大一微積分下冊(cè)經(jīng)典題目及解析

微積分練習(xí)冊(cè)[第八章］多元函數(shù)微分學(xué)習(xí)題8-1多元函數(shù)的基本概念1.填空題：(1）若f(x,y)x2

y

xy

x，則f(tx,ty) _yx2y2 y(2）若f(x,y) ，則f(2,3) ,f) 2xy xx2y2（3）若x2y2x yy

(y 0)，則f(x) （4)若f(xy, )x4x4xy2

y2，則f(x,y) z

x

y2

的定義域 z

x x y(7）函數(shù)zarcsiny的定義域 xy22x（8）z

y22x

的間斷點(diǎn) 22 xy4（1)limx0 xyy0（2)limsinxyx0 xy0(3）lim1cos(x2y2x0(x2y2)x2y2y03。證明

lim xy 0x2y2(x2y24.證明：極限lim

x2y

0不存在(x,y)(0,0)x4y25 f(x,5 f(x,y)數(shù)

1x2y2

,(x,y)

在點(diǎn)（0,0)處是否連續(xù)？為什么, (x,y)(0,0)習(xí)題8—2偏導(dǎo)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用1。填空題z z設(shè)zlntan ，則 , ；x yz z（2)設(shè)zexy(xy)，則x ,

；（3）設(shè)ux

y u，則

,u

,u ;z x y zy 2z 2z 2z（4)設(shè)zaxctan ，x

, x 設(shè)uyz，則

；f(x,y在點(diǎn)(abx0

f(ax,b)f(ax,b) x求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(1)z(1xy)yuarcsin(xy)zzyx(1,1）點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)4zxln(xy

3z 3z和22(11)

z zze

xy，試化簡(jiǎn)x2

xy2y 3xy ,(x,y)(0,0)f(x,y)x2y26。試證函數(shù)

, (x,y)(0)在點(diǎn)（）.習(xí)題8—3全微分及其應(yīng)用1.X公司和Y為Px1000PY16004QY公司X、Y現(xiàn)在的銷售量分別是100個(gè)單位和250個(gè)單位.XY當(dāng)前的價(jià)格彈性是多少？Y使QY300個(gè)單位，同時(shí)導(dǎo)致X的銷量Qx75單位，試問X?（ErxQx2

Qx1

/Py2

Py1)Qx Qx2 1

Py Py2 1假設(shè)市場(chǎng)由AB兩個(gè)人組成，他們對(duì)商品X的需求函數(shù)分別為：D (PrK A A

)/Px;DA

K IB

/Px商品X的市場(chǎng)需求函數(shù)；計(jì)算對(duì)商品XY對(duì)Y的需求交叉彈性求下列函數(shù)的全微分stu

stf(x,y,z) x

df(1,1,1)設(shè)（3）zx

( z，求yy2),求當(dāng)x1,y2,x0.1,y0.2的全增量z和全微分dz4。計(jì)算

(1.02)3(1.02)3(1.97)3習(xí)題8—4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則填空題（1)zu2lnv而u

x,v3x2y，則z ,z _y x y（2)設(shè)zarsin(xy)而x,則dz dteax(yz) du設(shè)u ，而yasinx,zcosx，則 a21 dxdz設(shè)zarctan(xy)，而yex，則 dxu u(5）設(shè)uf(x

y2,exy)，則x ,

_（6）uf(x,xy,xyz)，則 x(）2nnn11

2zzx

f(xyyf(xy),f具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求xy2z設(shè)zf(x,),f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 x24。設(shè)zxf(2x,

y2),f2z。x xy5.設(shè)zf(sinx,cosy,exy),f，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

2zx2fg,zf(xatg(xat

2zt2

a2

2zx2習(xí)題8-5隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1。填空題：x2yx2y2

dy，則 x dx（2）x2yz2

0

,z xyzx yxyzx（3）設(shè)

lnz，則

,z

_z y x yz z（4)z

yz，則x ,y 2。設(shè)ez

xyz2zxy3z

2z3xyza3，求xy4。設(shè)2sin(x2y3z)x2y3zzx

y2

dy,dz

y5。設(shè) ,求x2

2y

3z

20

dx dx6yf(xt，而tF(xyt)0xydydx7F(x

z,y

z)0zz(x,y,F證明：y xz zxx

yy

zxyxxyzyy(zxz(xy)F(x,yz)0所確定的有連續(xù)偏xyzy z x

1習(xí)題8—6多元函數(shù)的極值及其應(yīng)用1。填空題：(1）zx

y

2xy4xgyz駐點(diǎn) (2）f(x,y)4(xy)x

y2的極 值 （3）f(x,y)e2x(xy

2y)的極 值 (4)zxy在適合附加條件xy1下的極大值 （5) uf(x,y)xx

y2 在Dx,yx2y2

上的最大值為 ，最小值 2。從斜邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的一切直角三角形中，求有最大周長(zhǎng)的直角三角形.班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào):3.zx2y2xyz1截成一橢圓，求原點(diǎn)到該橢圓的最長(zhǎng)與最短距離

