半導(dǎo)體器件模擬

關(guān)于半導(dǎo)體器件模擬第一頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬器件模擬有兩種方法：一種是器件等效電路模擬法；另一種是器件物理模擬法。

(1)器件等效電路模擬法是依據(jù)半導(dǎo)體器件的輸入、輸出特性建立模型分析它們?cè)陔娐分械淖饔?，而不關(guān)心器件內(nèi)部的微觀機(jī)理，在電路模擬中常用這種方法。

(2)器件物理模擬法則從器件內(nèi)部載流子的狀態(tài)及運(yùn)動(dòng)出發(fā)，依據(jù)器件的幾何結(jié)構(gòu)及雜質(zhì)分布，建立嚴(yán)格的物理模型及數(shù)學(xué)模型，運(yùn)算得到器件的性能參數(shù)，這種方法能深刻理解器件內(nèi)部的工作原理、能定量分析器件性能參數(shù)與設(shè)計(jì)參數(shù)之間的關(guān)系.

第二頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬器件物理模擬技術(shù)是70年代以后發(fā)展起來(lái)的，多年來(lái)相繼出現(xiàn)了多種具體方法，主要有三種：①有限差分法②有限元法③MonteCarlo法前二種是離散數(shù)值模擬法，是目前模擬常規(guī)半導(dǎo)體器件的主要方法，其中有限差分法是最早發(fā)展起來(lái)的，方法比較簡(jiǎn)單，容易掌握，但是幾何邊界復(fù)雜的半導(dǎo)體器件，用多維有限差分法碰到較大的困難;有限元法與有限差分法相比，對(duì)區(qū)間的離散方法比較自由，容易適應(yīng)復(fù)雜的器件邊界。第三頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬第三種MonteCarlo法是統(tǒng)計(jì)模擬法，它以載流子在器件中運(yùn)動(dòng)時(shí)的散射過(guò)程為基礎(chǔ)，逐個(gè)跟蹤每一載流子的運(yùn)動(dòng)。MonteCarb法的優(yōu)點(diǎn)是能對(duì)器件的物理過(guò)程作深入了解，同時(shí)不受器件維數(shù)的限制，是目前模擬小尺寸半導(dǎo)體器件的最有力工具。它的缺點(diǎn)是計(jì)算冗繁，需要很多機(jī)時(shí)。

半徑典方法:由于器件尺寸的小型化，出現(xiàn)了一些效應(yīng)，這些效應(yīng)用經(jīng)典的方法處理已不可能，需要對(duì)傳統(tǒng)的經(jīng)典理論作一些修正，所以稱半徑典方法。

量子理論模擬法:當(dāng)半導(dǎo)體器件的尺寸進(jìn)一步縮小到小于0.1μm時(shí)，需要考慮量子效應(yīng)，相應(yīng)的模擬方法稱為量子理論模擬法。

第四頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬在離散數(shù)值模擬中，已經(jīng)給出了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，它可以精確分析一個(gè)任意的半導(dǎo)體，構(gòu)成這個(gè)數(shù)學(xué)模型的方程稱為基本半導(dǎo)體方程，可以從Max-well方程組和半導(dǎo)體物理知識(shí)推出，它們是

（3.1-1）

（3.1-2）（3.1-3）

（3.1-4）（3.1-5）

第五頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬其中（3.1-1）（3.1-2）為半導(dǎo)體連續(xù)性方程；（3.1-3）（3.1-4）為半導(dǎo)體電流傳輸方程；（3.1-5）為泊松方程。在一維情況上方程組可寫為：

（3.1-6）

（3.1-7）

（3.1-8）（3.1-9）

（3.1-10）

第六頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬如果是一維模擬軟件，只需解上方程組即可，如方程中不含t，即為零，則為穩(wěn)態(tài)分析，含時(shí)間t的方程求解為瞬態(tài)分析。當(dāng)然也能相應(yīng)地求解二、三維方程組。

MEDICI就是二維器件模擬軟件.隨著器件尺寸的不斷縮小，三維效應(yīng)也愈來(lái)愈突出，所以三維模擬軟件也應(yīng)運(yùn)而生。本章涉及的器件模擬定義為

由工藝模擬得到或自定義的雜質(zhì)濃度分布輸入到器件模擬程序，從電子和空穴的輸運(yùn)方程、連續(xù)性方程、泊松方程出發(fā)，解出器件中的電勢(shì)分布和載流子分布，從而得到器件I～V等電特性。第七頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬為了設(shè)計(jì)分析功率器件，除了求解半導(dǎo)體基本方程組外，通常還要模擬熱電現(xiàn)象的相互作用，因?yàn)樵谄骷?nèi)溫度及其分布的變化會(huì)顯著地影響器件的電特性為此還需解熱流方程。其中，ρ和c分別為材料的質(zhì)量密度和比熱，在考慮實(shí)際器件應(yīng)用時(shí)，可假定ρ和c對(duì)溫度的依賴關(guān)系小到可以忽略；K（T）和H表示熱導(dǎo)和局部產(chǎn)生的熱，這些參量需要通過(guò)物理模型確定。如果對(duì)熱的瞬態(tài)不感興趣，可以假定溫度對(duì)時(shí)間的偏微分為零。

