)度

當(dāng)巖石的應(yīng)力超過某一臨界值時(shí)，蠕變向不穩(wěn)定蠕變發(fā)展；當(dāng)巖石的應(yīng)力小于該臨界值時(shí)，蠕變按穩(wěn)定蠕變發(fā)展。通常稱此臨界應(yīng)力為巖石的長(zhǎng)期強(qiáng)度。5.3.2流變模型理論流變性主要研究巖石在流變過程中的應(yīng)力、應(yīng)變和時(shí)間的關(guān)系，即通過應(yīng)力、應(yīng)變和時(shí)間組成的流變方程來表示。流變方程主要包括本構(gòu)方程、蠕變方程和松弛方程。在一系列的巖石流變?cè)囼?yàn)基礎(chǔ)上建立反映巖石流變性質(zhì)的方程，通常有兩種方法：12/16/2022101（5）巖石的長(zhǎng)期強(qiáng)度12/14/20229101（1）經(jīng)驗(yàn)方程法

即根據(jù)巖石蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果，由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的回歸擬合方法建立的方程。通常形式為：（2）微分方程法

本方法是將巖石介質(zhì)理想化，歸納成各種模型，模型可用理想化的具有基本性能（彈性、塑性和粘性）的元件組合而成。通過這些元件不同形式的串聯(lián)和并聯(lián)得到一些典型的流變模型體，相應(yīng)地推導(dǎo)出它們的有關(guān)微分方程。

12/16/2022102（5-10）

（1）經(jīng)驗(yàn)方程法12/14/202210（5-10）1025.3.3基本元件（1）彈性元件（虎克體H）1.定義

如果材料在載荷作用下，其變形性質(zhì)完全符合虎克定律，即是一種理想的彈性體，則稱此種材料為虎克體，用符號(hào)H代表。

2.力學(xué)模型12/16/2022103圖5-2虎克體力學(xué)模型及其動(dòng)態(tài)5.3.3基本元件12/14/202211圖5-2虎克體1033.本構(gòu)方程

4.虎克體的性能

1）具有瞬時(shí)彈性變形性質(zhì)，無論載荷大小，只要不為零，就有相應(yīng)的應(yīng)變，當(dāng)為零時(shí)，也為零，說明虎克體沒有彈性后效，即與時(shí)間無關(guān)；2）應(yīng)變恒定時(shí)，應(yīng)力也保持恒定不變，應(yīng)力不會(huì)因時(shí)間增長(zhǎng)而減小，故無應(yīng)力松弛性質(zhì)；3）應(yīng)力保持恒定時(shí)，應(yīng)變也保持不變，即無蠕變性質(zhì)。12/16/2022104（5-11）

3.本構(gòu)方程12/14/202212（5-11）104（2）塑性元件（庫(kù)侖體C）

1.定義

當(dāng)物體所受的應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，便開始產(chǎn)生塑性變形，即使應(yīng)力不再增加，變形仍然不斷增長(zhǎng)，具有這一性質(zhì)的物體為塑性體，用符合Y來代表。

2.力學(xué)模型

12/16/2022105圖5-3塑性體力學(xué)模型及其動(dòng)態(tài)（2）塑性元件（庫(kù)侖體C）12/14/202213圖5-31053.本構(gòu)方程4.塑性體的性能1）當(dāng)物體所受的應(yīng)力小于屈服極限時(shí)，模型表現(xiàn)為剛形體；2）當(dāng)物體所受的應(yīng)力大于或等于屈服極限時(shí)，模型表現(xiàn)為理想塑性體，即具有塑性流動(dòng)的特點(diǎn)。12/16/2022106（5-12）

3.本構(gòu)方程12/14/202214（5-12）106（3）粘性元件（牛頓體N）

1.定義

牛頓流體是一種理想粘性體，即應(yīng)力與應(yīng)變速率成正比，用符號(hào)N表示

。

2.力學(xué)模型

12/16/2022107圖5-4牛頓流體力學(xué)模型及其動(dòng)態(tài)（3）粘性元件（牛頓體N）12/14/202215圖5-41073.本構(gòu)方程

將（5-13）式積分，得：式中：C——積分常數(shù)，當(dāng)時(shí)，C=0，則：4.牛頓體的性質(zhì)1）從（5-15）式可以看出，當(dāng)t=0時(shí)，ε=0。當(dāng)應(yīng)力為時(shí)，完成其相應(yīng)的應(yīng)變需要時(shí)間，說明應(yīng)變與時(shí)間有關(guān)，牛頓體無瞬時(shí)變形。12/16/2022108或（5-13）

