熱傳導動方程課件

第二章熱傳導動方程第一節(jié)熱傳導方程的導出和定解條件一、熱傳導方程的導出：給定一空間內物體，設其上的點在時刻的溫度為。模型：問題：研究溫度的運動規(guī)律。第二章熱傳導動方程第一節(jié)熱傳導方程的導出和定解條件1分析：（兩個物理定律）

1、熱量守恒定律:2、傅里葉（Fourier）熱傳導定律:溫度變化吸收的熱量通過邊界流入的熱量熱源放出的熱量為熱傳導系數。分析：（兩個物理定律）1、熱量守恒定律:2、傅里葉（Fou2任取物體內一個由光滑閉曲面所圍成的區(qū)域，研究物體在該區(qū)域內熱量變化規(guī)律。熱傳導方程的推導：熱量守恒定律區(qū)域內各點的溫度從時刻的溫度改變?yōu)闀r刻的溫度所吸收（或放出）的熱量，應等于從時刻到時刻這段時間內通過曲面流入（或流出）內的熱量和熱源提供（或吸收）的熱量之和。即

內溫度變化所需要的熱量=通過曲面流入內的熱量+熱源提供的熱量下面分別計算這些熱量任取物體內一個由光滑閉曲面所圍成的區(qū)域，研3

（1）內溫度變化所需要的能量那么包含點的體積微元的溫度從變?yōu)樗枰臒崃繛樵O物體的比熱（單位質量的物體溫度改變所需要的熱量）為密度為

整個內溫度變化所需要的能量（1）內溫度變化所需要的能量那么包含點4

（2）通過曲面進入內的熱量由傅里葉熱傳導定律，從到這段時間內通過進入內的熱量為由高斯公式知（2）通過曲面進入內的熱量由傅里葉熱5

（3）熱源提供的熱量用表示熱源強度，即單位時間內從單位體積內放出的熱量，則從到這段時間內內熱源所提供的熱量為由熱量守恒定律得：由及的任意性知（3）熱源提供的熱量用6三維無熱源熱傳導方程：三維有熱源的熱傳導方程：（均勻且各向同性物體，即都為常數的物體）其中稱為非齊次項（自由項）。通常稱（1.5）為非齊次的熱傳導方程，而稱（1.6）為齊次熱傳導方程。三維無熱源熱傳導方程：三維有熱源的熱傳導方程：（均勻且各向7二、定解條件（初始條件和邊界條件）初始條件：邊界條件：1、第一邊界條件（

Dirichlet

邊界條件）特別地：時，物體表面保持恒溫。二、定解條件（初始條件和邊界條件）初始條件：邊界條件：1、第82、第二邊界條件（Neumann

邊界條件）特別地：時，表示物體絕熱。3、第三邊界條件(D-N混合邊界條件

)其中：

表示沿邊界上的單位外法線方向的方向導數注：2、第二邊界條件（Neumann邊界條件）特別地：9注意第三邊界條件的推導：研究物體與周圍介質在物體表面上的熱交換問題把一個溫度變化規(guī)律為的物體放入空氣介質中，已知與物體表面接觸處的空氣介質溫度為，它與物體表面的溫度并不相同。這給出了第三邊界條件的提法。熱傳導試驗定律或牛頓定律從物體流到介質中的熱量和兩者的溫差成正比：其中比例常數稱為熱交換系數流過物體表面的流量可以從物質內部（傅里葉定律）和外部介質（牛頓定律）兩個方面來確定：或即得到（1.10）：注意第三邊界條件的推導：研究物體與周圍介質在物體表面上的熱交10三、定解問題定義1