微積分練習(xí)冊(cè)［第八章]多元函數(shù)微分學(xué)4。某養(yǎng)殖場(chǎng)飼養(yǎng)兩種魚，若甲種魚放養(yǎng)x（萬尾，乙種魚放養(yǎng)y（萬尾(3xy)x,(4y0)，求使產(chǎn)魚總量最大的放養(yǎng)數(shù)

班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：5:若生產(chǎn)函數(shù)為Q2xx，其中,為正常數(shù)，且1p和1 2 1p,試問：當(dāng)產(chǎn)出量為12時(shí),兩要素各投入多少可以使得投入總費(fèi)用最??？2微積分練習(xí)冊(cè)[第九章]二重積分習(xí)題9-1二重積分的概念與性質(zhì)填空題（1）當(dāng)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上 時(shí)，則其在D上的二重積分必定存在（2)二重積分 f(x,y)d的幾何意義 D(3）若f(x,y)在有界閉區(qū)域D 上可積，且DD D1 2

f(xy)0時(shí)則f(x,y)d f(x,y)d；D D1當(dāng)f(x,

y)0

時(shí)，則

2f(x,y

)d

f(x,

y)dD D1 2（4) sin(x2y2)d ,其中 是圓域x2y242的面D積(2:(1）I1

(xy)2d

與I (xy)3d其中積分區(qū)域D是由x軸，y軸與直線2D Dxy1所圍成（2)I ln(xy)dI1

ln(xy)2d,其中 D DD(x,y)3xy13。估計(jì)下列積分的值 （1）Ixy(xyD(xy0xy2D (）I(x24y29)d，其中D(,y)x2y24D

1x2y21x2y2d利用二重積分定義證明kf(xy)dkf(xy)d（其中為k常數(shù)）D D習(xí)題9—2利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分填空題1)(x33x2yy3)d 其中D0x,0y1D(2）xcos(xy)d 其中D：頂點(diǎn)分別（(0,0,0),(,的三角形DD閉區(qū)域?qū)⒍胤e分

f(xy)dDxx2y2r2y0所圍成的閉D區(qū)域化為先y后x的積分，應(yīng) （4）將二重積分D

f(xy)d，其中Dyxx2y1(x0所圍x成的閉區(qū),化為先x后y的積分，應(yīng) （5)將二次積分21

dx

2x2x

f(x,y)dy改換積分次序，應(yīng) 將二次積分0

dxsinx-sin2

f(x,y)dy改換積分次序，應(yīng) ）將二次積分1

dy2

f(x,12dy2

f(x,y)dx改換積分次序,應(yīng)為e2

-lny

1 (y1)2（8）將二次積分

dy2

f(x,y)dx3dy3

f(x,y)dx，改換積分次序，應(yīng)為0 0 1 02。計(jì)算下列二重積: (1)

xyex2y2d,其中D

(x,y)axb,cydD（2）

(x2

y2)d,其中D是由直線y

2,y

x,

2x所圍成的閉區(qū)域.D(3）

yx2dxdy,1xy2Dy3。計(jì)算二次積分1dy1y0

yexdx證明：adyyem(a-x)f(x)dxa(ax)em(ax)f(x)dx0 0 0zx

2y2z62x

y2.習(xí)題9—3利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分1.填空題(1）把下列二重積分表示為極坐標(biāo)形式的二次積分①x2y22

f(x2y

y,arctan x

dxdy ；x2x2y2②D(x,y)1x2

y

4,yx,eD

dxdy （2）化下列二次積分為極坐標(biāo)系下的二次積分2axx2①2axx20

f(x2y2)dy ,(a 0)②1x

f( x2y2)dy ;0 0③2dx3x

yf(arctan

dy ;0 x x④1dxx2f(x,y)dy .0 02。計(jì)算下列二重積分（1)ln(1x2y2)d

,其中D是由圓周x2

y

1及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的D閉區(qū)域。x2y2x2y2D

dxdy,其中D是由曲線yx2與直線yx所圍成的閉區(qū)域.（3)

