數(shù)列性質(zhì)：最值問(wèn)題講義練習(xí)（解析版）

第15講數(shù)列性質(zhì):最值問(wèn)題參考答案與試題解析選擇題（共10小題）.已知數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式4 -（6+2丸）〃+2016,若4或。7為數(shù)列｛〃〃｝的最小項(xiàng)，則實(shí)數(shù)丸的取值范圍是（ ）5 9A.（3,4） B.［2,5］ C.［3,4］ D.（-,-）【解答】解：由題意,數(shù)列｛勺｝的通項(xiàng)公式=〃2-（6+24）〃+2014的對(duì)稱軸為％=3+2,???/或華為數(shù)列｛〃〃｝的最小項(xiàng)，/.5.5<3+2<7.5，二2.5<2<4.5.故選：。,TOC\o"1-5"\h\z.（2021秋?雁峰區(qū)校級(jí)月考）在等差數(shù)列中（q｝,4=21,公差為d,前〃項(xiàng)和為S〃，當(dāng)且僅當(dāng)〃=8時(shí)S”取得最大值，則d的取值范圍是（ ）21 7 21 7A?1—3，—―） B.（一彳，-3） C.（-3,――） D.［--,-3）o 2, o 2.【解答】解：?.?在等差數(shù)列中｛。"｝，4=21,公差為d,前”項(xiàng)和為S.,當(dāng)且僅當(dāng)〃=8時(shí)S”取得最大值，ag>0,a9<0,即2I+7d>0，21+&/<0,71解得-3〈八——.8故選：C..（2021秋?淮北期中）設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝滿足$加2a$"S2+曲，5。?！?7加％濘&=1，sin（4+%）TOC\o"1-5"\h\z公差dw（-1,0）.若當(dāng)且僅當(dāng)〃=8時(shí)，數(shù)列｛（｝的前〃項(xiàng)和S“取得最大值，則首項(xiàng)4取值范圍是（ ）.In4乃、 _ An3兀、 一 「7九4萬(wàn)1 _ An3乃、A.（一,一） B. ［一,一］ C. ［一,一］ D.（一,一）6 3 3 2 6 3 3 2.2 2 2 2 -2 ?2［解答］解.山sm%-cos%+es4—sm,一］sin（a6+%）徂-cos2a5+（cosa5cos+sina5sin）（cosa5cos-sinsin）1寸： ； =1>sin（4+%）

日(1-cos2a5+cos(a5-4)cos(a5+4)sin(?6+%)-cos2%+-cos2%-cos2a§由積化和差公式得：Z 2 sin(a6+%)TOC\o"1-5"\h\z—(cos24-cos )整理得：Z-： sin(〃6+%)1*(-2)sin(4+tz5)sin(a8-a5)即有-2 ： =1,.\sin(3J)=-l.rfg(-1,0),/.3dg(-3,0),77* JT則3d=,d=?2 6? 1 2 7V用S=na.+-= +(a.d )n，"12 12 112對(duì)稱軸方程為〃=g(q+—),由題意當(dāng)且僅當(dāng)"=8時(shí)，數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和S”取得最大值,15 615 6z冗、￡＜小+丘)17~2TOC\o"1-5"\h\z??.首項(xiàng)q的取值范圍是(匕，—).6 3故選：A.4.(2021春?武侯區(qū)校級(jí)期中)設(shè)等差數(shù)列｛aj滿足：cos2Oycos2a5-sin2?3sin2?5-cos2^=sin(4+%),a4工號(hào)，keZ且公差de(-l,0),若當(dāng)且僅當(dāng)〃=8時(shí)，數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和取得最大值，則首項(xiàng)4的取值范圍是( )A.[―,2乃]B.(―,27)C.[―,2乃]D.(―,2萬(wàn))2 2 4 4【解答】解：*/cos2/cos2a5-sin2a3sin2a5-cos2%=sin(q+%),cos-a3cos-a5-sin-a3sin"a5—cos-a3+sm-a3=sin(4+%),即cos2a,(cos2a5-1)-sin2%(sin?-1)=sin2a4,即-cos203sin2as+sin」/cos2a5=sin2a4,

