高一物理競賽講義第3講.教師版

高中高中第3講運動的關(guān)聯(lián)前面我們討論了物理量以及物理量之間的關(guān)系， 尤其是變化率變化量的關(guān)系。 我們還學(xué)習(xí)了非常牛的幾個方法：相對運動法，微元法，圖像法。然而，物理抽象思想除了物理量之外，還有一大塊就是模型，而各種模型都有自己的一些特點，根據(jù)這些特點，決定了這些模型的運動學(xué)性質(zhì)。探究這些性質(zhì)就成了我們今天的主要任務(wù)。知識點睛知識點睛、分速度和合速度首先速度作為矢量是可以合成和分解的。但是同樣的作為矢量，速度的合成和分解，和力這個矢量有一點不同。這個不同在于，兩個作用在同一個物體上的力，可以直接合成。但是同一個物體，已經(jīng)知道在兩個方向上的速度，最后的總速度，并不一定是這兩個速度的矢量和。（CPhOB講）例如：4F1+F2 /V1+V2第二個原則就是：合速度=真實的這個物體的運動速度矢量。

第二個原則就是：合速度=真實的這個物體的運動速度矢量。這里力和速度的區(qū)別是：我們看到的多個力，不見得是“合力”在各個方向上的投影；但是我們看到的多個速度，就是“合速度”在各個方向上的分速度。所以，當(dāng)且僅當(dāng)兩個分速度相互垂直的時候，合速度等于兩個分速度的矢量和。這個東西大家可以這樣想。遛狗的時候，每個狗的力是作用在一起的，所以遛狗越多，需要的力越大。但是每個狗都有個速度，最后遛狗人的速度和狗的速度大小還是差不多的， 不會因為遛狗個數(shù)越多就速度越快……二、體現(xiàn)關(guān)聯(lián)關(guān)系的模型.繩（桿）兩端運動的關(guān)聯(lián)：實際運動時合運動，由伸縮運動與旋轉(zhuǎn)運動合成。實際運動=旋轉(zhuǎn)運動+伸縮運動【例】吊蘋果逗小孩兒有兩種逗法，一種是伸縮，一種是擺動。不難總結(jié)：一段不可伸長的細(xì)繩伸縮運動速度相等不難總結(jié)：一段不可伸長的細(xì)繩伸縮運動速度相等沿繩（桿）速度相等，轉(zhuǎn)速無論多大不可改變繩子長度。.疊加運動的關(guān)聯(lián)先舉個例子：如圖的定滑輪，兩邊重物都在豎直運動，并且滑輪也在豎直運動，設(shè)兩邊重物位移分別沃為XiX2,輪中心的位移為X。不難由繩子長度不變得位移關(guān)系：X1X2 二X2對應(yīng)的必然有速度關(guān)系：v1?v 二v2加速度關(guān)系:al'a2 二a2我們用運動關(guān)聯(lián)的目的是為了使未知量變少。然后用物理原理以及模型對物理學(xué)中非常重要的思想就是把現(xiàn)實中的物體抽象成為理想的模型,應(yīng)的牽連關(guān)系來解決問題.常見的模型有桿，繩，斜面，等等.然后用物理原理以及模型對.輕桿桿兩端，沿著桿方向的速度相同\.輕繩繩子的兩端也是沿著繩子的方向速度相同 .繩子中的力是可以突變的，突變的條件是剪斷或者是突然繃緊等等..斜面

