廣州市2022屆3月普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)(數(shù)學(xué)試題)

試卷第=page55頁，共=sectionpages55頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁廣東省廣州市2022屆高三一模數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，，則的子集個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．62．若復(fù)數(shù)，則（

）A．2 B． C．4 D．53．甲，乙兩人在5天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示如圖，中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在這5天中，甲，乙兩人加工零件數(shù)的極差相同B．在這5天中，甲，乙兩人加工零件數(shù)的中位數(shù)相同C．在這5天中，甲日均加工零件數(shù)大于乙日均加工零件數(shù)D．在這5天中，甲加工零件數(shù)的方差小于乙加工零件數(shù)的方差4．曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．5．的展開式中的系數(shù)為（

）A．60 B．24 C． D．6．若函數(shù)的大致圖象如圖，則的解析式可能是(

)A． B． C． D．7．設(shè)拋物線的焦點為F，過點的直線與E相交于A，B兩點，與E的準線相交于點C，點B在線段AC上，，則與的面積之比（

）A． B． C． D．8．若正實數(shù)a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知直線與圓，則（

）A．直線與圓C相離B．直線與圓C相交C．圓C上到直線的距離為1的點共有2個D．圓C上到直線的距離為1的點共有3個10．將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（

）A．若，則是偶函數(shù)B．若，則在區(qū)間上單調(diào)遞減C．若，則的圖象關(guān)于點對稱D．若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增11．在長方體中，，，，則下列命題為真命題的是（

）A．若直線與直線CD所成的角為，則B．若經(jīng)過點A的直線與長方體所有棱所成的角相等，且與面交于點M，則C．若經(jīng)過點A的直線m與長方體所有面所成的角都為θ，則D．若經(jīng)過點A的平面β與長方體所有面所成的二面角都為，則12．十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作：再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過程不斷地進行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的區(qū)間長度記為，則（

