投資金融之單一指數(shù)和多因素模型

單一指數(shù)和多因素模型SingleIndexandMultifactorModels第六章馬克維茨模型的缺陷：計(jì)算量過大.假定分析n種股票,需要計(jì)算n個(gè)預(yù)期值、n個(gè)方差以及(n2–n)/2個(gè)協(xié)方差.相關(guān)系數(shù)確定或者估計(jì)中的誤差會(huì)導(dǎo)致無效結(jié)果.指數(shù)模型的優(yōu)勢(shì)：大大降低了馬克維茨模型的計(jì)算量,它把精力放在了對(duì)證券的專門分析中.

指數(shù)模型以一種簡(jiǎn)單的方式來計(jì)算協(xié)方差,證券間的協(xié)方差由單個(gè)一般因素的影響生成,為市場(chǎng)指數(shù)收益所代表,從而為系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與公司特有的性質(zhì)提供了重要的新視角.指數(shù)模型的優(yōu)勢(shì)Announcements,Surprises,andExpectedReturns任一證券的收益由兩部分組成（Thereturnonanysecurityconsistsoftwoparts）.1)預(yù)期或一般收益（theexpectedornormalreturn）:thereturnthatshareholdersinthemarketpredictorexpect2)非預(yù)期或風(fēng)險(xiǎn)收益（theunexpectedorriskyreturn）:theportionthatcomesfrominformationthatwillberevealed.Announcements,Surprises,andExpectedReturns任何信息的公布可以被分成兩個(gè)部分，預(yù)期到的部分和異常部分（Anyannouncementcanbebrokendownintotwoparts,theanticipatedorexpectedpartandthesurpriseorinnovation）:Announcement=Expectedpart+Surprise.任何公布的信息中預(yù)期部分是市場(chǎng)用來形成股票預(yù)期收益（E(ri).）的信息（Theexpectedpartofanyannouncementispartoftheinformationthemarketusestoformtheexpectationofthereturnonthestock,E(ri).）異常部分是那些影響股票非預(yù)期收益（U.）的信息（Thesurpriseisthenewsthatinfluencestheunanticipatedreturnonthestock,U.）有關(guān)信息的例子

ExamplesofrelevantinformationStatisticsChinafigures(e.g.,GNP)AsuddendropininterestratesNewsthatthecompany’ssalesfiguresarehigherthanexpected因素模型

FactorModelsAwaytowritethereturnonastockinthecomingmonthis:實(shí)際總收益的構(gòu)成ri=E(ri)+U=E(ri)+m+eiri

：下個(gè)月的實(shí)際總收益E（ri

）：實(shí)際總收益中的期望收益部分U：實(shí)際總收益中的非期望收益部分m：系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)ei：非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)公布信息=期望部分+異動(dòng)部分風(fēng)險(xiǎn)：系統(tǒng)性和非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)