斜面模型的一個關(guān)鍵點是當(dāng)物體沿著斜面下滑的時候， 它垂直于斜面方向上的速度和斜面相同. 也就是兩者之間只有沿著斜面的相對運動..滾動兩個物體之間相對滾動，這意味著除了接觸點的法向速度等于物體上這一點的法向速度以外， 還有一個條件是接觸點在兩個物體上走過的距離相等，這也等價于兩個物體在接觸點的切向速度相等。.彈簧模型：彈性繩子，和彈簧都是一樣的，就是沒有質(zhì)量，長度可以在彈性范圍內(nèi)伸展.另外彈簧的形變是不能瞬間突變的.也就是彈簧中的力是不能突變的.這些模型之所以具有這些性質(zhì)，主要原因是輕繩，輕桿，等長度不能改變.彈性的繩子和彈簧，長度可以改變.實驗和理論物理學(xué)家物理學(xué)的每個發(fā)展階段都是由一兩個開拓者 ，發(fā)現(xiàn)一些奇怪的現(xiàn)象，之后很多的實驗物理學(xué)家通過實驗積累起對于這些現(xiàn)象的簡單解釋 ，最后再出現(xiàn)一個特別厲害的理論物理學(xué)家總結(jié)了前人的結(jié)果用簡單漂亮的公式或者定律演繹出氣勢恢弘的物理大廈 ^以力學(xué)為例，哥白尼通過觀察，發(fā)現(xiàn)地心說貌似存在問題，后來科學(xué)家們前仆后繼，開普勒給出行星運行三定律，伽利略充分研究加速運動，后來牛頓用<<原理>>構(gòu)建了經(jīng)典力學(xué).在電磁學(xué)方面，富蘭克林大膽的做了很多后人無法嘗試的瘋狂的實驗 ，發(fā)現(xiàn)了一些列奇怪的現(xiàn)象.物理學(xué)界最偉大的實驗物理學(xué)家之一的法拉第 ，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶嶒?，隱約摸到這種發(fā)現(xiàn)過程從一個側(cè)面也反映了物理的思想和方法.都是從觀察和發(fā)現(xiàn)了場的概念，麥克斯韋總結(jié)了4個方程，解決了電磁學(xué)的一切問題.這種發(fā)現(xiàn)過程從一個側(cè)面也反映了物理的思想和方法.都是從觀察和發(fā)現(xiàn)開始，再提出大膽的假設(shè)，用嚴(yán)密的實驗去探究，最后再利用數(shù)學(xué)工具解決問題并且指導(dǎo)和預(yù)測未來.例題精講【例1】一個繩子緊緊貼著天棚，有個動滑輪，繩子繞過之后掛一個小木塊，請求出當(dāng)動滑輪以速度均勻速直線運動的時候，木塊的速度是多少？

【例2】一根繩緊貼與地面成0的斜墻，一端固定一端繞過滑輪下吊一木塊。 滑輪沿W的速度勻速沿墻運動，求被滑輪帶動的木塊的速度 v'。【答案】2VQos竺上2【例3】如圖所示，一個半球形的碗放在桌面上，碗口水平，。點為其球心，碗的內(nèi)表面及碗口是光滑的。一根細(xì)線跨在碗口上,線的兩端分別系有質(zhì)量為m1和m2的小球。m2的速度為v0時求mi的速度V'O【答案】02【例4】如圖夾角為H的斜面放在地面上只能在水平面運動，木棍被限制住只能在上下方向運動，斜面與木棍接觸。若斜面向右的速度為 Vo,求木棍的速度V'?！敬鸢浮縱【答案】v0tanu【例5】如圖所示裝置，在繩的C端以速率v勻速收繩，從而拉動低處的物體M水平前進，當(dāng)繩BC段與水平恰成口角時，求物體M的速度？v1cos、工

【例6】一個半徑為R的半圓柱體沿水平方向向右做加速度為 a的勻速運動.在半圓柱體上擱置一根豎直桿，此桿只能沿豎直方向運動（如圖）.當(dāng)半圓柱體的速度為v時，桿與半圓柱體接觸

點P與柱心的連線與豎直方向的夾角為 0,求此時豎直桿運動的速度.【解析】解法一：（半圓柱做參考系）取半圓柱體作為參照系. 在此參照系中，P點做圓周運動，即V桿柱的方向沿著圓上P點的切線方向.根據(jù)題意， v桿地的方向是豎直向上的.因為T*vff地二v主地tan<3=vtan日.解法二：（法線方向速度v相同）法線方向上速度分別為vsin日,v桿cose兩個相同得到： vsin?-v干cosr得至v桿=vtan?【例7】圖表示在一水平面上有A,B,C三點，AB=1,/CBA=口，今有甲質(zhì)點由A向B以速度vi作勻速運動，同時，另一質(zhì)點乙由B向【例7】圖表示在一水平面上有A,B,C三點，AB=1,/CBA=口，今有甲質(zhì)點由A向B以速度vi作勻速運動，同時，另一質(zhì)點乙由B向C以速度v2作勻速運動.試問運動過程中兩質(zhì)點間的最小距離為多少？【解析】提示：有兩種解決辦法，一個是直接求距離的表達式，一個是看相對運動狀態(tài).如圖所示，質(zhì)點P以v由A向B作勻速運動，同時點P2以速度%從B指向C作勻速運動,AB=l,/ABC=u且為銳角.試確定：在何時刻t,P、P2的間距d最短？為多少？

