高中物理-臨界問題的求解

臨界問題的求解臨界問題是物理現(xiàn)象中的常見現(xiàn)象。所謂臨界狀態(tài)就是物理現(xiàn)象從一種狀態(tài)變化成另一種狀態(tài)的中間過程，臨界狀態(tài)通常具有以下特點：瞬時性、突變性、關(guān)聯(lián)性、極值性等。臨界狀態(tài)往往隱藏著關(guān)鍵性的隱含條件，是解題的切入口，在物理解題中起舉足輕重的作用。求解臨界問題通常有如下方法：極限法、假設(shè)法、數(shù)學分析法（包括解析法、幾何分析法等）、圖象法等。極限法：在題目中如出現(xiàn)“最大”、“最小”、“剛好”、“要使”等詞語時，一般隱含著臨界問題。處理問題時，一般把物理問題（或過程）設(shè)想為臨界狀態(tài)，從而使隱藏著的條件暴露出來，達到求解的目的。假設(shè)法：有些物理過程中沒有明顯出現(xiàn)臨界問題的線索，但在變化過程中可能出現(xiàn)臨界問題，解決辦法是采用假設(shè)法，把物理過程按變化的方向作進一步的外推，從而判斷可能出現(xiàn)的情況。數(shù)學分析法；是一種很理性的分析方式，把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，用數(shù)學工具加以推導，從而求出臨界問題，用這種分析方法一定要注意理論分析與物理實際緊密聯(lián)系起來，切忌純數(shù)學理論分析。圖象法：將物理過程的變化規(guī)律反映到物理圖象中，通過圖象分析求出臨界問題。下面列舉的是高中物理各知識系統(tǒng)中典型的臨界問題。一、運動學中的臨界問題例1、一列客車以速度1前進，司機發(fā)現(xiàn)前方在同一軌道上有一列貨車正在以速度2勻速前進，且12，貨車車尾與客車車頭相距0，客車立即剎車做勻減速運動，而貨車仍保持勻速運動。求客車的加速度符合什么條件兩車才不會撞上？分析：這一類問題一般用數(shù)學方法（解析法）來求解。若要客車不撞上貨車，則要求客車盡可能快地減速，當客車的速度減小到與貨車速度相等時兩車相對靜止，若以后客車繼續(xù)減速，則兩車的距離又會增大；若以后客車速度不變，則兩車將一直保持相對靜止。可見，兩車恰好相碰時速度相等是臨界狀態(tài)，即兩車不相碰的條件是：兩車速度相等時兩車的位移之差△S≤S0。下面用兩種方法求解。解法一：以客車開始剎車時兩車所在位置分別為兩車各自位移的起點，則，客車：，貨車：，兩車不相撞的條件：。聯(lián)立以上各式有：解法二：客車減速到經(jīng)歷的時間為：。的過程中客車的位移為：；貨車的位移為：，，兩車不相撞則：。聯(lián)立以上四式有：。歸納：正確分析物體的運動過程，找出臨界狀態(tài)是解題的關(guān)鍵。例2、甲乙兩地相距2，減速時的加速度為12摩托車從甲地往乙地所用最短時間為多少？運動過程中的最大速度為多少？，摩托車的加速度為1分析：題目中并沒有說明摩托車由甲地往乙地是如何運動的，從甲地往乙地所用時間最短這一臨界狀態(tài)是解決問題的突破口。分析的方法可以用數(shù)學推導法，也可以用圖象分析法等。解法一：用數(shù)學推導法。設(shè)摩托車加速運動時間為1，勻速運動時間為2，減速運動時間為3，總時間為，則：聯(lián)立以上六式并代入數(shù)據(jù)得：要使以上方程有解，須判別式Δ≥0，即：，所以，即最短時間為。故有：，解得：?？梢娔ν熊噺募椎氐揭业叵燃铀偎俣葹椋汉缶o接著減速達到乙地所用時間最短，勻速時間為零。最大。解法二：用圖象分析法。建立如圖1所示的圖象，圖象中梯形的“面積”即為甲乙兩地的距離，在保證“面積”不變的情況下要使運動時間變小，只有把梯形變成三角形。，聯(lián)立以上三式得：最短時間為，最大速度為。歸納：比較以上兩種分析方法，圖象法比解析法簡單，是一種可取的方法。二、平衡狀態(tài)的臨界問題例1、傾角為度的斜面上放置一個重的物體，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為，要使物體恰好能沿斜面向上勻速運動，所加的力至少為多大？