Risk:SystematicandUnsystematic系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)會(huì)影響到大部分資產(chǎn)Asystematicriskisanyriskthataffectsalargenumberofassets,eachtoagreaterorlesserdegree.非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)只會(huì)影響到單一資產(chǎn)或某一小類的資產(chǎn)。非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)可以被分散掉。Anunsystematicriskisariskthatspecificallyaffectsasingleassetorsmallgroupofassets.Unsystematicriskcanbediversifiedaway.系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)包括那些一般經(jīng)濟(jì)狀態(tài)的不確定性，如GNP、利率、通貨膨脹等。Examplesofsystematicriskincludeuncertaintyaboutgeneraleconomicconditions,suchasGNP,interestrates,orinflation.換句話說，一個(gè)公司特定的消息，如金礦開采公司發(fā)現(xiàn)黃金，就是非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。Ontheotherhand,announcementsspecifictoacompany,suchasagoldminingcompanystrikinggold,areexamplesofunsystematicrisk.因素模型的特點(diǎn)作為一種回報(bào)率產(chǎn)生過程，因素模型具有以下幾個(gè)特點(diǎn)。第一，因素模型中的因素應(yīng)該是系統(tǒng)影響所有證券價(jià)格的因素。第二，在構(gòu)造因素模型中，我們假設(shè)兩個(gè)證券的回報(bào)率相關(guān)——一起運(yùn)動(dòng)——僅僅是因?yàn)樗鼈儗?duì)因素運(yùn)動(dòng)的共同反應(yīng)導(dǎo)致的。第三，證券回報(bào)率中不能由因素模型解釋的部分是該證券所獨(dú)有的，從而與別的證券回報(bào)率的特有部分無關(guān)，也與因素的運(yùn)動(dòng)無關(guān)。因素模型在證券組合管理中的應(yīng)用在證券組合選擇過程中，減少估計(jì)量和計(jì)算量刻畫證券組合對(duì)因素的敏感度如果假設(shè)證券回報(bào)率滿足因素模型，那么證券分析的基本目標(biāo)就是，辨別這些因素以及證券回報(bào)率對(duì)這些因素的敏感度。ri=E(ri)+??iF+ei?i=indexofasecurities’particularreturntothefactorF=somemacrofactor;inthiscaseFisunanticipatedmovement;FiscommonlyrelatedtosecurityreturnsAssumption:abroadmarketindexliketheS&P500isthecommonfactor.