l!|J(sin%cosa5-cos%sina5)(sin生cosa5+cosaysina5)=sin2a4，EPsin(a3—a5)sin(a3+6)=sin2a4,即—sin2dsin(2a4)=sin2a4,k兀a.*——，:.sin2見(jiàn)00,2/.sin(2J)=-l.*:dg(-1,0)，2de(-2,0)，則2d=一二9d=——.TOC\o"1-5"\h\z2 4由s『叫 = +Z!^x（—C）=_&〃2+（4+為”.2 2 4 8 8對(duì)稱軸方程為n=—（a.+—）,7t' 8由題意當(dāng)口僅當(dāng)〃=8時(shí)，數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S“取得最大值，—<—（a,+—）<—,解得：—<at<2tt.2%'8 2 4 1.??首項(xiàng)4的取值范圍是（子，2萬(wàn)），故選：D.（2021春?威寧縣期末）對(duì)于數(shù)列｛a,J,定義工=4+2%+…+2'iq,為數(shù)列g(shù)j的“美n值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列｛4｝的“美值"Yn=2"+,,記數(shù)列｛4-叫的前”項(xiàng)和為S.,若S“,,S）0對(duì)任意的“eN*恒成立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是（ ）D.18D.1811,TTM【解答】解：由工=4+-%+…+20可得:q+2w+-+2ia“=〃x2〃x,n當(dāng)〃..2時(shí),0t+2a2+...+2n~2an_l=(n-l)x2"?兩式相減可得：2"-'a?=nx2n+,-(n-1)x2"=(n+1)2",所以a“=2〃+2,所以a“-f"=2〃+2-=(2-r)”+2,所以數(shù)歹U{a“-同是等差數(shù)列.由S??Sl0對(duì)任意的〃eN*恒成立可得：4。-1Of..0且%-10,即22-Kk.O且24-1匕,0,24 11即上刻11 5

故選：c.Q17（2021秋?南明區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S“，且S〃=2/一二〃，則|可|的最小值為（ ）A.1B.2C.3D.4【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列｛0“｝中-日〃，當(dāng)〃=1時(shí)，4=S[=—7>當(dāng)〃..2時(shí),an=Sn-Sn_t=3n-10,綜合可得:a?=3n-10,則1aliR3〃-10|,當(dāng)〃=3時(shí)，I取得最小值1；故選：A.（2021秋?西城區(qū)校級(jí)月考）等差數(shù)列｛《,｝的前”項(xiàng)和為S"，前”項(xiàng)積為7；,已知火=T,a,=-1,則（ ）A.S“有最小值，7；有最小值 B.5.有最大值，7；有最大值C.S“有最小值，7；有最大值 D.S“有最大值，7；有最小值【解答】解：在等差數(shù)列｛《,｝中，由%=—4,0,=-1,得"=03-02=3,可得4=4—d=-4—3=—7.,? _n（n-1）_3217 ,,. 17 ,.?.S=-7nH x3=-n n>則=jn=—?I用〃wN*,2 2 2 6.?.當(dāng)〃=3時(shí)，S.有最小值；等差數(shù)列僅“｝的前三項(xiàng)小于0，自第四項(xiàng)起大于0,且大于I,/.7；<0,T2>0,7；<0.當(dāng)〃..4時(shí)，7；<0,.?.7；有最大值，為4.故S“有最小值，7；有最大值.故選：C.（2021?遼寧開(kāi)學(xué)）若數(shù)列｛a“｝滿足a,=2"7；=01al…%,則7；的最小值為（ ）【解答】解：△旦可得：〃=3時(shí)，A.A.2川 B.2To C.2'"D.2"〃<3時(shí)，2<1；〃>3時(shí)，j>1.T“ ，.'.Tt>T2>T3=T4<T5<T6<...,.?.7；的最小值為十或7；,7；=2-3x2^x2-3=2-'°,故選：B.（2021秋?深圳月考）己知數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式凡=3"（2〃-13）,則數(shù)列前”項(xiàng)和，取最小值時(shí)，”的值是（ ）A.6 B.7 C.8 D.511【解答】解：由題意，令4=3"（2〃-13）>0,即2〃一13>。，解得〃>],令《,=3"（2〃-13）<0,即2〃一13<0,解得〃<‘，故當(dāng)掇立6時(shí)，a?<0,當(dāng)機(jī).7時(shí)，an>0,當(dāng)”eN*時(shí)，2n-13為遞增的等差數(shù)列，3">0恒成立，:.ax<Oyv???v4v0v/vgv???當(dāng)〃=6時(shí)，前”項(xiàng)和S“取得最小值.故選：A.1 7（2021?安徽模擬）己知正項(xiàng)等比數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，S2=~,S3=—,則“任…凡的最小值為（ ）(―)3274(―)4274

D.(——)

