新編-【大學(xué)課件】統(tǒng)計(jì)方法建模

統(tǒng)計(jì)方法建模docin/sundae_meng統(tǒng)計(jì)方法建模docin/sundae_meng13.1多元回歸與最優(yōu)逐步回歸3.2主成份分析與相關(guān)分析3.3判別分析3.4聚類分析3.5模糊聚類分析3.6馬爾可夫鏈及其應(yīng)用3.7存貯論3.1多元回歸與最優(yōu)逐步回歸2

§3.1多元回歸與最優(yōu)逐步回歸

一、數(shù)學(xué)模型二、模型的分析與檢驗(yàn)三、回歸方程系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)四、回歸方程進(jìn)行預(yù)測預(yù)報(bào)和控制五、最優(yōu)逐步回歸分析

§3.1多元回歸與最優(yōu)逐步回歸

一、數(shù)學(xué)模型3一、數(shù)學(xué)模型設(shè)可控或不可控的自變量；目標(biāo)函數(shù)，已測得的n組數(shù)據(jù)為：

(1.1)其中是系統(tǒng)的測試數(shù)據(jù)，相當(dāng)于如下模型：設(shè)多目標(biāo)系統(tǒng)為：

系統(tǒng)一、數(shù)學(xué)模型設(shè)可控或不可控的自變量4為簡化問題，不妨設(shè)該系統(tǒng)為單目標(biāo)系統(tǒng)，且由函數(shù)關(guān)系，可以設(shè)：

(1.2)

可得如下線性模型

(1.3)

為測量誤差，相互獨(dú)立，。

令

為簡化問題，不妨設(shè)該系統(tǒng)為單目標(biāo)系統(tǒng)，且由函數(shù)關(guān)系5

可得

（1.4）

(1.4)稱為線性回歸方程的數(shù)學(xué)模型。

利用最小二乘估計(jì)或極大似然估計(jì)，令

使，由方程組

(1.5)

可得系數(shù)的估計(jì)。

令方陣可逆，由模型可得：

即有 (1.6)

可以證明(1.6)與(1.5)是同解方程組的解，它是最優(yōu)線性無偏估量，滿足很多良好的性質(zhì)，另文補(bǔ)講。

可得

6二、模型的分析與檢驗(yàn)

設(shè)目標(biāo)函數(shù)的平均值，則由公式可計(jì)算得總偏差平方和，回歸和剩余平方和：二、模型的分析與檢驗(yàn)

設(shè)目標(biāo)函數(shù)7假設(shè)檢驗(yàn)：

至少有一個(gè)不為零

結(jié)論是：當(dāng)

當(dāng)被拒絕以后，說明方程(2)中系數(shù)不全為零，方程

配得合理。否則在被接受以后，說明方程配得不合適，即變量對目標(biāo)函數(shù)都沒有影響，則要從另外因素去考慮該系統(tǒng)。假設(shè)檢驗(yàn)：

8三、回歸方程系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

假設(shè)備選假設(shè)可以證得：

(1.8)或者

的對角線元素。三、回歸方程系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

假設(shè)9.當(dāng)時(shí)，顯著不為零，方程(1.2)中第j個(gè)變量作用顯著。若有某一個(gè)系數(shù)假設(shè)被接受，則應(yīng)從方程中剔除。然后從頭開始進(jìn)行一次回歸分析工作。.當(dāng)10四、回歸方程進(jìn)行預(yù)測預(yù)報(bào)和控制

經(jīng)過回歸分析得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

(1.9)

設(shè)要在某已知點(diǎn)上進(jìn)行預(yù)測，可得點(diǎn)估計(jì)：

(1.10)

下面對預(yù)測預(yù)極值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，可以證得

其中

四、回歸方程進(jìn)行預(yù)測預(yù)報(bào)和控制

經(jīng)過回歸分析得到經(jīng)驗(yàn)回11

得的預(yù)測區(qū)間：得的預(yù)測區(qū)間：12五、最優(yōu)逐步回歸分析

在線性回歸分析中，當(dāng)經(jīng)過檢驗(yàn)，方程(1.2)作用顯著，但為顯著,說明不起作用，要從方程中剔除出去，一切都要從頭算起，很麻煩。這里介紹的方法是光對因子逐個(gè)檢驗(yàn)，確認(rèn)它在方程中的作用的顯著程度，然后依大到小逐次引入變量到方程，并及時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)，去掉作用不顯著的因子，依次循環(huán)，到最后無因子可以進(jìn)入方程，亦無因子被從方程中剔除，這個(gè)方法稱為最優(yōu)逐步回歸法。從方程(1.2)中,為方便計(jì),設(shè)變量個(gè)數(shù),記可得

(1.12)五、最優(yōu)逐步回歸分析

在線性回歸分析中，當(dāng)經(jīng)過檢驗(yàn)，方程(13此時(shí)仍可得

是回歸估計(jì)值回歸方程為

(1.13)

分別是的系數(shù)估計(jì)。為了減少誤差積累與放大，進(jìn)行數(shù)據(jù)中心化標(biāo)準(zhǔn)化處理：此時(shí)仍可得14

(1.14)可得數(shù)學(xué)模型為：

(1.15)經(jīng)推導(dǎo)可得：，，，

15

稱為系數(shù)相關(guān)矩陣

由此可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程：

(1.16)然后以變換關(guān)系式代入可得

稱為系數(shù)相關(guān)矩陣16將(17)式與(13)式進(jìn)行比較，可得：

(1.18)只要算得(16)式的即可。注意到

其中是對于因子的偏回歸平方和，可以證明線性方程中對變量的多元線性回歸方程中的偏回歸平方和為（是原方程中的偏回歸平方和）：

將(17)式與(13)式進(jìn)行比較，可得：17把系數(shù)矩陣R變成加邊矩陣，記為

比較,設(shè),則相應(yīng)變量作用最大，但是否顯著大，要進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，可以證得

把系數(shù)矩陣R變成加邊矩陣，記為18當(dāng)時(shí)，可將變量引入方程中去?，F(xiàn)將這個(gè)循環(huán)步驟介紹如下：第一步：挑選第一個(gè)因子對計(jì)算的偏回歸和找出決定

F檢驗(yàn)

