一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)-知識(shí)講解（提高）

PAGE一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)—知識(shí)講解（提高）責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解函數(shù)圖象及一次函數(shù)的概念，理解一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象之間的關(guān)系；2.能正確畫出一次函數(shù)的圖象．掌握一次函數(shù)的性質(zhì)．利用函數(shù)的圖象解決與一次函數(shù)有關(guān)的問題，還能運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題．3.對(duì)分段函數(shù)有初步認(rèn)識(shí)，能運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、函數(shù)圖象及一次函數(shù)的定義1.函數(shù)圖象的概念把一個(gè)函數(shù)自變量的每一個(gè)值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象.2.一次函數(shù)的定義一般地，形如（，是常數(shù)，≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù).要點(diǎn)詮釋：當(dāng)＝0時(shí)，即，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).一次函數(shù)的定義是根據(jù)它的解析式的形式特征給出的，要注意其中對(duì)常數(shù)，的要求，一次函數(shù)也被稱為線性函數(shù).3.畫函數(shù)圖象的一般步驟總結(jié)歸納一下描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的一般步驟第一步：列表．在自變量取值范圍內(nèi)選定一些值．通過函數(shù)關(guān)系式求出對(duì)應(yīng)函數(shù)值列成表格．第二步：描點(diǎn)．在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表中對(duì)應(yīng)各點(diǎn)．第三步：連線．按照自變量由小到大的順序把所有點(diǎn)用平滑曲線連結(jié)起來．要點(diǎn)二、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.函數(shù)（、為常數(shù)，且≠0）的圖象是一條直線；當(dāng)＞0時(shí)，直線是由直線向上平移個(gè)單位長度得到的；當(dāng)＜0時(shí)，直線是由直線向下平移||個(gè)單位長度得到的.2.一次函數(shù)（、為常數(shù)，且≠0）的圖象與性質(zhì)：3.、對(duì)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的影響：決定直線從左向右的趨勢(shì)，決定它與軸交點(diǎn)的位置，、一起決定直線經(jīng)過的象限．4.兩條直線：和：的位置關(guān)系可由其系數(shù)確定：（1）與相交；（2），且與平行；要點(diǎn)三、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一次函數(shù)（，是常數(shù)，≠0）中有兩個(gè)待定系數(shù)，，需要兩個(gè)獨(dú)立條件確定兩個(gè)關(guān)于，的方程，這兩個(gè)條件通常為兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì)，的值.要點(diǎn)詮釋：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù)，從而具體寫出這個(gè)式子的方法，叫做待定系數(shù)法.由于一次函數(shù)中有和兩個(gè)待定系數(shù)，所以用待定系數(shù)法時(shí)需要根據(jù)兩個(gè)條件列二元一次方程組（以和為未知數(shù)），解方程組后就能具體寫出一次函數(shù)的解析式.要點(diǎn)四、分段函數(shù)對(duì)于某些量不能用一個(gè)解析式表示，而需要分情況（自變量的不同取值范圍）用不同的解析式表示，因此得到的函數(shù)是形式比較復(fù)雜的分段函數(shù).解題中要注意解析式對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍，分段考慮問題.要點(diǎn)詮釋：對(duì)于分段函數(shù)的問題，特別要注意相應(yīng)的自變量變化范圍.在解析式和圖象上都要反映出自變量的相應(yīng)取值范圍.【典型例題】類型一、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式1、（2015春?東平縣校級(jí)期末）如圖，過A點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象相交于點(diǎn)B．（1）求該一次函數(shù)的解析式；（2）判定點(diǎn)C（4，﹣2）是否在該函數(shù)圖象上？說明理由；（3）若該一次函數(shù)的圖象與x軸交于D點(diǎn)，求△BOD的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）首先求得B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）把C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式進(jìn)行檢驗(yàn)即可；（3）首先求得D的坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式求解．【答案與解析】解：（1）在y=2x中，令x=1，解得y=2，則B的坐標(biāo)是（1，2），設(shè)一次函數(shù)的解析式是y=kx+b，則，解得：．