第八頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬基本半導(dǎo)體方程組（包括連續(xù)性、泊松等方程）的理論基礎(chǔ)是漂移擴(kuò)散理論模型，這是目前器件物理的主流，已在常規(guī)器件的模擬或CAD設(shè)計(jì)中達(dá)到實(shí)用化，本模型的基本假設(shè)有：

①多次碰撞假設(shè)：載流子在外電場(chǎng)的漂移用漂移遷移率表示，載流子運(yùn)動(dòng)平均行為偏離用擴(kuò)散系數(shù)表示。它們都是電場(chǎng)E的函數(shù)。這里的含義是：無(wú)論電場(chǎng)變化多快，載流子都能在新的電場(chǎng)值上達(dá)到新的平衡態(tài)，從而具有新的平均漂移速度和擴(kuò)散系數(shù)，這就只有通過(guò)載流子經(jīng)受多次碰撞才能實(shí)現(xiàn)。第九頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬多次碰撞假設(shè)要求載流子在器件特征尺寸之內(nèi)（如MOS柵長(zhǎng)，PN結(jié)耗盡層寬度等）經(jīng)受多次隨機(jī)的碰撞。目前的超大規(guī)模IC、超高速IC和微波技術(shù)發(fā)展，已把器件的特征尺寸推到深亞微米乃至納米級(jí)，電子渡越MOSFET柵下溝道的時(shí)間可與電子平均自由時(shí)間比擬，這時(shí)電子經(jīng)多次碰撞達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡的條件就不成立。

②低場(chǎng)條件：在漂移擴(kuò)散模型中，Jn、Jp的表達(dá)式和愛因斯坦關(guān)系實(shí)際上是玻爾茲曼方程在低場(chǎng)假設(shè)條件下采用微擾法所得的近似解。如果器件有很強(qiáng)的不均勻電場(chǎng)、時(shí)間上快速的場(chǎng)強(qiáng)變化，就使之與低場(chǎng)假設(shè)不相容。

第十頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬③單能谷假設(shè)：在漂移擴(kuò)散模型中，使用平均漂移和擴(kuò)散的概念描述電荷輸運(yùn)，沒(méi)有涉及多能谷半導(dǎo)體的考慮。對(duì)于象GaAs之類器件，多能谷輸運(yùn)現(xiàn)象往往對(duì)器件的工作特性起決定性作用，以此模型就很難處理。鑒于上述的局限性，目前發(fā)展了更高級(jí)理論及相應(yīng)的模型，例如玻爾茲曼輸運(yùn)理論，基于此理論的器件模型已構(gòu)成迄今所有較精確的器件模擬研究的概念性框架，并派生出器件的蒙特卡羅模擬，動(dòng)量能量守恒，動(dòng)量能量平衡模型等。更嚴(yán)格地處理超小器件的量子輸運(yùn)理論，仍是當(dāng)前器件物理工作者探索研究的課題。第十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬二、與基本半導(dǎo)體方程組相關(guān)物理參數(shù)

為了模擬器件內(nèi)部性能，我們必須求解上述的半導(dǎo)體基本方程組，為此首先要考慮與基本方程組聯(lián)系的幾個(gè)附加參數(shù)，例如遷移率μp、μn，由于電流同遷移率有正比的依賴關(guān)系，為了進(jìn)行模擬，需要通過(guò)建立物理參數(shù)模型，定量確定適用的、精確的遷移率值。實(shí)際上，半導(dǎo)體器件任何定量的，甚至定性的模擬，都取決于這些參數(shù)可適用的模型。為此本節(jié)將討論最重要的物理參數(shù)模型問(wèn)題。第十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬1、載流子遷移率模型我們知道，載流子的遷移率涉及到晶格的熱振動(dòng)，離化雜質(zhì)、中性雜質(zhì)、定位、填隙原子、位錯(cuò)，表面以及電子和空穴自身引起的散射等微觀機(jī)理。由于它們的相互作用是極其復(fù)雜的，因而給出精確的模型是困難的。從另一方面講，為了模擬的目的也不必基于更復(fù)雜理論模型的更精確的公式，這樣可能導(dǎo)致計(jì)算機(jī)時(shí)的大幅度膨脹，失去模擬的經(jīng)濟(jì)價(jià)值。所以目前已發(fā)表的用唯象表示式作為各種各樣實(shí)驗(yàn)上觀察到的遷移率現(xiàn)象的模型可以使用。

第十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬當(dāng)然應(yīng)根據(jù)不同的器件結(jié)構(gòu)和工作環(huán)境有選擇性的使用。甚至還可以在一定條件下進(jìn)行進(jìn)一步簡(jiǎn)化，這樣可以在能基本反映器件性能的前提下節(jié)省運(yùn)算時(shí)間。下面我們介紹一些常用的遷移率模型公式。（1）在純晶體中，載流子散射的最基本過(guò)程是載流子同晶體中原子熱振動(dòng)之間的相互作用。這些晶格振動(dòng)是溫度的函數(shù)，由所謂“聲畸變勢(shì)晶格散射”引起的遷移率的理論結(jié)果為：第十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬（3.2-1)

