材料加工過程的數(shù)值模擬之溫度場數(shù)值模擬

材料加工過程的數(shù)值模擬第二章：溫度場數(shù)值模擬魏艷紅教學(xué)目的掌握基本的傳熱知識了解熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢了解傳熱問題的數(shù)值計算方法掌握實際熱加工過程溫度場數(shù)值模擬的基本步驟先修課程傳熱學(xué)高等數(shù)學(xué)線性代數(shù)數(shù)值分析熱加工基本理論材料基礎(chǔ)知識參考書目鑄件凝固過程數(shù)值模擬，陳海清等，重慶大學(xué)出版社，1991（TG21-C4-2）焊接熱過程數(shù)值分析，武傳松，哈工大出版社，1990（TG402-N74）計算機在鑄造中的應(yīng)用，程軍，機械工業(yè)出版社，1993（TG248-C73）計算傳熱學(xué)，郭寬良，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1988（TK124-43-G91）焊接熱效應(yīng)，[德]D.拉達伊，機械工業(yè)出版社，19972-1熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀

熱加工過程模擬的意義材料熱加工鑄造：液態(tài)流動充型、凝固結(jié)晶等；鍛壓：固態(tài)流動變形、相變、再結(jié)晶等；焊接：熔池金屬熔化、凝固結(jié)晶；熱影響區(qū)金屬經(jīng)歷不同的熱處理過程；熱處理：相變、再結(jié)晶等；特點：復(fù)雜的物理、化學(xué)、冶金變化熱加工過程目的獲得一定的形狀、尺寸、成分和組織成為零件、毛坯、結(jié)構(gòu)2-1熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀

熱加工過程模擬的意義熱加工過程的結(jié)果成型和改性：使材料的成分、組織、性能最后處于最佳狀態(tài)熱加工工藝設(shè)計根據(jù)所要求的組織和性能，制定合理的熱加工工藝，指導(dǎo)材料的熱加工過程熱加工工藝設(shè)計存在的問題復(fù)雜的高溫、動態(tài)、瞬時過程：難以直接觀察，間接測試也十分困難建立在“經(jīng)驗”、“技藝”基礎(chǔ)上2-1熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀

熱加工過程模擬的意義解決方法熱加工工藝模擬技術(shù)：在材料熱加工理論指導(dǎo)下，通過數(shù)值模擬和物理模擬，在實驗室動態(tài)仿真材料的熱加工過程，預(yù)測實際工藝條件下的材料的最后組織、性能和質(zhì)量，進而實現(xiàn)熱加工工藝的優(yōu)化設(shè)計熱加工過程模擬的意義認識過程或工藝的本質(zhì)，預(yù)測并優(yōu)化過程和工藝的結(jié)果（組織和性能）與制造過程結(jié)合，實現(xiàn)快速設(shè)計和制造2-1熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀

熱加工過程模擬的發(fā)展歷程60年代（起源于鑄造）丹麥的Forsund首次采用有限差分計算了鑄件凝固過程的傳熱。美國隨后進行了大型鑄鋼件溫度場的數(shù)值模擬70年代（擴展）更多的國家加入擴展到鍛壓、焊接和熱處理80年代以后（迅速發(fā)展）1981年開始，每兩年舉辦一次鑄造和焊接過程的數(shù)值模擬國際會議1992年開始，每兩年舉辦一次焊接過程數(shù)值模擬國際大會目前（成為研究熱點）國家攀登計劃973基礎(chǔ)研究計劃2-1熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀

熱加工過程模擬的發(fā)展趨勢宏觀中觀微觀宏觀：形狀、尺寸、輪廓中觀：組織和性能微觀：相變、結(jié)晶、再結(jié)晶、偏析、擴散、氣體析出單一、分散耦合集成流場溫度場溫度場應(yīng)力/應(yīng)變場溫度場組織場應(yīng)力/應(yīng)變場組織場2-1熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀

