投資金融之單一指數(shù)和多因素模型

單一指數(shù)和多因素模型SingleIndexandMultifactorModels第六章馬克維茨模型的缺陷：計算量過大.假定分析n種股票,需要計算n個預期值、n個方差以及(n2–n)/2個協(xié)方差.相關(guān)系數(shù)確定或者估計中的誤差會導致無效結(jié)果.指數(shù)模型的優(yōu)勢：大大降低了馬克維茨模型的計算量,它把精力放在了對證券的專門分析中.

指數(shù)模型以一種簡單的方式來計算協(xié)方差,證券間的協(xié)方差由單個一般因素的影響生成,為市場指數(shù)收益所代表,從而為系統(tǒng)風險與公司特有的性質(zhì)提供了重要的新視角.指數(shù)模型的優(yōu)勢Announcements,Surprises,andExpectedReturns任一證券的收益由兩部分組成（Thereturnonanysecurityconsistsoftwoparts）.1)預期或一般收益（theexpectedornormalreturn）:thereturnthatshareholdersinthemarketpredictorexpect2)非預期或風險收益（theunexpectedorriskyreturn）:theportionthatcomesfrominformationthatwillberevealed.Announcements,Surprises,andExpectedReturns任何信息的公布可以被分成兩個部分，預期到的部分和異常部分（Anyannouncementcanbebrokendownintotwoparts,theanticipatedorexpectedpartandthesurpriseorinnovation）:Announcement=Expectedpart+Surprise.任何公布的信息中預期部分是市場用來形成股票預期收益（E(ri).）的信息（Theexpectedpartofanyannouncementispartoftheinformationthemarketusestoformtheexpectationofthereturnonthestock,E(ri).）異常部分是那些影響股票非預期收益（U.）的信息（Thesurpriseisthenewsthatinfluencestheunanticipatedreturnonthestock,U.）有關(guān)信息的例子

ExamplesofrelevantinformationStatisticsChinafigures(e.g.,GNP)AsuddendropininterestratesNewsthatthecompany’ssalesfiguresarehigherthanexpected因素模型

FactorModelsAwaytowritethereturnonastockinthecomingmonthis:實際總收益的構(gòu)成ri=E(ri)+U=E(ri)+m+eiri

：下個月的實際總收益E（ri

）：實際總收益中的期望收益部分U：實際總收益中的非期望收益部分m：系統(tǒng)性風險ei：非系統(tǒng)性風險公布信息=期望部分+異動部分風險：系統(tǒng)性和非系統(tǒng)性風險