在區(qū)域上，由方程（1.5）、初始條件（1.7）組成的定解問題稱為初值問題或柯西問題。例如三維熱傳導方程的初值問題為：定義2

在區(qū)域上，由方程（1.5）和初始條件（1.7）和邊界條件（1.9）、（1.10）、（1.11）中的其中之一組成的定解問題稱為初邊值問題或混合問題。例如三維熱傳導方程的第一初邊值問題為：三、定解問題定義1在區(qū)域上，由方程（1.5）、初始條件（112、上述界條件形式上與波動方程的邊界條件一樣，但表示的物理意義不一樣；3、熱傳導方程的初始條件只有一個，而波動方程有兩個初始條件。1、方程（1.6）不僅僅描述熱傳導現象，也可以刻畫分子、氣體的擴散等，也稱擴散方程；注4、除了三維熱傳導方程外，物理上，溫度的分布在同一個界面上是相同的，可得一維熱傳導方程：而對于薄片的熱傳導，可得二維熱傳導方程：2、上述界條件形式上與波動方程的邊界條件一樣，但表示的物理意12第二節(jié)初邊值問題的分離變量法考慮一維熱傳導方程的初邊值問題不失一般性，考慮齊次邊界條件的初邊值問題第二節(jié)初邊值問題的分離變量法考慮一維熱傳導方程的初邊值問13和上述定解問題可分解為下面兩個混合問題：則（II）的解為:和上述定解問題可分解為下面兩個混合問題：則（II）的解為:14問題（I）的通解形式為：其中由下面給出：考慮齊次方程、齊次邊界條件的混合問題（I）：問題（I）的通解形式為：其中由下面給出：考慮齊15問題（II）的解：其中非齊次方程混合問題的解：問題（II）的解：其中非齊次方程混合問題的解：16定理2.1：則由公式(2.14)給出的級數是混合問題(2.1)-(2.4)的古典解。設齊次方程、齊次邊界條件的混合問題的解為：?

當為有界函數時，(2.14)

式給出的形式解關于以及均是任意次連續(xù)可導的，且滿足方程(2.1)和邊界條件

(2.3)-

(2.4)

。定理2.1：則由公式(2.14)給出的級數17分離變量法的解題步驟：1、令代入方程和邊界條件，確定所滿足的常微分方程的特征值問題以及所滿足的方程；2、解常微分方程的特征值問題，求出全部特征值和特征函數，并求出相應的表達式；3、將所有變量分離形式的解疊加起來，利用初值定出所有待定常數；4、證明形式解是真解對級數解的收斂性進行討論。分離變量法的解題步驟：1、令18注：1、在使用變量分離法時，邊界條件的齊次化是至關重要的，關鍵是構造輔助函數；2、對于非齊次方程，我們通常采用齊次化原理將其轉化為齊次化方程來求解，但也可以直接求解。（1）、將變量分離形式代入相應的齊次方程和其次邊界條件，得到相應的特征值問題，并求出全部特征值和特征函數

；（2）、將，方程的非齊次項，以及初值都按照特征函數進行

Fourier

展開；————————————————————————注：2、對于非齊次方程，我們通常采用齊次化原理將其轉化為齊次19其中:其中:20（3）、解初值問題解為：非齊次方程混合問題的解：（3）、解初值問題解為：非齊次方程混合問題的解：21第三節(jié)初值問題—Cauchy

問題考慮一維熱傳導方程的初值問題一、傅里葉（Fourier）變換及其基本性質傅里葉變換:傅里葉逆變換:記為:記為:第三節(jié)初值問題—Cauchy問題考慮一維熱傳導方程22定理3.1：（Fourier積分定理）若在上絕對可積且連續(xù)可微，則有:簡記為:公式（3.5）稱為Fourier反演公式。定理3.1：（Fourier積分定理）若23性質1、（線性性質）性質2、（微商性質）性質3、（乘多項式性質）性質1、（線性性質）性質2、（微商性質）性質24性質4、（卷積性質）性質5、（乘積性質）性質4、（卷積性質）性質5、（乘積性質）251)、（位移性質）2)、（相似性質）3)、（對稱性質）補充性質：1)、（位移性質）2)、（相似性質）3)、（對稱性26例3、設

例2、設

例1、設

例3、設例2、設例1、設27二、熱傳導方程柯西問題的解考慮齊次熱傳導方程的初值問題解為:二、熱傳導方程柯西問題的解考慮齊次熱傳導方程的初值問題解為:28對非齊次熱傳導方程的齊次初始條件問題解為:非齊次熱傳導方程的非齊次初始條件問題的解為：對非齊次熱傳導方程的齊次初始條件問題解為:非齊次熱傳導方程的29定理3.2：函數是柯西問題(3.14)-(3.15)的有界解。設且有界，則由(3.17)