熱加工過程模擬的發(fā)展趨勢重視提高數(shù)值模擬的精度和速度重視精確的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)獲得與積累與生產(chǎn)技術(shù)其他技術(shù)環(huán)節(jié)集成，成為先進制造技術(shù)的重要組成與產(chǎn)品設(shè)計系統(tǒng)集成與零件加工制造系統(tǒng)集成2-1熱熱加工工過程程模擬擬的研研究現(xiàn)現(xiàn)狀部分商商業(yè)軟軟件鑄造PROCAST,SIMULOR鍛壓DEFORM,AUTOFORGE,SUPERFORGE通用MARC,ABAQUS,ADINA,ANSYS2-2溫度度場及及傳熱熱的基基本概概念溫度場場定義義在x、y、z直角角坐標標系中中，連連續(xù)介介質(zhì)各各個地地點在在同一一時刻刻的溫溫度分分布，，叫做做溫度度場。。T=f(x,y,z,t)穩(wěn)定溫溫度場場T=f(x,y,z)不穩(wěn)定定溫度度場T=f(x,y,z,t)等溫面面等溫線線熱量傳傳遞的的三種種基本本形式式/熱熱傳導(dǎo)導(dǎo)定義：：物體體各個個部分分之間間不發(fā)發(fā)生相相對位位移時時，依依靠分分子、、原子子及自自由電電子等等微觀觀粒子子的熱熱運動動而產(chǎn)產(chǎn)生的的熱量量傳遞遞。表達式式：傅立葉葉定律律：矢量表表示：：熱量傳傳遞的的三種種基本本形式式/熱熱對流流定義運動的的流體體質(zhì)點點發(fā)生生相對對位移移而引引起的的熱轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移現(xiàn)現(xiàn)象遵循的的定律律牛頓定定律公式：：熱量傳傳遞的的三種種基本本形式式/熱熱輻射射定義物質(zhì)受受熱后后，內(nèi)內(nèi)部原原子震震動而而出現(xiàn)現(xiàn)的一一種電電磁波波能量量傳遞遞。遵循定定律斯蒂芬芬-波波爾茲茲曼定定律公式：：T：熱熱力學(xué)學(xué)溫度度（k）C：輻輻射系系數(shù)，，C=C0,C0=5.67W/m2.K4兩物體體之間間熱輻輻射交交換：：QR=C0(T14-T24)導(dǎo)熱的的數(shù)學(xué)學(xué)描述述建立基基礎(chǔ)：：傅立立葉定定律和和能量量守恒恒定律律在d時間內(nèi)內(nèi)，沿沿X方方向?qū)?dǎo)入微微元體體的熱熱量：：Qx=qx·dA·d=qx·dy··dz··d在d時間內(nèi)內(nèi)，沿沿X方方向?qū)?dǎo)出微微元體體的熱熱量：：Qx+dX=qx+dX·dA·d=qx+dX·dy··dz··d在d時間內(nèi)內(nèi)，沿沿X方方向在在微元元體內(nèi)內(nèi)積蓄蓄的熱熱量：：dQx=Qx-Qx+dX=(qx-qx+dX)dy··dz··d=–dqx·dy··dz··d同理：：dQy=–dqy·dx··dz··ddQz=–dqz·dx··dy··d導(dǎo)熱的的數(shù)學(xué)學(xué)描述述微元體體中總總的積積蓄熱熱量：：dQ=dQx+dQy+dQz=–(dqx·dy··dz··d+dqy·dx··dz··d+dqz·dx··dy··d)另：導(dǎo)熱的的數(shù)學(xué)學(xué)描述述導(dǎo)熱的的數(shù)學(xué)學(xué)描述述一維不不穩(wěn)定定導(dǎo)熱熱：二維不不穩(wěn)定定導(dǎo)熱熱：三維穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)導(dǎo)熱：：一般表表達式式：導(dǎo)熱的的數(shù)學(xué)學(xué)描述述初初始條條件和和邊界界條件件初始條條件：：物體體開始始導(dǎo)熱熱瞬時時的溫溫度分分布，，T=f(x,y,z)（（=0）邊界條條件：：物體體表面面與周周圍介介質(zhì)交交換的的情況況第一類類邊界界條件件：已已知物物體表表面溫溫度Tw隨時間間變化化關(guān)系系。