Risk:SystematicandUnsystematic系統(tǒng)性風險會影響到大部分資產(chǎn)Asystematicriskisanyriskthataffectsalargenumberofassets,eachtoagreaterorlesserdegree.非系統(tǒng)性風險只會影響到單一資產(chǎn)或某一小類的資產(chǎn)。非系統(tǒng)性風險可以被分散掉。Anunsystematicriskisariskthatspecificallyaffectsasingleassetorsmallgroupofassets.Unsystematicriskcanbediversifiedaway.系統(tǒng)性風險包括那些一般經(jīng)濟狀態(tài)的不確定性，如GNP、利率、通貨膨脹等。Examplesofsystematicriskincludeuncertaintyaboutgeneraleconomicconditions,suchasGNP,interestrates,orinflation.換句話說，一個公司特定的消息，如金礦開采公司發(fā)現(xiàn)黃金，就是非系統(tǒng)性風險。Ontheotherhand,announcementsspecifictoacompany,suchasagoldminingcompanystrikinggold,areexamplesofunsystematicrisk.因素模型的特點作為一種回報率產(chǎn)生過程，因素模型具有以下幾個特點。第一，因素模型中的因素應該是系統(tǒng)影響所有證券價格的因素。第二，在構(gòu)造因素模型中，我們假設(shè)兩個證券的回報率相關(guān)——一起運動——僅僅是因為它們對因素運動的共同反應導致的。第三，證券回報率中不能由因素模型解釋的部分是該證券所獨有的，從而與別的證券回報率的特有部分無關(guān)，也與因素的運動無關(guān)。因素模型在證券組合管理中的應用在證券組合選擇過程中，減少估計量和計算量刻畫證券組合對因素的敏感度如果假設(shè)證券回報率滿足因素模型，那么證券分析的基本目標就是，辨別這些因素以及證券回報率對這些因素的敏感度。ri=E(ri)+??iF+ei?i=indexofasecurities’particularreturntothefactorF=somemacrofactor;inthiscaseFisunanticipatedmovement;FiscommonlyrelatedtosecurityreturnsAssumption:abroadmarketindexliketheS&P500isthecommonfactor.單一因因素模模型SingleFactorModel隨機誤誤差項項RANDOMERRORTERMSei被稱為為隨機誤誤差項項CANBECONSIDEREDARANDOMVARIABLEDISTRIBUTION:MEAN=0,即E(ei)=0VARIANCE=s2ei任意證證券i的隨機機項ei與因素素F不相關(guān)關(guān);任意證證券i與證券券j的隨機機項ei與ej不相關(guān)關(guān),cov(ei,ej)=0表6-1因素模模型數(shù)數(shù)據(jù)年份GDP增長率率A股票回回報率率15.7%14.3%26.419.237.923.447.015.655.19.262.913.04%上圖圖中中，，橫橫軸軸表表示示GDP的預預期期增增長長率率，，縱縱軸軸表表示示證證券券A的回回報報率率。。圖圖上上的的每每一一點點表表示示表表6-1中，，在在給給定定的的年年份份，，A的回回報報率率與與GDP增長長率率的的關(guān)關(guān)系系。。通通過過線線性性回回歸歸分分析析，，我我們們得得到到一一條條符符合合這這些些點點的的直直線線:rt=a+βGDPt+et。這這條條直直線線的的斜斜率率β為2，說說明明A的回回報報率率與與GDP增長長率率有有正正的的關(guān)關(guān)系系。。GDP增長長率率越越大大，，A的回回報報率率越越高高。。在上上圖圖中中，，零零因因素素是是4%，這這是是GDP的預預期期增增長長率率為為零零時時，，A的回回報報率率。。A的回回報報率率對對GDP增長長率率的的敏敏感感度度β為2，這這是是圖圖中中直直線線的的斜斜率率。。這這個個值值表表明明，，高高的的GDP的預預期期增增長長率率一一定定伴伴隨隨著著高高的的A的回回報報率率。。如如果果GDP的預預期期增增長長率率是是5%，則則A的回回報報率率為為14%。如如果果GDP的預預期期增增長長率率增增加加1%————為6%時，，則則A的回回報報率率增增加加2%，或或者者為為16%。在這這個個例例子子里里，，第第六六年年的的GDP的預預期期增增長長率率為為2.9%，A的實實際際回回報報率率是是13%。因因此此，，A的回回報報率率的的特特有有部部分分（（由由ei給出出））為為3.2%。給給定定GNP的預預期期增增長長率率為為2.9%，從從A的實實際際回回報報率率13%中減減去去A的期期望望回回報報率率9.8%，就就得得到到A的回回報報率率的的特特有有部部分分3.2%。市場場模模型型THEMARKETMODEL在實實際際應應用用過過程程中中常常用用證證券券市市場場組組合合來來作作為為影影響響證證券券價價格格的的單單因因素素，，此此時時的的單單因因素素模模型型被被稱稱為為市市場場模模型型。。市市場場模模型型實實際際上上是是單單因因素素模模型型的的一一個個特特例例。。ri=E(ri)+??i[rM-E（（rM）]+eirM：市場場組組合合的的實實際際收收益益率率E（（rM）：：市場場組組合合的的期期望望收收益益率率(ri-rf)

= i+?i(rm-rf)

+eiaRiskPrem（股股票票持持有有期期超超額額收收益益））MarketRiskPremorIndexRiskPremi=thestock’’sexpectedreturnifthemarket’’sexcessreturniszero?i(rm-rf)=thecomponentofreturnduetomovementsinthemarketindex(rm-rf)=0ei=firmspecificcomponent,notduetomarketmovementsa單一一指指數(shù)數(shù)模模型型SingleIndexModelLet:Ri=(ri-rf)

Rm=(rm-rf)RiskpremiumformatRi=i+?i(Rm)