R2x2y2d，其中Dx2y2Rx所圍成的閉區(qū)域D(4)（2)

x2y22d,其中（2)D:x2y23。D3yx)2dDyRxx2y2R2y0（注D意選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo))4xoyx2

y2

ax(a0)zx

y2為頂?shù)那斨w的體積微積分練習(xí)冊(cè)[第十章］微分方程與差分方程習(xí)題10—1微分方程的基本概念1.填空題(1）x2y

3yylnx0稱為 階微分方程（2）yy(xcc1 2

,cn

)是方程yxy2y的通解，則任意常數(shù)的個(gè)數(shù)n= 設(shè)曲線yy(x)上任一點(diǎn)(x,y)的切線垂直于此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線，則曲線所滿足的分方 yy(x上任一點(diǎn)(x,ya，則曲線所滿足的微分方 (5）某人以本金p元進(jìn)行一項(xiàng)投資,投資的年利率為，若以連續(xù)復(fù)利計(jì)，t年后資金的0總額為p(t) _（6）方程yxxydx可化為形微分方程0dQ2。已知Qcekt滿足微分方程dt

0.03Q，問C和K的取值應(yīng)如何?3、若可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足方程f(x)2xtf(t)dt1 (1)，將（1)式兩邊求導(dǎo)，0得f(x)2xf(x)(2)易知f(x)cex2(c為任意常數(shù))是(2）的通解,從而f(x)cex2為（1)的解，對(duì)嗎？4.證明:yc1

xc2

xlnxx2yxyy0的通解。習(xí)題10—2一階微分方程(一）1y211y21x2(2）

yey23x0y(3）3ex

tanydx(2ex)sec

ydy0求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：（1）sinycosxdycosysinxdx,y

x0 4x（2)

dx

y dyy 11y 1x x03鐳的衰變速度與它的現(xiàn)存量R成正比，有資料表明,鐳經(jīng)過1600年后，只余原始量R0的一半，試求鐳的量R與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系微積分練習(xí)冊(cè)[第十章]微分方程與差分方程習(xí)題10-2一階微分方程（二）1。填空題（1)設(shè)y是dyp(x)yQ(x)的一個(gè)解，Y是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，則該方程的通解dx為 (2）y

x1

x1ex是方程xyyxex的一個(gè)特,則其通解為y ex x x(3）微分方程xyyy2lnx0作變換 可化為一階線性微分方程（4）(xy)y(xy)0的通解 x x x(5）(12ey)dx2ey(1y2.求下列微分方程的通解：

)dy0的通解 （1)xyyx23x2(2)(x2xyy2)yy203。求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：dyycotx5ecosx,ydx x2

44。用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將下列方程化為可分離變量的方程，然后求出通解：dy（1）dx

(xy)2（2）xyyy(lnxlny)5。已知一曲線過原點(diǎn)，且它在點(diǎn)(x,y)處切線的斜率等于2xy，求該曲線的方程f(x)可微且滿足關(guān)系式

xf(tf(x1f(x)0習(xí)題10-3一階微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用1EQP(lnP，且當(dāng)P=1時(shí)，需求量Q=1EP求商品對(duì)價(jià)格的需求函數(shù)（2)當(dāng)P時(shí)，需求量是否趨于穩(wěn)定？已知某商品的需求量Q對(duì)價(jià)格P的彈性3P21萬件，求需求函數(shù)3。已知某商品的需求量Q與供給量S都是價(jià)格P的函數(shù)Q其中a0,b0為常數(shù)，價(jià)格P是時(shí)間t的函數(shù)，且滿足dpkpSp)(k為正常數(shù)）dt假設(shè)當(dāng)t0時(shí)，價(jià)格為1，試求：需求量等于供給量的均衡價(jià)格Pe

a,SbpP2p(t)limp(t)t,設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為1N，在t0時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為10

N，在任意時(shí)刻t已掌握新技術(shù)人數(shù)為x(t)，其變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比，比例常數(shù)k0求x(t),5%2012000元人tBf(t程，且問當(dāng)初始存入的數(shù)額B20。習(xí)題10—4可降階的二階微分方程1。填空題（1）微分方程y 1 的通解.1x2（2)微分方程y1(y)2的通解._微分方程yyx的通解。微分方程yy(y)2y的通解。(5）y

21y

(y)20的通解.（6）設(shè)y x2與y x2lnx是方程x2y3xy4y0的特解，則其方程的通解為1 2 。2.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解yd2yy3dx2