(3.2-2)其中：C1是半導(dǎo)體的平均縱向彈性常數(shù)；它的數(shù)值為105VAScm-3量級(jí)；Eac和Eav分別是導(dǎo)帶和價(jià)帶的畸變勢(shì)常數(shù)，它們的數(shù)值是幾個(gè)ev。因?yàn)楣韬玩N有多谷帶結(jié)構(gòu)，所以在晶格散射中有光學(xué)聲子參加（在砷化鎵中這個(gè)效應(yīng)甚至起支配作用），遷移率的性能不能由（3.2-1）（3.2-2）式正確地描寫能帶結(jié)構(gòu)和光學(xué)聲子引起附加的散射結(jié)構(gòu)。這些效應(yīng)的詳細(xì)討論已超出本講義范圍。

第十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬為了模擬目的，人們通常用一個(gè)簡(jiǎn)單乘方律，它的系數(shù)由擬合實(shí)驗(yàn)遷移率值得到：

(3.2-3)(3.2-4)已發(fā)表的（3.2-3）、（3.2-4）式中的常數(shù)數(shù)值、、αn、αp顯示出若干分散，這些不同來(lái)源的系數(shù)匯編在S.賽爾勃赫〔奧〕編的《AnalysisandSimulationofSemiconductorDevices》的表4.1-1晶格遷移率常數(shù)中，使用時(shí)可查找，這些數(shù)據(jù)的評(píng)價(jià)和推薦是相當(dāng)困難的。第十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬Sah等人已經(jīng)發(fā)表了一個(gè)不同的模型，據(jù)稱該模型能可靠地估計(jì)在4.2到600K溫度范圍內(nèi)Si的遷移率值：

(3.2-5)

(3.2-6)這個(gè)模型用簡(jiǎn)單的Mathiessen規(guī)則，將由聲學(xué)聲子引起的理論上晶格遷移率同由光學(xué)以及谷間聲子引起的遷移率分量結(jié)合起來(lái)。第十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬(2)作為遷移率模型，我們將考慮的下一個(gè)散射機(jī)構(gòu)是離化雜質(zhì)散射。為此也提出了許多不同的模型公式，值得一提的是Caughey和Thomas提出的描述結(jié)合晶格和離化雜質(zhì)遷移率的一個(gè)更實(shí)用的方法，他們用一個(gè)類費(fèi)米函數(shù)或雙曲正切去擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：

(3.2-7)其中、、Nrefn,p為遷移率參數(shù)，數(shù)值可在上提到的S.賽爾勃赫書中表4.1-2，表4.1-3中查到，在不同資料中，這些數(shù)據(jù)依然存在著若干分散性。由（3.2-7）式可以看出，這時(shí)的遷移率與離化雜質(zhì)濃度N有關(guān)。第十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬Arora等已發(fā)表了一個(gè)同Canghey和Thomas表達(dá)式（3.2-5）、（3.2-6）具有十分相似結(jié)構(gòu)的公式。作為硅，這個(gè)公式具有同溫度有關(guān)的系數(shù)。

(3.2-8)

(3.2-9)這些公式在〔250，500〕K溫度范圍內(nèi)以及在〔1013，1020〕cm-3離化雜質(zhì)濃度范圍內(nèi)，最大誤差不超過(guò)13%。

第十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬(3)在器件模型中，我們應(yīng)該考慮的另一種散射機(jī)構(gòu)是載流子一載流子散射。特別是開態(tài)的功率器件中。這個(gè)效應(yīng)變得很顯著，由于此時(shí)自由載流子濃度可增加到遠(yuǎn)大于摻雜濃度。

Adler提出了一個(gè)簡(jiǎn)單的方法，他在Canghey和Thomas公式，即（3.2-7）分母上加一個(gè)附加項(xiàng)：

(3.2-10)第二十頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬在Adler另一篇文章中又提出一個(gè)更為精確的處理方法，這里，由載流子一載流子散射引起的遷移率分量采用以下模型公式：

(3.2-11)這個(gè)分量同（3.2-7）式用簡(jiǎn)單的Mathiessen規(guī)則相結(jié)合，即:

(3.2-12)第二十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬如果考慮溫度的因素，與（3.2-11）等效的表達(dá)式為：

(3.2-13)(3.2-13)可與上述的由Mathiessen規(guī)則合成。第二十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬(4)作為遷移率模型，下一個(gè)效應(yīng)將考慮高電場(chǎng)下漂移速度的飽和。由載流子加熱對(duì)漂移速度因而對(duì)遷移率影響廣泛使用的表示式為：

(3.2-14)其中硅在300K時(shí)的臨界電場(chǎng)

以及指數(shù)βn,p可在有關(guān)文獻(xiàn)中找到。詳見S.塞爾勃赫書中表4.1-4。第二十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬更精確的公式為