當(dāng)時(shí)引入，一般總可以引入的。當(dāng)時(shí)，可將變量19

第二步：挑選第二個(gè)因子首先變換加邊矩陣

則，因子的偏回歸平方和

記決定可否引入第二步：挑選第二個(gè)因子20

步驟： 1.對，計(jì)算的偏回歸平方和。

2.找出中最大的一個(gè)，記為。

3.對作顯著性檢驗(yàn)：

當(dāng)時(shí)，要

引入。步驟： 1.對，計(jì)算21

第三步：當(dāng)引入時(shí)，是否要剔除呢？即已有方程：

檢驗(yàn)的偏回歸平方和：

第三步：當(dāng)引入時(shí)，是否22

當(dāng)時(shí)因子不剔除。同樣的方法以

時(shí)因子不剔除。第四步：重復(fù)進(jìn)行第二步到第三步。一直到?jīng)]有可引入的新因子，也沒有可剔除的因子。最后方程為：

(1.19)

并把(1.19)式換算成類似的(1.13)式。當(dāng)23§3.2主成份分析與相關(guān)分析一、數(shù)學(xué)模型二、主成份分析三、主成份的貢獻(xiàn)率§3.2主成份分析與相關(guān)分析一、數(shù)學(xué)模型二、主成份分析三24這是一個(gè)將多個(gè)指標(biāo)化為幾個(gè)少數(shù)指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的問題，設(shè)有維總體有個(gè)隨機(jī)指標(biāo)構(gòu)成一個(gè)維隨機(jī)向量，它的一個(gè)實(shí)現(xiàn)為；而且這個(gè)指標(biāo)之間往往相互有影響，是否可以將它們綜合成少數(shù)幾個(gè)指標(biāo)，使它們盡可能充分反映原來的個(gè)指標(biāo)。例如加工上衣，有袖長、身長、胸圍、肩寬、領(lǐng)圍、袖口、袖深，……等指標(biāo)，是否可以找出主要幾個(gè)指標(biāo)，加工出來就可以了呢？例如主要以衣長、胸寬、型號(肥瘦)這樣三個(gè)特征。一、數(shù)學(xué)模型一、數(shù)學(xué)模型25設(shè)為維隨機(jī)向量，為期望向量,為協(xié)方差矩陣，其中

設(shè)將綜合成很少幾個(gè)綜合性指標(biāo)，如，不妨設(shè)

設(shè)26

則有

要使盡可能反映原來的指標(biāo)的作用，則要使盡可能大，可以利用乘子法:要對a加以限制否則加大,增大無意義。令

設(shè)并使則有27可得方程組(2.1)的解為

(2.2)以左乘(2.2)之兩邊，得即由(2.2)式可得

(2.3)要使?jié)M足(2.3)的a非零，應(yīng)有

可得方程組(2.1)的解為28

即入是的特征根，設(shè)是的個(gè)特征根，只要取，再由，求出V的屬于的特征向量，在條件是唯一的維特征向量。于是得

(2.4)

即入是的特征根，設(shè)29二、主成份分析

一般協(xié)方差方陣為非負(fù)定，對角線上各階主子式都大于等于零，即特征值有：

設(shè)前m個(gè)都大于零，依次為，相應(yīng)的特征向量為，則，，，即為第一,第二,…,第個(gè)主成份，由線性代數(shù)知識可知，不同的特征根對應(yīng)的不同的特征向量線性無關(guān)，由于V是實(shí)對稱陣，則，變換后的各主成份相互無關(guān)。即對進(jìn)行了一次正交變換。二、主成份分析

一般協(xié)方差方陣為非負(fù)定，對角線上各階主子式30

在實(shí)際應(yīng)用中，V陣往往是未知的，需要用V的估計(jì)值來代替，設(shè)有組觀測值

則取(2.5)

(2.6)

其中是的子樣方差，的子樣協(xié)方差。需要求出的特征值。在實(shí)際應(yīng)用中，V陣往往是未知的，需要用V的估計(jì)31

由于不同的度量會產(chǎn)生量綱問題，一般建議作如下變換：

用標(biāo)準(zhǔn)變量代替以前的，即可以運(yùn)算。此時(shí)的協(xié)方差矩陣即相關(guān)矩陣

從R出發(fā)，可求主成份。由于不同的度量會產(chǎn)生量綱問題，一般建議作如下變換：32三、主成份的貢獻(xiàn)率

為了盡可能以少數(shù)幾個(gè)主成份來代替P個(gè)指標(biāo)，那么要決定取多少個(gè)主成份才夠呢由于則可得是的方差，可得

亦是V的全部特征值之和：

三、主成份的貢獻(xiàn)率

為了盡可能以少數(shù)幾個(gè)主成份33

由于,

則令

表明方差在全部方差中所占的比重，稱是第i個(gè)主成份的貢獻(xiàn)率，顯然有,不妨取一個(gè)閾值為d(0＜d＜1)，當(dāng)時(shí)，即舍去，此時(shí)可取為主成份。以貢獻(xiàn)率來決定它的個(gè)數(shù)。由于34一、數(shù)學(xué)模型二、關(guān)于計(jì)算中應(yīng)注意的問題三、關(guān)于誤判率及多個(gè)總體的判別§3.3判別分析

一、數(shù)學(xué)模型二、關(guān)于計(jì)算中應(yīng)注意的問題三、關(guān)于誤判率及多個(gè)總35一、數(shù)學(xué)模型

根據(jù)所研究的個(gè)體的觀察指標(biāo)來推斷個(gè)體所屬于何種類型的一種統(tǒng)計(jì)分析方法，稱為判別分析。例如某精神病院有精神病患者256名，診斷結(jié)果將它們分成六類(相當(dāng)于6個(gè)總體)設(shè)服從三維聯(lián)合正態(tài)分布i=1,2,…,6，其中，為協(xié)方差矩陣，一般這六種類型可分為焦慮狀、癔病、精神病、強(qiáng)迫觀念型、變態(tài)人格、正常，若有如下子樣：子樣子樣

…

…

…

…

…

…

子樣一、數(shù)學(xué)模型36注意到每個(gè)子樣都是三維向量?，F(xiàn)有一個(gè)新的精神病患者前來就醫(yī)，測得三個(gè)指標(biāo)：

試判斷該患者病情屬于哪一類。(一)兩點(diǎn)的距離設(shè)維空間中有兩點(diǎn),則其歐氏距離為

:(3.1)

注意到每個(gè)子樣都是三維向量?，F(xiàn)有一個(gè)新的精神37

由于數(shù)據(jù)的量綱不同，不采用歐氏距離,用馬氏距離有：定義1：設(shè)X,Y是從總體G中抽取的樣品,G服從P維正態(tài)分布，,定義X,Y兩點(diǎn)間的距離為馬氏距離：(3.2)定義2：X與總體G的距離為D(X，G)為

(3.3)由于數(shù)據(jù)的量綱不同，不采用歐氏距離,用馬氏距離有：38(二)距離判別法設(shè)有兩個(gè)協(xié)方差相同的正態(tài)總體，且對于一個(gè)新的樣品，要判定它來自哪一個(gè)總體，有一個(gè)很直觀的方法：計(jì)算

