大一學(xué)科任務(wù)-高等數(shù)學(xué)3.3函數(shù)單調(diào)性

若不存在也不是無窮大，則不能使用洛必達(dá)法則其它形式的未定式的定值P131（1）形如的未定式解題方法：將未定式變形例4

求極限解原式（2）形如的未定式P132解題方法：將未定式變形例5

求極限解原式練習(xí)求極限適當(dāng)使用等價(jià)無窮小，可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程（3）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值P132-133

解題方法：將未定式先取自然對(duì)數(shù)、變形，再按情形（1）處理例5

求極限解令則所以而例6

求極限解令

則而所以P433(9)解令例7

求極限則所以所以練習(xí)求下列極限（提示：利用等價(jià)無窮小替換）◆函數(shù)單調(diào)性的判別定理P135（1）如果函數(shù)在內(nèi)有，則函數(shù)在上是單調(diào)增加的(P5)。（2）如果函數(shù)在內(nèi)有，則函數(shù)在上是單調(diào)減少的(P5)。注1:若把定理中的[a,b]換成其他各種區(qū)間(包括無窮區(qū)間)，定理的結(jié)論還是成立的。設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則◆函數(shù)單調(diào)性的判別定理P135（1）如果函數(shù)在內(nèi)有，則函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)增加的

(P6)。（2）如果函數(shù)在內(nèi)有，則函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)減少的(P6)。例1判別函數(shù)的單調(diào)性。解因?yàn)樗?，函?shù)在內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則例2

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間P136解因?yàn)榱畹民v點(diǎn)（使一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)P115）列表討論+0_0+3－1

所以，函數(shù)在及內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減。例3

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間P136解因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不存在當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增。小結(jié)：P136求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般方法：（1）求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；（2）找出所有的駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(P115)；（3）判斷所有駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)左右兩邊的符號(hào)；（4）根據(jù)單調(diào)性的判別定理，確定單調(diào)區(qū)間。則，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少。P137E5(1)若恒有則稱圖形是(向上)凹的;連續(xù)曲線上的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)

.P139二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)P138定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(2)若恒有則稱圖形是(向上)凸的.(1)若恒有則稱圖形是(向上)嚴(yán)格凹的;二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)P138定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(2)若恒有則稱圖形是(向上)嚴(yán)格凸的

.◆凹凸弧的判別定理P139定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，則在(a,b)上：（1）當(dāng)時(shí)，曲線弧在[a,b]是凹的；（2）當(dāng)時(shí)，曲線弧在[a,b]是凸的。◆凹凸弧的判別定理P139定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，則在(a,b)上：（1）當(dāng)時(shí)，曲線弧在[a,b]是嚴(yán)格凹的；（2）當(dāng)時(shí)，曲線弧在[a,b]是嚴(yán)格凸的。例1

試證明函數(shù)的圖形是處處向上凹的。P139所以，函數(shù)的圖形在內(nèi)是向上凹的。證明函數(shù)的定義域?yàn)榕袛嗲€y=lnx的凹凸性內(nèi)是凸的。解答解函數(shù)的定義域?yàn)槔?

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。令得列表因?yàn)樗?，曲線在及內(nèi)是向上凹的，在內(nèi)是向上凸的，有拐點(diǎn)及。解函數(shù)的定義域?yàn)槔?

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。令得因?yàn)槔?

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。解因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，曲線在內(nèi)是向上凹的，在內(nèi)是向上凸的。有拐點(diǎn)。

小結(jié)：二階導(dǎo)數(shù)為零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，是可能的拐點(diǎn)；這類