式給出的一維齊次弦振動方程的初值問題解為:定理3.2：函數是柯西問題(3.14)-(30知識回顧知識回顧31例：試求下述定解問題的有界解解為:例：試求下述定解問題的有界解解為:32第四節(jié)極值原理、定解問題解考慮一維非齊次熱傳導方程的唯一性與穩(wěn)定性一、極值原理定理4.1：在上的最大值必在邊界上達到，即設在矩形上連續(xù)，并且在內部滿足方程(4.1)。又設，則表示矩形的兩個側邊和底邊所組成的邊界曲線，稱為拋物邊界第四節(jié)極值原理、定解問題解考慮一維非齊次熱傳導方程的唯一33必在邊界上達到，即設在矩形上連續(xù)，且滿足方程(4.1)。

又設，則在上的最小值推論4.1：設在矩形上連續(xù)，且滿足推論4.2：則成立必在邊界上達到，即設在矩形34例（最大值原理的應用）設滿足求在的最大值和最小值。解：例（最大值原理的應用）求在的最大值和最小值35考慮一維熱傳導方程的初邊值問題二、初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性定理4.2：初邊值問題（4.3）在區(qū)域上的古典解是唯一的，而且連續(xù)依賴于拋物邊界上所給的初始條件和邊界條件。注：若解在方程中出現的所有偏導數都連續(xù)，則稱這種解為古典解?？紤]一維熱傳導方程的初邊值問題二、初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定36考慮一維熱傳導方程的混合初邊值問題定理4.3：設是初邊值問題（4.4）的古典解，則正常數，在上滿足考慮一維熱傳導方程的混合初邊值問題定理4.3：設37如果在上，有那么由定理4.3可得如果在上，有那么由定理4.3可得38推論4.3：初邊值問題（4.4）在區(qū)域上的古典解是唯一的，而且連續(xù)依賴于邊值上所給的初始條件和邊界條件。對于混合初邊值問題定理4.3

仍然成立。推論4.3：初邊值問題（4.4）在區(qū)域上的古39考慮一維熱傳導方程的初值問題三、初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性定理4.5：初值問題（4.10）在有界函數類中的古典解是唯一的，而且連續(xù)依賴于所給的初始條件?？紤]一維熱傳導方程的初值問題三、初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性40推論4.5：（比較原理）則在

上有推論4.4：（解的最大模估計）設是初值問題（4.11）的古典解，則推論4.5：（比較原理）則在上有推論4.4：（41第五節(jié)解的漸近性態(tài)考慮一維熱傳導方程的初邊值問題一、初邊值問題解的漸近性態(tài)定理5.1：則，問題(5.1)的唯一古典解指數衰減趨于零，設初始函數第五節(jié)解的漸近性態(tài)考慮一維熱傳導方程的初邊值問題一、初邊42證明：由極值原理和分離變量法知，（5.1）的唯一古典解為其中由下面給出：由（5.2）可知，對一切，有由的定義知當時，，故有證明：由極值原理和分離變量法知，（5.1）的唯一古典解為其中43另一方面，由指數函數的性質知，當時，對一切成立時，對于于是當有即另一方面，由指數函數的性質知，當時，對一切44考慮一維熱傳導方程的初值問題二、Cauchy

問題解的漸近性態(tài)定理5.2：柯西問題(5.7)的唯一古典解具有如下性質，設初始函數是有界連續(xù)函數且則考慮一維熱傳導方程的初值問題二、Cauchy問題解的漸近性45第二章熱傳導動方程第一節(jié)熱傳導方程的導出和定解條件一、熱傳導方程的導出：給定一空間內物體，設其上的點在時刻的溫度為。模型：問題：研究溫度的運動規(guī)律。第二章熱傳導動方程第一節(jié)熱傳導方程的導出和定解條件46分析：（兩個物理定律）

1、熱量守恒定律:2、傅里葉（Fourier）熱傳導定律:溫度變化吸收的熱量通過邊界流入的熱量熱源放出的熱量為熱傳導系數。分析：（兩個物理定律）1、熱量守恒定律:2、傅里葉（Fou47任取物體內一個由光滑閉曲面所圍成的區(qū)域，研究物體在該區(qū)域內熱量變化規(guī)律。熱傳導方程的推導：熱量守恒定律區(qū)域內各點的溫度從時刻的溫度改變?yōu)闀r刻的溫度所吸收（或放出）的熱量，應等于從時刻到時刻這段時間內通過曲面流入（或流出）內的熱量和熱源提供（或吸收）的熱量之和。即