Tw=f()第二類類邊界界條件件：已已知物物體表表面比比熱流流量qw隨時間間變化化關(guān)系系。qw=f()第三類類邊界界條件件：已已知物物體周周圍介介質(zhì)溫溫度Tf\物體表表面溫溫度（（Tw）以及及物體體表面面與周周圍介介質(zhì)間間的放放熱系系數(shù)。qw=（Tw-Tf\）2-3傳熱熱問題題的數(shù)數(shù)值計計算方方法分析解解法定義：：以數(shù)數(shù)學(xué)分分析為為基礎(chǔ)礎(chǔ)，求求解導(dǎo)導(dǎo)熱微微分方方程的的定解解問題題。特點：：求得得的結(jié)結(jié)果為為精確確解不足：：只能能求解解比較較簡單單的導(dǎo)導(dǎo)熱問問題，，而對對于幾幾何形形狀復(fù)復(fù)雜、、變物物性及及復(fù)雜雜的邊邊界條條件的的導(dǎo)熱熱問題題，難難以計計算。。數(shù)值解解法定義：：是一一種以以離散散數(shù)學(xué)學(xué)為基基礎(chǔ)，，以計計算機機為工工具的的求解解方法法。特點：：不能能獲得得未知知量的的連續(xù)續(xù)函數(shù)數(shù)，而而只是是某些些代表表性地地點的的近似似值步驟種類：：有限限差分分法、、有限限元法法、邊邊界元元法、、有限限容積積法等等2-4不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)導(dǎo)熱的的有限限差分分法解題步步驟分析和和簡化化物理理模型型判斷問問題屬屬于穩(wěn)穩(wěn)態(tài)問問題還還是非非穩(wěn)態(tài)態(tài)問題題有無內(nèi)內(nèi)熱源源適宜的的坐標標判斷邊邊界條條件的的類型型數(shù)學(xué)模模型的的建立立一般模模型：：物性參參數(shù)為為常數(shù)數(shù)：非穩(wěn)態(tài)態(tài)無內(nèi)內(nèi)熱源源物性參參數(shù)為為常數(shù)數(shù)：2-4不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)導(dǎo)熱的的有限限差分分法解題步步驟穩(wěn)態(tài)無無內(nèi)熱熱源：：采用圓圓柱坐坐標時時，若若物性性參數(shù)數(shù)為常常數(shù)，，由于于:2-4不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)導(dǎo)熱的的有限限差分分法解題步步驟區(qū)域和和時域域的離離散區(qū)域的的離散散：將將幾何何連續(xù)續(xù)點的的區(qū)域域用一一些列列網(wǎng)格格線分分割開開，形形成一一系列列單元元。節(jié)點：：每個個單元元的中中心稱稱為節(jié)節(jié)點（（內(nèi)節(jié)節(jié)點、、邊界界節(jié)點點）步長：：節(jié)點點之間間的距距離（（等步步長、、變步步長）），表表示為為x,y,z時域的的離散散：非非穩(wěn)態(tài)態(tài)問題題將時時間分分割成成時間間段時間步步長：：每個個計算算時間間間隔隔的長長短，，2-4不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)導(dǎo)熱的的有限限差分分法解解題題步驟驟內(nèi)節(jié)點和邊邊界節(jié)點差差分方程的的建立內(nèi)節(jié)點一般般采用直接接法：即由由導(dǎo)熱微分分方程直接接用差商代代替微商，，導(dǎo)出遞推推公式，也也可采用熱熱平衡法；；邊界節(jié)點一一般采用熱熱平衡法，，視具體邊邊界建立相相應(yīng)的能量量方程選擇求解差差分方程組組矩陣的計計算方法編寫計算程程序計算計算結(jié)果的的處理和分分析討論2-4不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)熱的的有限差分分法