1y

x1

x1

0.dydx3dydx(1)yay20,y

y 1x0 x0(2)(1)yeax,y

y 0x1 x1yx的經(jīng)過點(diǎn)M（0，1）y

x1相切的積分曲線2y1

ex2及y2

xex2都是方程y4xy(4x

2y0的解，并寫出該方程的通解.6。設(shè)函數(shù)y1

(x),y2

(x),y3

(x)均是非齊次線性方程

d2ydx2

a(x)dydx

b(x)yf(x的特解，其中a(x),b(x),f(x)為已知函數(shù)，而且

y(x)y2 y(x)y3

(x)(x)

常數(shù)，求證y(x)(1c1

c)y2

(x)cy1 2

(x)c2

y(x) (c,c3 1

為任意常數(shù)）是該方程的通解。7.證明函數(shù)ycex1

ce2x2

1e5x12

(c,c1

是任意常數(shù)）y3y2ye5x的通解.習(xí)題10-5二階常系數(shù)線性微分方程（一）1。填空題（1)微分方程y4y0的通解.微分方程y4y4y0的通解.微分方程y2y5y0的通解。(4）微分方程y2yay0(a為常數(shù))的通解 。(5)設(shè)2i 為方程ypyqy0的特征方程的兩根，則其通解為 .（6）設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程的二個(gè)特征根為r1

2,r2

4,則該二階常系數(shù)齊次線性微分方程2。求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：（1)y4y3yy

y 10x0 x0（2)4y4yyy y 0x0 x0(3）y4y13yy

y 3x0 x03。求以y ex,y xex為特解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程1 24.方程4y9y0的一條積分曲線經(jīng)過點(diǎn)(,1)且在該點(diǎn)和直線y1x相切，求這條曲線方程5x2yy)2

0的過（1，0）,yx1.習(xí)題10-5常系數(shù)線性微分方程(二）:微分方程y2yyxex的特解可設(shè)為型如y .(2）微分方程y7y6ysinx的特解可設(shè)為型如y .(3)微方程y2y5yexsin2x的特解可設(shè)為型如y .微分方程yyxcosx的特解可設(shè)為型如y .yyxsin

x的特解可設(shè)為型如y .求下列微分方程的通解：（1)y3y2y3xex(2）yyexcosx求微分方程滿足所給初始條件的特解：yy4xex, y 0, y 1.x0 x04。設(shè)函數(shù)yy(x)滿足微分方程yy2y3ex,它的圖形在x0處與直線yx相切,求該函數(shù)5。設(shè)函數(shù)(x)連續(xù),且滿足(x)ex

xtt)dtxxt)dt，求(x).0 06y(x)(x0y(x)0,y(0)1,yy(x上任意一點(diǎn)p(x,yx軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為s，1區(qū)間x]上以yy(x)為曲邊的曲邊梯形的面積記為 s2yy(x)的方程。

,恒有2ss1

1，求曲線差分與差分方程的概念常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)1.填空題（1)設(shè)yx

ex，則y x（2)設(shè)yx

x2，則y x(3）設(shè)yx

cos2x,則y x（4）差分的運(yùn)算法則：(cyx

) (yx

z) x2yxexyx1ayx2ex的一個(gè)解，求a。3.求下列函數(shù)的二階差分(2）y2x3x2（3）ylog x (a0,a1)a4。給定一階差分方程y py Aax,驗(yàn)證：x1 x(1）pa0yx

Apa

ax是方程的解.（2)當(dāng)pa0時(shí)，y Axax1是方程的解x習(xí)題10—7一階常系數(shù)線性差分方程（一）填空題(1）一階常系數(shù)齊次線性差分方程y ay 0(a0)的通解 x1 x2。求下列一階常系數(shù)齊次線差分方程的通解：（1）2y 3y 0x1 x(2）y y 0x x1（3）y y 0x1 x習(xí)題10—7一階常系數(shù)線性差分方程（二）1。填空題（1)若f(x)p(x)，則一階常系數(shù)非齊次線性差分方程y ay f(x)n x1 xyx

的特解。當(dāng)1不是特征方程的根時(shí)，k ;當(dāng)1是特征方程的根時(shí)，k .求下列一階差分方程在給定初始條件下的特解（1)2yx15yx0y03（2) yx0y02求下列一階差分方程的通解（1)yx4yx3(2)y 4y 2xx1 x1

x1（3)y

yt2

2t(4）y y t2ttt4。求下列一階差分方程在給定的初始條件下的特解（1）y 4y 2xx1 x

x2且y 10(2)y y 2x，且y 2x1 x 0習(xí)題10—9差分方程的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用1。(存款模型）設(shè)S為t年末存款總額，r為年利率，有關(guān)系式S S rS，且初始存款為S，求t年t tt t 0末的本利和.2.設(shè)某產(chǎn)品在時(shí)期t的價(jià)格，總供給與總需求分別為P,St t