）A． B．C． D．三、填空題13．若，，則___________.14．已知菱形ABCD的邊長為2，，點P在BC邊上（包括端點），則的取值范圍是___________.15．已知三棱錐的棱AP，AB，AC兩兩互相垂直，，以頂點P為球心，4為半徑作一個球，球面與該三棱錐的表面相交得到四段弧，則最長弧的弧長等于___________.16．如圖，在數(shù)軸上，一個質(zhì)點在外力的作用下，從原點O出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，共移動6次，則事件“質(zhì)點位于的位置”的概率為___________.四、解答題17．在等比數(shù)列中，分別是下表第一，二，三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一列323第二列465第三列9128(1)寫出，并求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和.18．△的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△的面積為.(1)證明：；(2)若，求.19．如圖，在五面體ABCDE中，平面ABC，，，.(1)求證：平面平面ACD；(2)若，，五面體ABCDE的體積為，求直線CE與平面ABED所成角的正弦值.20．人們用大數(shù)據(jù)來描述和定義信息時代產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)，并利用這些數(shù)據(jù)處理事務(wù)和做出決策，某公司通過大數(shù)據(jù)收集到該公司銷售的某電子產(chǎn)品1月至5月的銷售量如下表.月份x12345銷售量y（萬件）4.95.86.88.310.2該公司為了預(yù)測未來幾個月的銷售量，建立了y關(guān)于x的回歸模型：.(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（的值精確到0.1）；(2)已知該公司的月利潤z（單位：萬元）與x，y的關(guān)系為，根據(jù)（1）的結(jié)果，問該公司哪一個月的月利潤預(yù)報值最大？參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.21．在平面直角坐標系xOy中，已知點，，點M滿足直線AM與直線BM的斜率之積為，點M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)已知點，直線與x軸交于點D，直線AM與交于點N，是否存在常數(shù)λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.22．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).(1)證明：當(dāng)時，；(2)設(shè)，證明：有且僅有2個零點.答案第=page1515頁，共=sectionpages1515頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【詳解】由題可知，所有，所有其子集分別是，所有共有4個子集故選：C2．B【詳解】因為復(fù)數(shù)，所以，所以，故選：B3．C【詳解】甲在5天中每天加工零件的個數(shù)為：18,19,23,27,28；乙在5天中每天加工零件的個數(shù)為：17,19,21,23,25對于A，甲加工零件數(shù)的極差為，乙加工零件數(shù)的極差為，故A錯誤；對于B，甲加工零件數(shù)的中位數(shù)為，乙加工零件數(shù)的中位數(shù)為，故B錯誤；對于C，甲加工零件數(shù)的平均數(shù)為，乙加工零件數(shù)的中位數(shù)為，故C正確；對于D，甲加工零件數(shù)的方差為，乙加工零件數(shù)的方差為，故D錯誤；故選：C4．A【詳解】，所以，又當(dāng)時，，所以在點處的切線方程為：，即故選：A5．B【詳解】由的展開式通項為，所以的展開式項為，故系數(shù)為.故選：B6．D【詳解】由圖可知函數(shù)定義域為{x|x≠0}，由此排除A；該函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)為奇函數(shù)，需滿足f(x)＋f(－x)＝0，對于B項：f(x)＋f(－x)≠0，故排除B；C和D均滿足f(x)＋f(－x)＝0，對于C：，當(dāng)x→＋∞時，→0，故，∵y＝增長的速率比y＝增長的速率慢，∴，即圖像在x軸上方無限接近于x軸正半軸，與題意不符，故排除C.綜上，D選項正確.故選：D.7．C【詳解】如圖，過點B作BD垂直準線于點D，則由拋物線定義可知：，設(shè)直線AB為，，，，不妨設(shè)，則，所以，解得：，則，解得：，則，所以，解得：，則直線AB為，所以當(dāng)時，即，解得：，則，聯(lián)立與得：，則，所以，其中.故選：C8．D【詳解】因為，為單調(diào)遞增函數(shù)，故，由于，故，或，當(dāng)時，，此時；，故；，；當(dāng)時，，此時，，故；，；故ABC均錯誤；D選項，，兩邊取自然對數(shù)，，因為不管，還是，均有，所以，故只需證即可，設(shè)（且），則，令（且），則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調(diào)遞減，因為，所以，結(jié)論得證，D正確故選：D9．BD【詳解】由圓，可知其圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離，所以可知選項B，D正確，選項A，C錯誤.故選：BD10．AC【詳解】由題設(shè)，，時，為偶函數(shù)，在上有，遞增，故A正確，B錯誤；時，，此時，，即關(guān)于點對稱，在上有，不單調(diào)，故C正確，D錯誤.故選：AC11．