內溫度變化所需要的熱量=通過曲面流入內的熱量+熱源提供的熱量下面分別計算這些熱量任取物體內一個由光滑閉曲面所圍成的區(qū)域，研48

（1）內溫度變化所需要的能量那么包含點的體積微元的溫度從變?yōu)樗枰臒崃繛樵O物體的比熱（單位質量的物體溫度改變所需要的熱量）為密度為

整個內溫度變化所需要的能量（1）內溫度變化所需要的能量那么包含點49

（2）通過曲面進入內的熱量由傅里葉熱傳導定律，從到這段時間內通過進入內的熱量為由高斯公式知（2）通過曲面進入內的熱量由傅里葉熱50

（3）熱源提供的熱量用表示熱源強度，即單位時間內從單位體積內放出的熱量，則從到這段時間內內熱源所提供的熱量為由熱量守恒定律得：由及的任意性知（3）熱源提供的熱量用51三維無熱源熱傳導方程：三維有熱源的熱傳導方程：（均勻且各向同性物體，即都為常數的物體）其中稱為非齊次項（自由項）。通常稱（1.5）為非齊次的熱傳導方程，而稱（1.6）為齊次熱傳導方程。三維無熱源熱傳導方程：三維有熱源的熱傳導方程：（均勻且各向52二、定解條件（初始條件和邊界條件）初始條件：邊界條件：1、第一邊界條件（

Dirichlet

邊界條件）特別地：時，物體表面保持恒溫。二、定解條件（初始條件和邊界條件）初始條件：邊界條件：1、第532、第二邊界條件（Neumann

邊界條件）特別地：時，表示物體絕熱。3、第三邊界條件(D-N混合邊界條件

)其中：

表示沿邊界上的單位外法線方向的方向導數注：2、第二邊界條件（Neumann邊界條件）特別地：54注意第三邊界條件的推導：研究物體與周圍介質在物體表面上的熱交換問題把一個溫度變化規(guī)律為的物體放入空氣介質中，已知與物體表面接觸處的空氣介質溫度為，它與物體表面的溫度并不相同。這給出了第三邊界條件的提法。熱傳導試驗定律或牛頓定律從物體流到介質中的熱量和兩者的溫差成正比：其中比例常數稱為熱交換系數流過物體表面的流量可以從物質內部（傅里葉定律）和外部介質（牛頓定律）兩個方面來確定：或即得到（1.10）：注意第三邊界條件的推導：研究物體與周圍介質在物體表面上的熱交55三、定解問題定義1

在區(qū)域上，由方程（1.5）、初始條件（1.7）組成的定解問題稱為初值問題或柯西問題。例如三維熱傳導方程的初值問題為：定義2

在區(qū)域上，由方程（1.5）和初始條件（1.7）和邊界條件（1.9）、（1.10）、（1.11）中的其中之一組成的定解問題稱為初邊值問題或混合問題。例如三維熱傳導方程的第一初邊值問題為：三、定解問題定義1在區(qū)域上，由方程（1.5）、初始條件（562、上述界條件形式上與波動方程的邊界條件一樣，但表示的物理意義不一樣；3、熱傳導方程的初始條件只有一個，而波動方程有兩個初始條件。1、方程（1.6）不僅僅描述熱傳導現象，也可以刻畫分子、氣體的擴散等，也稱擴散方程；注4、除了三維熱傳導方程外，物理上，溫度的分布在同一個界面上是相同的，可得一維熱傳導方程：而對于薄片的熱傳導，可得二維熱傳導方程：2、上述界條件形式上與波動方程的邊界條件一樣，但表示的物理意57第二節(jié)初邊值問題的分離變量法考慮一維熱傳導方程的初邊值問題不失一般性，考慮齊次邊界條件的初邊值問題第二節(jié)初邊值問題的分離變量法考慮一維熱傳導方程的初邊值問58和上述定解問題可分解為下面兩個混合問題：則（II）的解為:和上述定解問題可分解為下面兩個混合問題：則（II）的解為:59問題（I）的通解形式為：其中由下面給出：考慮齊次方程、齊次邊界條件的混合問題（I）：問題（I）的通解形式為：其中由下面給出：考慮齊60問題（II）的解：其中非齊次方程混合問題的解：問題（II）的解：其中非齊次方程混合問題的解：61定理2.1：則由公式(2.14)給出的級數是混合問題(2.1)-(2.4)的古典解。設齊次方程、齊次邊界條件的混合問題的解為：?