單一因因素模模型SingleFactorModel隨機(jī)誤誤差項(xiàng)項(xiàng)RANDOMERRORTERMSei被稱為為隨機(jī)誤誤差項(xiàng)項(xiàng)CANBECONSIDEREDARANDOMVARIABLEDISTRIBUTION:MEAN=0,即E(ei)=0VARIANCE=s2ei任意證證券i的隨機(jī)機(jī)項(xiàng)ei與因素素F不相關(guān)關(guān);任意證證券i與證券券j的隨機(jī)機(jī)項(xiàng)ei與ej不相關(guān)關(guān),cov(ei,ej)=0表6-1因素模模型數(shù)數(shù)據(jù)年份GDP增長(zhǎng)率率A股票回回報(bào)率率15.7%14.3%26.419.237.923.447.015.655.19.262.913.04%上圖圖中中，，橫橫軸軸表表示示GDP的預(yù)預(yù)期期增增長(zhǎng)長(zhǎng)率率，，縱縱軸軸表表示示證證券券A的回回報(bào)報(bào)率率。。圖圖上上的的每每一一點(diǎn)點(diǎn)表表示示表表6-1中，，在在給給定定的的年年份份，，A的回回報(bào)報(bào)率率與與GDP增長(zhǎng)長(zhǎng)率率的的關(guān)關(guān)系系。。通通過過線線性性回回歸歸分分析析，，我我們們得得到到一一條條符符合合這這些些點(diǎn)點(diǎn)的的直直線線:rt=a+βGDPt+et。這這條條直直線線的的斜斜率率β為2，說說明明A的回回報(bào)報(bào)率率與與GDP增長(zhǎng)長(zhǎng)率率有有正正的的關(guān)關(guān)系系。。GDP增長(zhǎng)長(zhǎng)率率越越大大，，A的回回報(bào)報(bào)率率越越高高。。在上上圖圖中中，，零零因因素素是是4%，這這是是GDP的預(yù)預(yù)期期增增長(zhǎng)長(zhǎng)率率為為零零時(shí)時(shí)，，A的回回報(bào)報(bào)率率。。A的回回報(bào)報(bào)率率對(duì)對(duì)GDP增長(zhǎng)長(zhǎng)率率的的敏敏感感度度β為2，這這是是圖圖中中直直線線的的斜斜率率。。這這個(gè)個(gè)值值表表明明，，高高的的GDP的預(yù)預(yù)期期增增長(zhǎng)長(zhǎng)率率一一定定伴伴隨隨著著高高的的A的回回報(bào)報(bào)率率。。如如果果GDP的預(yù)預(yù)期期增增長(zhǎng)長(zhǎng)率率是是5%，則則A的回回報(bào)報(bào)率率為為14%。如如果果GDP的預(yù)預(yù)期期增增長(zhǎng)長(zhǎng)率率增增加加1%————為6%時(shí)，，則則A的回回報(bào)報(bào)率率增增加加2%，或或者者為為16%。在這這個(gè)個(gè)例例子子里里，，第第六六年年的的GDP的預(yù)預(yù)期期增增長(zhǎng)長(zhǎng)率率為為2.9%，A的實(shí)實(shí)際際回回報(bào)報(bào)率率是是13%。因因此此，，A的回回報(bào)報(bào)率率的的特特有有部部分分（（由由ei給出出））為為3.2%。給給定定GNP的預(yù)預(yù)期期增增長(zhǎng)長(zhǎng)率率為為2.9%，從從A的實(shí)實(shí)際際回回報(bào)報(bào)率率13%中減減去去A的期期望望回回報(bào)報(bào)率率9.8%，就就得得到到A的回回報(bào)報(bào)率率的的特特有有部部分分3.2%。市場(chǎng)場(chǎng)模模型型THEMARKETMODEL在實(shí)實(shí)際際應(yīng)應(yīng)用用過過程程中中常常用用證證券券市市場(chǎng)場(chǎng)組組合合來來作作為為影影響響證證券券價(jià)價(jià)格格的的單單因因素素，，此此時(shí)時(shí)的的單單因因素素模模型型被被稱稱為為市市場(chǎng)場(chǎng)模模型型。。市市場(chǎng)場(chǎng)模模型型實(shí)實(shí)際際上上是是單單因因素素模模型型的的一一個(gè)個(gè)特特例例。。ri=E(ri)+??i[rM-E（（rM）]+eirM：市場(chǎng)場(chǎng)組組合合的的實(shí)實(shí)際際收收益益率率E（（rM）：：市場(chǎng)場(chǎng)組組合合的的期期望望收收益益率率(ri-rf)