方向如何？分析；由于施力的方向沒定，先假定一個方向：與斜面成角向上，物體的受力分析如圖2所示。解：x方向：y方向：其中聯(lián)立以上三式求解得：，其中。當時有極值：。例2、如圖3所示，用光滑的粗鐵絲做成一個直角三角形，邊水平，，及上分別套有用細繩連著的小環(huán)、Q。當它們相對靜止時，細線與邊所成的夾角的變化范圍是多少？分析：題設(shè)中沒有說明、Q質(zhì)量的大小，可用假設(shè)法來判斷這個問題中可能出現(xiàn)的臨界狀態(tài)。若Q的重力大于的重力，則可不計的重力，的平衡轉(zhuǎn)化為二力平衡，此時細繩的拉力與對環(huán)的支持力幾乎在同一直線上垂直于的方向，即接近。若的重力遠大于Q的重力，則可不計Q的重力，Q的平衡轉(zhuǎn)化為二力平衡，此時繩的拉力與對環(huán)Q支持力幾乎在同一直線上垂直于綜上分析，的變化范圍是：的方向，即接近。。歸納：對于平衡狀態(tài)問題，正確進行受力分析是找到臨界條件、尋找問題突破口的關(guān)鍵。若題設(shè)中某些力是末知的，可根據(jù)題設(shè)條件進行恰當而又合理的假設(shè)。三、動力學中的臨界問題例1、如圖4所示，斜面體的質(zhì)量為上，，斜面與物體間的動摩擦因數(shù)為對斜面靜止不動，力應為多大？（取，質(zhì)量為的物體放在傾角為0的斜面，地面光滑?，F(xiàn)對斜面體施加一水平推力，要使物體相，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）分析：采用極限分析方法，把推向兩個極端來分析，當很小時，物體將相對斜面下滑；當很大時，物體將相對斜面上滑，因此不能太小也不能太大，的取值是一個范圍。解：設(shè)物體處于相對斜面下滑的臨界狀態(tài)。推力為，此時物體的受力情況如圖5所示，則對：對（）：聯(lián)立以上三式代入數(shù)據(jù)得：2，。歸納：求解此類問題的關(guān)鍵點是正確進行受力分析，找出臨臨界條件，列出動學方程和平衡方程。建立坐標系時，要注意以加速度方向為正方向。設(shè)物體處于相對斜面向上滑的臨界狀態(tài)，推力為，此時物體的受力如圖6所示，則對：對（）：聯(lián)立三式并代入數(shù)據(jù)得：。2，。所以推力的范圍是：A0aD0aB0aC0a圖7例2、一物體沿動摩擦因數(shù)一定的斜面加速下滑，圖7中哪個比較準確地表述了加速度a與斜面傾角的關(guān)系？（）分析：題設(shè)中沒有明顯的臨界條件。設(shè)動摩擦因數(shù)為，當物體在斜面上滑動時有：，可作如下的假設(shè)：（1）當（2）當（3）當時，物體靜止在水平面上，；時，物體沿斜面勻速下滑；時，物體加速下滑，（4）當0時，，物體做自由落體運動。綜合以上幾種假設(shè)易知D正確。歸納：進行合理假設(shè)是找出問題的臨介條件的重要手段。例3、一物體由靜止開始沿不同長度的光滑斜面滑到水平面上的點，這些斜面的起點都在豎直墻壁處，如圖8所示，已知點距墻角的距離為，要使小物體從斜面的起點滑到點所用的時間最短，求斜面的起點距地面的高度是多少？最短時間是多少？分析：用數(shù)學分析方法。設(shè)小物體從點沿傾角為的斜面滑下到點，則長為：，加速度為：，則有解得：。由以上結(jié)果分析可知：當0即時，下滑的時間最短，最短時間為：。歸納：數(shù)學法是解題的重要工具。例4、如圖9所示，在豎直平面內(nèi)有一固定點O，O點系一長為的輕繩繩的另一端系一質(zhì)量為的小球，把小球拉離平衡位置使繩與豎直方向的夾角為，然后讓小球繞O點在豎直平面內(nèi)擺動，現(xiàn)在O點的正下方點釘一鐵釘，要使小球能擺到原來的高度，則鐵釘與O點的距離X必須滿足什么條件？分析：小球若能擺到最高位置，意味著小球達到最高點時的速度為零。