27八 、1【解答】解：由題意可得,4(1+4【解答】解：由題意可得,〃(1+q+q~)=—解可得，五或32（舍）,故為=上?2"T,27當(dāng)啜女5時(shí)，4<1,當(dāng)〃..6,々“>1，， 、 4則…〃〃的坂小值為4a2…。5=（6）'=（一）A.(―)A.(―)227故選：D.二.填空題(共3小題)(2021秋?玄武區(qū)校級(jí)月考)已知｛4｝為等差數(shù)列，氏=52,57=343,｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，則〃=20時(shí),S“最大.【解答】解:設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為d,由4=52,&=343,可得4+2d=52,7%+211=343,解得q=58,d=-3,則=58-3(〃-1)=61-3〃，當(dāng)蹶N20時(shí)，a?>0；當(dāng)*21時(shí)，a?<0.所以當(dāng)〃=20時(shí)，S“最大.故答案為：20.(2019秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考)已知數(shù)列伍“｝是公差不為0的等差數(shù)列，q>0且當(dāng)”=6時(shí),數(shù)列｛“"｝前”項(xiàng)和5”取最大值.【解答】解：設(shè)數(shù)列｛4｝公差為4，根據(jù)題意可知：?5+?s=0,可得2q+lW=O,12a,.".Sn=nat+——--(-—?1)=--n2.,.當(dāng)"= - =6時(shí)，數(shù)列｛4｝前“項(xiàng)2 11 11 11 2x(-3)11和S,取最大值6.故答案為：6.(2016?長(zhǎng)春四模)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,已知$=0,幾=25,則使(〃+l)S.取最小值的〃等于6或7.【解答】解：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為“，公差為d.Sl0=1+45d=0,Sl5=15a,+105d=25,??.q=_3,d=-3河i+3人「-92 3 3 3 3 3 3 3 3令nS?=f(n),/.f'(n)=n2-6n .?.當(dāng)〃=3+g歷時(shí)，/(〃)取得極值，當(dāng)3-4屈<”<3+4收時(shí)，/(〃)遞減；當(dāng)〃>3+!歷時(shí)，/(〃)遞增；因此只需比較/(6)和/(7)的大小即可.f(6)=-56,f(7)=-56,故(〃+1)5”的最小值為-59.故答案為：6或7.三.解答題(共3小題)(2021?新疆模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)點(diǎn)列｛4｝、｛4｝、｛￡,｝,其中A(〃M?)、紇(〃,女)、￡,5-1,0)滿足：向量4方與向量瓦G共線，且點(diǎn)列｛BJ在方向向量為(1,6)的直線上，4=〃，b]=-a.(1)試用a與〃表示(幾.2)；(2)若％與的兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是勺的最小值，試求a的取值范圍.【解答】解：(1)由a1(〃m“)、紇(〃也)、c〃(〃一1,0),得：4篇=(1嗎r/)，紇。；=(-1，9)?丁向量K?與向量M共線，???lx(一幻一(T)X(4+1-。")=0，即an+l-an=bn.乂｛紇｝在方向向量為(1,6)的直線上，b—b.,.qL=6,即％一?=6?n+\—n2=。+6(〃-1)=-a+6(n-1),an=4+(4-《)+(%-%)+…+3”-4t)=4+b]+Z?2+???+b“_]=a+(—a)+(―。+6)+(—a+6x2)+...+[—a+6(7?—2)]=611+2+...+(〃—2)J—u｛n—1)A(1+〃-2)(〃-2)/n=ox a(n-1)=3(〃-1)(〃-2)—a(n-1)=3n2-(9+d)n+6+lain..2)；(2)二次函數(shù)〃x)=3x2-(9+a)x+6+2a的圖象是開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=±@的拋物線.6乂?隹斯勺的兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是%的最小值，故對(duì)稱軸X="二在2馬內(nèi)，6 " 6 22即衛(wèi)歿佇2”,2 6 2.?.24皴女36. r(7?GN\aGR且以工a+2(n-l) r(7?GN\aGR且以工a+2(n-l)v(2)若對(duì)任意的〃EAT,都有冊(cè),％成立，求。的取值范圍.【解答】解：(1)???〃“=1+ 7 ;(〃￡乂,?！攴睬?。工0：4+2(〃-1)\ )當(dāng)a=-7時(shí)，:.an=1+——-——(〃wM)2/7-9結(jié)合函數(shù)f(x)=1+」一的單調(diào)性2x-9可知：1>4>4>%>%；%>4 >l(〃eN")工｛4｝中的最大項(xiàng)為%=2,最小項(xiàng)為a4=011 7(2)a=1+ =1+——a4-2(〃—1) 〃—2—41?.?對(duì)任意的“eM,都仃小,%成立，并結(jié)合函數(shù)/(x)=l+—|—的單調(diào)性2-ax 22—a,八c???5< 一8216.(2021?黃州區(qū)校級(jí)模擬)數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和S“=Y,數(shù)列也｝滿足43b〃-%=〃(幾.2,〃wTV*),(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；(2)求證：當(dāng)6尸;時(shí)，數(shù)列電-4｝為等比數(shù)列；(3)在題(2)的條件下，設(shè)數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和為7；,若數(shù)列｛7J中只有7；最小,求4的取值范圍.2【解答】(1)解：?.?數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和s“=上，c n2（n-1）22n-l4=S「S〃t*—1=-，"l〃=1時(shí)，——-=~=a?4 4 ,?.4=^^,〃￡N*.（4