以A以A為參考系，B沿圖所示合速度方向運動，則dmin=lsin而v=Jv；+v；+2v1v2cos久,k2sin: lv2sin:得dmin=lsin = 2 2v v'-v2，2vv2cos吐由lcosP=vt,lv2sin、工2v2 2%V2COs、上【例8】一只蜘蛛把一條長1m的超彈性”絲線的一端固定在一堵豎直的墻上，絲線上某處靜止地趴著一條小毛蟲.饑餓的蜘蛛，靜止不動地呆在絲線的另一端，開始以 v0=1cm/s的速度勻速拉動絲線.同時，小毛蟲開始以 1mm/s的速度相對于絲線向墻的方向逃跑.小毛蟲能夠逃到墻上嗎？【解析】在距離墻xm處，絲線的速度顯然比絲線端點的速度成正比地縮小，即Im xmIm xm如果這個值比小毛蟲的速度快，那么毛蟲逐漸遠離墻面.小毛蟲的處境將越來越無助，而永遠也達不到墻面.反之，如果 穌蟲>xv0，小毛蟲的凈速度將指向墻面，并且隨著時間的增加而增加，毛蟲當(dāng)然可以到達墻面.臨界的情況對應(yīng) x=vg蟲/vo=O.1m.如果從這一點開始，則小毛蟲相對靜止于該處.【例9】合頁構(gòu)件由三個菱形組成，其邊長之比為如果構(gòu)件的所有角均為直角時，頂點 【例9】合頁構(gòu)件由三個菱形組成，其邊長之比為如果構(gòu)件的所有角均為直角時，頂點 A「【解析】3:2:1,如圖所示，頂點A3以水平速度v運動,A2、B2的速度為多少？v5v.17v, ,26 6【例10】細(xì)桿AB長【例10】細(xì)桿AB長L，兩端分別約束在x、y軸上運動,⑴如果％為已知，試求B點的速度;(2)求桿上與A點相距aL(0<a<1)的P點的x、V向分速度vPx和vPy對桿方位角10的函數(shù)；(3)試求P點運動軌跡.【解析】⑴兩種解法：解法一、沿著桿方向的速度相同【答案】所以Vacose=Vbsine得至1vB=vAfos9;sin1【答案】所以Vacose=Vbsine得至1vB=vAfos9;sin1解法二、Vb相對Va做一個圓周運動，也就是說以所以有vA=tan9得到vB=vA_c°s^Vb sinr⑵解法有講究：以A端為參照，則桿上各點只繞A轉(zhuǎn)動.但鑒于桿子的實際運動情形如右圖，2.v牽=vacosH,v轉(zhuǎn)=vAcos—,可知B端相對sin9轉(zhuǎn)動線速度為：V轉(zhuǎn)、2$所口=’^sin1P點的線速度必為嗎=3目sin?以Vpx=%目cosH+vax,Vpy—VAy—v相sinH⑶提示：寫成參數(shù)方程x=aLsin二y=1-aLcos后消參數(shù)VbVpxcos1=Va sin1=aVActg日，VpyA為參照系則B的運動垂直于AB.應(yīng)有A的2 2=1,為橢圓的一部分;上+—y—

(aL)2 (1-a)2=1,為橢圓的一部分;知識點睛二、競賽提升通過剛才這些內(nèi)容，大家已經(jīng)體會到了一些速度矢量的分解的感覺。從更物理的角度來講， 速度分解可以在圖中畫出三角關(guān)系來解決， 也可以寫出要投影的方向的單位矢量，然后與速度做點乘即可。前者書寫簡單，后者不易出錯，請大家自己斟酌。運動的分解通常用于寫約束條件， 也就是我們前面所說的 模型特點”。約束條件是指對運動加了限制，使得運動的自由度下降。自由度是指用來描述物體運動的獨立變量的個數(shù)。 (互相之間沒有直接關(guān)系，叫做獨立變量)例如：描述一個質(zhì)點在一維空間中的自由運動需要 1個函數(shù)(取笛卡爾坐標(biāo)就是x(t))描述一個質(zhì)點在二維空間中的自由運動需要 2個函數(shù)(取笛卡爾坐標(biāo)就是x(t),y(t)；取極坐標(biāo)就是r(t),Mt))描述一個質(zhì)點在三維空間中的自由運動需要 3個函數(shù)(取笛卡爾坐標(biāo)就是x(t),y(t),z(t)；取柱坐標(biāo)就是r(t),6(t),z(t),取球坐標(biāo)就是r(t),8(t),◎(t))描述一根桿在三維空間中的自由運動需要 5個函數(shù)(描述桿的質(zhì)心需要三個函數(shù)，描述桿的方向還需要兩個，取球坐標(biāo)就是 6(t)/P(t))描述一根桿在二維空間中的自由運動需要 3個函數(shù)(描述桿的質(zhì)心需要兩個函數(shù)，描述桿的方向還需要一個)

