復(fù)變函數(shù) 考試復(fù)習(xí)

第三章習(xí)題課一、內(nèi)容提要復(fù)變函數(shù)積分的定義，計算，性質(zhì)。柯西定理，柯西積分公式，高階導(dǎo)數(shù)公式?？挛鞑坏仁?。dzczan

i0

n1nnZ

(重要的常用的積分)其中ca在其內(nèi)部的一條簡單閉曲線二、習(xí)題選解例1、沿第一象限中線路C 1,2，計算積分x2y2dx2xydy，ci起點和終點分別為（1，0）和（0，1）c：xy11c :x2

y211）在cx1t,yt1則dxdtdydt,0t1(x2y22xydy 11t2t2dx21ttdt1dt1在

上，xcos,ysin, (0)2 2(x2y2)dx2xydyc225(cos2sin2)sin25

2n

cos

2d222

0 0 3(2iz)2dzc其中c為從1到2i的簡單曲線 （引理）解：(2iz)2在復(fù)平面上解析（連續(xù)，且有原函數(shù)F(z)

(2iz)313i1 (2iz)2dzF(2i)Fc 12i(2i)3(2i)313(1i)3例3、計算積分 (iz)dz，這里c為c0到1i的直線段0到1iyx2的弧段1）從0到1i的直線段的方程為z1t)01ittti0t1，則iz)dz1itti)1i)0c001t1ti1i)dt01(t1idt011i2i（2）設(shè)弧段的方程為ztt2i, 0t1則iz)dz1itt2i1ti)dtc 01 2 (2t33t)(t2dt2 i0 3例4，計算 ez dzz3z(z21)（一）積分閉路內(nèi)有三個奇點z=，-11，為此被積函數(shù)分解為再應(yīng)用柯西公式，因為ez ez

1 ez

1 ezz(z2

1)

z 2z1 2z1故 ez dz ezdz1

ez dz1

ez dzz3z(z2z3 z 2 z3z1 2 z1 1

z12ie2ie2ie12 2i(ee12)（二作互不相交的互不包含的三個小圓周ccc1 2 3z3內(nèi)，應(yīng)用復(fù)合圍線積分定理，有

z3

ezz(z2

dzc1

ezz(z2

dzc2

ezz(z2

dzc3

ezz(z2dz 1 dz

ez dz

ez dz1c z21 z1e1 e1

c2z(zz

c3z(zz12i(e

2 25解、被積函數(shù)

z2

i(ee12)dzz3(z1)21 z

0積z

1z2內(nèi)，利z2(z2用復(fù)合圍線積分定理，作圓周cz1

11141

2z1112 41 1 dz

dz dzz2

z2(z

z z3(z1)2 z4 11 (z1)2dz1

z3(z1)21z3由高階導(dǎo)數(shù)公式，得

z (z0)34

z1141

(z1)2dz i 1 0 z2

z2(z1)2

2!

z12

z06，P

，9（2）證明

(x2iy2)dz，若為有半單位圓z 056 c證明：因為在C上，x2y21x4y4而x2iy2 x2x4y4故在Cx2iy2，又C的長度為，由積分估值公式，有(x2iy2)dzc

x2iy2dyc7、P

，14通過計算

12n156 z dz(n)z1

z z證明2cos2n135(2n證明：因為

0z12n

2 e2

2462n 2ei nid22ni 2 z1

z z 0 0而z1

0 kzkdkk 12n 1于z z zz2n2nz2n112n(2n1)(2nn1)z 1z

z z1z1

z z2n(2n1)(2nn1)dzz2i2n(2n1)(2nn1)n!(2n)!nco20

(2n)!)同理例8、計算

2(2n1)!!(2n)!!2cos2n1d00dzdzz2z12解：因為z所以ze0,dzieidz2d2iei2ei

d2idzzdzz2

z12

dzz2dz

z (z1)(z1)2i

z2

dzz25z42i

1 dz

1 dz3

z2z

z2z1 2i(02i)43 3或原式 2 20 54cos例9、P 6，8，16，17566、gz在D內(nèi)解析

df(z)g(z)'

f'(z)g(z)f(z)g'(z)，積分與路徑無關(guān)。Ex16

若f(z)在zzr0 0

內(nèi)解析，且limzfz z

A，則對任意正數(shù)1rr，1

f(z)dzA，其中Krz

r，積分是按反時針方向取的。0i kr 0證明：因f(z)在區(qū)域zr0

內(nèi)解析，f(z)在zr

內(nèi)連續(xù)，故對rr，積分1

f(z)dz存在，又對

，只要r

r，由復(fù)圍線積0 i kr

1 2 1 2 0分公式，1 取常值。

zr1

f(z)dz

1

zr2

f(z)dz，即對rr0

1 i

z

f(z)dzlimzf(z)A0zR時。z zf(z)A,則當(dāng)rmaxRzr 時，0 0zzrzrzR0 01212i

f(z)dzA

zf(z)A12i12i 1rzrz0

kr kr zzf(z)zf(z)Azrz0kr 1kr

dz

r0(r)Ex17、如果函數(shù)f(z)在簡單閉曲線C的外區(qū)域D內(nèi)及C上每一點解析，并且limz

f(z)，那么1 f

df(z)

zD 2i

c

zC沿C的積分是按反時針方向取的。、若zD，則圓PzR，使P在Cf(zP的內(nèi)部，C的外部解析，由柯西積分公式有1f(z)2i1

f)dcpz 1

f)d 1

f()d2i

pz

czlimf)

Rf,zkei1212i

f)d 12ip12i

f)dp zplim 1R

f()dpz故f(z)