（5-14）

（5-15）

3.本構(gòu)方程12/14/202216或（5-13）（5-11082）當(dāng)時(shí)，即，積分后得，表明除去外力后應(yīng)變?yōu)槌?shù)，活塞的位移立即停止，不再恢復(fù)，只有再受到相應(yīng)的壓力時(shí)，活塞才回到原位。所以牛頓體無彈性后效，有永久形變。3）當(dāng)應(yīng)變時(shí)，，說明當(dāng)應(yīng)變保持某一恒定值后，應(yīng)力為零，即無應(yīng)力松弛性能。12/16/20221092）當(dāng)時(shí)，即，積分后得1095.4組合流變模型

三種基本元件進(jìn)行組合時(shí)應(yīng)力、應(yīng)變的計(jì)算規(guī)則：

1.串聯(lián)組合體中各元件的應(yīng)力相等；應(yīng)變等于各元件應(yīng)變之和。2.并聯(lián)組合體中各元件的應(yīng)變相等；應(yīng)力等于各元件應(yīng)力之和。5.4.1圣維南體（St.V:H-C）（1）力學(xué)模型

12/16/2022110圖5-5圣維南體力學(xué)模型5.4組合流變模型12/14/202218圖5-5圣維南110（2）本構(gòu)方程

本構(gòu)圖形12/16/2022111（5-16）圖5-6圣維南體本構(gòu)關(guān)系示意圖

（2）本構(gòu)方程12/14/202219（5-16）圖5-111（3）卸載特性

如在某一時(shí)刻卸載，使，則彈性變形全部恢復(fù)，塑性變形停止，但已發(fā)生的塑性變形永久保留。（4）圣維南體的特性

1.代表理想彈塑性體，它無蠕變，無松弛也無彈性后效。2.本構(gòu)關(guān)系與時(shí)間t無關(guān)，故不屬于流變模型，但它是復(fù)合體模型中常見的一個(gè)組成部分。12/16/2022112（3）卸載特性12/14/2022201125.4.2馬克斯威爾體（M:H-N）（1）力學(xué)模型（2）本構(gòu)方程

由串聯(lián)關(guān)系可得：

12/16/2022113圖5-7馬克斯威爾體力學(xué)模型

由于5.4.2馬克斯威爾體（M:H-N）12/14/202221113所以本構(gòu)方程為：（3）蠕變方程

在恒定載荷作用下，則，其本構(gòu)方程可化簡(jiǎn)為：解此微分方程，代入初始條件，得蠕變方程：

12/16/2022114

（5-17）

（5-18）

所以本構(gòu)方程為：12/14/202222（5-17）（5114（4）松弛方程

當(dāng)保持不變時(shí)，則有，因此本構(gòu)方程可變?yōu)椋航獯朔匠蹋氤跏紬l件，可得松弛方程：（5）松弛時(shí)間

令，則（5-19）式可變?yōu)椋寒?dāng)t=t1時(shí)定義：規(guī)定應(yīng)力降到初始應(yīng)力的37%時(shí)，所需要的時(shí)間為松弛時(shí)間。12/16/2022115（5-19）

（4）松弛方程12/14/202223（5-19）115（6）馬克斯威爾體的特性

1.具有瞬時(shí)變形，并隨著時(shí)間增長(zhǎng)應(yīng)變逐漸增大，即具有等速蠕變的性質(zhì)；

2.當(dāng)應(yīng)變恒定時(shí)，應(yīng)力隨時(shí)間的增長(zhǎng)而逐漸減小，即馬克斯威爾體模型具有松弛效應(yīng)。

12/16/2022116圖5-8馬克斯威爾體的蠕變曲線和松弛曲線（6）馬克斯威爾體的特性12/14/202224圖5-81165.4.3開爾文體（K:H/N）（1）力學(xué)模型（2）本構(gòu)方程

由于二元并聯(lián)關(guān)系可得：因此開爾文體的本構(gòu)方程為：

12/16/2022117圖5-9開爾文體力學(xué)模型（5-20）

5.4.3開爾文體（K:H/N）12/14/202225圖117（3）蠕變方程

如果在時(shí)，施加一個(gè)不變的應(yīng)力后，保持恒定，根據(jù)本構(gòu)方程可得：解上述微分方程，代入初始條件，可得蠕變方程：（4）卸載方程