+eiRiskPremiumFormat證券券特特征征線線SecurityCharacteristicLineExcessReturns(i)SCL.................................................ExcessreturnsonmarketindexRi=i+??iRm+ei...Ri=αi+??iRmJan.Feb...DecMeanStdDev5.41-3.44..2.43-.604.977.24.93..3.901.753.32ExcessMkt.Ret.ExcessGMRet.UsingtheTextExamplefromTable8-5EstimatedcoefficientStderrorofestimateVarianceofresiduals=12.601Stddevofresiduals=3.550R-SQR=0.575?-2.590(1.547)1.1357(0.309)rGM-rf=+??(rm-rf)回歸歸結(jié)結(jié)果果RegressionResults市場場風風險險或或系系統(tǒng)統(tǒng)風風險險Marketorsystematicrisk:riskrelatedtothemacroeconomicfactorormarketindex.非系系統(tǒng)統(tǒng)性性風風險險或或公公司司特特有有的的風風險險Unsystematicorfirmspecificrisk:risknotrelatedtothemacrofactorormarketindex.Totalrisk=Systematic+Unsystematic風險險構(gòu)構(gòu)成成ComponentsofRisk風險：系系統(tǒng)性和和非系統(tǒng)統(tǒng)性風險險Risk:SystematicandUnsystematic系統(tǒng)性風風險會影影響到大大部分資資產(chǎn)Asystematicriskisanyriskthataffectsalargenumberofassets,eachtoagreaterorlesserdegree.非系統(tǒng)性性風險只只會影響響到單一一資產(chǎn)或或某一小小類的資資產(chǎn)。非非系統(tǒng)性性風險可可以被分分散掉。。Anunsystematicriskisariskthatspecificallyaffectsasingleassetorsmallgroupofassets.Unsystematicriskcanbediversifiedaway.系統(tǒng)性風風險包括括那些一一般經(jīng)濟濟狀態(tài)的的不確定定性，如如GNP、利率、、通貨膨膨脹等。。Examplesofsystematicriskincludeuncertaintyaboutgeneraleconomicconditions,suchasGNP,interestrates,orinflation.換句話說說，一個個公司特特定的消消息，如如金礦開開采公司司發(fā)現(xiàn)黃黃金，就就是非系系統(tǒng)性風風險。Ontheotherhand,announcementsspecifictoacompany,suchasagoldminingcompanystrikinggold,areexamplesofunsystematicrisk.風險各組組成部分分的衡量量MeasuringComponentsofRiski2=i2m2+2(ei)where;i2=總方差（（totalvariance）i2m2=系統(tǒng)性方方差（systematicvariance）2(ei)=非系統(tǒng)性性方差（（unsystematicvariance）ij=cov(ri,rj)=ijm2隨機誤差差項eiTHERANDOMERRORTERMSeiTHERANDOMERRORTERMSei顯示因素素模型不不能解釋釋的部分分showsthatthefactormodelcannotexplainperfectly實際收益益和因素素模型預預期的收收益之間間的差異異就是ei（thedifferencebetweenwhattheactualreturnvalueisandwhatthemodelexpectsittobeisattributabletoei）TotalRisk=SystematicRisk+UnsystematicRiskSystematicRisk/TotalRisk=R2?i2m2/2=R2i2m2/[i2m2+2(ei)]=R2ExaminingPercentageofVariance風險分散散——國際經(jīng)驗驗中國股市市的分散散與風險險指數(shù)模型型和分散散化IndexModelandDiversification分散化DIVERSIFICATIONUniqueRiskmathematicallycanbeexpressedas分散化DIVERSIFICATION總組合的的風險TOTALPORTFOLIORISKalsohastwoparts:marketanduniqueMarketRisk分散化會會導致市市場風險險的平均均化（diversificationleadstoanaveragingofmarketrisk）UniqueRisk越是分散散化的組組合，其其非系統(tǒng)統(tǒng)性的風風險越小?。╝saportfoliobecomesmorediversified,thesmallerwillbeitsuniquerisk）風險降低低和分散散化RiskReductionwithDiversificationNumberofSecuritiesSt.DeviationMarketRiskUniqueRisks2(eP)=s2(e)/nbP2sM2Reducesthenumberofinputsfordiversification.Easierforsecurityanalyststospecialize.單一指數(shù)數(shù)的優(yōu)點點AdvantagesoftheSingleIndexModelDeterminingtheinputsneededforlocatingtheefficientset1Markowitz:expectedreturns:Nvariances:Ncovariances:(N2-N)/2Total:(N2+3N)/2Determiningtheinputsneededforlocatingtheefficientset2Indexmodel:Forthemarketindex:expectedreturn1variance1ForeachsecurityverticalinterceptNBetaNVarianceofrandomerrortermNTOTAL3N+2單指數(shù)模模型舉例例——清華同方方（1）假定有反反映中國國股市整整體情況況的中證證300指數(shù)，有有無風險險利率存存在。