則一次函數(shù)的解析式是y=﹣x+3；（2）當(dāng)a=4時(shí)，y=﹣1，則C（4，﹣2）不在函數(shù)的圖象上；（3）一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=﹣x+3中令y=0，解得：x=3，則D的坐標(biāo)是（3，0）．則S△BOD=OD×2=×3×2=3．【總結(jié)升華】本題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．先根據(jù)條件列出關(guān)于字母系數(shù)的方程，解方程求解即可得到函數(shù)解析式．當(dāng)已知函數(shù)解析式時(shí)，求函數(shù)中字母的值就是求關(guān)于字母系數(shù)的方程的解．舉一反三：【變式1】一次函數(shù)交軸于點(diǎn)A（0，3），與兩軸圍成的三角形面積等于6，求一次函數(shù)解析式.【答案】解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為.當(dāng)過時(shí)，；當(dāng)過時(shí)，；所以，一次函數(shù)的解析式為或.【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，在軸上求作一點(diǎn)P，使AP＋BP最短，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】解：作點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，與軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求.設(shè)直線的解析式為，直線過，的解析式為：，它與軸交于P（0，1）.類型二、一次函數(shù)圖象的應(yīng)用2、李明騎自行車去上學(xué)途中，經(jīng)過先上坡后下坡的一條路段，在這段路上所走的路程(米)與時(shí)間(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．根據(jù)圖象，解答下列問題：(1)求李明上坡時(shí)所走的路程(米)與時(shí)間(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式和下坡時(shí)所走的路程(米)與時(shí)間(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若李明放學(xué)后按原路返回，且往返過程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同，問李明返回時(shí)走這段路所用的時(shí)間為多少分鐘?【思路點(diǎn)撥】由圖象可知，上坡時(shí)，路程是時(shí)間的正比例函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(6，900)，可以確定函數(shù)解析式；下坡時(shí)，路程是時(shí)間的一次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(6，900)，(10，2100)，可以求出函數(shù)解析式.【答案與解析】解：(1)設(shè)，由已知圖象經(jīng)過點(diǎn)(6，900)，得900＝6．解得＝150．所以＝150(0≤≤6)．設(shè)，由已知圖象經(jīng)過點(diǎn)(6，900)，(10，2100)，得解得所以＝300－900(6<t≤10)．(2)李明返回時(shí)所用的時(shí)間為(2100－900)÷(900÷6)＋900÷[(2100－900)÷(10－6)]＝8＋3＝11(分鐘)．因此，李明返回時(shí)所用的時(shí)間為11分鐘．【總結(jié)升華】從圖象中獲得點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．注意放學(xué)途中上坡路程和下坡路程分別是上學(xué)時(shí)下坡路程和上坡路程．類型三、一次函數(shù)的性質(zhì)3、已知自變量為的一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則（）A．＞0，＜0B．＜0，＞0C．＜0，＜0D．＞0，＞0【答案】C；【解析】原函數(shù)為，因?yàn)閳D象經(jīng)過二、三、四象限，則＜0，＜0，解得＜0，＜0.【總結(jié)升華】一次函數(shù)的圖象有四種情況：

①當(dāng)＞0，＞0，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，的值隨的值增大而增大；

②當(dāng)＞0，＜0，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，的值隨的值增大而增大；

③當(dāng)＜0，＞0時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，的值隨的值增大而減小；④當(dāng)＜0，＜0時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，的值隨的值增大而減?。e一反三：【變式1】直線：與直線：在同一坐標(biāo)系中的大致位置是（）．A．B．C．D．【答案】C；提示：對(duì)于A，從看＜0，＜0，從看＜0，＞0，所以，的取值自相矛盾，排除掉A.對(duì)于B，從看＞0，＜0，從看＞0，＞0，所以，的取值自相矛盾，排除掉B.D答案同樣是矛盾的，只有C答案才符合要求.【變式2】（2014?杭州模擬）已知直線y1=x，，的圖象如圖，若無論x取何值，y總?cè)1、y2、y3中的最小值，則y的最大值為．【答案】2.解：根據(jù)題意，y的最大值為直線y2與y3的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，聯(lián)立，解得，所以，當(dāng)x=3時(shí)，y的值最大，為2．故答案為：2．類型四、一次函數(shù)綜合4、已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