若

(三)線性判別函數(shù)由

令

(二)距離判別法對于一個(gè)新的樣品，要判定它來自哪一個(gè)總體，有39記

則有：當(dāng)時(shí)，否則

當(dāng)為已知時(shí)，令

，可得：

(3.4)稱為線性判別函數(shù)，a為判別系數(shù),因?yàn)?/p>

，即

,解線性方程組可得解此時(shí)的判別規(guī)則為：X是新的一個(gè)點(diǎn),將其代入即可判別。(3.5)

記則有：當(dāng)時(shí)，否則40二、關(guān)于計(jì)算中應(yīng)注意的問題

實(shí)際上均未知,要用樣本值的估計(jì)公式來計(jì)算出。其方法如下:

設(shè)子樣來自總體,子樣來自,可由(在本節(jié)的開頭的例子中P=3)二、關(guān)于計(jì)算中應(yīng)注意的問題實(shí)際上均未知,要用樣本值的估計(jì)公41得到

(3.6)(3.7)

判別函數(shù)為(3.8)判別系數(shù)為得到(3.6)(3.7)判別函數(shù)為(3.8)判別系數(shù)42三、關(guān)于誤判率及多個(gè)總體的判別這里提及一個(gè)回報(bào)的誤判率問題。在構(gòu)造判別函數(shù)W(X)時(shí),是依據(jù)樣本

,現(xiàn)在已知均屬于

,從道理上來說,

經(jīng)過判別公式(3.8),可得出

,但也可能出來某幾個(gè)不屬于

,這便是誤判。若有存在,使得

,說明這就產(chǎn)生了一個(gè)誤判。所謂誤判率,即是出現(xiàn)誤判的百分?jǐn)?shù),我們應(yīng)該有所控制。當(dāng)兩個(gè)總體的協(xié)方差不相等時(shí),可用如下方法:

(3.9)(3.10)三、關(guān)于誤判率及多個(gè)總體的判別這里提及一個(gè)回報(bào)的誤判率問題。43當(dāng)

當(dāng)

未知時(shí),用下列估計(jì)代替:

在個(gè)總體時(shí)，均值為協(xié)方差陣為(維)

設(shè)

都已知時(shí),X為樣品

計(jì)算

選擇一個(gè)最小的值例如

則

設(shè)未知,但獨(dú)立，可以分別以估計(jì)值來計(jì)算。當(dāng)上述未知,但亦可以用上述類似方法。上述解決方法中，可以擴(kuò)展到非正態(tài)分布。

時(shí)，當(dāng)當(dāng)未知時(shí),用下列估計(jì)代替:在個(gè)總體時(shí)，均值為協(xié)方差陣44§3.4聚類分析

物以類聚，人以群分，社會發(fā)展和科技的進(jìn)步都要求對于某些物體進(jìn)行分類。由于早期的定性分類已不能滿足需要，于是數(shù)值分類學(xué)便應(yīng)運(yùn)而生。

一、數(shù)學(xué)模型二、應(yīng)用類例§3.4聚類分析物以類聚，人以群分，社會發(fā)45一、數(shù)學(xué)模型某種物品有n個(gè)：

指標(biāo)，如何將其分成若干類，基本的思路是把距離較近的點(diǎn)歸成一類。這里的距離可分為如下三類：它有m個(gè)數(shù)值量化1.距離

的距離,

本文中的距離常用歐氏或馬氏距離，公式在前幾節(jié)中已述，還有一種用絕對距離：應(yīng)該提及馬氏距離可以克服數(shù)據(jù)相關(guān)性的困難

。一、數(shù)學(xué)模型某種物品有n個(gè)：指標(biāo)，如何將其分成若干類，基本462.數(shù)據(jù)正規(guī)化處理

當(dāng)?shù)姆至恐写?，要?jīng)過正規(guī)化標(biāo)準(zhǔn)化處理，令

個(gè)指標(biāo)量綱不一致時(shí)，相差很(4.1)

其中

(4.2)(4.3)將經(jīng)過(1)式處理的數(shù)據(jù)重新視作(為記號上的方便)2.數(shù)據(jù)正規(guī)化處理當(dāng)?shù)姆至恐写螅?jīng)過正規(guī)化標(biāo)準(zhǔn)化處理，令473.相似系數(shù)法的相關(guān)系數(shù)(4.4)可以將相關(guān)愈密切的歸成一類。3.相似系數(shù)法的相關(guān)系數(shù)(4.4)可以將相關(guān)愈密切的歸484.最短距離聚類法(系統(tǒng)聚類法，

逐步并類法)

先將n個(gè)樣本各自為一類，計(jì)算它們之間的距離，選擇距離小的二個(gè)樣本歸為一個(gè)新類，再計(jì)算這個(gè)新類與其它樣本的距離，選擇距離小的二個(gè)樣本(或二個(gè)新類)歸為一個(gè)新類，每次合并縮小一個(gè)以上的類，直到所有樣本都劃為一個(gè)類為止。這里規(guī)定兩點(diǎn)間距離為：兩類間的距離，即

的距離為：

4.最短距離聚類法(系統(tǒng)聚類法，

49步驟如下：

1.數(shù)據(jù)正規(guī)化處理要視各指標(biāo)的量綱是否一致，相差是否太大，并選擇一種距離計(jì)算法，為了方便計(jì)，一般都選擇歐氏距離法。

2.計(jì)算各樣本間的兩兩距離,并記在分類距離對稱表中,并記為D(0),第0步分類,此時(shí)

(每一個(gè)樣本點(diǎn)為一個(gè)類)3.選擇表D(0)中的最短距離,設(shè)為

,則將

合并成一個(gè)新類,記為

(4.5)4.計(jì)算新類與其它類之間的距離,定義

步驟如下：(每一個(gè)樣本點(diǎn)為一個(gè)類)3.選擇表D(0)中的最短50(4.6)

表示新類與類之間的距離。

5.作D(1)表,將D(0)中的第p,q行和p,q列刪去,加上第r行,第r列。第r行,第r列與其它類的距離按(4.6)式判斷后記上,這樣得到一個(gè)新的分類距離對稱表,并記為D(1),D(1)表示經(jīng)過一次聚類后的距離表,要注意的是Dr類是由哪兩類聚類得到應(yīng)在D(1)表下給以說明。

6.對D(1)按3,4,5重復(fù)類似D(0)的聚類工作,得D(2)。

7.一直重復(fù),直到最后只剩下兩類為止,并作聚類圖。(4.6)表示新類與類之間的距離。5.作51二、應(yīng)用類例

現(xiàn)有8個(gè)樣品,每個(gè)樣品有2個(gè)指標(biāo)(m=2,2維變量),它們的量綱相同,(否則要經(jīng)過正規(guī)化處理)