如果對于質(zhì)點或者桿有限制，運動不再是自由的，這時稱運動是受到約束的，運動的自由度通常會減小。思考：以下體系的自由度，說明描述運動所需要的獨立變量個數(shù)：1山上的一個行走的人（把人當(dāng)質(zhì)點看）2國旗桿上的國旗（把國旗當(dāng)作質(zhì)點）3一端固定的剛性桿4放在碗里的一個小湯圓（把湯圓當(dāng)作質(zhì)點）5放在碗里的一根牙簽（把牙簽當(dāng)作剛性桿）6放在碗里的，一端固定在碗底的牙簽7表身固定的正常工作的手表【例11】一個大硬幣半徑是3r,一個小硬幣半徑是ro固定大硬幣在紙面上，將小硬幣貼在大硬幣外側(cè)滾動一周，問小硬幣自轉(zhuǎn)了多少圈。固定小硬幣滾動大硬幣一周，大硬幣自轉(zhuǎn)了多少圈?11【解析】4圈，1.33圈?！纠?2】兩只小環(huán)。和O'分別套在靜止不動的豎直桿AB和A'B'上.一根不可伸長的繩子，一端系在A'點上，繩子穿過環(huán)O',另一端系在環(huán)。上，如圖所示，若環(huán)O'以恒定速度v′沿桿向下運動，NAOO'=□.求環(huán)。的運動速度為多大？【解析】解法1由微元法求解如右圖所示，設(shè)由題圖所示的狀態(tài)再經(jīng)歷一段極短的時間 小,環(huán)O'下滑距離v'&而到達C'點，環(huán)。則對應(yīng)地上升至C點.由于時間極短，位移很小，故可將這段時間內(nèi)環(huán) 。的位移速度也視為是勻速的，以v表示之，則有OC=v&和O'C'=vdt,由于繩不可伸長，故應(yīng)有O'C'+C'C=O'O.

令O'O與C'C的交點為E,在O'O上分別取ED'=EC'和ED=EC,則由上式有O'C=O'O—C'C=O'O—D'D,于是有O'C'=O'D'OD由于&很小，則O'C'很小，O'O與C'C的夾角很小，由此，兩等腰4ECD和△EC'D'的底角均很接近于一，故OD和AOCD，均可近似視為直角三角形， 則在此兩直角三角形中,2有ODJOC'cosu,OD=OCcosa.綜合前述的幾式便有OC，=OC七osot+OCcosot,即vAt=v'西cosa+v&cosa.故得此時環(huán)O沿桿上升的速度大小為解法故得此時環(huán)O沿桿上升的速度大小為解法2由相對運動求解1-cos:v二 7cos:v2a2sin—2cos:以地面為參照物時，環(huán)O'以速度v'順桿A'B'向下滑，環(huán)O則在此刻以速度V順桿AB向上滑，以環(huán)O'為參照物時，環(huán)O相對于環(huán)O'的速度方向是向上的，以v相表示這一相對速度，TOC\o"1-5"\h\z則其大小為v相=7 7.2sin2- 2vcos：顯然，v相cosot為O向O'靠擾的速度分量，這一分量的作用是使OO'間的距離縮小，不難看出，它應(yīng)等于繩相對于O,自O(shè)'中抽出的速度，這一速度的大小就是V,，2sin2- 2vcos：所以（v所以（v+v'Jcosct=v',v二 vcos;-cos、工v二 vcos二科學(xué)圣地：關(guān)于CERNLHC對撞機隸屬于CERN。CERN是法文"歐洲核子研究委員會”的縮寫TheEuropeanOrganizationforNuclearResearch（French:OrganisationEuropennepourlaRechercheNuclaire）,藝坐落在日內(nèi)瓦西北部侏羅山脈的腳底下，位于瑞士與法國交界的梅林（Meyrin）地區(qū)的邊緣，由歐盟出資支持，是個老老實實供研究者思考和實驗的工廠。德國記者格特勒曾描述那個地方的接待室， ”那里也賣紀(jì)念品一一難看的領(lǐng)帶和T恤衫、紀(jì)念章、宣傳畫、