(3.2-15)其中：表示電子和空穴的飽和速度值。對(duì)于電子βn=2，對(duì)于空穴βp=1，由下式可求得

(3.2-16)(3.2-17)

第二十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬2、載流子產(chǎn)生一復(fù)合模型在基本方程組中的連續(xù)性方程里，我們看到了電子和空穴的產(chǎn)生率Gn和Gp以及電子和空穴的復(fù)合率Un和Up這四個(gè)物理參數(shù)，這樣的參數(shù)需要用一定的模型公式來(lái)確定。半導(dǎo)體電子和空穴的復(fù)合，大致分為直接復(fù)合和間接復(fù)合。直接復(fù)合是電子在導(dǎo)帶和價(jià)帶間的直接躍遷。一般地說(shuō)，帶寬度小的材料直接復(fù)合起主要作用。間接復(fù)合是非平衡載流子通過(guò)復(fù)合中心的復(fù)合，稱為SRH（Shockley-Read-Hall）復(fù)合。實(shí)驗(yàn)表明，硅、鍺等半導(dǎo)體材料間接復(fù)合起主要作用。

第二十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬當(dāng)材料中只有一種復(fù)合中心能級(jí)時(shí)，其凈復(fù)合率為：

(3.2-18)其中：rn、rp分別為雜質(zhì)能級(jí)的電子俘獲系數(shù)和空穴俘獲系數(shù)，反映它們俘獲電子、空穴的能力。Nt是復(fù)合中心濃度，n1及p1為：n1=niexp〔Et-Ei/KT〕p1=niexp〔Ei-Et/KT〕其中Et是雜質(zhì)能級(jí)。第二十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬在小注入情況，n型材料少子壽命τp及p型材料中少子壽命τn可分別近似為：分別代入（3.2-18）式可得小注入SRH復(fù)合率：

(3.2-19)一般來(lái)說(shuō),復(fù)合中心濃度Nt與摻雜無(wú)關(guān)，所以τ與摻雜濃度無(wú)關(guān)。

第二十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬在高摻雜情況下，重?fù)诫s會(huì)通過(guò)增生晶格產(chǎn)生新的復(fù)合中心。這時(shí)τ與摻雜濃度有關(guān)。模擬時(shí)可采用以下公式：

(3.2-20)其中參數(shù)、、NnrefNpref通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定，也可在有關(guān)資料中查到。第二十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬在重?fù)诫s半導(dǎo)體材料中，還有一種重要的復(fù)合形式，稱為俄歇（Auger）復(fù)合。它對(duì)大功率器件特性有重要的影響。這種復(fù)合是電子和空穴的直接復(fù)合。在其復(fù)合過(guò)程中，將多余的能量釋放給另一載流子。俄歇復(fù)合率為：式中，ΔE是因?yàn)閾诫s引起有效禁帶寬度的窄縮量；nie是考慮了禁帶變窄效應(yīng)后的本征載流子濃度；Cn和Cp稱為俄歇俘獲系數(shù)。它們的數(shù)值在不同的文獻(xiàn)中存在著明顯的分散性.第二十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬通常用在模擬程序中的是Dziewior以及Schmid的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)綜合在下表中溫度〔K〕Cn〔cm6S-1〕CP〔cm6S-1〕772.8×10-317.8×10-323002.8×10-319.9×10-324002.8×10-311.2×10-31第三十頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬影響連續(xù)性方程中載流子產(chǎn)生率的因素有多種。例如，高能光子注入產(chǎn)生的光激發(fā)，或強(qiáng)電場(chǎng)下產(chǎn)生的碰撞電離等外界因素。當(dāng)強(qiáng)電場(chǎng)產(chǎn)生碰撞電離而引起雪崩倍增效應(yīng)時(shí)，產(chǎn)生率的公式可表示為：其中αn和αp是電子和空穴的電離率，可表示為第三十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬式中的A、b、m是電離率參數(shù)，對(duì)于Si，它們的數(shù)值可由下表給出：

A（cm-1）b（v/cm）m電子3.8×1061.75×1061.0空穴2.25×1073.26×1061.0第三十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬三、半導(dǎo)體基本方程組的求解問(wèn)題