= i+?i(rm-rf)

+eiaRiskPrem（股股票票持持有有期期超超額額收收益益））MarketRiskPremorIndexRiskPremi=thestock’’sexpectedreturnifthemarket’’sexcessreturniszero?i(rm-rf)=thecomponentofreturnduetomovementsinthemarketindex(rm-rf)=0ei=firmspecificcomponent,notduetomarketmovementsa單一一指指數(shù)數(shù)模模型型SingleIndexModelLet:Ri=(ri-rf)

Rm=(rm-rf)RiskpremiumformatRi=i+?i(Rm)

+eiRiskPremiumFormat證券券特特征征線線SecurityCharacteristicLineExcessReturns(i)SCL.................................................ExcessreturnsonmarketindexRi=i+??iRm+ei...Ri=αi+??iRmJan.Feb...DecMeanStdDev5.41-3.44..2.43-.604.977.24.93..3.901.753.32ExcessMkt.Ret.ExcessGMRet.UsingtheTextExamplefromTable8-5EstimatedcoefficientStderrorofestimateVarianceofresiduals=12.601Stddevofresiduals=3.550R-SQR=0.575?-2.590(1.547)1.1357(0.309)rGM-rf=+??(rm-rf)回歸歸結(jié)結(jié)果果RegressionResults市場(chǎng)場(chǎng)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)或或系系統(tǒng)統(tǒng)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)Marketorsystematicrisk:riskrelatedtothemacroeconomicfactorormarketindex.非系系統(tǒng)統(tǒng)性性風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)或或公公司司特特有有的的風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)Unsystematicorfirmspecificrisk:risknotrelatedtothemacrofactorormarketindex.Totalrisk=Systematic+Unsystematic風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)構(gòu)構(gòu)成成ComponentsofRisk風(fēng)險(xiǎn)：系系統(tǒng)性和和非系統(tǒng)統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)Risk:SystematicandUnsystematic系統(tǒng)性風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)會(huì)影影響到大大部分資資產(chǎn)Asystematicriskisanyriskthataffectsalargenumberofassets,eachtoagreaterorlesserdegree.非系統(tǒng)性性風(fēng)險(xiǎn)只只會(huì)影響響到單一一資產(chǎn)或或某一小小類的資資產(chǎn)。非非系統(tǒng)性性風(fēng)險(xiǎn)可可以被分分散掉。。Anunsystematicriskisariskthatspecificallyaffectsasingleassetorsmallgroupofassets.Unsystematicriskcanbediversifiedaway.系統(tǒng)性風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)包括括那些一一般經(jīng)濟(jì)濟(jì)狀態(tài)的的不確定定性，如如GNP、利率、、通貨膨膨脹等。。Examplesofsystematicriskincludeuncertaintyaboutgeneraleconomicconditions,suchasGNP,interestrates,orinflation.換句話說說，一個(gè)個(gè)公司特特定的消消息，如如金礦開開采公司司發(fā)現(xiàn)黃黃金，就就是非系系統(tǒng)性風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)。Ontheotherhand,announcementsspecifictoacompany,suchasagoldminingcompanystrikinggold,areexamplesofunsystematicrisk.風(fēng)險(xiǎn)各組組成部分分的衡量量MeasuringComponentsofRiski2=i2m2+2(ei)where;i2=總方差（（totalvariance）i2m2=系統(tǒng)性方方差（systematicvariance）2(ei)=非系統(tǒng)性性方差（（unsystematicvariance）ij=cov(ri,rj)=ijm2隨機(jī)誤差差項(xiàng)eiTHERANDOMERRORTERMSeiTHERANDOMERRORTERMSei顯示因素素模型不不能解釋釋的部分分showsthatthefactormodelcannotexplainperfectly實(shí)際收益益和因素素模型預(yù)預(yù)期的收收益之間間的差異異就是ei（thedifferencebetweenwhattheactualreturnvalueisandwhatthemodelexpectsittobeisattributabletoei）TotalRisk=SystematicRisk+UnsystematicRiskSystematicRisk/TotalRisk=R2?i2m2/2=R2i2m2/[i2m2+2(ei)]=R2ExaminingPercentageofVariance風(fēng)險(xiǎn)分散散——國(guó)際經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)中國(guó)股市市的分散散與風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)指數(shù)模型型和分散散化IndexModelandDiversification分散化DIVERSIFICATIONUniqueRiskmathematicallycanbeexpressedas分散化DIVERSIFICATION總組合的的風(fēng)險(xiǎn)TOTALPORTFOLIORISKalsohastwoparts:marketanduniqueMarketRisk分散化會(huì)會(huì)導(dǎo)致市市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)的平均均化（diversificationleadstoanaveragingofmarketrisk）UniqueRisk越是分散散化的組組合，其其非系統(tǒng)統(tǒng)性的風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)越小?。╝saportfoliobecomesmorediversified,thesmallerwillbeitsuniquerisk）風(fēng)險(xiǎn)降低低和分散散化RiskReductionwithDiversificationNumberofSecuritiesSt.DeviationMarketRiskUniqueRisks2(eP)=s2(e)/nbP2sM2Reducesthenumberofinputsfordiversification.Easierforsecurityanalyststospecialize.