與D對(duì)于t有關(guān)系式：tS 2P1 t tD 4P 4 t tS Dt t:由關(guān)系式可推出差分方程Pt1

2Pt

2；P0

已知時(shí)，求該方程的解.3。設(shè)yt

為t期國(guó)民收入，ct

t期消費(fèi)，I為投資（各期相同y c Ic ，其中01,0t t t t已知t0時(shí),y y，試求y和ct 0 t t4。設(shè)某商品在t時(shí)期的供給量st

與需求量dt

都是這一時(shí)期該商品價(jià)格pt

的線性函數(shù)，st

3pt

2, dt

45pt且在t時(shí)期的價(jià)格p由p 及供給量與需求量之差s d 按關(guān)系式t ttt1p t

t

16

t

dt

)確定試求商品的價(jià)格隨時(shí)間變化的規(guī)律.習(xí)題11—1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)1。填空題1）u

收斂則lim(u2u

.nn1

n n n(）ann1

收斂，且S an 1

a a2

，則lim(Sn

n1

Sn1

2Sn

) .(3）(11)(11)(

1) 的和是 2 3 22 32

23 4若n1

u 的和是3，則nn3

u 的和 n（5)

tn1

2,

n1

tn 的和是26）當(dāng)x1時(shí)，n1

xn的和是 2.根據(jù)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義判別下列級(jí)數(shù)的斂散性1)n1

1(2n1)(2n1)n22）n2n1

2 n1 n)3。判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性(1)n1

(1)n1(2)n1

(1)n1(4)n5(3）

n1

)n2(4)n1

nn0.0012n3n(5) 6nn1（6）1112

1n5 25

5n習(xí)題11—2正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1。用比較審斂法或比較審斂法的極限形式判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：n n11)n n1n1(2)

1ncos 22n1

1n2 n(）n1

sin2n2。用比值審斂法或根值審斂法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：n2nn!n（2） n(3)

n1( n3n1

)2n1n1習(xí)題11—3任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂判別下列級(jí)數(shù)的斂散性： n2n(1） 2nn13(1n（2)

2nn13）n1

na(n

)n,(a0)2。判別下列級(jí)數(shù)是否收斂，若收斂是絕對(duì)收斂還是條件收斂?1）n1

a(1)n(1cosn),(a0)2)n2

(1)n

1lnn3.已知級(jí)數(shù)ann1

和n1

b2都收斂，試證明級(jí)數(shù)abn nn1

絕對(duì)收斂.習(xí)題11-4泰勒級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)（一）填空題若冪級(jí)數(shù)n1

x3a( )n在x0處收斂，則在x5處 （收斂、發(fā)散。n 2ccnn1若lim ccnn1n

n0

cx2n的收斂半徑。n(3)nxn

n 的收斂域 。n13(1n

n0

xn的收斂域 。3n(5）

n1

x2n1(1)n 的收斂。n2n6）n0

1n(x2)n的收斂。1n2:(1）

n1

2nxnxn212）n1

2n1x3nx2n(3)n1

1n3n

(x3)n3。若冪級(jí)數(shù)n1

axn[-，9，寫出nn1

ax2n的收斂域n4.利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求下列級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)(）n1

nxn1,(1x1)2)

x2n12n1

,(1x

,并求級(jí)數(shù)

1(2n1)2n

的和。n1 n15。求冪級(jí)數(shù)n1

(2n1)xn的收斂域及其和函數(shù).習(xí)題11-4泰勒級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)（二）1.(1）ln(axa0)(2)axa0且a1)sin2x(4)(1x)ln(1x)2。將函數(shù)f(x)1

1(1x)2

在x 1處展開成冪級(jí)數(shù)。0f(x)

3

展開成(x2)的冪級(jí)數(shù).2x1f(x)

x2x

展開成(x2)的冪級(jí)數(shù)。5f(x)e3xx1處展開成冪級(jí)數(shù) 6。設(shè)In

4sinnxcosxdx,n0

，求 I .nn0一、填空題（3′×5=15′）z1xyzezxy的函數(shù)，則

.2。設(shè)

f(x,y,z) y( z( z

df.3。 1x2y2dxdy= 。x2y214.若級(jí)數(shù)

n 收斂，則limun1

n n1

x

n .5。差分方程yx12yx8的通解 二、選擇題1.下列命題中，正確的是A。若(x0y0zf(xyzf(xy必在(x0y0取得極值Bzf(xy在(xy取得極值，則(xyzf(xy的駐點(diǎn)0 0 0 0C.zf(xy在(xy處可微則(xyzf(xy連續(xù)點(diǎn)0 0 0 0Dzf(xy在(xyzf(xy在(xy處必連續(xù)0 0 0 02。設(shè)Dx2y2