為了定量描述器件的物理過(guò)程，建立起適用于一定區(qū)間，并有一定邊界條件及初始條件的基本半導(dǎo)體方程組。它們的形式實(shí)際是常微分或偏微分方程。微分方程的建立僅僅確定了數(shù)學(xué)模型，實(shí)際應(yīng)用中還需得到微分方程的解，從而才能反映器件的電特性。解的理想形式是解析式，但求微分方程的解析解通常是很困難的。第三十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬為了克服這一困難，數(shù)學(xué)上發(fā)展了數(shù)值形式解的方法,求出區(qū)間上某點(diǎn)函數(shù)的近似值或相鄰點(diǎn)之間的近似解。如果區(qū)間上的點(diǎn)取得很密，近似程度好，則其數(shù)值解同樣能描述實(shí)際過(guò)程。因這種方法是對(duì)函數(shù)所在區(qū)間分離成小區(qū)間后求值。故稱離散值解法。離散數(shù)值解法的計(jì)算工作量很大，尤其當(dāng)函數(shù)在區(qū)間中變化急劇時(shí)，離散點(diǎn)必須取得很密，其計(jì)算工作量往往非人力所能，借助于計(jì)算機(jī)，上述困難能夠克服。這是數(shù)十年來(lái)，數(shù)值分析解法隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展而迅速發(fā)展的原因。第三十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬在討論基本半導(dǎo)體方程組的數(shù)值解法前，首先考慮方程求解的穩(wěn)定性和收劍速度問(wèn)題.那么在模擬中首先會(huì)遇到變量選取問(wèn)題。也就是說(shuō)，變量選取適當(dāng)與否對(duì)方程求解的穩(wěn)定性、收劍速度等都有很大的影響。(一)、基本方程組因變量的選取幾個(gè)常見的因變量選取的方法：1、選用（u、v、）的方法：

其中：Ut=KT/q,然后將上兩式代入基本方程組進(jìn)行變量代換。第三十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬這種變量選取的好處可將電流連續(xù)性方程轉(zhuǎn)變?yōu)閡、v的線性偏微分方程，而數(shù)學(xué)上這種方程的解法較成熟。也就是說(shuō)從解析研究的角度來(lái)看很多情況下選（u、v、）優(yōu)于其它變量。這種選法的弱點(diǎn)可從上兩式看出，當(dāng)溫度為300K時(shí)，Ut≈0.026v，這時(shí)兩式的指數(shù)項(xiàng)，當(dāng)〔-1，1〕V變化時(shí)，將變化劇烈約為32個(gè)數(shù)量級(jí)以上，所以采用（u、v、）進(jìn)行計(jì)算只限于低壓情況，如果在高壓的功率器件的模擬中容易引起計(jì)算的上溢，很不實(shí)用。第三十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬2、選用（

、

、）的方法：這里、是半導(dǎo)體的準(zhǔn)費(fèi)米勢(shì)，它們與n、p的關(guān)系為：這種變量選取方法的優(yōu)點(diǎn)：使變量、、具有相同的數(shù)量級(jí)，從而緩和了變量數(shù)值動(dòng)態(tài)變化范圍太大的矛盾。這種方法的缺點(diǎn)是變量代換后使電流的關(guān)系式，連續(xù)性方程與

n、p呈指數(shù)非線性形式，方程的形式變復(fù)雜了。第三十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬3、選用（、n、p）的方法：這時(shí)基本方程組沒(méi)有什么變形，但是變量、n、p各自數(shù)值的數(shù)量級(jí)有較大的懸殊，在半導(dǎo)體結(jié)附近的層區(qū)和中性的緩區(qū)。它們會(huì)表現(xiàn)出極大的行為差別。第三十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬

(二)、基本方程的歸一化

由于基本方程中因變量（、n、p）的數(shù)量級(jí)差別很大，而且在小的和大的空間電荷區(qū)，其特性也不相同，對(duì)于基本方程結(jié)構(gòu)分析的第一步應(yīng)適當(dāng)?shù)亩?biāo)（即歸一化），從計(jì)算的觀點(diǎn)看，歸一化后的方程是很有吸引力的。也就是在求值中不涉及常數(shù)運(yùn)算?？捎行У亟档瓦\(yùn)算量。若未歸一化的方程組寫為以下形式：第三十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬其中：C=Nd–NA為凈雜質(zhì)濃度；R=G-U為凈產(chǎn)生/復(fù)合率

第四十頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬DeMari給出了定標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)方法，定標(biāo)因子綜合在下表中：

量符號(hào)值

x0

KT/qn,p,cc0niDn,DpD01cm2s-1μn,μpD0/0RD0·C0/x02tx02/D0

表中x表示獨(dú)立空間變量。

第四十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬定標(biāo)（歸一化）后的基本方程就寫為：

(1)

(2)(3)(4)

(5)第四十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬這時(shí)方程中所用的微分算子是關(guān)于定標(biāo)后的獨(dú)立變量的，為了簡(jiǎn)明起見，一個(gè)明確的指標(biāo)（即下標(biāo)）已被省去。還應(yīng)注意方程中已倍乘了定標(biāo)因子的組合。即：對(duì)于方程（1）乘了

對(duì)于方程（2）和（3）乘了

對(duì)于方程（4）和（5）乘了第四十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬定標(biāo)或者說(shuō)歸一化因子也不是唯一的，下面介紹一種從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看更為嚴(yán)格的定標(biāo)，定標(biāo)因子如下表：量符號(hào)值

x0max(x-y),x、y€DKT/qn、p、cc0

Dn、DpD0

μn、μpD0/RD0C0/x02tx02/D0第四十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬用這種定標(biāo)，基本方程變?yōu)椋?/p>

(6)