在時(shí)卸載，即，代入本構(gòu)方程：

12/16/2022118（5-21）

（3）蠕變方程12/14/202226（5-21）118解上述微分方程可得：當(dāng)時(shí)，，結(jié)合本構(gòu)方程，可得卸載方程

：由式（5-21）和（5-22）可得如下曲線12/16/2022119或

（5-22）

圖5-10開爾文體蠕變曲線和彈性后效曲線

解上述微分方程可得：12/14/202227或（5-22）119（5）松弛方程

當(dāng)模型的應(yīng)變恒定時(shí)，即，此時(shí)的本構(gòu)方程為：

由（5-23）式可以看出，當(dāng)應(yīng)變保持恒定時(shí)，應(yīng)力也保持恒定，并不隨時(shí)間增加而減小，即本模型沒有應(yīng)力松弛性質(zhì)。（6）開爾文體的特性

1.屬于穩(wěn)定蠕變模型；2.具有彈性后效性質(zhì)，沒有松弛性質(zhì)。

12/16/2022120（5-23）

（5）松弛方程12/14/202228（5-23）1205.4.4理想粘塑性體（C/N）（1）力學(xué)模型

12/16/2022121圖5-11理想粘塑性體力學(xué)模型5.4.4理想粘塑性體（C/N）12/14/202229圖121（2）本構(gòu)方程

根據(jù)并聯(lián)規(guī)則：

這兩個(gè)元件的本構(gòu)關(guān)系為：根據(jù)本構(gòu)關(guān)系可知，當(dāng)時(shí)，，說明此時(shí)模型表現(xiàn)為剛體性質(zhì)。但當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為理想粘塑性體。因此，本模型的本構(gòu)方程為：12/16/2022122（5-24）

（2）本構(gòu)方程12/14/202230（5-24）122（3）蠕變方程

1.當(dāng)時(shí)，本模型屬于剛體，沒有蠕變性質(zhì)。2.當(dāng)時(shí)，設(shè)有恒載，代入本構(gòu)方程有：解此微分方程，代入初始條件，可得蠕變方程：（4）理想粘塑性體特性

本模型沒有彈性和彈性后效，有不穩(wěn)定蠕變。12/16/2022123（5-25）

（3）蠕變方程12/14/202231（5-25）1235.4.5廣義開爾文體（廣義K:H-K）（1）力學(xué)模型

（2）本構(gòu)方程

由于串聯(lián)有：對(duì)于彈簧有：對(duì)于開爾文體有：12/16/2022124圖5-14廣義開爾文體力學(xué)模型5.4.5廣義開爾文體（廣義K:H-K）12/14/202124所以12/16/2022125化簡(jiǎn)上式可得廣義開爾文體本構(gòu)方程：

（5-26）

所以12/14/202233化簡(jiǎn)上式可得廣義開爾文體本構(gòu)方程125（3）蠕變方程在恒定載荷作用下，由于廣義開爾文體由彈簧和開爾文體兩部分組成，其蠕變也是由兩部分組成。對(duì)于彈簧只有瞬時(shí)變形，對(duì)于開爾文體，其蠕變方程為，可應(yīng)用疊加法，所以廣義開爾文體在恒定應(yīng)力作用下的蠕變方程為：

12/16/2022126（3）蠕變方程12/14/202234126（4）彈性后效（卸載效應(yīng)）

如果在時(shí)刻卸載，虎克體產(chǎn)生的彈性變形立即恢復(fù)，但是開爾文體的變形則需要經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間才能恢復(fù)到零，其卸載方程和開爾文體的卸載方程相類似，只是用代替即可。其蠕變曲線和彈性后效曲線，如圖5-15所示。

12/16/2022127蠕變曲線t0彈性后效圖5-15廣義開爾文體蠕變曲線和卸載曲線（4）彈性后效（卸載效應(yīng)）12/14/202235蠕變曲線1275.4.6飽依丁-湯姆遜體（PTh：H/M）（1）力學(xué)模型（2）本構(gòu)方程

本模型是由馬克斯威爾體與虎克體并聯(lián)而成，由并聯(lián)規(guī)則：12/16/2022128圖5-16飽依丁-湯姆遜體力學(xué)模型5.4.6飽依丁-湯姆遜體（PTh：H/M）12/14/2128由馬克斯威爾體的本構(gòu)關(guān)系可得：由虎克體可得：即：代入化簡(jiǎn)，即可得到本模型的本構(gòu)方程：