一、、有限差分分的概念微商和差商商的定義若T(x)是連續(xù)函函數(shù)，則它它的導(dǎo)數(shù)為為：稱為微商，，稱為為差商，兩兩者之差代代表以差商商代替微商商帶來的誤誤差。二、差商的的形式1、向前差差商表示第5項項以后各項項的代數(shù)和和，其值與與（x））4的值屬同一一個數(shù)量級級。二、差商的的形式2、向后差差商3、中心差差商以上兩式相相加除2，，得到中心心差商：二、差商的的形式4、二階差差商三、建立內(nèi)內(nèi)節(jié)點差分分方程/一一維系統(tǒng)1、模型：：0，0xL2、初始條條件：T(x,0)=(x)3、邊界條條件：T(0,)=1()，，T(L,)=2()4、區(qū)域離離散距離步長：：x=xi-xi-1,xi=(i-1)x時間步長：：=n-n-1,n=nTin=T(xi,n)三、建立內(nèi)內(nèi)節(jié)點差分分方程/一一維系統(tǒng)5、有限差差分方程建建立1）顯示差差分點（i,n）的導(dǎo)熱熱方程為：：三、建立內(nèi)內(nèi)節(jié)點差分分方程三、建立內(nèi)內(nèi)節(jié)點差分分方程/一一維系統(tǒng)2)隱式差差分格式溫度對距離離的二階偏偏微商是對對應(yīng)時刻n+1的，，而溫度對對時間的一一階偏微商商是對應(yīng)時時刻n的。。差分方程程為：截斷誤差：：O[+（（x）2]，整理后后：三、建立內(nèi)內(nèi)節(jié)點差分分方程以l=5為例，，推導(dǎo)求解解隱式差分分方程：n=1時刻刻：三、建立內(nèi)內(nèi)節(jié)點差分分方程n=2時刻刻：三、建立內(nèi)內(nèi)節(jié)點差分分方程n+1時刻刻：三、建立內(nèi)內(nèi)節(jié)點差分分方程c)顯式和和隱士差分分格式的比比較計算格式的的差別顯式在n+1時刻的的溫度由n時刻的3個已知溫溫度求出，，不要求解解方程組。。隱式格式中中，由于一一個方程中中包含n+1時刻的的3個未知知溫度，只只有把n+1時刻的的所有節(jié)點點方程列出出后接聯(lián)立立方程，才才能求出n+1時刻刻所有節(jié)點點的溫度。。穩(wěn)定性的差差別顯式差分的的格式穩(wěn)定定是有條件件的，穩(wěn)定定條件：F01/2隱式差分格格式的方程程式無條件件穩(wěn)定的對計算步長長的要求對于顯式差差分格式，，穩(wěn)定性條條件制約時時間步長由由距離步長長所決定：：（x）2/2對于隱式差差分格式，，時間步長長和距離步步長都可以以任意取三、建立內(nèi)內(nèi)節(jié)點差分分方程/二二維系統(tǒng)假設(shè)熱物理理性能參數(shù)數(shù)為常數(shù)，，且無內(nèi)熱熱源。節(jié)點（i,j）處的的溫度表示示成Ti,j，對于0<x<L1和0<y<L2的的矩形區(qū)域域內(nèi)，將二二維不穩(wěn)定定導(dǎo)熱方程程式應(yīng)用于于節(jié)點（i,j）可可以寫成：：三、建立內(nèi)內(nèi)節(jié)點差分分方程若x=y，則：：四、邊界節(jié)點差分方方程/熱平平衡法基本思想：：將能量守守恒原則應(yīng)應(yīng)用到每個個單元體，，不再從微微分方程入入手，而是是將導(dǎo)熱的的基本定律律直接近似似。四、邊界節(jié)點差分方方程絕熱給定熱流密密度對流邊界給定溫度輻射混合四、邊界節(jié)點差分方方程1、絕熱邊邊界相鄰單元體體流入（i,j）單單元體的熱熱量：四、邊界節(jié)點差分方方程2、給定熱熱流密度qr的邊界相鄰單元體體流入（i,j））單元體的熱熱量：四、邊界節(jié)點差分方方程3、對流邊邊界已知對流放放熱系數(shù)c及周圍介質(zhì)質(zhì)溫度Tf四、邊界節(jié)點差分方方程4、給定溫溫度邊界5、輻射邊邊界7、混合邊邊界差分法：以以差分代替替微分，對對基本方程程離散，建建立以節(jié)點點參數(shù)為未未知量的線線性方程組組，而求得得近似解。。優(yōu)點：線性性方程組的的計算格式式比較簡單單不足：差分分格式大多多采用正方方形、矩形形和正三角角形有限元法：：對連續(xù)體體本身進行行離散，根根據(jù)變分原原理求解問問題優(yōu)點：適合合于各種復(fù)復(fù)雜形狀和和復(fù)雜邊界界條件的數(shù)數(shù)值計算不足：計算算過程復(fù)雜雜2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)熱的的有限元解解法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)熱的的有限元解解法