(7)(8)(9)定標(biāo)后的電流方程形式與（4）、（5）式相同，類似地，定標(biāo)后的連續(xù)性方程形式也與（2）、（3）式一樣，然而有些定標(biāo)因子的數(shù)量級(jí)不一樣。第四十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬方程（6）至（8）以及電流關(guān)系式也已倍乘定標(biāo)因子的組合，即：對(duì)于（6）乘了對(duì)于（7）和(8)乘了對(duì)于電流表達(dá)式乘了第四十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬（三）基本方程的定義域及邊界條件半導(dǎo)體基本方程適用于表征器件幾何圖形的一個(gè)受限制的定義域D∈Rn(n=1,2,3)內(nèi)。原則上，所有半導(dǎo)體器件均為三維結(jié)構(gòu)。然而在許多情況下，被考慮的器件本質(zhì)坐標(biāo)是二維甚至是一維的，于是可以假設(shè)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)以及基本方程中垂直于平面(線)的因變量之偏導(dǎo)數(shù)為零。由此，問(wèn)題就變?yōu)橐?二)維空間的，從而大大地簡(jiǎn)化了數(shù)值解。第四十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬對(duì)于二維或三維問(wèn)題，D的邊界?D是分段光滑的;對(duì)于一維問(wèn)題，常以兩點(diǎn)來(lái)表示。原則上，邊界可以分離為兩部分：?DP表示對(duì)應(yīng)于真實(shí)的“物理”邊界的部分，就象Ω接觸以及與絕緣材料的界面。?DA由必須引入的人為邊界組成，例如在集成電路中為分離相鄰器件而引入的邊界。因此，第二類邊界并不對(duì)應(yīng)于物理意義的邊界。

第四十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬為了描述這種分類可參考圖5.1-1，該圖表示了平面MOS晶體管理想化二維模擬幾何圖形。總的模擬定義域以多邊形A-B-C-D-E-F-G-H-A為界。要注意的是，基本方程(6)～(8)僅僅在子域人A-B-C-D-E-F-G-H-A上形成。對(duì)于絕緣層(由B-C-D-E-B為界的子域)，通常用靜電勢(shì)的Laplace

方程表示特性，此處忽略了任何可動(dòng)載流子的存在。應(yīng)該明白，用(5.1-2)及(5.1-3)

式不能計(jì)算柵極電流，而且還忽略了氧化層電容的影響。物理的考慮已超出我們討論的范圍。第四十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬邊界A-B,E-F,C-D以及B-E可以分別看作表示三個(gè)理想接觸以及半導(dǎo)體與絕緣層之間界面的物理邊界。這些邊界形成ａDP。A-H，B-C，D-E，F(xiàn)-G以及G-H可以認(rèn)為是人為邊界。這些邊界在實(shí)際器件中并不存在，只是為了模擬而引入。顯然，這些邊界的引入并非完全是任意的。人為邊界引入法則：1）根據(jù)器件功能的信息，定義某些自然邊界，這些邊界可將結(jié)構(gòu)完整的器件從其周圍分離出來(lái)。2）人為邊界的引入有時(shí)也是為了簡(jiǎn)化基本方程的數(shù)值解。

第五十頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬邊界G-H就代表了這種邊界段。當(dāng)考慮班MOS晶體管的實(shí)際尺寸時(shí)，我們知道界面B-E的長(zhǎng)度為lμm的量級(jí)，而晶片的厚度，即界面與基體之間的距離約為500μm。于是，實(shí)際的幾何圖形是一個(gè)長(zhǎng)的小條形，對(duì)于基本方程的許多經(jīng)典數(shù)值解方法；這會(huì)帶來(lái)災(zāi)難性的影響。根據(jù)對(duì)于班MOS晶體管工作的理解，我們可以推論，從距離界面G-H較遠(yuǎn)處切割后的模擬幾何圖形，在M0S晶體管的大多數(shù)工作條件下僅引入很小的誤差，特別是G-H與基體接觸之間的電壓降以及沿G-H的勢(shì)能分布確使人為邊界G-H是一個(gè)可接受的簡(jiǎn)化。第五十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬?DO由物理意義形成的邊界可以大致分為三類：

?DO表示對(duì)應(yīng)于歐姆接觸的邊界部分；?DS是表征Sckotty接觸的邊界部分；而?DI是與絕緣材料的界面。第五十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬歐姆接觸對(duì)于靜電勢(shì)的邊界條件:通常有一個(gè)靜電勢(shì)與總電流密度之間的函數(shù)關(guān)系。此關(guān)系式包括靜電勢(shì)的一階時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)，垂直于邊界的單位矢量以及它對(duì)于時(shí)間與歐姆接觸面積的積分。以下面的隱式關(guān)系式來(lái)表示：對(duì)于由純電壓或電流控制的接觸，可得到最簡(jiǎn)單的邊界條件。第五十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬對(duì)于電壓控制的接觸?Do，(5.1-5)簡(jiǎn)化為靜電勢(shì)的顯式邊界條件表示外部所加的偏壓，表示內(nèi)建勢(shì)。(5.1-7)式是靜電勢(shì)的Dirichlet邊界條件。對(duì)于理想的電流控制的接觸?Do，(5.1-5)式為ID（t）是流經(jīng)該接觸的總電流。把電流關(guān)系式(4)及(5)代入邊界條件(5.1-8)式，我們就得到靜電勢(shì)的積分邊界條件。