編號123456782244-4-2-3-15343322-3試用系統(tǒng)聚類方法對這8個(gè)樣品進(jìn)行聚類。

解:采用歐氏距離

(1)最短距離法,首先用表格形式列出D(0)二、應(yīng)用類例現(xiàn)有8個(gè)樣品,每個(gè)樣品有2個(gè)指52D(0)G1G2G3G4G5G6G7G8G10G22.00G32.22.20G42.32.01.00G56.36.08.18.00G65.04.16.36.12.20G75.85.17.27.11.41.00G88.56.78.67.86.75.15.40表示第i個(gè)樣品,i=1,2,…,8

在D(0)中,最小值是1.0,相應(yīng)的距離是D(3.4),與D(6,7)。則合并為新類,把合并成。D(0)G1G2G3G4G5G6G7G8G10G22.00G53(2)把D(0)中去掉

并計(jì)算得下表,后兩行重算,其余照D(0)照抄。

D(1)G1G2G5G8G9G11G10G22.00G56.36.00G88.56.76.70G92.22.08.07.80G105.04.11.45.18.10(2)把D(0)中去掉并計(jì)算得下表,后兩行重算,其余照D(54視D(1)中,最小值為1.4,相應(yīng)的是D(5,10)將合并成新類。視D(1)中,最小值為1.4,相應(yīng)的是D(5,10)將合并553)同法構(gòu)造D(2)表D(2)G1G2G8G9G10G10G22.00G88.56.70G92.22.07.80G115.04.15.16.10其中最小值D(1,2)=D(2,9)=2.0，則把

，在D(2)中,3)同法構(gòu)造D(2)表D(2)G1G2G8G9G10G10G56D(3)G8G11G12G80G115.10G126.74.10

其中D(3)中,最小值D(11,12)=4.1，因此把，在D(4)G8G13G80G135.10(見D(0)第8行)D(3)G8G11G12G80G115.10G126.74.573.把上述聚類過程用聚類圖表示:

011.42T345

說明：聚類到一定程度即可結(jié)束3.把上述聚類過程用聚類圖表示:

058一般可以選取一個(gè)閾值T，到D(K)中的所有非零元素都大于T＜Ｖ，即結(jié)束(表中的值＞T值)設(shè)T=2.5：則到D(3)時(shí)結(jié)束，此時(shí)的共聚為三類：

如下圖：×8×5×7×6×1×3×2×4一般可以選取一個(gè)閾值T，到D(K)中的所有非零元素都大于T＜59§3.5模糊聚類分析二、數(shù)學(xué)模型一、問題的提出三、一個(gè)實(shí)例§3.5模糊聚類分析二、數(shù)學(xué)模型一、問題的提出三、一個(gè)實(shí)60一、問題的提出客觀事物分成確定性和不確定性兩類,處理不確定性的方法為隨機(jī)數(shù)學(xué)方法。在進(jìn)行隨機(jī)現(xiàn)象的研究時(shí),所表現(xiàn)的現(xiàn)象是不確定的,但對象事物本身是確定的。例如投一個(gè)分幣,出現(xiàn)哪一面是隨機(jī)的,但分幣本身是確定的。如果所研究的事物本身是不確定的,這就是模糊數(shù)學(xué)所研究的范疇。例如,一個(gè)人年齡大了,稱年老,年小,或年青,但到底什么算年老,什么算年青呢?

又如兒子象父親,什么是象?象多少?

再說兒子象父親,兒子又象母親(部分象),難道父親象母親?1965年由I.A.Zadeh提出模糊數(shù)學(xué),它可以廣泛地應(yīng)于圖象識別,聚類分析,計(jì)算機(jī)應(yīng)用和社會科學(xué)。一、問題的提出客觀事物分成確定性和不確定性兩類,處理不確定性61例如洗衣機(jī)和空調(diào)器已用上模糊控制,本節(jié)將把模糊數(shù)學(xué)的一套方法引入聚類分析中來,稱為模糊聚類分析。docin/sundae_meng例如洗衣機(jī)和空調(diào)器已用上模糊控制,本節(jié)將把模糊數(shù)學(xué)的一套方法62二、數(shù)學(xué)模型設(shè)E為分明集(集合)1.定義:

稱為隸屬度函數(shù)(分得很清楚)要末是,要末不是對A為不分明集,

可以取0到1之間的任意一個(gè)實(shí)數(shù)值.當(dāng)愈接近于1.則的程度愈大.愈接近于0.則的程度愈小.二、數(shù)學(xué)模型設(shè)E為分明集(集合)632.模糊數(shù)學(xué)的運(yùn)算法則如A和B為不分明集,則有:①并,記為,

②交,記,③補(bǔ),記為,2.模糊數(shù)學(xué)的運(yùn)算法則643.模糊聚類模糊聚類同于一般聚類法(相似系數(shù)法或最小距離法)

以相似系數(shù)(相關(guān)系數(shù))法為例:

思路:①先算相似系數(shù)矩陣(相似矩陣)②將相似矩陣改造成模糊矩陣:即將原相似矩陣的元素壓縮到0,1之間③改造成模糊等價(jià)矩陣,取不同的標(biāo)準(zhǔn),可以得到不同的聚類標(biāo)準(zhǔn).3.模糊聚類65計(jì)算步驟:

第一步:計(jì)算相似的系數(shù)①先將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化令得到標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)為

顯然(標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的平均值一定為0)

得標(biāo)準(zhǔn)化后比數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為

②

計(jì)算步驟:②66

③相似矩陣

第二步:將相似系數(shù)壓縮到0,1之間令建立模糊矩陣

③相似矩陣67

第三步:建立模糊等價(jià)矩陣由于上述模糊矩陣不具有傳遞性:即

要通過褶積將模糊矩陣改造成模糊等價(jià)矩陣:

矩陣的褶積與矩陣乘法類似,只是將數(shù)的加.乘運(yùn)算改成并和交:

則褶積為:

68

于是有:

于是有:一直到為止此時(shí)即滿足模糊等價(jià)矩陣,具有傳遞性此時(shí)記它為:CR第四步:進(jìn)行聚類:

將矩陣CR的元素依大小次序排列,從1開始,沿著自大到小依次取值,定義:

可以得到若干個(gè)0,1元素構(gòu)成的CR矩陣,其中之1的表示這二個(gè)樣本劃為一類于是有:69三、一個(gè)實(shí)例

=----上海4月平均氣溫;----北京3月雨量

----5月地磁指數(shù);----5月500毫巴W型環(huán)流型日數(shù)予報(bào)對象:

華北五站(北京、天津、營口、太原、石家莊)7-8月降水量,僅用61-67年7年的資料(略)第一步:計(jì)算相似系數(shù)經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化計(jì)算相似系數(shù)矩陣R三、一個(gè)實(shí)例70第二步:建立模糊矩陣將相似系數(shù)壓縮到0,1之間得

第三步:建立模糊等價(jià)矩陣按上式計(jì)算:例如

第二步:建立模糊矩陣71得到,發(fā)現(xiàn),當(dāng)取0.92時(shí):

將,當(dāng)取0.65時(shí)有:

得到,發(fā)現(xiàn),當(dāng)72又將合并成一類,當(dāng)取0.64時(shí),有

此時(shí)將1,3,再與4,6并為一類,可分成三類再取=0.63時(shí)

這次再將,只有二類:,又將合并成一類,當(dāng)取0.64時(shí),有73

聚類圖:說明:(1)當(dāng)=0.65時(shí),共分成四類:(2)當(dāng)=0.64時(shí),共分成三類:(3)當(dāng)=0.63時(shí),共分成二類:

這是以按年份為基本類的分類圖

0.640.650.920.990.63聚類圖:說明:0.640.650.920.990.674§3.6馬爾可夫鏈及其應(yīng)用一、隨機(jī)過程二、馬爾可夫方程和步轉(zhuǎn)移矩陣三、遍歷性與平穩(wěn)分布四、馬氏鏈的應(yīng)用§3.6馬爾可夫鏈及其應(yīng)用一、隨機(jī)過程二、馬爾可夫方程和75一、隨機(jī)過程

描述一種隨機(jī)現(xiàn)象的變量,一般稱為隨機(jī)變量,記為,而隨著時(shí)間參數(shù)t或其它參數(shù)變化而變化的隨機(jī)變量,稱為隨機(jī)過程。定義1在給定的概率空間(,F,P)及實(shí)數(shù)集T,其中為樣本空間,F為分布函數(shù),P為概率,對于每一個(gè),有定義在(,F,P)上的隨機(jī)變量與之對應(yīng),則稱為隨機(jī)過程,一般簡化為。新編-【大學(xué)課件】統(tǒng)計(jì)方法建模76

定義2(馬爾可夫過程)設(shè)隨機(jī)過程,如果在已知時(shí)間t系統(tǒng)處于狀態(tài)x的條件下,在時(shí)刻(>t)系統(tǒng)所處狀態(tài)和時(shí)刻t以前所處的狀態(tài)無關(guān),則稱為馬爾可夫過程。從定義2可知馬氏過程只與t時(shí)刻有關(guān),與t時(shí)刻以前無關(guān)。定義3(馬爾可夫鏈)設(shè)隨機(jī)過程只能取可列個(gè)值把稱為在時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)若在已知時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)的條件下,在時(shí)刻()系統(tǒng)所處的狀態(tài)情況與t時(shí)刻以前所處狀態(tài)無關(guān),則稱為時(shí)間連續(xù),狀態(tài)離散的馬氏過程。而狀態(tài)的轉(zhuǎn)移只能在發(fā)生的馬氏過程稱為馬爾可夫鏈。從定義3可知,馬氏鏈?zhǔn)菭顟B(tài)離散,時(shí)間離散的馬爾可夫過程。定義2(馬爾可夫過程)設(shè)隨機(jī)過程,如果在77

定義4(轉(zhuǎn)移概率)設(shè)系統(tǒng)的離散狀態(tài)為設(shè)表示第次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)表示系統(tǒng)開始處于狀態(tài)。則稱 (6.1)為系統(tǒng)在k-1次轉(zhuǎn)移到狀態(tài),而第k次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率由定義可知

(6.2)

定義5若(2)式中有:(6.3)則稱為均勻馬氏鏈(與第幾次轉(zhuǎn)移無關(guān))

即定義4(轉(zhuǎn)移概率)設(shè)系統(tǒng)的離散狀態(tài)為78

定義6轉(zhuǎn)移概率與轉(zhuǎn)移矩陣令轉(zhuǎn)移概率為矩陣的第行,第j列元素則有

(6.4)

稱為馬氏鏈的轉(zhuǎn)移矩陣,其中

定義6轉(zhuǎn)移概率與轉(zhuǎn)移矩陣79例:一個(gè)分子在兩個(gè)附著壁之間的隨機(jī)游動,如圖1所示

(1)這個(gè)分子在x軸上1,2,…,S的位置上任意一點(diǎn),且只能在這S個(gè)位置上.(2)當(dāng)分子在1與S兩端點(diǎn)時(shí),分子被吸收,不再游動(吸收壁)(3)分子每轉(zhuǎn)移一次,只移動一步,且必須移動若時(shí)刻時(shí),分子在i處(),在一個(gè)單位時(shí)間后它轉(zhuǎn)移到i+1點(diǎn)處的概率為P(向右移動),它轉(zhuǎn)移到i-1點(diǎn)處的概率為向左移動)。問:在初始位置于i處,經(jīng)過5次轉(zhuǎn)移它落在j處的概率是多少?123i-1i…Sx軸滿足以下條件:例:一個(gè)分子在兩個(gè)附著壁之間的隨機(jī)游動,如圖1所示1280

分析:該系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率為:

這個(gè)均勻馬氏鏈系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣為

分析:該系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率為:81二、馬爾可夫方程和n步轉(zhuǎn)移矩陣設(shè)表示一個(gè)均勻馬氏鏈經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移由狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率,當(dāng)時(shí)討論(二步轉(zhuǎn)移)令事件B=“系統(tǒng)經(jīng)由二次轉(zhuǎn)移,由轉(zhuǎn)移到”

=“系統(tǒng)由轉(zhuǎn)移到,再由轉(zhuǎn)移到”

k=1,2,…,因此,

兩兩互不相容事件

(只與狀態(tài)時(shí)的時(shí)刻有關(guān))類似可證: (6.5)二、馬爾可夫方程和n步轉(zhuǎn)移矩陣82(5)式稱切普曼一柯爾莫哥洛夫方程由代數(shù)知識:A=

可見(5)式稱切普曼一柯爾莫哥洛夫方程83于是

(6.6)

類似可證得 (6.7)上例要求:只要例這個(gè)元素的值即可.