12/16/2022129則：

且有

（5-28）

由馬克斯威爾體的本構(gòu)關(guān)系可得：12/14/202237則：129（3）蠕變方程當(dāng)在恒定的應(yīng)力作用下，此時(shí)，則本構(gòu)方程變?yōu)椋航馍鲜鍪轿⒎址匠?，可得：從?-29）分析可以得出：1.當(dāng)時(shí)，；2.當(dāng)時(shí)，可得：。12/16/2022130（5-29）

（3）蠕變方程12/14/202238（5-29）130

由1、2可知（5-29）式所表達(dá)的蠕變曲線如圖5-17所示，且此蠕變屬于穩(wěn)定蠕變。（4）卸載方程（彈性后效）若本模型在受恒載的時(shí)刻突然卸載，此時(shí)產(chǎn)生的蠕變應(yīng)變?yōu)椋?/p>

12/16/20221310t圖5-17飽依丁-湯姆遜體蠕變曲線由1、2可知（5-29）式所表達(dá)的蠕變曲線如圖5-17所131

為了研究模型卸載后應(yīng)變變化情況，因此令此時(shí)刻為零時(shí)刻，即，并且有，根據(jù)本構(gòu)方程可得：解上式微分方程可得：從（5-30）式可以看出：當(dāng)時(shí)的應(yīng)變；當(dāng)時(shí)，。應(yīng)力在時(shí)刻就已經(jīng)為零了，而應(yīng)變則需要更長(zhǎng)時(shí)間才能回零，因而，本模型具有彈性后效性質(zhì)。12/16/2022132（5-30）

為了研究模型卸載后應(yīng)變變化情況，因此令此時(shí)刻為零時(shí)刻，132（5）松弛效應(yīng)

飽依丁-湯姆遜體是由一個(gè)馬克斯威爾體和一個(gè)虎克體并聯(lián)而成，馬克斯威爾體具有松弛效應(yīng)，因此，如果保持本模型的不變，即保持不變，此時(shí)保持恒定，而由于松弛效應(yīng)而減小，使得也減小。由此看來，本模型具有松弛性質(zhì)。5.4.7賓漢姆體（1）力學(xué)模型

12/16/2022133圖5-18賓漢姆體力學(xué)模型（5）松弛效應(yīng)12/14/202241圖5-18賓漢姆體133（2）本構(gòu)方程

由串聯(lián)可得：

對(duì)于虎克體有：

對(duì)于理想粘塑性體有：因此，賓漢姆體的本構(gòu)方程為：

12/16/2022134（5-31）

（2）本構(gòu)方程12/14/202242（5-31）134（3）蠕變方程

當(dāng)模型在恒定應(yīng)力的作用下，此時(shí)。若時(shí)，理想粘塑性體沒有變形，只有彈簧有變形，但沒有蠕變；若時(shí)，根據(jù)本構(gòu)方程（5-31）式第二式可得：解此微分方程，代入初始條件，得蠕變方程為

：

12/16/2022135（5-32）

（）

0圖5-19賓漢姆體蠕變曲線

（3）蠕變方程12/14/202243（5-32）（135（4）松弛方程如果保持應(yīng)變恒定，即，則。1.若應(yīng)力值，則理想粘塑性體為剛體，沒有形變，此時(shí)的賓漢姆體相當(dāng)一個(gè)虎克體，沒有松弛。2.若應(yīng)力值在的條件下，根據(jù)本構(gòu)方程可知：解此微分方程，代入初始條件，可得松弛方程：

12/16/2022136

（5-33）

（）

（4）松弛方程12/14/202244（5-33）（1365.4.8四元件組合體——伯格斯體

（1）力學(xué)模型

（2）本構(gòu)方程

在推導(dǎo)本構(gòu)方程時(shí)，可將開爾文體和馬克斯威爾體看成單個(gè)元件，然后應(yīng)用串聯(lián)運(yùn)算規(guī)則，即可求出整個(gè)模型體的本構(gòu)方程如下：12/16/2022137圖5-21伯格斯體力學(xué)模型（5-34）

5.4.8四元件組合體——伯格斯體12/14/20224137（3）蠕變方程

在推導(dǎo)蠕變方程時(shí)，也可把開爾文體和馬克斯威爾體的蠕變方程進(jìn)行疊加，就可得出本模型的蠕變方程：（4）卸載效應(yīng)