第五十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬然而，為了避免混淆，還需要一個(gè)附加條件。通常，人們假設(shè)歐姆接觸是理想導(dǎo)電的，即意味著在此邊界上電壓降為零。對(duì)于電容或電感負(fù)載，靜電勢(shì)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)以及總電流將出現(xiàn)在邊界條件中。已知外部負(fù)載電路時(shí)，只要具備少量的電路理論知識(shí)，就能導(dǎo)出其邊界條件，在此我們略過(guò)這些內(nèi)容。從數(shù)學(xué)意義上，靜電勢(shì)有很復(fù)雜的時(shí)間相關(guān)的邊界條件。

第五十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬我們尚需要載流子濃度的條件。從物理觀點(diǎn)看，上述條件仍可從熱平衡(對(duì)應(yīng)于無(wú)限的表面復(fù)合速度)以及歐姆接觸的空問(wèn)電荷為零來(lái)確定。兩個(gè)條件可重新整理為電子和空穴的Dirichlet條件。

第五十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬綜合上述，在一定的條件下(純電壓驅(qū)動(dòng))，對(duì)于歐姆接觸?D0，我們有靜電勢(shì)的Dirichlet邊界條件以及載流子濃度的Dirichlet條件。對(duì)于更一般的應(yīng)用(電流驅(qū)動(dòng)或外部負(fù)載電路)，靜電勢(shì)的邊界條件是積分形式。Schottky接觸邊界?Ds:Schottky接觸的物理學(xué)很復(fù)雜很困難。為了模擬目的，一般用相當(dāng)簡(jiǎn)化的模型。在電壓驅(qū)動(dòng)的情況下，我們假設(shè)靜電勢(shì)的Dirichlet邊界條件：

仍表示外加偏置；表示Schottky勢(shì)壘高度，這是構(gòu)成金屬與半導(dǎo)體Schottky接觸的特征量,數(shù)值通常是0.5V到1V的量級(jí)。仍是內(nèi)建勢(shì).第五十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬對(duì)于連續(xù)性方程，要想得到物理合理且模型仍很簡(jiǎn)單的邊界條件更加困難。Schottky接觸的載流子濃度一般與流過(guò)該接觸的電流密度有關(guān)。有文獻(xiàn)提出了有關(guān)熱離子發(fā)射與擴(kuò)散的相互作用的理論研究，并導(dǎo)出下述邊界條件：

n表示?D上的單位法向矢量;

vn，vp

表示在接觸處電子、空穴的熱電子復(fù)合速度。注意，對(duì)于無(wú)限的熱電子復(fù)合速度，(5.1-15)、(5.1-16)式簡(jiǎn)化為(5.1-12)、(5.1-13)式。

第五十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬為了FET的模擬，已假設(shè)vn及vp為零，這等效于沒(méi)有電流通過(guò)Schottky接觸。上述假設(shè)乍一看似乎是合理的，因?yàn)樵诖蠖鄶?shù)實(shí)際工作情況下，schottky接觸是反偏的，其中流過(guò)的電流相當(dāng)小。然而，在接觸的鄰近區(qū)域，載流子濃度會(huì)有不切實(shí)際的減小，這將引起數(shù)值問(wèn)題。顯然，(5.1-17)和(5.1-18)式僅適用于反偏接觸。

第五十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬半導(dǎo)體與絕緣體之間的界面?DI:在此界面上需遵守微分形式的Gauβ定律。

εsem及εint分別表示半導(dǎo)體及絕緣體的介電常數(shù);Qint表示界面電荷。當(dāng)與厚絕緣體，例如場(chǎng)氧化交界時(shí)，人們經(jīng)常假設(shè)絕緣層中垂直于界面的電場(chǎng)成分為零，故(5.1-21)式簡(jiǎn)化為一般也忽略界面電荷的存在。于是(5.1-22)式簡(jiǎn)化為靜電勢(shì)的Neumann邊界條件：(如圖5.1-1中，B-E表示一個(gè)界面。

