十二種方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式

｛十二種點(diǎn)到直線距離公式證明方法｝用高中數(shù)學(xué)知識(shí)推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式的方法.已知點(diǎn)P（Xo,Yo）直線l：Ax+By+C=0（A、B均不為0），求點(diǎn)P到直線I的距離。（因?yàn)樘厥庵本€很容易求距離，這里只討論一般直線）《1.用定義法推導(dǎo)》點(diǎn)P到直線l的距離是點(diǎn)P到直線l的垂線段的長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)P到直線l的垂線為垂足為Q，由l垂直l’可知l’的斜率為B/A的萬(wàn)程；y-Yo=I叔W與［聯(lián)立萬(wàn)程繾解得女點(diǎn).Q曹旋:籍魅…冬-對(duì)序一，|PQ|^_i.暨十赫十/AAB-BC_12I3*-'FT-A況口日舛￥-AC-BABx&-BC_AVAe虱十畦土科［Ab電口也f一一一片邙"-?-故伺+印葉CP_A7+B?,ipQ|_.iAx^By^+Qv7?TF-過(guò)已知點(diǎn)p作已知直線，：Ax+By+O0的垂線，設(shè)垂是為Q(x"則1XP\PXx-xoB,，化購(gòu)得Ax-i-By+C^OA{vt0『B(乂-x4。A{xTd+%-Vg-(Axo+Byo+C}由上式角：(A々B知必知Wvt的T恐+Byg+CF二g=」％￡也坦.點(diǎn)P3,福到宜獲/；慫+Bv*c=o±任意一點(diǎn)遂距離的最中僵就亳忑P到.蠹紋』豹距離C杼，上成匠蕙點(diǎn)M〔x，v),用兩點(diǎn)述!距離公式笆iPMpMxfMWvw』'勾了利沔冬攔加hBv十C",將上式變形一下，配虞系數(shù)史理得：婦W)[機(jī)t/+(v*i小X—g6N*妃斗AW-用抑盾僅-x/=[A倍-x"+日印-vM+lAly-yJ-日權(quán)-由I2>lA(x-Xn)+B(y-yD)r=[tao+By0+CF■/(AxQ+Byo+C=^0}一?.V、訐+W二V驢??M*輜明口中QVQ+B'書目?jī)H當(dāng)人卬-歸-日枚-如口。附成等號(hào)?.所成最小值就是血炬尸業(yè)的\WB2《4,用柯西不等式推導(dǎo)》“求證：&+b2)(c2+d2)N(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc,即a/c=b/d時(shí)等號(hào)成立。”實(shí)為柯西不等式的最簡(jiǎn)形式，用它可以非常方便地推出點(diǎn)到直線的距離公式。設(shè)點(diǎn)M代用為直我上Ax+Bv*C=O上任意一點(diǎn)任意點(diǎn)P成,心到直技I的距離為d測(cè):RMgKWK丁二［PM卜也碧史+㈣甫矛W+B2)1PM|Z=[{By二電芝I三■(Ax-AwBy-ByJ?。板-Byu-CF欄熟伊.，當(dāng)且僅當(dāng)vA?4￥《5.用解直角三角形法推導(dǎo)》顯然設(shè)直線l的傾斜角為e過(guò)點(diǎn)P作PM〃y軸交l于G(xXjx。，所以顯然OIPG|=|?*官G|=|■D□易flZGPH-a5S^GPH=18?？?1在苗種情況下郡有同NGPHmtg如些奇./.eoszGPH^-..????.-1--=一一.鼠.-VUtgVx/aw偵P"二滬G||cqMGPH國(guó)金曜Vh±￡_j.□…一相1_.七」也口建光*g展g海*滂兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)過(guò)程中,使用降維思想構(gòu)造直宙三角形.受此后示.當(dāng)AB#O時(shí)，可點(diǎn)P臨歸的兩條直線，分別作平行于x軸"期的兩條直線，分別交宜淺J,Ax+Bv+C=O于點(diǎn)M(-蟲嚴(yán)必、N{電-綬匕）測(cè)|MP|=E譬匕|,oA|NP|Wv□十竺*I，、.-MP_LNP,15■,x在RtAg申,由直角三角形茁面積公式得:}?|MP|-|N牛W'|MN|a\d=|PQ|=|PM||PN|