1圍成,則二重積分I f(

x2y2)d（)1y21y20 0

f( x2y2)dx

D2d1rf(1)dr220 022C.42

d1f(r)drD.

d1rf0 0 0 03。若a2收斂，則

an（）nn1

nn1A.絕對(duì)收斂B。條件收斂C.發(fā)散D。斂散性不定4.方程yxxydx可化為形如（）的微分方程1yy1 yy1A.yy1B.y2ex11C. D.y(0)0 y(1)15。差分方程的特解可設(shè)為()x2x3x2bxb D.x(bx2bxb)0 0 0 1 2 0 1 2三、計(jì)算題（6′×8=48′）z z1.設(shè)zlntan ，求 , .x yy2。交換積分次序，求I1dyy0

ey/xdx.3.求I x2y21d，其中D:x2y24.D4。判定級(jí)數(shù) 2nn3n

的斂散性.n1dy

ycotx5ecosx滿足y( )4的特解。dx 2微積分（下）練習(xí)冊(cè)模擬試卷一zf(xxyf,

2z.xy求級(jí)數(shù)n1

nxn的收斂域及和函數(shù).8。求微分方程yy4xex的通解。四、應(yīng)用題(8′×2=16′）x(t是時(shí)間t的可導(dǎo)函數(shù),dx與dtx(t及銷售量接近于飽和水平的程度Nx(t之積成正比比例常數(shù)1k0)，當(dāng)t0時(shí)，x N。10求銷售量x(t).設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需用原料A和1015x單位原料AyB可生產(chǎn)20xyx28y2112單位的該產(chǎn)品，問需要多少原料A五、證明題a b

設(shè)n1 n1(n1,2 ;a 0,b

0)，證明：若

b收斂，則 a 收斂。a b n nn n

n nn1 n1微積分（下）模擬試卷二一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共5小題15分）1zf(xy在點(diǎn)(xy()0 0A。充分條件B。必要條件C。充要條件D.無關(guān)條件設(shè)Dx2Dy2a2a0)D1

是D則(xy1)d（）DA.4(xyB.(xya2D D1 1下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的級(jí)數(shù)是（）n

1n(n1)n

(1)nn

C nn1n

12nn1yyex1式中ab)(）aexbB.axexbxC.aexbxD.axexbzxy在(0，0）點(diǎn)處一定為（）A。極大值B.極小值C.無法確定D。不取得極值二、填空題（每小題3分，共5小題15分）1.zexy在點(diǎn)(2,1）處的全微分dz .2

a2x2y2d Dx2y2a2D若級(jí)數(shù)

2n收斂，則limu

.n1

n n1

x n冪級(jí)數(shù)n1

xnn

的收斂域。5。若是二階線性非齊次微分方程的兩個(gè)解為3x2,ex3x2且相應(yīng)齊次方程的一個(gè)解為x,則該非齊次方程的通解.7749分)x41.求過點(diǎn)（3,1，—2)且通過直線

y3

z的平面方程.5 2 12z2zf(xyx2y2,f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求xy.1y33。交換積分次序求1dx1y3

dy。0 x24。求級(jí)數(shù)n1

nxn1,(1x1)的和函數(shù)。微積分(下）練習(xí)冊(cè)模擬試卷二5。求微分方程dyytanxsecx滿足y(0)0的特解。dx6

x1

5yx

3,y0

7的特解。37。在拋物線y1x2(x0)上求一點(diǎn)P，使P處的切線、拋物線及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積達(dá)到最小。四、應(yīng)用題（每小題8分，共2小題16分）1zx22y2z62x2y2所圍成的立體體積。2.3元136.五、證明題(本題5分）設(shè)f(x)

x

的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

limf(x)0

，證明級(jí)數(shù)

1f( 絕對(duì)收斂.

x0 x

nn1習(xí)題參考答案習(xí)題7-11。(1）Ⅳ，Ⅴ，Ⅷ，Ⅲ；(2)(-，2，）（321(-3—，-1（3，213-2-；3（，30(0,，5（-，0,，(-，003,0（0,0,5；(4）(a,a,a), (a,a,a), (a,a,a), (a,a,a)2。7,1