于是84三、遍歷性與平穩(wěn)分布定義7設(shè)為均勻馬氏鏈(與第n次轉(zhuǎn)移無關(guān)),對一切狀態(tài)i及j(或稱,存在不依賴于i的常數(shù),使得

(6.8)

則稱均勻馬氏鏈有遍歷性遍歷意義:遍歷性說明不論系統(tǒng)自那一個(gè)狀態(tài)出發(fā),當(dāng)轉(zhuǎn)移次數(shù)n充分大時(shí),轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的概率近似于某個(gè)常數(shù)。

三、遍歷性與平穩(wěn)分布85

定理1:對有限個(gè)狀態(tài)的均勻馬氏鏈,若存在一正整數(shù),使對一切有

(6.9)則此馬氏鏈?zhǔn)潜闅v的且(8)中的是如下方程組

(6.10)在條件下的唯一解

證略定理1:對有限個(gè)狀態(tài)的均勻馬氏鏈,若存在一正整86

定義8(平穩(wěn)性)：設(shè)為有限s個(gè)狀態(tài)的均勻馬氏鏈,若初始概率滿足全概率公式：

則稱為平穩(wěn)的,稱為的一個(gè)平穩(wěn)分布表示第k次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的絕對概率為初始狀態(tài)概率可以證明:

結(jié)論:當(dāng)馬氏鏈?zhǔn)瞧椒€(wěn)時(shí),初始概率等于絕對概率平穩(wěn)均勻馬氏鏈在任一時(shí)刻處于狀態(tài)的概率都相等,說明平穩(wěn)。定義8(平穩(wěn)性)：設(shè)為有限s個(gè)狀態(tài)的均勻馬氏87123

設(shè)

二次轉(zhuǎn)移矩陣為

則對任意說明是遍歷的。由定理1可知:馬氏鏈?zhǔn)瞧椒€(wěn)的即有:例2:例1一樣:沒有附著壁的隨機(jī)游動其余同例1123設(shè)例2:例1一樣:88由:

得

當(dāng)時(shí),游動時(shí)前進(jìn)一步與后退一步是等可能的,說明系統(tǒng)處于任一狀態(tài)的概率明顯相等由:89四、馬氏鏈的應(yīng)用應(yīng)用題1:機(jī)器生產(chǎn)零件時(shí),機(jī)器處于兩種可能狀態(tài)的:=“可調(diào)整狀態(tài)”----稱良好狀態(tài)

=“不可調(diào)整狀態(tài)”---稱不良狀態(tài)機(jī)器使用一天,它的轉(zhuǎn)移概率為

①問:在n天以后機(jī)器處于不良狀態(tài),良好狀態(tài)的概率為多少?②若有100臺機(jī)器:問配備多少個(gè)機(jī)修工人才能使機(jī)器待修的可能性至多為10%?(一天工人可以修理2臺機(jī)器)四、馬氏鏈的應(yīng)用90解:

即該系統(tǒng)是均勻馬氏鏈,且為遍歷:

可設(shè)由定理3.1:知

解方程組解:91答:不管各臺機(jī)器處于什么狀態(tài),到n天以后,機(jī)器處于①良好狀態(tài)為,處于不良狀態(tài)為②由于機(jī)器處于不良狀態(tài)的概率為,設(shè)n天后,100臺機(jī)器中有臺處于不良狀態(tài)

并設(shè)配備m個(gè)維修工人,即一天可修理臺機(jī)器:

利用泊松分布,得，可以泊松分布表,決定答:不管各臺機(jī)器處于什么狀態(tài),到n天以后,機(jī)器處于92

應(yīng)用題2:《是否要進(jìn)行咔啡推銷廣告》的決策為增加咔啡的推銷,打算進(jìn)行一次廣告宣傳,需要支付全部廣告費(fèi)用600萬元,假設(shè)國內(nèi)喝咔啡總?cè)藬?shù)為5000萬,增加一個(gè)飲用本公司的咔啡的顧客,本公司可獲利2元,通過廣泛的社會調(diào)查(調(diào)查費(fèi)用包括在廣告費(fèi)用中),知登廣告之前顧客改變牌子概率為:

到從

我廠牌子

別廠牌子我廠牌子0.80.2別廠牌子0.20.8在登了廣告之后顧客改變牌子的概率為

到從

我廠牌子

別廠牌子我廠牌子0.80.2別廠牌子0.30.7問:從經(jīng)濟(jì)效益的角度決定要否做這個(gè)廣告?應(yīng)用題2:《是否要進(jìn)行咔啡推銷廣告》的決策為增加咔啡93解:易知上述系統(tǒng)可以看成隨機(jī)游動,且是遍歷的,因而是平穩(wěn)馬氏鏈,存在著

利用

即較長時(shí)間以后,采用我公司牌子概率為0.5同法可得:

, 做了廣告以后,采用我廠的牌子的概率為0.6N=5000萬N0.6－N0.5=500萬×0.1=500萬答:在做了廣告以后,平均可增加顧告500萬獲利500萬×2元=1000萬元廣告費(fèi)600萬元純利潤1000萬-600萬=400萬決策:可以進(jìn)行該項(xiàng)廣告。解:易知上述系統(tǒng)可以看成隨機(jī)游動,且是遍歷的,94參考文獻(xiàn)：[1]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)高教出版社1985[2]中山大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)高教出版社1984[3]范大茵，陳永華概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙江大學(xué)出版社2019[4]陳希孺概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中國科技大學(xué)出版社1993[5]沈鳳麟，錢玉姜信號統(tǒng)計(jì)分析基礎(chǔ)中國科技大學(xué)出版社1989[6]概率統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過程武漢大學(xué)出版社[7]中國現(xiàn)場統(tǒng)計(jì)研究會三次設(shè)計(jì)組，全國總工會電教中心正交法和三次設(shè)計(jì)科學(xué)出版社1985[8]陳兆能等試驗(yàn)分析與設(shè)計(jì)上海交通大學(xué)出版社1991[9]韓之俊，章謂基質(zhì)量工程學(xué)科學(xué)出版社1991

參考文獻(xiàn)：953.7存貯論

在日常的生產(chǎn)和生活中存在著大量存貯現(xiàn)象。例如企業(yè)要有一定數(shù)量的原料存在倉庫中，以便生產(chǎn)的進(jìn)行，商店要有一定量的商品存在倉庫中，以便銷售，不致于經(jīng)常缺貨，等等。庫存量的多少直接影響到企業(yè)的效益，庫存過少則使生產(chǎn)或銷售發(fā)生中斷，減少了利潤；庫存量過大，又會造成積壓，增加成本。因此，合理的存貯策略具有重要的經(jīng)濟(jì)意義。

存貯論是研究存貯問題的理論和方法的一門學(xué)科。它用定量的方法描述存貯狀態(tài)，補(bǔ)充和需求，描述存貯狀態(tài)與費(fèi)用間關(guān)系，并確定合理的補(bǔ)充策略。