當為有界函數時，(2.14)

式給出的形式解關于以及均是任意次連續(xù)可導的，且滿足方程(2.1)和邊界條件

(2.3)-

(2.4)

。定理2.1：則由公式(2.14)給出的級數62分離變量法的解題步驟：1、令代入方程和邊界條件，確定所滿足的常微分方程的特征值問題以及所滿足的方程；2、解常微分方程的特征值問題，求出全部特征值和特征函數，并求出相應的表達式；3、將所有變量分離形式的解疊加起來，利用初值定出所有待定常數；4、證明形式解是真解對級數解的收斂性進行討論。分離變量法的解題步驟：1、令63注：1、在使用變量分離法時，邊界條件的齊次化是至關重要的，關鍵是構造輔助函數；2、對于非齊次方程，我們通常采用齊次化原理將其轉化為齊次化方程來求解，但也可以直接求解。（1）、將變量分離形式代入相應的齊次方程和其次邊界條件，得到相應的特征值問題，并求出全部特征值和特征函數

；（2）、將，方程的非齊次項，以及初值都按照特征函數進行

Fourier

展開；————————————————————————注：2、對于非齊次方程，我們通常采用齊次化原理將其轉化為齊次64其中:其中:65（3）、解初值問題解為：非齊次方程混合問題的解：（3）、解初值問題解為：非齊次方程混合問題的解：66第三節(jié)初值問題—Cauchy

問題考慮一維熱傳導方程的初值問題一、傅里葉（Fourier）變換及其基本性質傅里葉變換:傅里葉逆變換:記為:記為:第三節(jié)初值問題—Cauchy問題考慮一維熱傳導方程67定理3.1：（Fourier積分定理）若在上絕對可積且連續(xù)可微，則有:簡記為:公式（3.5）稱為Fourier反演公式。定理3.1：（Fourier積分定理）若68性質1、（線性性質）性質2、（微商性質）性質3、（乘多項式性質）性質1、（線性性質）性質2、（微商性質）性質69性質4、（卷積性質）性質5、（乘積性質）性質4、（卷積性質）性質5、（乘積性質）701)、（位移性質）2)、（相似性質）3)、（對稱性質）補充性質：1)、（位移性質）2)、（相似性質）3)、（對稱性71例3、設

例2、設

例1、設

例3、設例2、設例1、設72二、熱傳導方程柯西問題的解考慮齊次熱傳導方程的初值問題解為:二、熱傳導方程柯西問題的解考慮齊次熱傳導方程的初值問題解為:73對非齊次熱傳導方程的齊次初始條件問題解為:非齊次熱傳導方程的非齊次初始條件問題的解為：對非齊次熱傳導方程的齊次初始條件問題解為:非齊次熱傳導方程的74定理3.2：函數是柯西問題(3.14)-(3.15)的有界解。設且有界，則由(3.17)

式給出的一維齊次弦振動方程的初值問題解為:定理3.2：函數是柯西問題(3.14)-(75知識回顧知識回顧76例：試求下述定解問題的有界解解為:例：試求下述定解問題的有界解解為:77第四節(jié)極值原理、定解問題解考慮一維非齊次熱傳導方程的唯一性與穩(wěn)定性一、極值原理定理4.1：在上的最大值必在邊界上達到，即設在矩形上連續(xù)，并且在內部滿足方程(4.1)。又設，則表示矩形的兩個側邊和底邊所組成的邊界曲線，稱為拋物邊界第四節(jié)極值原理、定解問題解考慮一維非齊次熱傳導方程的唯一78必在邊界上達到，即設在矩形上連續(xù)，且滿足方程(4.1)。

又設，則在上的最小值推論4.1：設在矩形上連續(xù)，且滿足推論4.2：則成立必在邊界上達到，即設在矩形79例（最大值原理的應用）設滿足求在的最大值和最小值。解：例