估估算期為為1年，計算算出每月月同方公公司的平平均收益益水平和和中國股股市月平平均收益益水平（（虛擬數(shù)數(shù)據(jù)），，結(jié)果如如下。同方股票票的超額額收益與與市場超超額收益益的關(guān)系系有下式式：RTFt=αTF+TFRMt+eTFt將這12組數(shù)據(jù)帶帶入上式式進行回回歸，得得到結(jié)果果如下：：截距為-0.11%，斜率為為0.36，殘值的的方差反反映了同同方公司司特有因因素對同同方股票票收益的的影響程程度，表表中的R2表示的是是rI與rM之間的相相關(guān)性的的平方，，它是總總方差上上的系統(tǒng)統(tǒng)方差，，它告訴訴我們公公司股價價小量波波動是由由市場波波動造成成的。單指數(shù)模模型舉例例——美林公司司美林公司司用S&P500指數(shù)作為為市場資資產(chǎn)組合合，以最最近60個月的每每月均值值來計算算回歸參參數(shù)。為為了簡便便，用總總收益代代替了模模型中的的超額收收益，要要估計的的模型變變成r=αα+rM+e*只要rf是常數(shù)，，回歸結(jié)結(jié)果就是是一樣的的。式中中的值和市場場風險2M與公司特特有風險險2(e)，都可以以從證券券特征線線中估計計出來，，美林公公司將其其評估結(jié)結(jié)果按月月刊登在在它出版版的月刊刊《證券風險險評估》中，人們們通常將將其稱為為“手冊”。。以下是是手冊中中的幾行行。多因素模模型MultifactorModels單因素模模型（市市場模型型）假設(shè)設(shè)市場組組合收益益的變化化包括了了所有的的風險因因素，而而且（不不正確地地）假設(shè)設(shè)任何一一種股票票對每種種風險的的相對敏敏感度都都一樣UsefactorsinadditiontomarketreturnEstimateabetaforeachfactorusingmultipleregressionusemorethanoneexplanatoryvariableinthereturn-generatingprocess系統(tǒng)性風風險和SystematicRiskandBetasForexample,supposewehaveidentifiedthreesystematicrisksonwhichwewanttofocus:Inflation\GDPgrowth\spotinterestrate多因素模模型Rt=t+?GDPGDPt+?IFIFt+βINTINTt+etExampleSupposewehavemadethefollowingestimates:βIF=-2.30bGDP=1.50bINT=0.50.Finally,thefirmwasabletoattracta““superstar”CEOandthisunanticipateddevelopmentcontributes1%tothereturn.e=1%Wemustdecidewhatsurprisestookplaceinthesystematicfactors.Ifitwasthecasethattheinflationratewasexpectedtobe3%,butinfactwas8%duringthetimeperiod,thenIF=Surpriseintheinflationrate=actual––expected=8%-3%=5%IfitwasthecasethattherateofGDPgrowthwasexpectedtobe4%,butinfactwas1%,thenFGDP=SurpriseintherateofGDPgrowth=actual––expected=1%-4%=-3%Ifitwasthecasethatspotinterestrate,S,wasexpectedtoincreaseby10%,butinfactremainedstableduringthetimeperiod,thenFS=Surpriseintheinterestrate=actual––expected=0%-10%=-10%Finally,ifitwasthecasethattheexpectedreturnonthestockwas8%,thenMultifactorModelsUsefactorsinadditiontomarketreturnExamplesincludeindustrialproduction,expectedinflationetc.Estimateabetaforeachfactorusingmultipleregression.MULTIPLE-FACTORMODELSMULTIPLE-FACTORMODELSsomeofthesefactorsmayincludeTHEGROWTHRATEOFGDPTHELEVELOFINTERESTRATESTHEYIELDSPREADBETWEENCERTAINVARIABLESTHEINFLATIONRATETHELEVELOFOILPRICES多因素模型的的應用1StudiesbyRollandRossandbyChen行業(yè)生產(chǎn)變動動百分比Changeinindustrialproduction預期通脹變動動百分比ChangeinUnanticipatedinflation非預期通脹變變動百分比Changeinexpectedinflation長期公司債券券對長期政府府債券的超額額收益Excessreturnoflong-termcorporatebondsoverlong-termgovernmentbonds長期政府債券券對短期國庫庫券的超額收收益Excessreturnoflong-termgovernmentbondsoverT-bills多因素模型的的應用2FamaandFrenchReturnsafunctionofsizeandbook-to-marketvalueaswellasmarketreturns資本資產(chǎn)定價價模型與因素素模型的關(guān)系系CAPM可視為一個特特