建立存貯模型的三個(gè)環(huán)節(jié)是補(bǔ)充策略，費(fèi)用函數(shù)和經(jīng)濟(jì)批量算式。3.7存貯論在日常的生產(chǎn)和生活中存在著大96存貯系統(tǒng)包含三個(gè)主要內(nèi)容即補(bǔ)充、存貯狀態(tài)和需求，如圖示：補(bǔ)充

存貯狀態(tài)需求

一般地需求是外在的，不受人的控制，存貯狀態(tài)由需求和補(bǔ)充決定。因此人們的決策對象只有補(bǔ)充。如何根據(jù)需求和倉庫容量、費(fèi)用等約束條件，確定補(bǔ)充策略使費(fèi)用目標(biāo)最小，這是存貯論研究的主要問題。

補(bǔ)充策略通常有三種：即T循環(huán)策略，T,S補(bǔ)充策略和T，S，S補(bǔ)充策略。T循環(huán)策略是指當(dāng)需求速度不變，補(bǔ)充時(shí)間為零的情況下，每隔時(shí)間T補(bǔ)充一次，每次補(bǔ)充批量Q。存貯系統(tǒng)包含三個(gè)主要內(nèi)容即補(bǔ)充、存貯狀態(tài)和需求，如圖示：補(bǔ)97T，S補(bǔ)充策略是指在需求速度變化，補(bǔ)充時(shí)間為0的情況下，每隔T時(shí)間盤點(diǎn)一次，并及時(shí)補(bǔ)充，每次補(bǔ)充到存貯水平S。因此每次補(bǔ)充量是變量，，是盤點(diǎn)時(shí)的存量。

T，S，S策略是指每隔T時(shí)間盤點(diǎn)一次，規(guī)定一個(gè)存貯保險(xiǎn)量S，當(dāng)存量不小于S時(shí)不補(bǔ)充，當(dāng)存量小于S時(shí)才補(bǔ)充，補(bǔ)充到定額水平（）。

研究存貯問題的目的是為了選用最優(yōu)的存貯策略(何時(shí)補(bǔ)充？補(bǔ)充多少？)使得存貯費(fèi)用最小。一般要考慮的費(fèi)用包括存貯費(fèi)(倉庫管理費(fèi)用，存貯設(shè)備費(fèi)用，保險(xiǎn)費(fèi)，利率等)，訂貨量(貨物價(jià)格，運(yùn)費(fèi)和訂購費(fèi))，生產(chǎn)費(fèi)，當(dāng)貨物由自己生產(chǎn)時(shí)就沒有了訂貨費(fèi)，而代之以生產(chǎn)費(fèi)，包括生產(chǎn)的固定費(fèi)用和可變費(fèi)用。缺貨損失費(fèi)，因存貯不足所產(chǎn)生的費(fèi)用，如收益的損失，停工損失，延誤交貨罰款等，費(fèi)用函數(shù)由上述費(fèi)用構(gòu)成。

T，S補(bǔ)充策略是指在需求速度變化，補(bǔ)充時(shí)間為098

在補(bǔ)充策略和費(fèi)用函數(shù)確定后，就要求出使費(fèi)用最小的訂貨批量Q，一般稱經(jīng)濟(jì)批量，經(jīng)濟(jì)批量算式是最佳批量Q的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

下面我們來討論各種情況下的存貯模型

：一、連續(xù)盤點(diǎn)，均勻需求的確定性存貯模型二、定期盤點(diǎn)，需求變化的情況三、單周期隨機(jī)存貯模型四、多周期隨機(jī)存貯模型在補(bǔ)充策略和費(fèi)用函數(shù)確定后，就要求出使費(fèi)用99一、連續(xù)盤點(diǎn)，均勻需求的確定性存貯模型

我們假定需求速度不變，補(bǔ)充采取T循環(huán)策略的問題模型1經(jīng)典的批量模型我們假定(i)不允許缺貨

(ii)需求速度為d

(iii)補(bǔ)充時(shí)間為0(iv)訂購費(fèi)或生產(chǎn)的固定費(fèi)用為a，單位貨物單位時(shí)間的存貯費(fèi)為h

考慮在一個(gè)周期T內(nèi)的費(fèi)用(我們不考慮貨物本身費(fèi)用，因?yàn)椴挥绊懳覀兊挠?jì)算)令時(shí)刻的存貯量，T=Q/d費(fèi)用＝訂購費(fèi)＋存貯費(fèi)(8.1)

一、連續(xù)盤點(diǎn)，均勻需求的確定性存貯模型我們假定需求速度不100在一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的費(fèi)用是一個(gè)周期內(nèi)費(fèi)用與周期數(shù)的積

，

得：

(8.2)

這是最優(yōu)批量，而兩次補(bǔ)充的最佳周期為

單位時(shí)間的極小費(fèi)用為

如考慮貨物本身成本，則

為單位貨物成本。在一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的費(fèi)用是一個(gè)周期內(nèi)費(fèi)用與周期數(shù)的積，得101模型2

連續(xù)補(bǔ)充的經(jīng)濟(jì)批量模型如果物品是廠內(nèi)生產(chǎn)，而不是外購的，則出現(xiàn)連續(xù)補(bǔ)充的情況，即補(bǔ)充是以速度

進(jìn)行的，這里。設(shè)初始存貯狀態(tài)，在內(nèi)補(bǔ)充以速度進(jìn)行，，則最大存貯量為

在以后我們停止補(bǔ)充，直到存貯量降到0，這作為一個(gè)周期。以后再重復(fù)上述補(bǔ)充辦法，周期T為

模型2連續(xù)補(bǔ)充的經(jīng)濟(jì)批量模型在以后我們停止102在一個(gè)周期內(nèi)費(fèi)用為

因此單位時(shí)間的費(fèi)用為

令，解得經(jīng)濟(jì)批量

最佳周期

最小費(fèi)用

最佳生產(chǎn)時(shí)間

在一個(gè)周期內(nèi)費(fèi)用為因此單位時(shí)間的費(fèi)用為令，解得經(jīng)濟(jì)批量最佳103模型3允許缺貨的經(jīng)濟(jì)批量模型與模型1比較，我們?nèi)サ袅四Ｐ?中的條件(i)，其余條件不變。設(shè)初始存貯量y(0)=S，經(jīng)過時(shí)間S/d，下降為0，但還不補(bǔ)充，出現(xiàn)缺貨現(xiàn)象，直到時(shí)間T時(shí)補(bǔ)充一個(gè)批量Ｑ，單位貨物單位時(shí)間的缺貨損失為b。