一、、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1、變分方方法研究泛函的的極大值和和極小值的的方法1）泛函定定義給定兩點1和2，連連接這兩點點曲線的長長度:這樣就建立立了一個函函數(shù)關(guān)系：：I=I[y(x)]，稱I是是y(x)的泛函。。自變量是是個函數(shù)，，因變量是是普通變量量。2）、泛函函和函數(shù)2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)熱的的有限元解解法

一、、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)函數(shù)f(x)泛函I[y(x)]變量f變量I自變量x函數(shù)y(x)x的增量xy(x)的變分y函數(shù)的微分dfdf泛函的變分I2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)熱的的有限元解解法

一、、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3）、泛函函和變分研究泛函極極值的方法法就是變分分法。函數(shù)f=f(x）泛函I=I[y(x)]如果對于變量x的某一域中的每一個x,f都有一值與之對應(yīng)，則變量f叫做x的函數(shù)，記為f(x）如果對于某一類函數(shù)y(x)中的每一個函數(shù)y(x),I都有一值與之對應(yīng)，則變量I叫做依賴于函數(shù)y(x)的泛函，記為I[y(x)]如果對于x的微小改變，有函數(shù)f(x)的微小改變與之對應(yīng)，則函數(shù)f(x)是連續(xù)的。如果對于y(x)的微小改變，有泛函的微小改變與之對應(yīng)，則泛函I[y(x)]是連續(xù)的。如果可微函數(shù)f(x)的內(nèi)點x=x0處達到極大或極小值，則在這點df=0如果變分的泛函I[y(x)]的內(nèi)點y=y0(x)處達到極大或極小值，則在這點I=02-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)熱的的有限元解解法

一、、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、差值函函數(shù)線性差值：：求過曲線線y(x)上已知點點A(xi,yi)、B(xi+1,yi+1)的直線方方程：3、形函數(shù)數(shù)形函數(shù)只和和單元的形形狀、節(jié)點點配置區(qū)間間大小和差差值方式有有關(guān)，而和和節(jié)點未知知量無關(guān)，，故統(tǒng)稱其其為形函數(shù)數(shù)。2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)熱的的有限元解解法

一、、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1）一維不不穩(wěn)定導(dǎo)熱熱求解區(qū)間[0，L]劃分為有有限個互補補重疊的小小區(qū)間。構(gòu)造的差值值函數(shù)：形函數(shù)：只和單元的的形狀、節(jié)節(jié)點配置區(qū)區(qū)間大小和和差值方式式有關(guān)，而而和節(jié)點未未知量無關(guān)關(guān)。故統(tǒng)稱稱其為形狀狀函數(shù)或形形狀因子。。2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)熱的的有限元解解法

一、、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對于三角形形單元，通通常假設(shè)單單元e上的的溫度是x,y的線線性函數(shù)。。2）二維不不穩(wěn)定導(dǎo)熱熱2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)熱的的有限元解解法/數(shù)學(xué)學(xué)基礎(chǔ)2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)熱的的有限元解解法/數(shù)學(xué)學(xué)基礎(chǔ)2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)熱的的有限元解解法

一、、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)用有限元法法求解二維維不穩(wěn)定導(dǎo)熱問題時時，采用三三角形單元離散化并并通過線性性差值所求得的形函函數(shù)(Ni,Nj,Nm)。2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)熱的的有限元解解法

一、、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形函數(shù)(Ni,Nj,Nm)的特點：：Ni,Nj,Nm是x,y的線性函函數(shù)，與插插值函數(shù)具具有同樣的的類型Ni（xi,yi）=1,Ni（xj,yj）=Ni（xm,ym）=02-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)熱的的有限元解解法