單一指數(shù)數(shù)的優(yōu)點(diǎn)點(diǎn)AdvantagesoftheSingleIndexModelDeterminingtheinputsneededforlocatingtheefficientset1Markowitz:expectedreturns:Nvariances:Ncovariances:(N2-N)/2Total:(N2+3N)/2Determiningtheinputsneededforlocatingtheefficientset2Indexmodel:Forthemarketindex:expectedreturn1variance1ForeachsecurityverticalinterceptNBetaNVarianceofrandomerrortermNTOTAL3N+2單指數(shù)模模型舉例例——清華同方方（1）假定有反反映中國(guó)國(guó)股市整整體情況況的中證證300指數(shù)，有有無風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率存存在。估估算期為為1年，計(jì)算算出每月月同方公公司的平平均收益益水平和和中國(guó)股股市月平平均收益益水平（（虛擬數(shù)數(shù)據(jù)），，結(jié)果如如下。同方股票票的超額額收益與與市場(chǎng)超超額收益益的關(guān)系系有下式式：RTFt=αTF+TFRMt+eTFt將這12組數(shù)據(jù)帶帶入上式式進(jìn)行回回歸，得得到結(jié)果果如下：：截距為-0.11%，斜率為為0.36，殘值的的方差反反映了同同方公司司特有因因素對(duì)同同方股票票收益的的影響程程度，表表中的R2表示的是是rI與rM之間的相相關(guān)性的的平方，，它是總總方差上上的系統(tǒng)統(tǒng)方差，，它告訴訴我們公公司股價(jià)價(jià)小量波波動(dòng)是由由市場(chǎng)波波動(dòng)造成成的。單指數(shù)模模型舉例例——美林公司司美林公司司用S&P500指數(shù)作為為市場(chǎng)資資產(chǎn)組合合，以最最近60個(gè)月的每每月均值值來計(jì)算算回歸參參數(shù)。為為了簡(jiǎn)便便，用總總收益代代替了模模型中的的超額收收益，要要估計(jì)的的模型變變成r=αα+rM+e*只要rf是常數(shù)，，回歸結(jié)結(jié)果就是是一樣的的。式中中的值和市場(chǎng)場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)2M與公司特特有風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)2(e)，都可以以從證券券特征線線中估計(jì)計(jì)出來，，美林公公司將其其評(píng)估結(jié)結(jié)果按月月刊登在在它出版版的月刊刊《證券風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)評(píng)估》中，人們們通常將將其稱為為“手冊(cè)”。。以下是是手冊(cè)中中的幾行行。多因素模模型MultifactorModels單因素模模型（市市場(chǎng)模型型）假設(shè)設(shè)市場(chǎng)組組合收益益的變化化包括了了所有的的風(fēng)險(xiǎn)因因素，而而且（不不正確地地）假設(shè)設(shè)任何一一種股票票對(duì)每種種風(fēng)險(xiǎn)的的相對(duì)敏敏感度都都一樣UsefactorsinadditiontomarketreturnEstimateabetaforeachfactorusingmultipleregressionusemorethanoneexplanatoryvariableinthereturn-generatingprocess系統(tǒng)性風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)和SystematicRiskandBetasForexample,supposewehaveidentifiedthreesystematicrisksonwhichwewanttofocus:Inflation\GDPgrowth\spotinterestrate多因素模模型Rt=t+?GDPGDPt+?IFIFt+βINTINTt+etExampleSupposewehavemadethefollowingestimates:βIF=-2.30bGDP=1.50bINT=0.50.Finally,thefirmwasabletoattracta““superstar”CEOandthisunanticipateddevelopmentcontributes1%tothereturn.e=1%Wemustdecidewhatsurprisestookplaceinthesystematicfactors.Ifitwasthecasethattheinflationratewasexpectedtobe3%,butinfactwas8%duringthetimeperiod,thenIF=Surpriseintheinflationrate=actual––expected=8%-3%=5%IfitwasthecasethattherateofGDPgrowthwasexpectedtobe4%,butinfactwas1%,thenFGDP=SurpriseintherateofGDPgrowth=actual––expected=1%-4%=-3%Ifitwasthecasethatspotinterestrate,S,wasexpectedtoincreaseby10%,butinfactremainedstableduringthetimeperiod,thenFS=Surpriseintheinterestrate=actual––expected=0%-10%=-10%Finally,ifitwasthecasethattheexpectedreturnonthestockwas8%,thenMultifactorModelsUsefactorsinadditiontomarketreturnExamplesincludeindustrialproduction,expectedinflationetc.Estimateabetaforeachfactorusingmultipleregression.MULTIPLE-FACTORMODELSMULTIPLE-FACTORMODELSsomeofthesefactorsmayincludeTHEGROWTHRATEOFGDPTHELEVELOFINTERESTRATESTHEYIELDSPREADBETWEENCERTAINVARIABLESTHEINFLATIONRATETHELEVELOFOILPRICES多因素模型的的應(yīng)用1StudiesbyRollandRossandbyChen行業(yè)生產(chǎn)變動(dòng)動(dòng)百分比Changeinindustrialproduction預(yù)期通脹變動(dòng)動(dòng)百分比ChangeinUnanticipatedinflation非預(yù)期通脹變變動(dòng)百分比Changeinexpectedinflation長(zhǎng)期公司債券券對(duì)長(zhǎng)期政府府債券的超額額收益Excessreturnoflong-termcorporatebondsoverlong-termgovernmentbonds長(zhǎng)期政府債券券對(duì)短期國(guó)庫庫券的超額收收益Excessreturnoflong-termgovernmentbondsoverT-bills多因素模型的的應(yīng)用2FamaandFrenchReturnsafunctionofsizeandbook-to-marketvalueaswellasmarketreturns資本資產(chǎn)定價(jià)價(jià)模型與因素素模型的關(guān)系系CAPM可視為一個(gè)特特