這里T=Q/d在[s/d，T]中存貯量為0，但我們假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)，我們?nèi)园沿浳镔u掉，但尚未發(fā)出，而在補(bǔ)充了批量Q后，把貨物發(fā)出，這樣存貯量恢復(fù)到S，而Q－S則是欠貨部分。

模型3允許缺貨的經(jīng)濟(jì)批量模型104由于缺貨，因此須支付損失費(fèi)，以補(bǔ)償對方的損失，一個(gè)周期內(nèi)的費(fèi)用為

單位時(shí)間內(nèi)的費(fèi)用為

現(xiàn)有兩個(gè)變量，一是批量Q，二是S。令

得由于缺貨，因此須支付損失費(fèi)，以補(bǔ)償對方的損失，一個(gè)周期內(nèi)的費(fèi)105

解得方程組

最大缺貨量

106模型4有批發(fā)折扣的經(jīng)濟(jì)批量模型現(xiàn)在我們考慮有批發(fā)折扣的問題，其余條件同模型1設(shè)貨物的單位成本與訂貨量有如下關(guān)系

貨物的單位成本是。代表價(jià)格折扣的分界點(diǎn)，一般有當(dāng)不考慮貨物本身的成本時(shí)，單位時(shí)間費(fèi)用為

(見模型1)模型4有批發(fā)折扣的經(jīng)濟(jì)批量模型107

現(xiàn)考慮貨物本身的成本，則

在不考慮批發(fā)折扣的因素時(shí)，最佳批量為在考慮批發(fā)折扣的因素時(shí)，。因?yàn)?，則不變或更大，即使不變，由模型1知費(fèi)用也會增加，因此必使費(fèi)用增加。當(dāng)時(shí)，若不變也會使費(fèi)用增加，若變小，則有增加，但變小，因此只能取這樣我們就能確定最佳批量，

現(xiàn)考慮貨物本身的成本，則108

先求出，并確定，使此時(shí)的總費(fèi)用為

再求出

比較，找到使總費(fèi)用最小的批量這時(shí)的Q就是最佳訂貨批量。二、定期盤點(diǎn)，需求變化的情況前面所述的各個(gè)模型都有一個(gè)要求，即需求速度不變，現(xiàn)在如果需求速度變化，則情況怎樣呢？先求出，并確定，使109設(shè)在計(jì)劃期內(nèi)，分成n個(gè)相等的階段，每個(gè)階段的需求速度不同，分別為，兩階段的間隔時(shí)間為T，不允許缺貨?，F(xiàn)按兩種不同的補(bǔ)充策略來討論。

1.

T，

S補(bǔ)充策略按時(shí)間間隔T定期盤點(diǎn)，并及時(shí)補(bǔ)充，每次的補(bǔ)充量將存貯量恢復(fù)到定額水平S，則在計(jì)劃期間的總費(fèi)用為為了保證不缺貨，則設(shè)在計(jì)劃期內(nèi)，分成n個(gè)相等的階段，每個(gè)階段的需求速度不同，110所以令各個(gè)階段的訂貨量分別為

2.T，

S，

S策略在這里我們通過一個(gè)例子來說明解此類問題的方法例：某鞋店出售橡膠雪靴。過去的經(jīng)驗(yàn)表明銷售旺季只有6個(gè)月，從10月1日到3月31日，商店對明年的需求預(yù)測如下：月份101112123需求402030403020所以月份1011121111雪靴進(jìn)價(jià)每雙4元，但供應(yīng)者只依整批供應(yīng)，每批10，

20，

30，

40，

50或60雙，每批定貨提供批發(fā)折扣批量102030405060折扣％5510202530

每次訂貨費(fèi)10元，每雙雪靴每月存貯費(fèi)0.2元，且熱銷季節(jié)前后存貯都為0，假定每月需求是常數(shù)，存貯費(fèi)按月存貯量計(jì)算，求使總費(fèi)用最小的訂貨方案。[解]本題中無存貯限制，每月補(bǔ)充量可以只滿足本月需求，也可以滿足以后幾個(gè)月的需求，以后可以補(bǔ)充，也可以不補(bǔ)充，這樣由于情況復(fù)雜，用前面的方法求解有困難，但我們可以用動態(tài)規(guī)劃的方法來求解。雪靴進(jìn)價(jià)每雙4元，但供應(yīng)者只依整批供應(yīng)，每批10，20，112

則狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為

階段效益函數(shù)為

這里月的訂貨費(fèi)用，包括訂購費(fèi)和貨物成本

113訂貨數(shù)折

扣

%10548205863010118402013850251606030178動態(tài)規(guī)劃基本方程

訂貨數(shù)折扣%105482058630101184114根據(jù)動態(tài)規(guī)劃基本方程

我們經(jīng)計(jì)算可得如下結(jié)果

所以

根據(jù)動態(tài)規(guī)劃基本方程我們經(jīng)計(jì)算可得如下結(jié)果115新編-【大學(xué)課件】統(tǒng)計(jì)方法建模116新編-【大學(xué)課件】統(tǒng)計(jì)方法建模117

這樣就得最優(yōu)補(bǔ)充策略最小總費(fèi)用＝

118三、單周期隨機(jī)存貯模型

前面我們考慮的是需求是確定的情形，但在很多情況下需求實(shí)際上是隨機(jī)的?，F(xiàn)在我們來考慮需求隨機(jī)的問題，這里我們考慮的是在需求過程中只進(jìn)一次貨的情況，這種情況適用于季節(jié)性強(qiáng)，更新快，不易保存的商品如報(bào)紙就是一個(gè)典型例子。這時(shí)的問題是如何確定適當(dāng)?shù)挠嗀浟縌，因?yàn)橛嗀浱?，銷售不完就必須處理掉，造成損失；而訂貨太少又會造成缺貨損失。－－表示每單位商品的成本

S－－表示每單位商品的售價(jià)

v－－表示當(dāng)銷售不掉時(shí)，每單位商品的處理價(jià)，且v可正可負(fù)－－訂貨量

a－－訂購費(fèi)用

h－－單位商品缺貨損失

P－－單位商品缺貨損失

三、單周期隨機(jī)存貯模型119

需求量，是一個(gè)隨機(jī)變量

需求量X的概率下面我們建立利潤函數(shù)，這里銷售期為，銷售速度均勻因此期望利潤需求量，是一個(gè)隨機(jī)變量因此期望利潤120現(xiàn)在要求出，使極大，由于是離散的，不能用求導(dǎo)數(shù)的方法，但我們可以仿照進(jìn)行。

令

令

則得

(8.3)上式是和離散的時(shí)候的結(jié)果，若和是連續(xù)的，設(shè)的密度函數(shù)為，則得現(xiàn)在要求出，使極大，由于是離散的，不能121

令得

(8.4)解(