小球的運動軌跡是圓周的一部分，那么圓周上哪些位置小球的速度可能為零？先來分析這個問題。找圓周上三個特殊位置和二個一般位置來分析，這五個位置的受力情況如圖10所示，對應的動力學方程為：位置1：①位置2：位置3：位置4：位置5：②③④⑤要使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，則繩對小球的拉力必須大于或等于零，即，在1、2、3三個位置小球的速度可以為零，而在4、5位置小球的速度不能為零，否則小球?qū)x開圓周，若小球保持做圓周運動，由④⑤兩式可知，當時，有。由上面的分析可知；要使小球在圓周上運動，且在某點的速度等于零，則這些位置只能在圓周水平直徑以下的這部分圓周上（包括水平直徑的兩個端點），在這個問題中，水平直徑的兩個端點就是臨界點。所以，該題中要求小球能擺到原來的高度，則釘子的位置與小球釋放時的位置在同一等高線上是臨界位置，釘子的位置只能在這一等高線以上，即x。歸納：在豎直圓周上運動的問題較復雜，分析這類問題的關(guān)鍵是分析物體在不同位置時的受力情況，然后建立動力學方程進行討論分析。實際上，要使小球在繩子的拉力作用下能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運動，必須具備的條件就是繩子的拉力大于或恰好等于零，由此可以得出小球達到最高點時一速度臨界條件。這四、振動和波中的臨界問題例1、把一根長度為的輕彈簧下端固定，上端連一個質(zhì)量為的物塊，在的上面再放一個質(zhì)量也是的物塊Q，系統(tǒng)靜止后，彈簧的長度為方向做簡諧運動，此后彈簧的最大長度是多少？，如圖11所示。如果迅速撤去Q，物塊將在豎直分析：由題意可知在撤去Q后物塊將在豎直方向做簡諧運動，即以平衡位置為中心做往復運動，找到平衡位置和確定振動的振幅是求解問題的關(guān)鍵：平衡位置在重力和彈力平衡的位置，由題設(shè)條件可知，平衡位置在彈簧長度為的位置；剛開始運動時，彈簧的長度是，可知振幅是。根據(jù)對稱性可知彈簧的最大長度為。例2、質(zhì)量分別為和的兩物塊、用輕彈簧相連后豎直放在水平面上，現(xiàn)用力把物塊向下壓而使之處于靜止狀態(tài)，如圖12所示，然后突然撤去外力，要使物塊能離開地面，則壓力至少要為多大（設(shè)該過程在彈性限度內(nèi)進行）？分析：先假設(shè)是不動的，則撤去壓力后，將在豎直平面內(nèi)做簡諧運動，平衡位置在彈簧壓縮量為的位置；若要物體能被拉離地面，則彈簧至少要被拉長，可見A物體的振幅為：，所以壓力至少為：。歸納：由以上兩例分析可知：求解這一類問題一要正確進行受力分析，二要靈活運用簡諧運動對稱性的特點。例3、一列橫波沿軸傳播，、是軸上的兩點，相距，時點恰好振動達到最高點，而點正好經(jīng)過平衡位置向上振動，已知這列波的頻率為。試求該波的最大波速。分析：該題沒有說明、在軸上的距離與波長的關(guān)系以及波的傳播方向，也就是存在一個波的傳播方向及波速不確定的問題，波可能是沿軸正方向傳播，也可能是沿軸負方向傳播；若、在軸上的距離小于一個波長則波速最大。解：若波沿波速為：方向傳播：，，，（。）當時波速最大，max若波沿方向傳播：，，波速為：，（。）當時波速最大，max歸納：對于波動問題，由于其運動規(guī)律有周期性的變化，在一般求解中往往含有多個解，若題中有了其他條件的限制，就有了符合條件的特定解（最大或最?。?，在本題中就是求波的上限值（也可以說是臨界值）。若題目給出的是波傳播方向上兩點的傳播時間，求波的傳播速度則其波速有下限值，即有最小值。求解波動問題一定要注意以下兩點，一是兩大特性：波動的周期性（空間和時間的周期），波傳播方向的不確定性；二是三大關(guān)系：質(zhì)點間距離與波長的關(guān)系，傳播時間與周期的關(guān)系，質(zhì)點振動方向與波傳播方向的關(guān)系。五、電磁學中的臨界問題例1：、表示真空中相距為的平行金屬板，極板長為，加上電壓后，其間的電場可視為勻強電時，將圖13所示的方形波加在、上，且0，場，在，此時恰有一帶電微粒沿兩AB板中央飛入電場。