430,1

262;3。(6，,1，19),（9，—5，12）;2 24.—12，8，-4,-；5. 34, 41,5; 6.(0,1,2)習(xí)題7-2141.(1)2a; (2)b1a; (3)(2,5,14); (4)2; (5)142

1 (3,1,2);2。-2；1；2；33.MM

2,cos1/2,cos

2,cosr2

1,

2,3

1 2,r；

2 2 34 34.24,5,1; 24 ,

147975 , 797797 5.r0或4

,r;236。coscoscosr3

1, a

12,2,7。13,9j8.15,13 5習(xí)題7—31（1）3;(2)(4,2,4);(3)3;(4)

;(5)13,13;(6) 14;252.(1)3;(2)3; 3.3654.5.（1)3,12,16;

55或36510625;(3)106

3；4.(1）不共面;（2）共面;25 ; 6.4752525 2 2 習(xí)題7-4（一）1。7y5z40; (2)9yz20; (3)AABBCC

0，1 2 1 2 1 2A B C1 1 A B C2 2

; (4)2,1; (5) xxz1;(）(，，3；3 4 22。2x9y6z1210;3.(1)y50, (2)9yz20, (3)x3y0;4 734.2xyz0;5.x 26y3z30, x 26y3z30; 6. ;4 737.2x25y11z2700, 46x50y122z5100習(xí)題7-4（二）1。(1)x4

y1

z3;(2)

x3

y2

z1;2 1 5 4 2 1（3)14y11z650;(4)(1,13,1);(5)0;5 5 5x2t2。x

y3/2

z5/2;

y3/2t;（不唯一）2 1 3

z5/23t3.(1)x4

y1

z3;

x y2

z4; (3)x2

y3

z1;2 1 5 2 3 1 2 3 14。2

; 5.7x14y50 ;3 223 22xy5z32 266.3y4z0; (2)d2 26

; 7.x9

y2z7-5

13 1 2 22;1。1)2y2)2(z3)22;

9; (2)z2y2

5x;(3)x2(y1)2z2

2, (0,1,0),

OZ軸;（5）拋物線，拋物柱面習(xí)題7—61.（1)x2平面上的雙曲線；xhy2b2

z21h2c2 a2

,ykx2z2a2 c2

k21;b2 x2z

h2 x2z拋物線

a2 b2

（4拋物線 ;；yh

y0（5）相交于原點(diǎn)的兩條直線；y 3x;z0（6）x2y2

R2,2

x2y2x2y2R2x2y2x4.y

3cost233cost, (0t); 5.x2y2(1x)2923z3sint6.x2y2

4, x2

z4, y2

z4; y x7.x2y2a2, zbarcsina, zbarccosa;z0 x0

y08.x2y2ax, z2axa2, x0z0習(xí)題8-111x2

1y1。2f(x,y);(2) ,f(x,y);(3) ;(4)x2 12 x (5）(x,y)0(7）(x,y)x

x2y2 1,y24x;（6）(x,y)x0,y0,x2y;0,xyy)x 0,xyx; 1(8)(x,y)y22x0;2（1) ; (2)0; (3)5.連續(xù)4習(xí)題8-22 2x 2x 2x1

csc ,y y y2

csc ; (2)exy(xyy21),exy(xyx21);yyxy1,1xylnx,y

yx ln

2xy ,

2xy

y2x2 ;（3） z z zz z z2

(x2

y2)2

(x2

y2)2

(x2

y2)2x（5）( )zxy

1 z xln ); (6)2fy y y

(a,b)z z xy2.（1）

y2(1xy)yx, (1xy)y[ln(1xy) ];x y 1xyu(2）x

z(xy)z1

,u11(xy)2z

z(xy)z

,u11(xy)2z

(xy)ln(xy)1(x1(xy)2z3z4。

0,

3z

1

; 5.2zx2y xy2 y2習(xí)題8-31(1，。6（）0.；P2（1）略;(2)1， Y PkI KIr AA BB23.（1)(s t)2

(sdttds); (2)dxdy(3）略；1/3dx

2dy;34。2.95習(xí)題8-4(1)2xln(3x2y)

3x2

,2x2ln(3x2y)

2x2 ;y2(2）

3(12)

(3x2y)y2 y314t14t3)2

ex(11x2e2x

(3x2y)y2(5）2xfyexyf2yfxexyf(6)fyfyzfxfxzfxyf1 2

2 1

3 2 3 32。xf(xy)f(xy)xf(xy); 3.

