南昌大學數學物理方法期末考試試卷2009B卷答案

第第6頁共6頁南昌大學2008～2009學年第二學期期末考試試卷參考答案及評分標準 試卷編號：6031卷課程編號：H55020190 課程名稱： 數學物理方法 考試形式：閉適用班級：物理系07各專業(yè)姓名： 學號： 班級：學院： 專業(yè)： 考試日期：題號 一 題分 45 得分

三 四 五 六 七 八 九 十 總15 100

累分人簽名、本試卷共6換。2、考試結束后，考生不得將試卷、答題紙和草稿紙帶出考場。(3分，共45分)得分 評閱人211.復數15i/(2 1＋i ,ln 1i1ln2i(4 8

n)(n。復變函數f(z)u(x,y)iv(x,y)可導的充分必要條件為 偏導數存且連續(xù)并滿足柯西黎曼條件 。若復變函數f(z)在區(qū)域B上解析，其實部為x2y2，則其虛部為 B（備選案：A.xy；B.2xy；C.x2y2；D.xy。4.11

xsinx(xdx 0 。3

ez2008z|z|2009

dzi；z|2010

ez20092z9

dz0。f(z

z2zz23z

有 1 個極點，為 1 階極點，在極點處的留數為 －2 。閉區(qū)域E的內點為 某一鄰域及其本身均屬于E的點 ；境界點任一鄰域及其本身均部分屬于，部分不屬于點集E的點 。雙邊冪級數為 包含負冪項的冪級數 ，其主要部分為 負冪分 ，解析部分為 正冪部分 。在原點的鄰域上，

1

可展開為1z2z4

12

可展開為1 z z 1 3 7 11zz22(2)(2)224z8z2

kk0

2k

)zk。10函數f(t)0

(|t|)F()2sin/。(|t|11.1et 的拉普拉斯變換為1/p2/(p1/(p2。數學物理方程定解問題的適定性是指解的_存在性 ， 唯一性 ， 穩(wěn)定性_。一根兩端(左端為坐標原點而右端xl）固定的弦，用手在離弦左端長為l/3朝橫向撥開距離h，然后放手任其振動。橫向位移u(xt的初始條件為u(x,0)/l0xl/和u(x,0)3h(lx/2ll/3xlu(x,0)0.。t偏微分方程uxxxyyyxy

xy10的類型為 A (備選答案：A.B.拋物型C.D.函數變換為4xy,2xy。（”中打√，錯誤的打×。若函數f(z)在z點解析，則函數f(z)在z點可導，反之亦然。 （×）復通區(qū)域上的回路積分不一定為零。同樣，單通區(qū)域上的回路積分也可以不為零。 （√）設z為復數，則limz 0。 （×）zez(1040分)得分 評閱人說明：要求給出必要的文字說明和演算過程。

dz 。z2(z1)(z5)|z|3解：被積函數f(z) 1 有兩個極點對積分有貢獻：單極點z1，兩階極z2(z1)(z點z0。 (2分)留數分別為Resf(0)6/Resf1/4

(6分)根據留數定理得|z|3

dzz2(z1)(z

(0)Resf

i (250用留數定理計算實積分 1 dx。4x2解：根據留數定理有：I 1 dx{f(z) 1 在上半平面所有奇點留數之和｝(2分)4x2 4z2所以IiResf(2i) (3ilim(z2i)

(3分)z2i 4z22i1

(24i 2

yz1dt dt

y(0)1dtn!

zetn!

z(0)2已知[tnest]

p

n1

，n]

pn1

。(可使用拉普拉斯變換或其它任何方法)。解：對方程拉普拉斯變換并化簡得py(p)(p1)z(p)11py(p)z(p) 1

11p

(5分)解之得

y(p)

p11 2 1 (p1)2 p1 p 1 z(p)

(2分)由拉普拉斯逆變換得

(p)2 p1y(t)tet2etz(t)tet2et (3XxXX0X'(0)X'(l)0，其中可為任意實數，試根據的可能取值求解方程，并根據邊界條件確定本征值和本征函數。解：可分為三種情況討論：1) 0 X(xC1

exC2

exX(x0，顯然沒有意義。 (3分)2) 0X(x)C1

xC2

，代入邊界條件得C1

0于是X(x)C, C為2 2任意常數。 (2分)3) 0X(x)C1

cos xC2

sin x.,代入邊界條件得 C 0,

0, (22C2

sin

l

cos

l)

0.

sin

0.1 2 當 的取值使得sin l0 時必有C1

0，這和上兩種情況一樣沒有意義。當 的取值使得sin l0 時，C1此時由sin l0 得到本征值:

不必為零，這種是有意義的情況。l n n2 l2

).綜合2）和3）兩種情況得本征值

n2 l2

).此時，本征解為X(x)C1

cosn(5l三、數學物理定解問題(共15分)分考查半無限長弦定解問題u 0初始條件為u 00tt xx t0 tt0端點處邊界條件為ux0

sint。尋找泛定方程的一個特解v,再作變換u vw,使得w的邊界條件滿足w 0；x0利用w的邊界條件滿足將該問題延拓為達朗貝爾公式定解問題；給出達朗貝爾公式，并求解該問題。解（1）vsintcosx (2分)（2）作變換uvw后，w的定解問題為w w 0，w 0，tt xx x0w 0t0

tt

根據邊界條件做奇延拓即假定 x0時，wt0

0，

tt

。 (2分)（3）若方程utt

a2uxx

0的初始條件為u|t0

(x),u|tt0

，則其解為u(x,t)

1

(xat)

1xat

()d，此即達朗貝爾公式。-(2分)2 2

xat根據此公式，容易求得，當xt時，u 0，當xt，u x)-(2分)2.矩形區(qū)域0xa,0yb上的定解問題uxx

2,(0xa,0yb);| a,u| 0x0u| (uy0

xax),u| (x)yb是否可直接利用分離變數法求解？為什么？然后將之變換為可利用分離變數法求解的問題（提示尋找滿足泛定方程和邊界條件的一個特解v,再作變換uvw, 使wwxw）(本小題7分)解：不可，因為方程非齊次。 (3分)方程和邊界條件一個特解vx2CxD（C,D為