微粒質(zhì)量為（不計重力），帶電量為，速度大小為，離開電場時恰能平行于金屬板飛出，求（1）所加交變電壓0的取值范圍，（2）所加電壓的頻率應滿足什么條件？分析：若要粒子恰能平行于金屬板方向飛出，就要粒子在離開電場時只有平行于金屬板的速度，而垂直于金屬板方向的速度為零。帶電粒子在進入電場以后只受電場力作用，但電場力是周期性地變化的，在這種周期性電場力的作用下，帶電粒子的運動可以分為這樣兩個分運動：垂直于電場方向的勻速直線運動；平行于電場方向的勻變速直線運動（加速度大小不變）。平行于電場方向的運動是比較復雜的：第一個半周內(nèi)，粒子做初速度為零的勻加速運動，第二個半周內(nèi)，做勻減速直線運動，末速度變?yōu)榱?；第三、四個半周期內(nèi)的運動依次重復第一、二兩個半周期內(nèi)的運動。由粒子的運動情況分析可知，要使粒子能平行于金屬板飛出，必須滿足二個條件：一是粒子在電場中運動的時間只能是電壓周期的整數(shù)倍，即，這樣才能證證粒子離開電場時只具有平行于金屬板方向的速度；二是粒子不能落到極板上，在電場中平行于電場方向運動的距離要小于極板間距離的一半，即的臨界條件。。這兩個條件就是問題解：由上面的分析有臨界條件：，，結(jié)合垂直于電場方向的運動規(guī)律和平行于電場方向的運動規(guī)律：，聯(lián)立以上各式得：、，。歸納；處理這類問題的關(guān)鍵是正確進行受力分析，確定物體的運動規(guī)律，特別注意速度的變化和加速度的變化，再結(jié)合題目所給的約束找出問題的臨界條件。例2、金屬板、平行放置，兩板間距為，板長，板間加有平行于板面的勻強磁7場，如圖14所示，兩板之間用導線相連。當電子束從、兩板正中間以速度沿平行于板的方向射入板間，結(jié)果在板的周圍末發(fā)現(xiàn)電子飛出板間，由此可知板間的磁感應強度必須符合什么條件？分析：由題意可知，電子沒有飛出板間，則一定是打在了極板上。兩板間無電場，只有磁場，電子在磁場中只受到向左的洛侖茲力作用。根據(jù)電子的受力情況，電子只能在勻強磁場中做勻速圓周運動。由于極板的制約，電子打在極板上的位置只能是上，當電子打在的上端時對應最小的半徑，當電子打在板的下端時對應最大的半徑，這兩種情況就是問題的臨界狀態(tài)，求出這兩種臨界狀態(tài)對應的圓半徑就可求出磁感應強度的大小，可見磁感應強度的大小是一個范圍。圖15vMNR2R1解：如圖15所示，當半徑最小時：，代入數(shù)據(jù)得：當半徑最大時：得，，代入數(shù)據(jù)得：，所以磁感應強度符合的條件是：。歸納：帶電粒子在磁場中運動時洛侖茲力只能改變粒子的運動方向。而不能改粒子速度的大小，粒子一般情況下做圓周運動，由于題設(shè)條件的限制，粒子可能的運動軌道只能在一定的范圍，這個范圍就是臨界條件，由臨界條件求出軌道半徑是求解這類問題的關(guān)鍵。-2例3、如圖16所示，、為豎直放置足夠長的平行板，板間距離為，板中央有一7電子源能沿水平方向連續(xù)發(fā)射速度為范圍的電子。若兩平行板之間不加磁場，電的勻強磁子將打在板的；現(xiàn)兩平行板間加一垂直于紙面向里、磁感應強度為-19場。已知電子質(zhì)量為，電子電量，不計電子的重力和電子間的相互作用力，且電子打到板上均被吸收，并轉(zhuǎn)移到大地。（1）問是否有電子打到板？如有則電子擊中板的范圍如何？并求出其長度。70角斜向下方的勻強電場，電場強度為（2）令，若板的右側(cè)加一與板成（圖16中沒有畫出），并去掉板。求速度最大的電子從點出發(fā)至打到板上所經(jīng)歷的時間的表達式。分析：題設(shè)中給定了電子的速度范圍，這些垂直于磁場方向進入的電子只有速度達到一定值才可以打到板上，打到板上的電子的最小軌道半徑為，這是該題的一個臨界狀態(tài)。解：（1）設(shè)能打到板上的電子的最小速度為0，由牛頓第二定律及向心力公式得：，即：。