如果在某一時(shí)刻卸載，馬克斯威爾體的彈簧k2產(chǎn)生瞬時(shí)變形，但它的粘性元件也產(chǎn)生了永久變形；對(duì)于開爾文體卸載后，由于粘性元件的作用，使彈簧的形變不能馬上恢復(fù)，而只能經(jīng)過相當(dāng)一段時(shí)間后，才能使這兩個(gè)元件的變形得以恢復(fù)，因此，這就使本模型具有了彈性后效效應(yīng)。12/16/2022138

（5-35）（3）蠕變方程12/14/202246（5-35）138（5）伯格斯體的特性1.具有瞬時(shí)彈性變形；2.具有減速蠕變、等速蠕變、彈性后效以及松弛效應(yīng)等性質(zhì)；3.比較適合描述軟巖的性質(zhì)。

12/16/2022139卸載曲線蠕變曲線0圖5-22伯格斯體蠕變和卸載曲線12/14/202247卸載曲線蠕變曲線0圖5-22伯格斯1395.4.9五元件組合體——西原體

（1）力學(xué)模型

（2）本構(gòu)方程

1.本模型在時(shí)，理想粘塑性體表現(xiàn)為剛體，沒有形變。因此，它就是廣義開爾文體，它具有瞬時(shí)彈性變形、彈性后效、蠕變和松弛等性質(zhì)。

2.當(dāng)時(shí)，它與伯格斯體模型相似，只是應(yīng)力要扣除即可。因此本模型的本構(gòu)方程為：

12/16/2022140圖5-23西原體力學(xué)模型

5.4.9五元件組合體——西原體12/14/202248140（3）蠕變方程

本模型的蠕變方程也可以應(yīng)用疊加和變化列出：

12/16/2022141（5-36）

（5-37）

12/14/202249（5-36）（5-37）141（4）西原體的特性

1.在應(yīng)力水平較低時(shí)具有廣義開爾文體的性質(zhì)，表現(xiàn)出穩(wěn)定蠕變；

2.當(dāng)應(yīng)力水平超過巖石某一臨界值后，理想塑性體的性質(zhì)以充分表現(xiàn)出來，本模型逐漸轉(zhuǎn)化為不穩(wěn)定蠕變性質(zhì)；3.本模型比較適合模擬軟巖的流變特性。12/16/2022142（4）西原體的特性12/14/2022501425.6巖石強(qiáng)度理論5.6.1概述（1）巖石強(qiáng)度理論是研究巖石在各種應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度準(zhǔn)則的理論。（2）強(qiáng)度準(zhǔn)則表征巖石在極限應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài)和巖石強(qiáng)度參數(shù)之間的關(guān)系。（3）應(yīng)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定

1.以壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負(fù)。

2.剪應(yīng)力使物體產(chǎn)生逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。

3.角度以x軸正向沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)所形成的夾角為正，反之為負(fù)。

12/16/20221435.6巖石強(qiáng)度理論12/14/202251143（4）基本應(yīng)力公式

任意角度截面的應(yīng)力計(jì)算公式最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力的表達(dá)式

最大主應(yīng)力與作用面的夾角12/16/2022144圖5-25二維的應(yīng)力狀態(tài)

（4）基本應(yīng)力公式12/14/202252圖5-25二維1445.6.2最大正應(yīng)力強(qiáng)度理論（1）實(shí)質(zhì)材料破壞取決于絕對(duì)值最大的正應(yīng)力。因此，對(duì)于作用于巖體的三個(gè)主應(yīng)力，只要有一個(gè)主應(yīng)力達(dá)到巖體或巖石的單軸抗壓強(qiáng)度或單軸抗拉強(qiáng)度，巖體或巖石就會(huì)破壞。（2）強(qiáng)度條件其中：——巖體或巖石單軸抗壓強(qiáng)度及單軸抗拉強(qiáng)度的泛稱。

12/16/2022145或

5.6.2最大正應(yīng)力強(qiáng)度理論12/14/202253或145（3）應(yīng)用條件

本理論只適用于巖體單向受力狀態(tài)或者脆性巖石在二維應(yīng)力條件下的受力狀態(tài)，所以對(duì)于處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)中的巖體不宜采用這種強(qiáng)度理論。5.6.3最大正應(yīng)變強(qiáng)度理論（1）實(shí)質(zhì)

材料破壞取決于最大正應(yīng)變，材料發(fā)生張性破壞的原因是由于其最大正應(yīng)變達(dá)到或超過一定的極限應(yīng)變所致。所以只要巖體中任意一方向的最大正應(yīng)變達(dá)到其單軸壓縮或單軸拉伸破壞時(shí)的應(yīng)變值時(shí)，巖體或巖石就會(huì)破壞。