\d=|PQ|=|PM||PN|

VpMp+IPNp|Axp+Bv口十C|Va^+b3-

宙直線/的方程Ax+By+C-O.(A,B不能同時(shí)為0),場(chǎng)得直線/的法向雖為Z=[AB)■設(shè)曲S「(如歸作宜稅￡的垂象垂足為HOCv'L則向足PFT=浦即(xJ-XD^'-ytJ^kffrlXx,k+xA*Y‘-Y=k&且I沱1=VT「Xo,yMF=|MVSW,又因?yàn)辄c(diǎn)HXW在直線f上.所以就有奴+C=0,職A*葉XAgB(Vq^KB)4"ChO,「.X(A*的；-(Axc，*Bvd+C)、又因?yàn)锳,B不同時(shí)為0,~~jAXg4-Byg4-C)_

A24Bz'"二IPH*|-vYx友，廣訶=|x|《8.用向量射影公式推導(dǎo)》沒R是日技11的任意一嫩1?R（x,W，直藐的方可向星為拓=JB?A）,BI直線的法◎殖為起=（A,B）.蒲球-咨"y“.妙」雨平廿|_網(wǎng)福-間）|十6印-前「阿\*薩;俚如8力也.偵瘁岳點(diǎn)評(píng):向量是一種很好的工具，用向鼠處珪，既避?升了分類討論，又依撫了平此向蜃的丁具性，會(huì)有事半功培的致果'如果過(guò)點(diǎn)P（冷歸作湖的平，亍線;恐+By-A^Byo^O,那么.盅襄I'上任意-點(diǎn)到/的距陶都等于點(diǎn)咔國(guó)線f遂障離.既然司以任意廖,京,我門應(yīng)設(shè)法使這個(gè)點(diǎn)到/線I的距離睿易求得.逐取亙線￡與X軸西殳點(diǎn)S給羿，0）劇G作/的壅線「垂定為H,漫八虧x軸相交于點(diǎn)F（-￡偵，容易求得FG=Ax,±ev,tc_,偷口.虧直線的傾斜角p相ASSE5補(bǔ),|FG||sina|=|―-TT./.tar>a.=±t0np=土言-L」$ino同士音f*\=?...??四....?從而d-|GHh[您時(shí)8爐g..ja[二W岳-15昭十|FG||sina|=|―-TT.g心

引理：坐標(biāo)原點(diǎn)到萱線！.：Ay+By+C=0的距離h=；；-■,簡(jiǎn)證:先從原點(diǎn)到直線的距離這一特殊情形入手，設(shè)宜線舊x軸日軸分別交于點(diǎn)E、F項(xiàng)可點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是與，CMO.-言L由三國(guó)形曲積恒等：#EF?隹

D2-1-0E-0FSh=—19—2VA時(shí)由平廳直線系求出;a點(diǎn)見目與t平行的直線的萬(wàn)程:Ax+Bv-AXp-By^O,設(shè)直線F和/'分削與x軸交于點(diǎn)E、G,則點(diǎn)日-=0）\的（您咎抵.0）,由0得立=里_■d=［魚.h=也誕％±51hOE'?"OE門網(wǎng)CLt|C|m|Ax0-b6y0+C|A|V不聲『-戾酒{11.通過(guò)平移坐標(biāo)系推導(dǎo)】5￡黑點(diǎn)門你血?dú)wv］,是坐標(biāo)■味點(diǎn)就好了」tr為虹熟門成點(diǎn)P臨4叫為原點(diǎn)建苴宣角「、［"&)*坐標(biāo)系K'oV\井值-4—K;一一丁坐標(biāo)軸分昇J與1i7擇標(biāo)軸而平行,母畫線，在新坐標(biāo)系中記盡“設(shè)任意點(diǎn)G在新舊坐標(biāo)系申的坐標(biāo)分別是Cx」M、kM,即由5^=。蒞十0百,得Ry)二%,由十8「?耳=而十*』￥=此十丫」'?直級(jí)］任新坐標(biāo)系中的萬(wàn)'程是少怛*羽+日(y'+-y^C=O,§DAji,+By,-rAxP+BYa+C=O.常。到直稅I'的距譴就是點(diǎn)P佻w』到園線iE的距離，由引碧。'耦二如JAx^Byo+Cl.,【12,由直線與圓的位置關(guān)系推導(dǎo)】當(dāng)成點(diǎn)為圓牌的圓云國(guó)線Lt尸、1Ax+By-<-C-0相切31.圓J/_p1的堅(jiān)校就是點(diǎn)P〔％vQ到f\X?n/直線LAx十即十CT阻矩I離,于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)I、，海P知Y』為圓迥的國(guó)與Bi線1只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，家