APR/O/BP/NEd圖17R/O/可見有電子打在板上。對應速度為0的電子恰能打在點，點距點的距離為。當電子的速度為最大時，設(shè)它能打在板上的點，對應的半徑為，這是該題的另一個臨界狀態(tài)，如圖16所示。由牛頓第二定律及向心力公式得：，即：。。又由圖16中的幾何關(guān)系有：0，所以電子打在板上的長度為：。（2）由（1）可知，即粒子運動軌跡所對的圓心角為0，則電子沿平行于電場的方向進入電場，所以電子在電場中先作減速運動，然后反向作勻加速運動，再次進入磁場，最后打在A板上。由于電子返回磁場時速度大小沒變，所以圓周運動的軌道半徑不會變，在圖17中由幾何關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)：電子最后打在A板上時其軌跡恰好與A板相切，這是該題的又一個關(guān)鍵性的臨界狀態(tài)。由的時間：，在電場中運動的時間：，由的時間：，總時間為：。歸納：該題涉及的知識點雖不多，但是一道難度較大的題，如何確定電子的運動過程和可能的軌跡是難點，解決辦法就是找出關(guān)鍵性的臨界狀態(tài)，從而確定電子在相應的臨界狀態(tài)時的運動軌跡，再恰當?shù)乩梦锢碇R和幾何知識來求解。六、光學中的臨界問題例1、如圖18所示，是一直立的平面鏡，12是豎直放置的米尺，是一遮光板，在米尺上開一小孔，某人眼睛緊貼小孔可從中看到米尺的某部分的像。（1）試畫圖標明人眼睛通過平面鏡能看到米尺在下面的部位。（2）為使人眼不能通過在中看到米尺在的下部位，可在上貼一遮光紙，試在圖中確定出所貼紙的最小尺寸及位置。分析：（1）標明人眼睛通過平面鏡能看到米尺在下面的部位，必須找出其邊界光線。根據(jù)光路可逆原理，若將人眼看成是點光源，則從射出的光線經(jīng)反射后能照射到的區(qū)域就是能被人看得到的區(qū)域。為確定這個區(qū)域，在圖18中先根據(jù)平面鏡成像的對稱性畫出人眼的像，其中一條邊界線就是連線所對應的入射光線，的連線所對應的反射光線，人眼能觀察到的范圍。最后在連線與相交于點，與12相交于點，連接；另一條邊界線是的連線與相交于點，連接延長交12于點，則段即為，上并標上表示光的傳播方向的箭頭。（2）由于米尺上的段只能通過的部分反射才能達到s處，故只要在部分貼上遮光紙，S處的眼睛就不能從中看到以下米尺的任何部位。歸納：利用光路可逆原理進行逆向思維是解決光學問題的一個重要手段，將眼睛做為發(fā)光體把問題轉(zhuǎn)化為求點光源發(fā)出的光經(jīng)平面鏡反射后所能照射到的范圍問題，從而使問題得以簡化。確定邊界線即臨界條件是求解觀察范圍的關(guān)鍵。例2、（05北京）如圖19所示，用折射率為的透明介質(zhì)做成內(nèi)、外半徑分別為a、b的的空心球，當一束平行光射向此球殼，經(jīng)球殼外、內(nèi)表面兩次折射，而能進入空心球殼的入射平行光束的橫截面積是多大？分析：根據(jù)對稱性可知所求光束的橫截面是一個圓面。所以關(guān)鍵是求出這個圓的半徑，即找出邊界光線。解：設(shè)入射光線AB為所求光束的臨界光線，入射角為，經(jīng)球殼外表面折射后折射角為，因為AB是臨界光線，所以射向內(nèi)表面的光線的入射角恰好等于臨界角，在ΔOEB中由正弦定理得：（C是臨界角），，，所以，。由幾何關(guān)系有：，進入空心球殼的入射平行光束的橫截面積是：。歸納：在折射問題中邊界光線與臨界角有不可分割的密切關(guān)系，充分利用幾何關(guān)系是求解問題的關(guān)鍵。體驗：1、一跳傘運動員從高空離開飛機落下，為了以最短時間落到地面，開始末張開降落傘而自由下落一段距離后才張開傘，張開傘后跳傘運動員以，求：2的加速度勻減速下降，到達地面時速度為（1）跳傘運動員自由下落的時間；（2）跳傘運動員在距地面多高處開始張傘？（3）跳傘運動員在空中運動多長時間？2、如圖20所示，已知物體的重力為，重物與豎直墻面的動摩