12/16/2022146（3）應(yīng)用條件12/14/202254146（2）強(qiáng)度條件

式中：根據(jù)廣義虎克定律求出；由巖體或巖石單軸壓縮或單軸拉伸試驗(yàn)確定?；蛴蓮V義虎克定律，可寫成如下形式：其中：——三個(gè)主應(yīng)力；——巖體泊松比；——泛指巖體單軸抗壓強(qiáng)度及單軸抗拉強(qiáng)度。（3）應(yīng)用條件

本強(qiáng)度理論只適用于無圍壓或低圍壓條件下的脆性巖石或巖體，而不宜用于巖體的塑性變形。

12/16/2022147（2）強(qiáng)度條件12/14/2022551475.6.4最大剪應(yīng)力強(qiáng)度理論

（1）實(shí)質(zhì)

材料的破壞取決于最大剪應(yīng)力。即當(dāng)巖體所承受的最大剪應(yīng)力達(dá)到其極限剪應(yīng)力時(shí)，巖體便發(fā)生剪切破壞。（2）強(qiáng)度條件

或者可寫成如下解析形式：（3）應(yīng)用條件

本理論比較適合巖體彈塑性分析，但這種強(qiáng)度理論沒有考慮中間主應(yīng)力的影響。12/16/2022148或5.6.4最大剪應(yīng)力強(qiáng)度理論12/14/202256或1485.6.5庫(kù)侖準(zhǔn)則（1）實(shí)質(zhì)

巖石的破壞主要是剪切破壞，巖石的強(qiáng)度，即抗摩擦強(qiáng)度等于巖石本身抗剪切摩擦的粘結(jié)力和剪切面上的法向力產(chǎn)生的摩擦力。（2）強(qiáng)度條件庫(kù)侖準(zhǔn)則的莫爾應(yīng)力圓直觀圖解

應(yīng)力摩爾圓方程

12/16/2022149圖5-26

坐標(biāo)下庫(kù)侖準(zhǔn)則

5.6.5庫(kù)侖準(zhǔn)則12/14/202257圖5-26坐標(biāo)149（3）庫(kù)倫-摩爾圓的力學(xué)意義

1.如果應(yīng)力圓上的點(diǎn)落在強(qiáng)度曲線AR之下，則說明該點(diǎn)表示的應(yīng)力還沒有達(dá)到材料的強(qiáng)度值，故材料不會(huì)破壞；2.如果應(yīng)力圓上的點(diǎn)超過了該區(qū)域，則說明該點(diǎn)表示的應(yīng)力以超過了材料的強(qiáng)度并發(fā)生破壞；3.如果應(yīng)力圓正好與強(qiáng)度曲線相切，則說明材料處于極限平衡狀態(tài)，巖石所產(chǎn)生的剪切破壞將可能在該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的平面上發(fā)生。（4）定義

破斷角是指最大主應(yīng)力方向與剪切面間的夾角。

由圖5-26可得：

12/16/2022150（3）庫(kù)倫-摩爾圓的力學(xué)意義12/14/202258150（5）一些重要關(guān)系由圖5-26可知若用平均主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力表示，則上式變?yōu)椋毫硗膺€可以得到：

12/16/2022151（5-51）

（5-52）

（5）一些重要關(guān)系12/14/202259（5-51）（5151若令，則極限應(yīng)力為巖石的單軸抗壓強(qiáng)度，即：利用三角恒等式有：根據(jù)（5-53）式和（5-54）式，（5-52）式可變成：

12/16/2022152（5-54）

（5-55）

（5-53）

若令，則極限應(yīng)力為巖石的單軸抗壓1525.6.6莫爾強(qiáng)度理論（1）實(shí)質(zhì)材料性質(zhì)本身也是應(yīng)力的函數(shù)。且指出“到極限狀態(tài)時(shí)，滑動(dòng)面上的剪應(yīng)力達(dá)到一個(gè)取決于正應(yīng)力與材料性質(zhì)的最大值”?？捎煤瘮?shù)關(guān)系表示：

（2）函數(shù)曲線的力學(xué)意義1.表示對(duì)應(yīng)于各種應(yīng)力狀態(tài)下的破壞莫爾應(yīng)力圓包絡(luò)線，即各破壞莫爾圓的外公切線，稱為莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線。所謂莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線就是指有各極限應(yīng)力圓的破壞點(diǎn)所組成的軌跡線。

12/16/20221535.6.6莫爾強(qiáng)度理論12/14/202261153