一、、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)熱的的有限元解解法二、有限元元發(fā)的解題題思想和步步驟1、思想從數(shù)學(xué)角度度講，某一一泛函取極極值所需要要的充要條條件等價于于求解相應(yīng)應(yīng)的微分方方程式加邊邊界條件。。從而可利利用泛函取取極值的變變分計算來來代替微分分方程及邊邊界條件的的求解。2、步驟1）找到導(dǎo)導(dǎo)熱微分方方程對應(yīng)的的泛函I為T(x,y)的的函數(shù)2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)熱的的有限元解解法二、有限元元法的解題題思想和步步驟2）單元劃劃分將區(qū)域劃分分成有限個個三角形單單元（例如如，分成E個單元，，n個節(jié)點點）溫度場T(x,y)離散成T1,T2……Tn等n個節(jié)節(jié)點溫度，，則泛函I[T(x,y)]實際上是是一個多元元函數(shù)：I(T1,T2,………,Tn)，I[T(x,y)]的變分問問題則轉(zhuǎn)化化為多元函函數(shù)求極值值問題2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)熱的的有限元解解法二、有限元元發(fā)的解題題思想和步步驟建立溫溫度的的差值值函數(shù)數(shù)對于三三角形形單元元：T=f(Ti,Tj,Tm)T=NiTi+NjTj+NmTm單元變變分計計算2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)導(dǎo)熱的的有限限元解解法二、有有限元元發(fā)的的解題題思想想和步步驟總體合合成得到線線性方方程組組。求解線線性方方程組組2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)導(dǎo)熱的的有限限元解解法三三、內(nèi)單單元計計算格格式的的建立立1、一一維系系統(tǒng)(略去去課堂堂不講講)1）模模型：：2）泛泛函：：3)溫溫度差差值函函數(shù)2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)導(dǎo)熱的的有限限元解解法二、內(nèi)內(nèi)單元元計算算格式式的建建立4）單單元變變分計計算4）單單元變變分計計算4）單單元變變分計計算5）總總體合合成5）總總體合合成2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)導(dǎo)熱的的有限限元解解法二維熱熱傳導(dǎo)導(dǎo)1、數(shù)數(shù)學(xué)模模型無內(nèi)熱熱源、、假定定熱物物理性性能為為常數(shù)數(shù)。2、泛泛函對應(yīng)的的泛函函：目標：：尋找找溫度度場T，使使I=0，，即：：尋找找是泛泛函達達到極值值的函函數(shù)。。2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)導(dǎo)熱的的有限限元解解法二維熱熱傳導(dǎo)導(dǎo)3、區(qū)區(qū)域離離散化化將一個個矩形形區(qū)域域，劃劃分成成多個個直角角三角角形。。設(shè)直角角邊長長為h，(x=y=h)節(jié)點x=rh,y=sh(r,s為正正整數(shù)數(shù))此節(jié)點點記為為(r,s)，，（相相當(dāng)于于（x,y）點點）2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)導(dǎo)熱的的有限限元解解法/二維維熱傳傳導(dǎo)4、溫溫度差差值函函數(shù)的的建立立對于三三角形形單元元T=f(Ti,Tj,Tm)T=NiTi+NjTj+NmTm5、單單元變變分的的計算算將求解解區(qū)域域分成成有限限個單單元后后，泛泛函I(T)變變成各各個單單元內(nèi)內(nèi)泛函函的積積分。。2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)導(dǎo)熱的的有限限元解解法/二維維熱傳傳導(dǎo)5、單單元變變分2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)導(dǎo)熱的的有限限元解解法二二維熱熱傳導(dǎo)導(dǎo)（5、、單元元變分分）2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)導(dǎo)熱的的有限限元解解法/二維維熱傳傳導(dǎo)5、單單元變變分2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)導(dǎo)熱的的有限限元解解法/二維維熱傳傳導(dǎo)5、單單元變變分2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)導(dǎo)熱的的有限限元解解法/二維維熱傳傳導(dǎo)5、單單元變變分2-5不穩(wěn)穩(wěn)定導(dǎo)導(dǎo)熱的的有限限元解解法/二維維熱傳傳導(dǎo)5、單單元變變分2-5不不穩(wěn)穩(wěn)定定導(dǎo)導(dǎo)熱熱的的有有限限元元解解法法/二二維維熱熱傳傳導(dǎo)導(dǎo)在時時間間上上采采用用向向前前差差分分：：6、、總總體體合合成成i=1,2,3,…………n上式式包包含含若若干干線線性性方方程程組組。。對對于于每每一一個個方方程程來來說說，，都都是是對對所所有有單元元求求和和而而成成?！，F(xiàn)現(xiàn)以以i(r,s)為為例例，，進進行行求求解解。。2-5不不穩(wěn)穩(wěn)定定導(dǎo)導(dǎo)熱熱的的有有限限元元解解法法/二二維維熱熱傳傳導(dǎo)導(dǎo)i(r,s)點點涉涉及及六六個個單單元元ⅠⅠ、、ⅡⅡ、、ⅢⅢ、、ⅣⅣ、、ⅤⅤ、、ⅥⅥ，，所所以以其它它單單元元中中不