第六十頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬在幾個(gè)M0S模擬程序中，絕緣體中的Laplace方程不用顯式解。若只有垂直于界面的一維勢(shì)能降，則導(dǎo)致界面上靜電勢(shì)的混合邊界條件：UG表示柵接觸C-D上的靜電勢(shì)；tins是絕緣層C-B的厚度。顯然，編寫混合邊界條件(5.1-24)的程序比解絕緣層中的Laplace方程更為容易。然而，假如與絕緣層厚度相比，界面B-E的長(zhǎng)度不是足夠大的話，就我們的經(jīng)驗(yàn)而論，由此引起的誤差大到不可容忍的程度。第六十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬對(duì)于連續(xù)性方程，垂直于界面的電流成分應(yīng)等于表面復(fù)合率RSURF.通?？偸羌僭O(shè)無(wú)限大的表面復(fù)合速度，從而忽略表面復(fù)合的存在，這就導(dǎo)致邊界條件(5.1-17)、(5.1-18)。在某些特定器件與工作條件時(shí)，這種假設(shè)是合理的。第六十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬根據(jù)前面的概述，我們還需處理人為邊界條件。此處，或者假設(shè)為自然邊界條件，它決定所考慮的域，即所模擬的器件面積，是有完整結(jié)構(gòu)的(5.1-27)至(5.1-29)式,或者指定靜電勢(shì)的Dirichlet值與載流子濃度，這是預(yù)先估計(jì)的(例如圖5.1-1中的G-H)。第六十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬必須驗(yàn)證應(yīng)用這些邊界條件的物理與數(shù)學(xué)的合理性。例如在圖5.1-1中，距離A-B以及E-F應(yīng)足夠大，從而使在A-H及F-G處由于人為邊界條件引進(jìn)的誤差相當(dāng)小。應(yīng)用邊界條件(5.1-27)～(5.1-29)的一個(gè)限制是要求參量C,Dn,Dp以及μp,n對(duì)于邊界的單位法向矢量的導(dǎo)數(shù)沿整個(gè)人為邊界為零。要注意，若靜電勢(shì)的邊界條件是時(shí)間相關(guān)，則基本半導(dǎo)體方程僅構(gòu)成一個(gè)時(shí)間相關(guān)問(wèn)題。若靜電勢(shì)的邊界條件是不隨時(shí)間變的，半導(dǎo)體方程就簡(jiǎn)化為由三個(gè)聯(lián)立橢圓方程組成的系統(tǒng)。第六十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬(四)、基本方程的離散化離散數(shù)值解法，無(wú)論對(duì)任何一個(gè)系統(tǒng)，都包括以下兩個(gè)步驟：①將模擬的幾何定義域分割成有限數(shù)的子區(qū)域，而子區(qū)域內(nèi)易得所需的精確解。②每一個(gè)子域內(nèi)的微分方程得用代數(shù)方程來(lái)近似，本節(jié)將具體地討論方程的離散化過(guò)程。第六十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬在分割定義域（即離散化）和選擇子區(qū)域內(nèi)自變量的近似函數(shù)方面已經(jīng)提出了許多可行的方法。特別是對(duì)于半導(dǎo)體方程已經(jīng)開發(fā)了許多技術(shù)。這些技術(shù)從數(shù)學(xué)分析的觀點(diǎn)來(lái)看并不是很重要的。但它們有高的計(jì)算效率。因而從工程的目的來(lái)看確實(shí)是重要的。目前常見的離散方法，具體地說(shuō)就是網(wǎng)格的劃分大致有三種:

有限差分法----特點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行。有限盒法----實(shí)際上是一種更一般的有限差分法，這兩種方法大多對(duì)一些規(guī)則的邊界使用起來(lái)比較便利；

有限元法---它與有限差分法相比有其顯著特點(diǎn)。

第六十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬有限元法可以用不同形狀的網(wǎng)格分割區(qū)域。根據(jù)定義域中函數(shù)的要求自如地布置節(jié)點(diǎn)，因而對(duì)不同區(qū)域邊界，尤其是不規(guī)則的邊界適應(yīng)性較強(qiáng)。而有限差分法對(duì)定義區(qū)域的離散方法是直交網(wǎng)格，因此很難適應(yīng)復(fù)雜的區(qū)域邊界。網(wǎng)格劃分的好壞，直接對(duì)方程求解的穩(wěn)定性。求解結(jié)果的準(zhǔn)確性、收劍性以及收劍速度都有影響.常用的網(wǎng)格劃分標(biāo)準(zhǔn)是：在整個(gè)模擬區(qū)域內(nèi)平均各網(wǎng)點(diǎn)離散時(shí)的局部截?cái)嗾`差，并且使其滿足給定的精度要求。

第六十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬網(wǎng)格的劃分可分為自動(dòng)剖分和人為地經(jīng)驗(yàn)剖分。上述的網(wǎng)格劃分標(biāo)準(zhǔn)已由一些作者用到了網(wǎng)格自動(dòng)剖分上。在自動(dòng)剖分中還用到這兩個(gè)劃分規(guī)則：（1）如果兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)之間電勢(shì)差＞u（例如取u=10），則繼續(xù)細(xì)分這兩點(diǎn)的網(wǎng)格。（2）在兩次迭代之間差值最大的點(diǎn)周圍繼續(xù)細(xì)分.至于經(jīng)驗(yàn)剖分，一般原則是在變量變化比較陡的區(qū)域網(wǎng)格劃分的細(xì)一些。第六十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬1、有限差分法在經(jīng)典的有限差分法中，微分方程的求解區(qū)域有一組平行于坐標(biāo)軸的網(wǎng)格線分割成子區(qū)域。圖4-1為一個(gè)橫向雙極型晶體管的有限差分網(wǎng)格實(shí)例:

圖4-1第六十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日半導(dǎo)體器件模擬其中NX線置成平行于y軸，NY線置成平行于x軸。本例中NX=41、NY=22。(點(diǎn)總數(shù)902,邊界有122點(diǎn))在NX，