ACD【詳解】A：如下圖，直線與直線CD所成角，即為直線與直線AB所成角，則，正確；B：構(gòu)建如下圖示的坐標系，過A的直線與長方體所有棱所成的角相等，與面交于且，又，則，故，則，錯誤.C：如下圖，過A的直線m與長方體所有面所成的角都為θ，則直線m為以為棱長的正方體的體對角線，故，正確；D：如下圖，過A的平面β與長方體所有面所成的二面角都為，只需面β與以為棱長的正方體中相鄰的三條棱頂點所在平面平行，如面，故，則，正確.故選：ACD12．BC【詳解】由題可知，；，；，由此可知，即一個等比數(shù)列；A：，A錯誤；B：，因為，所以該數(shù)列為遞減數(shù)列，又因為當(dāng)時，，所以恒成立，B正確；C：，即，兩邊約去得到，當(dāng)時，，原式成立；當(dāng)時，恒成立，所以成立，即成立，C正確；D：令，再令，令解得，因為，所以取，由此可知時；時，故為最大值，，根據(jù)單調(diào)性，即不恒成立，D錯誤.故選：BC13．【詳解】解：因為，，所以，因為，所以所以故答案為：14．【詳解】如圖示，以C為原點，為x軸正方向，過C垂直向上方向為y軸建立平面直角坐標系.因為菱形ABCD的邊長為2，，則,,,.因為點P在BC邊上（包括端點），所以,其中.所以,,所以.因為，所以.故答案為：15．##【詳解】由題設(shè)，將三棱錐補全為棱長為的正方體，如下圖示：若，則，即在P為球心，4為半徑的球面上，且O為底面中心，又，，所以，面與球面所成弧是以為圓心，2為半徑的四分之一圓弧，故弧長為；面與與球面所成弧是以為圓心，4為半徑且圓心角為的圓弧，故弧長為；面與球面所成弧是以為圓心，4為半徑且圓心角為的圓弧，故弧長為；所以最長弧的弧長為.故答案為：.16．【詳解】由圖可知，若想通過6次移動最終停在-2的位置上，則必然需要向右移動2次且向左移動4次，記向右移動一次為R，向左移動一次為L，則該題可轉(zhuǎn)化為RRLLLL六個字母排序的問題，故落在-2上的排法為所有移動結(jié)果的總數(shù)為，所有落在-2上的概率為故答案為：17．(1)，，，(2)(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義和表格中數(shù)據(jù)，得到，，，即數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故.(2)因為當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時，綜上所述，18．(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式及三角形內(nèi)角性質(zhì)可得，再由正弦定理的邊角關(guān)系即可證結(jié)論.（2）由（1）及題設(shè)可得，進而求得，應(yīng)用余弦定理及正弦定理邊角關(guān)系求，即可求，注意根據(jù)B的范圍判斷符號，最后利用及和角余弦公式求值即可.(1)由題設(shè)，，又，所以，由正弦定理可得，所以，又，所以，即.(2)由（1）及題設(shè)，，且，所以，則，故，又，可得，若，則，而，故不合題設(shè)；所以，所以.19．(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）若是中點，連接，作，根據(jù)題設(shè)可得兩兩垂直，構(gòu)建空間直角坐標系，令，并確定點坐標，求面、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標表示即可證結(jié)論.（2）根據(jù)已知體積，結(jié)合棱錐的體積公式求出，進而求面ABED的法向量、直線CE的方向向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標表示求線面角的正弦值.(1)若是中點，連接，作，由知：，因為面ABC，則面ABC，又面ABC，所以，，綜上，兩兩垂直，故可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標系，令，，，則，，，所以，，若是面的一個法向量，即，令，則，又是面的一個法向量，則，所以面面.(2)由面ABC，面ABED，則面ABED面ABC，故到面ABED的距離，即為△中上的高，因為，，則，故，所以上的高.又面ABC，則，而，有，，所以為直角梯形，令，則，綜上，，故.由（1）知：，，，，所以，，若是面ABED的一個法向量，即，令，則，而，則，所以直線CE與平面ABED所成角的正弦值為.20．(1)；(2)第9個月的月利潤預(yù)報值最大【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)與回歸方程的公式進行求解，得到回歸方程；（2）結(jié)合第一問所求得到關(guān)于的函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，極值及最值，求出答案.(1)令，則，，，，所以y關(guān)于x的回歸方程為；(2)由（1）知：，，令，令得：，令得：，令得：，所以在處取得極大值，也是最大值，所以第9個月的月利潤預(yù)報值最大.21．(1)且；(2)存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）利用斜率兩點式，結(jié)合直線斜率之積為定值列方程，即可求M的軌跡為曲線C，注意.（2）設(shè)、直線AM為，聯(lián)立曲線C，應(yīng)用韋達定理求坐標，進而應(yīng)用表示、，結(jié)合二倍角正切公式判斷與的數(shù)量關(guān)系，即可得解.(1)設(shè)，則且，所以M的軌跡為曲線C方程為且.(2)設(shè)，則直線AM為，聯(lián)立曲線C得：，整理得：，由題設(shè)知：，則，故，又，，所以，即，所以存在，使.22．(1)證明過程見解析(2)證明過程見解析【解析】【分析】（1）令，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，并求出其最