2

1

4.4

2y3f11 y 12

y2

12 x2

12;5。cos2xf

2exycosxfe2x2yfsinxfexyf11 13 33 1 3習(xí)題8-5yz xyzxyzxyxz2 xyzxyzxy1（yz xyzxyzxyxz2 xyzxyzxyxy xz2.2y2zez2xy3zy2z2ez;3.z(z42xyz2x2y2);4.1;(ez

xy)3

(z2

xy)35x(6z1),

x ; 6.2y(3z1)3z1習(xí)題8—61.(（-，3）大8（3）小，e; 2

1; 4

1,2422。當(dāng)兩直角邊長(zhǎng)均為2

2l時(shí)，直角三角形周長(zhǎng)最大;95 3。 95 3; 4.95

,y

3 ;5

p6( 2 ),x

p6(1 )

2

2(2

2)1 p 2 p1 2習(xí)題9-11（1）連續(xù)；（2）zf(xy為曲頂以D;（3) , ; (4)2。1

I;(2)I2

I; 3.(1)0I16;(2)36I100;4.22 3習(xí)題9—2r2x21.(1)1;(2);(3)rdx f(x,r2x22 r 0(）1y

f(x,y)dx2y

f(x,yd; (5)1dy1

f(x,y)dx;1y21 1 1y22 y

2y6）

dy

f(x,y)dx

1

arcsin

f(x,

2

11x

f(x,y)dx;1 2arcsiny

1 arcsiny

0 ex(8）

2dx3

f(x,y)dy012(1) b

x/2ea2)(ed

13 3 ec2); (2) ; (3) ;4 6 5 23.31; 7.62習(xí)題9—31.①

2cosrf(r2,)dr;②2rerdr;（）①2acosrf(r2)dr;2 02

4 2 1 0 04secrf(r)drcosrf(r)dr; 2secrf)dr;②4 2 ③30 0 0 02 4④se④0 sectan

rf(rcos,rsin)dr

; 2.(1)4

(2ln2

1);R3 4 5 a42(2)2

1;

(3

);(4)3

; 2

R4;4.V8 32習(xí)題10—11（1)2；(2）3;（3）y

x;(4)(xyy)2(1y2)a2y2;y

dyert; (6)dx

y10 y(0)02。k0.03,Cy習(xí)題10—2（一）1.(1)arcsinyarcsinx(2)2e3x3ey2C; (3)3ln2exlntanyc 2.2(1)cosx cosy0; (2)2(x3y3)3(x2y2)50;23RR0

e0.000433t10—2（二）1。y;

c;(3)z1

;(4)

arctany xx2y2;(5) x2y2;(5) 2 x y1 3 c 12. x2 x2 ;(2)xy2(1cey); 3.ysinx5ecosx13 2 x4。(1)yxtan(xc); (2)y1

1ecxx5y2(ex

x1) 6.f(x)

(e22

1)習(xí)題10—31.pp; (2)limQ0; 2.ep3pa1 13.(1)p ( )3;(2)p(t)[p3(1p3)e3kbt]3;(3)limp(t)pe4x(t)

b e eNeNkt ;

t eeNkt95.dB0.05B12000dt當(dāng)B 240000240000e1時(shí),20年銀行的余額為00習(xí)題10-41.(1)yxarctanx1ln(1x2)cxc;(2)ylncos(xc)c;2 1 2 1 2x2（3）y xcexc;(4)xc yclnyc;(5)1y(cx

)1;2 1

2 1 1 1 2(6）ycx21

cx2lnx; 2.y2x2xx21 1

a13． ln(ax1);(2)ya

eaxa2 ax ea a2114．y x3 x5.y(ccx)ex2116 2 1 2習(xí)題10—5（一)1.(1)yce41

c;(2)y(c2

cx)e2x;(3)yex(c2

cos2xc2

sin2x);（4)a 1yce(11ax

e(11ax,當(dāng)a1y(c

cx)ex,1當(dāng)a 0時(shí)，yex(c

2cos a1xc2

1 2sin a1x);(5）ye2x(c1

cosxc2

sinx);(6)y6y8y02.(1)y4ex2e3x;(2)y(2x)e2;(3)ye2xsin3x1 13.y2yy0;4.ycos3x sin3x;5.y3

(x22

1)習(xí)題10—5（二）1。bx)ex;(2)acosxbsinx;(3)x(acos2xbsin2x)ex（4）axbx(ccosxdsinx);(5)axb(cxd)cos2x(exf)sin2x3 1 x2。(1）cexce2xex( x23x);(2)